étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Prof. Erivelton Gerldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 216

2 1. Conceitos fundmentis Conteúdo 2. Métodos diretos pr resolução de SL: Métodos pr resolução de SL tringulres Método de eliminção de Guss Método de decomposição LU Decomposição de Cholesky Decomposição espectrl 3. Inversão de mtrizes trvés de métodos diretos 4. Métodos itertivos pr resolução de SL Método itertivo de Jcobi Richrdson Método itertivo de Guss Seidel 5. Análise de erros n solução de SL 6. Cálculo de utovlores e utovetores 2

3 Introdução A solução de um sistem de equções lineres lgébrics é um dos processos numéricos mis utilizdos pr simulr situções reis. É um etp fundmentl n solução de problems que envolvem por exemplo: Equções diferenciis prciis Otimizção Regressão Sistems não lineres Equções integris É muito importnte escolh e implementção de um método eficiente pr solução do SL devido principlmente d dois ftores: Esforço computcionl requerido (tempo/memóri) Precisão dos resultdos Um equção é liner se cd termo contém não mis do que um vriável e cd vriável prece n primeir potênci. 3

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5 Mtriz é um conjunto de elementos dispostos em form retngulr. O tmnho de um mtriz é determindo pelo seu número de linhs e coluns. Um mtriz com m linhs e n coluns é dit m x n. Os elementos podem ser números, expressões ou outrs mtrizes. Os elementos de um mtriz são delimitdos por colchetes ou prênteses e são referencidos por dois índices, o primeiro indic linh e o segundo colun. 5

6 Forms de Mtrizes: Mtrizes com determindos formtos e elementos frequentes: m n d mn d d d Colun A(mx1): Nul: A(mxn) ij =, i, j Digonl: A(mxn) d ij =, ij Identidde: A(mxn) e ij =1, i=j e e ij =, ij Linh A(1xn): 6

7 Forms de Mtrizes: Dens: (5x5) Esprs: (5x5) Simétric d ij = d ji, i,j A=A T mn m m d dm d d d d d d d d mn n n n d d d d d d d d d d Tringulr inferior: A(mxn) d ij =, i<j Tringulr superior: A(mxn) d ij =, i>j

8 Operções Mtriciis: Trnsposição: A T A Adição/Subtrção: (Mtrizes devem ter s mesms dimensões) B A B A B A Um mtriz complex é Hermitin se el é igul os seu complexo cinjugdo trnsposto. 8

9 Operções Mtriciis: Conceitos Fundmentis Multiplicção por esclr: (result em mtriz de mesm dimensão) 2 A A Multiplicção por mtriz: (o número de coluns de A(m 1 xp) deve ser igul o número de linhs de B(pxn 2 ) sendo AxB=C(m 1 xn 2 ): C ij p k 1 ik b kj, i 1,2,..., m1 j 1,2,..., n 2 A B AB

10 Operções Mtriciis: Conceitos Fundmentis Produto interno e externo: multiplicção de vetores que result em um esclr ou um mtriz. 1

11 Operções Mtriciis: Conceitos Fundmentis Determinnte: Um mtriz qudrd de ordem n tem um número ssocido chmdo determinnte: A A A det( A) det( A) det( A) Se det(a) = mtriz é singulr (não tem invers). 11

12 Operções Mtriciis: Posto Conceitos Fundmentis Um conjunto de vetores {v 1, v 2,...,v n } é dito linermente dependente se existirem esclres 1, 2,..., n não todos nulos, tis que: v v nv n Os vetores v 1, v 2,...,v n são linermente independentes se iguldde é verificd somente pr todos os esclres 1, 2,..., n nulos. Posto de um mtriz A é o número máximo de vetores linh ou colun de A que são linermente independentes. Linhs 2 e 4 obtids pel combinção liner ds linhs 1 e 3: L2=L1+L3 L4=2L1-L3 Posto(A)=2. 12

13 Operções Mtriciis: Conceitos Fundmentis Trço: O trço de um mtriz qudrd é definido como som dos elementos d su digonl principl. trço A n i1 ii 13

14 Operções Mtriciis: Conceitos Fundmentis Invers: A invers de um mtriz qudrd A de ordem n A -1 é: Sendo I n mtriz identidde de ordem n. Observ-se que lei comuttiv existe pr o produto de um mtriz por su invers. 14

15 Operções Mtriciis: Conceitos Fundmentis Algums operções: Se, então e 15

16 Autovlores e Autovetores: Sej mtriz: Tl que: A Mtriz A possui um utovlor = 2 e um correspondente utovetor v = [1 2] T. Tmbém e verdde pr = 4 e v = [2 3] T. A mtriz de ordem n possui n utovlores e n utovetores. Relção fundmentl: Av v 16

17 Autovlores e Autovetores: O problem do utovlor é encontrr solução não trivil (não nul) do sistem homogêneo: A I v Teorem: Se M for um mtriz de ordem n, então o sistem homogêneo My = tem solução não trivil se, e somente se, M for singulr. Pelo teorem e sbendo que um mtriz singulr tem determinnte nulo então: det A I 17

18 Autovlores e Autovetores: Exemplo: 1 = 2 e 2 = 4 18

19 Autovlores e Autovetores: Polinômio Crcterístico: O Polinômio D n () de gru n é o polinômio crcterísticos de A. Os n zeros i são utovlores de A. Expndindo o determinnte pr n = 3 tem-se: 19

20 Autovlores e Autovetores: Polinômio Crcterístico: Relções de Girrd (relções entre rízes e coeficientes de um equção lgébric): 2

21 Autovlores e Autovetores: Dus importntes proprieddes são obtids: Som dos elementos d digonl principl é igul som dos utovlores: Determinnte de um mtriz é igul o produto dos seus utovlores: Isso mostr que um mtriz singulr tem, no mínimo, um utovlor nulo. 21

22 Autovlores e Autovetores: Exemplo: Um mtriz com elementos reis tem seu polinômio crcterístico com coeficientes reis. Um mtriz com elementos reis tem utovlores reis e/ou complexos conjugdos em pres. 22

23 Autovlores e Autovetores: Exemplo: Clculr os utovlores d mtriz: Polinômio crcterístico: Zeros do polinômio crcterístico: O processo de clculr os utovlores por intermédio d determinção dos zeros do polinômio crcterístico, pesr de ser simples, é ineficiente em termos computcionis. Existem outros métodos mis eficientes. 23

24 Autovlores e Autovetores: Outrs Proprieddes dos Autovlores: 1. Considerndo que det(a) = det(a T ), então os utovlores de A, representdos por (A), são iguis (A T ). 2. Se A for um mtriz tringulr de ordem n: det(a- I)=( 11 - )( 22 - )... ( nn - ) = Logo os utovlores de um mtriz tringulr ou digonl são iguis os elementos d digonl principl. 3. O posto de mtriz qudrd e igul o numero de utovlores não nulos. 24

25 Autovlores e Autovetores: Outrs Proprieddes dos Autovlores: 4. Se i são os utovlores de A, então i -1 são os utovlores de A -1 por porque : 25

26 Norms: Conceitos Fundmentis É o termo utilizdo pr expressr mgnitude (número rel não negtivo) de um vetor ou de mtriz. O conceito de norm é estreitmente ligdo o de comprimento do vetor. As norms vetoriis são definids em termos d norm-p. Assim pr um vetor x de tmnho n tem-se: Norm-1 ou norm de som de mgnitudes 26

27 Norms: Norm-2 ou norm Euclidin Norm- ou norm de máxim mgnitude 27

28 Norms: Condições ds norms vetoriis: Um Norm vetoril é um função que ssoci um numero rel cd vetor e que stisfz s condições: e se, e somente se, são vetores e é um esclr 28

29 Norms: Exemplo: Clculr s norms 1, 2 e do vetor: 29

30 Norms: Conceitos Fundmentis Norms mtriciis: Norm-1 ou norm de som máxim de colun Norm- ou norm de som máxim de linh Norm de Frobenius 3

31 Norms: Norm-2 ou norm espectrl mx é o mior utovlor de A em modulo mx e o mior vlor singulr de A, ou sej, riz qudrd do mior utovlor em modulo d mtriz A T A). 31

32 Norms: Condições ds norms mtriciis: e se, e somente se, A e B são mtrizes de mesm ordem e k e um esclr. 32

33 Norms: Exemplo: Clculr s norms 1,, F e 2 d mtriz: 33

34 Sistems de equções lineres: Conjunto de m equções polinomiis com n vriáveis x i de gru 1: Form mtricil: Ou simplesmente Ax = b, onde A é mtriz dos coeficientes, x é o vetor solução e b é o vetor dos termos independentes. Se A for um mtriz qudrd (nxn) não singulr: Ax = b A -1 Ax = A -1 b x = A -1 b. 34

35 Sistems de equções lineres: Clssificção dos SL segundo form d mtriz de coeficientes: Sistem sobredetermindo: tem-se mis equções do que incógnits, ou sej, A(mxn) m n e posto(a)=n. Sistem subdetermindo: existem mis incógnits do que equções, ou sej, m < n e posto(a) = m. Sistem não tem solução ou existe um número infinito de soluções que stisfç Ax=b. Situção mis comum é qundo m = n, mtriz de coeficientes é qudrd. Resolver o sistem é encontrr s n incógnits que stisfçm s n equções. 35

36 Sistems de equções lineres: Clssificção dos SL segundo o número de soluções: O número de soluções depende do determinnte d mtriz dos coeficientes. Únic solução: det(a). Geometricmente, solução de um sistem liner de ordem n é um ponto no n comum os n hiperplnos descritos por cd um ds n equções, ou sej, o ponto que stisfz simultnemente às n equções. Por exemplo: Vetor solução x é interseção dos três plnos descritos por cd um ds três equções. X =[5 1 1] T e det(a) =

37 Sistems de equções lineres: 37

38 Sistems de equções lineres: Infinits soluções: det(a) =. No exemplo seguir o sistem dmite infinits soluções um pr cd vlor de. Geometricmente no sistem com det(a) =, os três plnos se interceptm em um linh ret: 38

39 Sistems de equções lineres: 39

40 Sistems de equções lineres: Sem solução: det(a) =. Neste cso geometricmente no sistem com det(a) =, os três plnos nunc se interceptm simultnemente, ou sej, o sistem não dmite solução: 4

41 Sistems de equções lineres: 41

42 Sistems de equções lineres: Solução: Existem dus grndes clsses de métodos pr resolução de sistems lineres: Métodos diretos: solução obtid com número finito de operções ritmétics. Exemplos de métodos diretos: Sistems tringulres Eliminção de Guss Decomposição LU Decomposição de Cholesky Métodos itertivos: solução ext obtid somente com número infinito de operções, é estbelecido um erro ceitável. 42

43 Sistems de equções lineres: Solução: Os métodos diretos, em princípio, desprezndo os erros de rredondmento, produzem um solução, se houver, em um número finito de operções ritmétics. Um método itertivo, por outro ldo, requerer, em gerl, um número infinito de operções ritmétics pr produzir solução ext. Assim, um método itertivo tem um erro de truncmento e o direto não tem. Por outro ldo, em sistems de grnde porte os erros de rredondmento de um método direto podem tornr solução sem significdo, enqunto que nos métodos itertivos os erros de rredondmento não se cumulm. Entretnto, mbos são úteis, tem vntgens e limitções. 43

44 Sistems de equções lineres: Sistems equivlentes: São sistems de equções lineres que possuem o mesmo vetor solução: 44

45 Métodos diretos pr resolução de SL São queles que pós um número finito de operções fornecem solução ext do sistem, menos dos erros de rredondmentos. 45

46 Sistems Tringulres Em sistems tringulres s soluções são fcilmente obtids. Sistem tringulr inferior: Solução obtid vi substituições sucessivs: 46

47 Generlizndo: Sistems Tringulres Esquemticmente: 47

48 Sistems Tringulres Exemplo: Clculr solução do sistem tringulr inferior: 48

49 Sistems Tringulres Sistem tringulr superior: Solução obtid vi substituições sucessivs: 49

50 Continundo: Sistems Tringulres Esquemticmente: 5

51 Sistems Tringulres Exemplo Clculr solução do sistem tringulr inferior: Os elementos x são obtidos em ordem revers. 51

52 Referencis Bibliográfics 1. Aderito Luis Mrtins Arujo, Anlise Numeric Engenhris Mecânic e de Mteriis. 2. Frederico Ferreir Cmpos Filho, Algoritmos Numéricos. 52