Formas Lineares, Bilineares e Quadráticas

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1 Forms Lineres Bilineres e Qudrátics Considere V um R-espço vetoril n-dimensionl Forms Lineres Qulquer trnsformção liner d form f : V R é denomind um funcionl liner ou form liner Eemplos: f : R R tl que f f : R R tl que f f : R R tl que f n i com i n * Considere o conjunto L V R ou Hom V R ou V como sendo o conjunto de todos os funcionis de V * em R Assim fic definido um novo espço vetoril [ V R ] denomindo espço vetoril dul de V O teorem nos grnte que pr todo funcionl u V função f u : V R tl que f u v < v u > é um * * Teo Os espços V e V são isomorfos isto é T : V V tl que T v f v é um isomorfismo * Corol dimv dimv Forms Bilineres A função f : V V R é denomind um form biliner qundo pr quisquer v u w V e pr todo k R FB f v u w f v w f u w e f v u w f v f v w FB f k v k f v f v k Eemplos: f : R R R tl que f f : R R R tl que f t t f : V V R tl que f v < v u > Teo5 Sejm f e g forms bilineres sobre V e k R Então f g e k f tmbém são forms bilineres sobre V Corol5: Sej FB V o conjunto de tods s forms bilineres sobre V Então [ FB V R ] é um espço vetoril 5

2 Forms Bilineres e Mtries Teo Considere A Mt n R e um bse de V A função f A : V V R tl que f A t v [ v] A[ u] é um form biliner Teo7 A função T : Mtn R FB V tl que T A f A é um trnsformção liner Considere v u V v v } um bse de V e f um form biliner { n Assim v k v k v n n e u l v l v n n Então f v f k v k v l v l v n n n n f k v l v f k v l v f k v l v n n n n f k nvn lnvn k f v v l k f v vn ln k n f vn v l f v v f v vn l k n f vn v f vn vn ln k [ u v] t [ f ] [ ] k n f v v l Logo cd form biliner é possível ssocir um mtri qudrd Um form biliner f : V V R é denomind form biliner simétric qundo pr quisquer v u V f v f u v n n n Teo Sej um bse de V Um form biliner f é simétric se e somente se simétric [ f ] é um mtri Forms Bilineres e Espços Vetoriis com Produto Interno Considere V um R-espço vetoril munido de um produto interno n dimensionl Teo Sej f um form biliner Então eiste um único operdor liner f v v U pr todo v u V U : V V tl que Teo Os espços FB V e L V são isomorfos isto é T : FB V L V tl que T f U é um isomorfismo Teo A form biliner f é simétric se e somente se o operdor liner U é um operdor uto-djunto

3 Forms Qudrátics Considere um form biliner simétric f : V V R A função Q : V R tl que Q v f v v é denomind form qudrátic ssocid form biliner f Notção mtricil: Q v [ v] v sendo um bse de V t [ f ] [ ] Eemplos: Sej f : R R R tl que f t 5t 5 t e bse cnônic do R A form qudrátic ssocid é Q : R R tl que Q f 5 5 Sej f : V V R um form biliner simétric e Q : V R su form qudrátic ssocid Q v f v u v f v v f v f u v f u f v v f v f u Q v f v Q f v [ Q v Q v Q u ] é denomind de form polr de f Um form qudrátic Q : V R é denomind form qudrátic positiv definid qundo pr todo v V v Q v > V Teo Sej T : V V um operdor uto-djunto Então Q : V R tl que Q v T v v é um form qudrátic Teorem de Slvester: Lei d Inérci Sej f um form biliner simétric Então eiste um bse de V tl que [ f ] é um mtri digonl e qulquer outr representção mtricil digonl de f possui mesm quntidde p de elementos positivos n digonl e mesm quntidde q de negtivos d mtri [ f ] O posto d form biliner f é rnk f p q e ssintur é sign f p q Corolário: Tod form qudrátic Q : V R dmite representção n form com p q n Q v p p p q 7

4 Eemplo: Considere form biliner simétric ] [ f n bse cnônic do R [ ] } { e R V [ ] } { e R V { } bse de utovetores: ] [ f V V ms os vetores V não são ortogonis Pelo processo de Grm-Schmidt V são vetores ortogonis { } bse ortogonl de utovetores: ] [ f { } γ bse ortonorml de utovetores Dest form ] [ γ γ f e f sign f rnk Lembrndo que AP P D neste cso com P mtri ortogonl Temos: A form qudrátic Q ssocid à form biliner simétric f é Q su form digonlid é Q e pelo Teorem de Slvester Z Y X Z Y X Q Observe que

5 Eercícios Verifique se s funções bio definem forms bilineres: f : R R R tl que f t t b f : R R R tl que f t t t t c f : Mt R Mt R R tl que f A B tr A M B sendo M 5 Considerndo bse cnônic do R indique mtri [ f ] sendo f o produto interno usul Sejm V um R-espço vetoril n-dimensionl e { v v n } um bse de V A função T : FB V Mt n R tl que T f [ f ] é um trnsformção liner? Sej R R f : R tl que f t t e { } Indique [ f ] 5 Considere f : R R R cuj mtri ssocid bse cnônic é [ f ] Indique dois vetores v u R tis que f v f u v Considere o conjunto FBS V de tods s forms bilineres simétrics sobre V FBS V é um subespço de FB V? 7 Todo produto interno é um form biliner e vice-vers? Todo produto interno é um form biliner simétric e vice-vers? Considere V um R-espço vetoril e s forms bilineres f e g sobre V A função h : V V R tl que h v f v g é um form biliner? É simétric? Sej f : R R R tl que f t t Indique form qudrátic ssocid Sej Q : R R tl que Q Indique form biliner f Sej R Q : R tl que Q Determine bse do R tl que Q b Indique form biliner f Se Q e Q são forms qudrátics ssocids às forms bilineres simétrics f e f então Q Q é form qudrátic ssocid form biliner simétric f f? Sej f um form biliner simétric e Q su form qudrátic ssocid Então f v [ Q v Q v u ]? A form qudrátic Q : R R dd pel mtri é positiv definid? 5 Como devem ser os utovlores de um mtri ssocid um form qudrátic positiv definid? Qul relção entre produto interno e form qudrátic? 7 Qul o posto e ssintur ds forms bilineres 5

6 Apêndice F Um Aplicção Neste pêndice iremos considerr bse cnônic e est bse [ v ] [ v] s coordends do vetor v em relção Form Qudrátic no R O polinômio Q b c com coeficientes reis é denomindo form qudrátic no R A mtri simétric rel A form qudrátic c A é mtri d form qudrátic c b t c Q [ v] A[ v] c b Q b c pode ser epress de form simplificd por Q mtri simétric A sendo e os utovlores do operdor uto-djunto representdo pel t c Q [ v] A[ v] c b t [ v] D[ v] Q Observe que são s coordends do vetor em relção bse ortonorml de utovetores A form Q é denomind form cnônic d form qudrátic no R ou tmbém form qudrátic digonlid Eemplo: A mtri simétric rel Assim Q e Q define no R form qudrátic O operdor liner ssocido mtri possui utovlores e Est form qudrátic pode ser epress por A form qudrátic digonlid é obtid trvés de um mudnç de bse Deste modo [ v ] v sendo [ I ] [ ] conseqüentemente um mtri ortogonl [I ] mtri mudnç de bse As coluns d mtri [I ] são os utovetores e

7 Eemplo: Considerndo o eemplo nterior um bse ortonorml de utovetores é { } Assim 5 5 [ I ] Sej v tem-se: 5 5 Resolvendo o sistem: Obtém-se: e [ ] Verificndo Q Q Q Q Est mudnç do sistem XOY cujos eios são determindos pelos vetores d bse cnônic { } pr o sistem X OY cujos eios são determindos pelos vetores d bse ortonorml de utovetores represent um rotção de ângulo θ Eemplo: Sej Q A mtri simétric ssocid é A Os utovlores são e Pr o utoespço é V { } R Pr o utoespço é V { } R { é um bse de utovetores e { } Assim } ortonorml de utovetores A mtri [ I ] é tl que det[ I ] A form qudrátic digonlid é um bse

8 Cônics É o conjunto de pontos do R cujs coordends e em relção à bse cnônic stisfem à equção b c d e f com ou b ou c Clssificção r Circunferênci: r r Elipse: b b b > b < b Prábol: k k > k < k k > k <

9 Hipérbole: b b > b b > Elipse Degenerd ponto b Elipse ou Prábol Degenerd conjunto vio b r b > e r Prábol Degenerd rets prlels b b > b > Prábol Degenerd ret Hipérbole Degenerd rets concorrentes b b >

10 Equção Reduid Considere equção b c d e f A equção reduid é obtid d seguinte form: Eliminção do termo em Escreve-se equção n form mtricil: c d e f c b c Clcul-se os utovlores e do operdor liner representdo pel mtri e os utovetores c b ortogonis unitários u e u Obtém-se mtri mudnç de bse [I ] fim de se obter rotção Assim d e f Obtém-se equção g h i em relção o sistem X OY Trnslção do referencil X OY pr o novo referencil X O Y obtendo-se ssim equção reduid d cônic Eemplos: que é representd por um de um elipse Fendo um trnslção de eios onde e obtém-se que é representd por um circunferênci de rio e centro O O

11 Escrevendo n form mtricil: Os utovlores são e e um bse ortonorml de utovetores Assim equção cim pode ser reescrit: Fendo um trnslção pr o referencil X O Y onde X e Y obtém-se equção Y X representd pel prábol - Y - X Clssificção de Cônics por Autovlores Se então cônic é representd por um elipse ou lgum ds degenerções ponto ou vio > Se então cônic é representd por um prábol ou lgum ds degenerções ponto vio ou pr de rets prlels Se então cônic é representd por um hipérbole ou su degenerção pr de rets < concorrentes 5

12 Eemplos: 7 A 5 5 det I A A cônic é representd por um prábol 5 A 5 5 det < I A A cônic é representd por um hipérbole Form Qudrátic no R O polinômio f e d c b Q com coeficientes reis é denomindo form qudrátic no R Como foi visto no cso R é possível reduir um form qudrátic R um form cnônic c f e f b d e d A form é denomind form cnônic d form qudrátic no R ou tmbém form qudrátic digonlid Quádrics É o conjunto de pontos do R cujs coordends e em relção à bse cnônic stisfem à equção j i h g f e d c b com e d c b ou f

13 7 Clssificção de Quádrics Elipsóide: c b Prbolóide Elíptico: c b Prbolóide Hiperbólico: c b Hiperbolóide de um folh ou fce: c b Hiperbolóide de dus folhs ou fces: c b

14 Equção Reduid Eemplos: Observe que est equção não possui os termos em e Portnto não é necessário fer eliminção f-se somente trnslção Fendo trnslção dos eios: X Y e Z obtém-se: Z Y X v v e v Neste cso não é necessário fer trnslção v v e v

15 Fendo um nov mudnç de coordends pr eliminr os termos lineres obtém-se: Considerndo X Y e Z Z Y X Clssificção de Quádrics por Autovlores Se os três utovlores são positivos então quádric é representd por um elipsóide Se dois utovlores são positivos e um é negtivo então quádric é representd por hiperbolóide de um folh Se um utovlor é positivo e dois são negtivos então quádric é representd por hiperbolóide de dus folhs Eemplos: Z Y X : hiperbolóide de um folh : elipsóide Z Y X : um hiperbolóide de dus folhs

16 Eercícios Qul mtri ssocid form qudrátic Q? Sej R Q : R tl que Q Determine um bse tl que [ ] e Q b Determinr equção reduid e o gênero ds cônics representds pels equções: b 7 5 c 5 5 Achr equção reduid e o gênero ds quádrics: b 7 c d 7 7 5