CCI-22. Eliminação de Gauss, Gauss-Jordan, Decomposição LU, Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel

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1 CCI- ) Rízes de Sistems Lineres Eliminção de Guss, Guss-Jordn, Decomposição LU, Guss-Jcobi, Guss-Seidel

2 CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento de Sistems Decomposição LU Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

3 CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento de Sistems Decomposição LU Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

4 Métodos de resolução Pr resolução de um sistem liner de equções, há dois grupos de métodos: Métodos diretos: solução é obtid trvés d plicção de um número finito de operções ritmétics Regr de Crmer Eliminção de Guss e de Guss-Jordn Decomposição LU Métodos itertivos: solução é obtid trvés de um sequênci de proimções sucessivs, té se lcnçr um respost que stisfç precisão eigid Guss-Jcobi Guss-Seidel

5 Sistems de Equções Lineres Form gerl: onde: ij são os coeficientes i são s incógnits b i são os termos independentes i n é ordem do sistem Form mtricil: A b onde: A M n M n L L O L n n M nn M n b b b M b n

6 Eemplo Eemplo Form gerl: Form mtricil:

7 Cálculo ds forçs em um treliç Um eemplo: F, F e F são dds Condições de equilíbrio: F f cos5 + f + f5 cos5 F F y f f + f f + f 5 f 5 F F F N junção : N junção : Gerrá um sistem de ordem 7 F F y f F + f 6 + f Idem pr demis junções

8 CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento de Sistems Decomposição LU Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

9 Regr de Crmer A plicção d regr de Crmer, em um sistem de ordem n, eige o cálculo de quntos determinntes? n pr os numerdores e pr o denomindor

10 Tempo de processmento Sej m o tempo gsto pr relizr um multiplicção Sej det n o número de multiplicções presentes no cálculo do determinnte de um mtriz de ordem n Podemos clculr o tempo T gsto pens com multiplicções, no cso de 7 equções: T m.8.det 7 T m.8.(7 + 7.det 6 ) T m.8.(7 + 7.(6 + 6.det 5 )) T m.8.(7 + 7.(6 + 6.(5 + 5.det ))) T m.8.(7 + 7.(6 + 6.(5 + 5.( +.(... ( +.()...))))) Lembrndo:

11 Tempo de processmento T m.8.(7 + 7.(6 + 6.(5 + 5.(...( +.()...))))) T m.( : : ) T m.8!.( + (!) + (!) (6!)) T m. 9,6. 5

12 Tempo de processmento Quntidde de multiplicções: 9,6. 5 Utilizndo um supercomputdor tul: multiplicções por segundo Tempo gsto: 9,6. s di Se o sistem fosse de ordem, eigiri cerc de 8 nos de processmento nesse mesmo computdor! Um lgoritmo bem mis eficiente é o Método d Eliminção de Guss, que gst tempo O(n )

13 CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento de Sistems Decomposição LU Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

14 Método d Eliminção de Guss Objetivo: Trnsformção do sistem liner ser resolvido em um sistem liner tringulr Operções válids: Troc d ordem ds linhs Troc d ordem ds coluns (com eceção dos termos independentes) Multiplicção de um equção por um número rel não nulo Substituição de um equção por um combinção liner entre el mesm e outr equção

15 Sistems lineres tringulres Sistems lineres tringulres Tringulr inferior: Tringulr superior: nn n n n A K M O M M M K K K nn n n n K

16 Resolução de um sistem tringulr Resolução de um sistem tringulr Eemplo: Pssos d resolução: ) (

17 Pssos Considere mtriz umentd [Ab]: Linh L Linh L Linh L n Psso : nulr os coeficientes de ns linhs L L n Substituir linh L pel combinção liner: L onde m m L, Se, trocr L com L k, onde k Se L k não eistir, então o sistem não tem solução Continur nlogmente pr linhs L j, < j n Psso i, < i < n: nulr os coeficientes de i ns linhs L i+ L n Conhecido como pivô

18 Eemplo Eemplo [ ] 5 Ab [ ] [ ] m L, m L L [ ] [ ] [ ] 7 L 5 L m L, m L L [ ] [ ] [ ] L L [ ] Ab

19 Eemplo Eemplo m, L m L L [ ] [ ] [ ] L L [ ] Ab

20 Algoritmo Sistem liner A b de ordem n: EliminçãodeGuss { pr k té n- pr ik+ té n { m ik kk kk ik pr jk+ té n ij ij m. kj b i b i m.b k } Eliminção } n b n nn pr kn- té { s pr jk+ té n s s + kj. j k (b k s) kk } Compleidde de tempo: O(n ) Sistem tringulr

21 Eemplo [Ab] Nos cálculos seguir, considerremos F(,,-5,5): L L L L L m L [ 7 ] (7) [ 5 57] [ ] L m L [ 8] ( ) [ 5 57] [ 86 ] 5 57 [Ab] 86

22 Eemplo L [ 6 68] Apens lgrismos são representdos [Ab] (-6), [- (-),], [57-5, -,],5 No entnto, solução et é:

23 Pivotementos prcil e completo Pivôs pequenos germ multiplicdores grndes, que umentm os erros de rredondmento... Um simples lterção n Eliminção de Guss é escolher como pivô o elemento de mior módulo : em cd colun (pivotemento prcil) (tempo totl d Eliminção de Guss será O(n )) dentre todos os elementos possíveis no processo (pivotemento completo): eige um mior esforço computcionl (tempo totl d Eliminção de Guss será O(n )) Voltemos resolver o eemplo nterior com precisão de css decimis, ms com pivotemento prcil:

24 Eemplo com pivotemento prcil L L L [ m,7 87,6 L 5, [ 5, 6,5 5,] 5 7,7 5, 87,6 6,5 7,7 5, 5 5] (,787,6) [ 87,6 6,5 7] 7 5,5, 87,6 6,5 7 5, 5, [-7-6,5 ](-87,6),999 [ (-),999]7,

25 CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento de Sistems Decomposição LU Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

26 Método de Guss-Jordn Consiste em efetur operções sobre s equções do sistem com finlidde de trnsformá-lo em um sistem digonl equivlente, isto é, são nulos todos os coeficientes ik, qundo i k ik A M M M K K L O K K nn

27 Eemplo Eemplo [ ] 5 5 Ab 5 5 Pivotemento [ ] 6 6 L,,, [ ] [ ] [ ] 8 L 5 5 L m L L,,, ) ( [ ] Ab,,,,,,

28 Eemplo (Guss-Jordn) L m L [,, 8, ] (,, 6) [, 6,, 6] [, 69 9, ] L L, [ Ab] 5, 6,, 69, 6 9, L L L m L [, 6,, 6] (,, 69) [, 69 9, ] [, 6, ]

29 Eemplo (Guss-Jordn) L [ 5 ] (, 6) [, 6, ] [ 5 57] L, L L [ Ab] [ 5 57, ] (, 69) [, 69 9, ] [ 5, 78] 5 A solução é:, ,556,, -,85, 69 9,,78

30 Outr plicção Um vrição do método de Guss-Jordn pode ser utilizd pr se encontrr invers de um mtriz A qudrd de ordem n Bst trnsformr mtriz A n correspondente mtriz identidde, plicndo esss mesms operções em um mtriz identidde de ordem n Guss-Jordn [A I] [I A - ]

31 CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento de Sistems Decomposição LU Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

32 Refinmento por resíduos Se () for encontrdo como solução do sistem A b, então o erro dess solução é () Multiplicndo esse erro por A: A( - () ) b A () r () resíduo O resíduo pode ser utilizdo pr se encontrr um solução melhord () : () () + δ (), onde δ () é um vetor de correção A () b A( () + δ () ) b Aδ () b - A () r () δ () é encontrdo resolvendo-se o sistem Aδ r () Esses cálculos permitem um processo de refinmento d solução do sistem A b

33 Eemplo Considere o sistem bio, que será resolvido em um máquin que trblh com pens dois dígitos decimis significtivos : + Atrvés d Eliminção de Guss, podemos encontrr solução bio: Cálculo do resíduo: r () b A,,9,,5 ( ) () Não está bom...

34 Eemplo Cálculo do vetor de correção δ () : Vetor de correção: δ (),58 Arredondmento qui Solução melhord: () () + δ (),, Novo resíduo: r () b A (),, Portnto, () é solução et

35 Melhor proimção Ddo um sistem A b, sejm y e z dus proimções d solução et. Como sber qul dels é melhor? A estrtégi mis lógic prece ser comprr os respectivos resíduos: o menor seri d melhor solução Infelizmente, isso nem sempre é verdde... Eemplo n mesm máquin de dígitos decimis:, + 6, +,, 8, + 6, +,, 5 5, +, + 5,, 6 5 y z, r y,, 8, r z, 5, Conclusão: nem sempre proimção de menor resíduo é mis et Se busc por resíduos menores não grnte melhores soluções, como sber se o processo de refinmento por resíduos funcion?

36 Condicionmento de sistems Um sistem liner é dito ml condiciondo se pequens lterções nos ddos de entrd (A ou b) ocsionm grndes erros no resultdo finl Eemplo em outr máquin de dígitos decimis: Solução:, e y-,998 Suponh que os vlores desse sistem sejm obtidos eperimentlmente, e por isso os termos independentes possm vrir de ±,: Vlor perturbdo,96 +,8y,,8 +,y,6 Solução:, e y, Erro n entrd: (,9-,,9 ),8% Erro no resultdo: ( -,998-, -,998 ) % Qundo há ml condicionmento, lt precisão nos cálculos não signific quse nd, pois os resultdos obtidos não são confiáveis...

37 Interpretção geométric Considere os seguintes sistems: () (b) () (c) Solução: e y Solução:,8 e y, y () (b) (c)

38 Um métric de condicionmento Em máquins com grnde precisão, gerlmente não fz sentido refinr os resultdos... No entnto, empiricmente, os refinmentos judm identificr o condicionmento de um sistem liner: Se s correções δ (), δ (),..., δ (n) forem grndes, então o sistem será ml condiciondo Em sistems bem condiciondos, bstm dois refinmentos: δ (),..., δ (n) serão próimos do épsilon d máquin Importnte: nesse processo de verificção, o vetor b não pode ser nulo Cso contrário, mesmo em um sistem ml condiciondo, solução et será nul, com correções tmbém nuls...

39 Eemplo Considere o sistem bio em F(,5,-98,): Primeiro refinmento em F(,,-98,): r () b A (),67,688,8,7,75577,5577,6789,6788,76696 Resíduos pequenos δ Resolução de Aδ r () : ( ), 8, 5, Correções reltivmente pequens Solução melhord () () + δ () : 85, ( ) 77 9,,

40 Outr métric de condicionmento Mostrremos gor outr mneir de identificr o ml condicionmento de um sistem liner não singulr A b Vmos supor que os ddos estão sujeitos certs perturbções, e nlisremos seus efeitos n solução Inicilmente, sej b + b um perturbção no vetor de termos independentes Desse modo, solução tmbém será perturbd, ou sej, teremos A( + ) b + b Desejmos encontrr um relção entre e b, pois, conhecendo o tmnho d perturbção b, poderemos estimr, e verificr então se o sistem é ou não ml condiciondo Pr isso, teremos que rever o conceito de norms

41 Norms de vetores Ddo um vetor do espço vetoril E, chm-se norm de (denotd por ) qulquer função definid em E com vlores em R que stisfz s seguintes condições: se e somente se for o vetor nulo λ λ., pr todo esclr λ +y + y, onde y є E Eemplos de norms de vetores em E R n : má i i Σ i i E (Σ i i )

42 Norms de mtrizes Dd um mtriz A do espço vetoril E de mtrizes qudrds de ordem n, chm-se norm de A (denotd por A ) qulquer função definid em E com vlores em R que stisfz s seguintes condições: A A se e somente se A for mtriz nul λa λ. A, pr todo esclr λ A+B A + B, onde B є E Eemplos de norms de mtrizes, onde A ( ij ): Norm linh: A má i Σ j ij Norm colun: A má j Σ i ij Norm euclidin: A E (Σ i,j ij )

43 Usndo norms Desenvolvendo equção A( + ) b + b : A + A b + b Como A b, então A b Desde que A é não singulr, então A - b Se um norm de mtriz e um norm de vetor estão relcionds de tl modo que stisfç desiguldde A A., pr qulquer vetor de ordem n, então dizemos que s dus norms são consistentes Usndo norms consistentes: A -. b De A b, tmbém temos b A. Multiplicndo s inequções membro membro:. b A. A -. b.

44 Número de condição. b A. A -. b. A. A -. b b cond(a). b b Observções: Número de condição de A: cond(a) A. A - A.A - I b b é um medid do erro reltivo em b O erro em dependerá de cond(a), que é mior ou igul Se cond(a) for grnde, então pequens perturbções reltivs em b produzirão grndes perturbções reltivs em, e o sistem A b será ml condiciondo Gerlmente, sistems com cond(a) são considerdos ml condiciondos

45 Outro cso possível Consideremos gor outro cso possível: o vetor b é conhecido etmente, ms ocorre um perturbção n mtriz A. Teremos, portnto, (A + A)( + ) b Desenvolvendo: ( + ) (A + A) - b Equção (*) Como A - b, temos: (A + A) - b - A - b [(A + A) - - A - ]b [B - A - ]b, onde A + A B B - A - (A - A)B - A - (BB - ) A - (A B)B - (B - - A - )b [A - (A B)B - ]b [A - (A (A + A))(A + A) - ]b -A - A(A + A) - b Utilizndo equção (*): -A - A( + ) Aplicndo norms consistentes em mbos os membros: A -. A. ( + ) ( + ) cond(a). A A : semelhnte o nterior

46 Eemplo Anlisr o sistem liner bio:,969,6,868,,86, Atrvés de Guss-Jordn, podemos clculr A - : A 8,,6,868,969 Usndo norm linh, que é consistente: A,67 A -,5. 8 cond(a) A. A -,. 8 Conclusão: sistem ml condiciondo

47 Alguns comentários Um sistem é ml condiciondo se for ecessivmente sensível perturbções em seus ddos de entrd A solução de um sistem ml condiciondo, mesmo clculd com grnde precisão, pode ser pouco et Gerlmente, ess situção pode ser detectd qundo: no processo de refinmento, s correções permnecem grndes o número de condição d mtriz A for muito mior que unidde Importnte: Resíduos pequenos não grntem qulidde de um solução A precisão d máquin influi no condicionmento do sistem Há sistems lineres em que o processo de refinmento converge pr um solução, ms mtriz A tem um número de condição grnde (por eemplo, d ordem de ou ). Nestes csos, o sistem está próimo de ser ml condiciondo, ou sej, solução encontrd pode não ser confiável...

48 CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento de Sistems Decomposição LU Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

49 Outr form de ver Eliminção de Guss Outr form de ver Eliminção de Guss Consideremos o sistem de equções A b: Após primeir fse d Eliminção de Guss: m m M onde A M A ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,. Após segund fse d Eliminção de Guss: m M onde A M A ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,.

50 Outr form de ver... Resumindo: A A () A () M ().A () M ().A A () M ().A () M ().M ().A A (M ().M () ) -.A () A (M () ) -.(M () ) -.A () É fácil comprovr que: () () ( M ) ( M ) m m m Portnto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A m L. U ( ) m m

51 Decomposição LU A comprovção nterior pode ser generlizd pr mtrizes de ordem n, em um Teorem m n m n m n K Dd um mtriz qudrd de ordem n, sej A k mtriz constituíd ds primeirs k linhs e coluns de A. Suponh que det(a k ), k n. Então: Eiste um únic mtriz tringulr inferior L(m ij ), com m ii, i n. Os demis são os multiplicdores d Eliminção de Guss Eiste um únic mtriz tringulr superior U(u ij ), tis que L.U A det(a) u.u.....u nn K u nn

52 Decomposição LU Resolução do Sistem Portnto, ddos o sistem liner A b e decomposição (ou ftorção) LU d mtriz A, temos: A b (L.U) b Chmndo U y, o sistem originl pss ser Ly b, ou sej, surgem dois sistems tringulres Por outro ldo, é fácil verificr que y L -.b é o vetor b cumulndo s operções d Eliminção de Guss Por eemplo, no cso de um sistem com equções: Como L (M () ) -.(M () ) -, então L - M ().M () Portnto, y M ().M ().b Vntgem d decomposição A L.U: um vez clculds s mtrizes L e U (em tempo cúbico), resolvemos mis rpidmente (em tempo qudrático) outros sistems com mesm mtriz A. Isso é útil, por eemplo, no refinmento por resíduos

53 Eemplo Eemplo multiplicdores A L U Tempo cúbico

54 Eemplo Eemplo L U A b LU b y y y y y y y Ly b U y Tempo qudrático

55 Outr plicção - Invers A decomposição LU tmbém é útil no cálculo d mtriz invers Resolver o sistem AX B, onde A, X e B são mtrizes de ordem n, é o mesmo que resolver n sistems A b, onde e b são vetores de tmnho n A invers A - d mtriz A pode ser encontrd trvés d resolução do sistem AX I, onde I é mtriz identidde Nesse cso, bst relizr um únic vez decomposição LU d mtriz A, e depois utilizá-l n resolução de n sistems

56 Decomposição LU com pivotemento Decomposição LU com pivotemento É possível incorporr s estrtégis de pivotemento prcil ou completo à decomposição LU Um mtriz qudrd P de ordem n é um mtriz de permutção se for obtid d correspondente mtriz identidde trvés de permutções em sus linhs ou coluns As eventuis permutções de linhs ou coluns n mtriz A (k), obtid em um psso intermediário d Eliminção de Guss, podem ser relizds trvés d multiplicção por um mtriz de permutção Eemplo: PA k.. ) ( A k) (

57 Eemplo com pivotemento prcil Eemplo com pivotemento prcil A ) ( A ) ( P ) (.A P A () () '() P ) ( A P A. ) ( ) ( ) '(

58 Eemplo com pivotemento prcil Eemplo com pivotemento prcil 8 5 A ) ( L U L 8 5 U L.U A P.A, onde P P ().P () : PA A.. ' A b PA Pb LU Pb

59 Eemplo com pivotemento prcil Eemplo com pivotemento prcil L 8 5 U A b LU Pb 5 y 9 y y y Ly Pb U y

60 Algoritmo Decomposição LU com pivotemento prcil em um sistem de ordem n Síd: mtriz D L+U-I e mtriz de permutção P LUPivotPrcil { D A mtriz de ordem n P I identidde de ordem n pr j té n- { q j m d jj pr kj+ té n { se d kj > m então { m d kj q k } Escolh do pivô \\ continu...

61 Algoritmo (continução) continução LUPivotPrcil { } se q j então { pr k té n { t d jk d jk d qk d qk t } trocr linhs q e j em P!! se d jj então prr (A é singulr) senão { r djj pr ij+ té n { } } } return D, P m d ij.r d ij m pr kj+ té n d ik d ik m.d jk Troc ds linhs q e j ( q é linh do novo pivot) Eliminção Compleidde de tempo: O(n )

62 MtLb No MtLb 7.8 (9), os números reis são rmzendos em 6 bits (precisão dupl d IEEE), ou sej, possuem 6 dígitos decimis A\b Vetor colun com solução do sistem liner A b inv(a) Invers d mtriz A [L,U] lu(a) Mtrizes L e U recebem decomposição LU d mtriz A, usndo pivotemento prcil, onde L cumul permutção [L,U,P] lu(a) Idem, retornndo tmbém mtriz de permutção P tl que P.A L.U linsolve(a,b) Vetor colun com solução de A b, usndo LU com pivotemento prcil cond(a,) Número de condição d mtriz A ( : norm colun ; Inf: norm linh)

63 Mtrizes Especiis Há mtrizes especiis que tem métodos de resolução mis eficientes que LU, dois eemplos são: Mtrizes de Bnd Algoritmo de Thoms Mtrizes Simétrics Vejmos um método especil pr Mtrizes Simétrics: Ftorção de Cholesky

64 Ftorção de Cholesky A ftorção de Cholesky é plicável pens um tipo prticulr de mtriz, mtriz simétric e definid positiv Um mtriz é dit simétric, se pr todo i e j Um mtriz é dit definid positiv, isto é se os determinntes ds submtrizes principis forem todos positivos. Formlmente: sej A k mtriz constituíd ds primeirs k linhs e coluns de A. Se det(a k ) >, k n. então A é definid positiv Se plicável, ftorção de Cholesky é muito mis eficiente que ftorção LU

65 Ftorção de Cholesky Se A é simétric e definid positiv, el pode ser ftord em um produto d mtriz g e su trnspost, tl que: Observe que det(a) poderi ser fcilmente clculdo pelo produtório de g ii

66 Ftorção de Cholesky Aplicndo o produto, obtem-se:

67 Ftorção de Cholesky

68 Ftorção de Cholesky

69 Eemplo Logo, conclui-se que pode-se decompor A

70 Eemplo

71 Eemplo Como resolver o sistem Ab usndo ftorção de Cholesky? Temos: A G.G t Ab G.G t b Gy b e G t y

72 Pr pensr em cs Dd um mtriz A com determinnte não zero ms que sej não simétric e definid positiv Seri possível chr um sistem equivlente Seri possível chr um sistem equivlente Ab, onde mtriz de coeficientes fosse simétric e definid positiv?

73 CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento de Sistems Decomposição LU Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

74 Métodos itertivos Como foi inicilmente comentdo, os métodos itertivos pr resolução de sistems lineres consistem em encontrr um sequênci de proimções sucessivs Dd um estimtiv inicil (), clcul-se sequênci (), (), ()..., té que determindo critério de prd sej stisfeito O sistem A b é trnsformdo em (k) C (k-) + g, k>, onde C é um mtriz e g um vetor Possíveis critérios de prd: máimo erro bsoluto ou reltivo número de iterções Principis métodos: Guss-Jcobi e Guss-Seidel

75 CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento de Sistems Decomposição LU Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

76 Método de Guss-Jcobi Considere o sistem liner em su form inicil: n n nn n b n Isolndo i-ésim incógnit n i-ésim equção: (b n n ) (b n n )... n (b n - n n,n- n- ) nn

77 Método de Guss-Jcobi iterção clculd iterção nterior Dess form, sej (k) C (k-) + g, onde k>: C n M nn M n nn O L n M g b b b n M nn Eemplos de critérios de prd: Erro bsoluto: d (k) má i n i (k) i (k-) < ε Erro reltivo: d r (k) d (k) (má i n i (k) ) < ε

78 Eemplo C g ε,5 ),7,6,6 ( g escolh rbitrári ( ) C ( ) + g, 96 86,, 9 () (),6 () (),6 d r (),(má i () ),88 > ε () (),

79 Eemplo Eemplo C g ,,, ) ( 978, g C,,, ) ( ) ( d r (),,98,66 > ε d r (),,9888,6 < ε g C,,, ) ( ) (

80 Critério ds linhs Em um método itertivo, convergênci pr solução et não é grntid: é preciso que o sistem stisfç lguns requisitos Há um condição suficiente pr convergênci do Método de Guss-Jcobi, conhecido como o critério ds linhs : n j j i ij < ii, pr i,,...,n

81 Eemplos Considere o eemplo nterior: < + < 5 + < Grnti de convergênci Considere o eemplo bio: + < Não há grnti de convergênci No entnto, o método de Guss-Jcobi converge neste sistem pr solução et. Verifique! Isso mostr que o critério ds linhs é suficiente, ms não necessário

82 Demonstrção Sejm: * [,,..., n ] T : solução et de A b (k) [ (k), (k),..., (k) n] T : k-ésim proimção de * e (k) (k) *: erro n k-ésim proimção Queremos grntir que lim k e (k) i, i n Sbemos que: * (b - ( * + * n * n )) (k) (b - ( (k-) + (k-) n (k-) n) Clculndo e (k) (k) *, temos: e (k) -( e (k-) + e (k-) n e (k-) n) Anlogmente: e (k) -( e (k-) + e (k-) n e (k-) n) e (k) n -( n e (k-) + n e (k-) n(n-) e (k-) n-) nn

83 Demonstrção (continução) Sejm: E (k) má i n { e (k) i } α i ( i i(i-) + i(i+) in ) ii, i n Qundo o critério ds linhs é stisfeito, α i < Qundo k, (k) * é equivlente E (k) Demonstrremos que E (k) α.e (k-), onde α má i n {α i } Pr i n: e (k) i -( i e (k-) i(i-) e (k-) i- + i(i+) e (k-) i in e (k-) n) ii e (k) i ( i. e (k-) i(i-). e (k-) i- + i(i+). e (k-) i in. e (k-) n ) ii e (k) i ( i i(i-) + i(i+) in ).E (k-) ii e (k) i α i.e (k-) Portnto, E (k) α.e (k-) Consequentemente, E (k) E (k-) α Como α<, então E (k) qundo k : há convergênci!

84 Mis um eemplo Considere o sistem seguir: > 5+ > 6 < 8 Não há grnti de convergênci No entnto, um permutção entre s dus primeirs linhs grnte convergênci: < < 6 < 8 Grnti de convergênci Qundo o critério ds linhs não for stisfeito, convém tentr um permutção de linhs eou coluns

85 CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento de Sistems Decomposição LU Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

86 Método de Guss-Seidel Anlogmente o Método de Guss-Jcobi, clcul-se (k) C (k-) + g: C M n nn M n nn O L M g b b M b n nn (k) No entnto, utiliz-se no cálculo de : vlores d iterção nterior: (k) i+,..., vlores clculdos n mesm iterção: i (k) n (k) (k),..., i

87 Eemplo Eemplo ) ( ε, ,, Processo itertivo: (k) (k) (k) ) (k (k) (k) ) (k ) (k (k),5,5,5,75,5,,,5,5,5,75 C,5 g

88 Eemplo (k) (k) (k),5 Primeir iterção:,5, (k) (k),75 (k),5, (k) (k),5 (k) ( ) ( ) ( ) 5,, 75., 75, 5., 5., 75, 875 ( ), 75, 875 () () () (),75 d r () (má i () ) > ε () (),875

89 Eemplo (k) (k) (k) Segund iterção:,,5,5 (k) (k),75 (k),5, (k) (k),5 (k) ( ) ( ) ( ),., 75,.(, 875), 5 5,, 75., 5 5,.(, 875), 5., 5, 5., 95, 9875, 95, 5 ( ) 95,, 9875 () (),5 () (), d r (),(má i () ),95 > ε () (),5

90 Eemplo (k) (k) (k),5 Terceir iterção:,5, (k) (k),75 (k),5, (k) (k),5 (k) ( ) ( ) ( ),., 95,.(, 9875), 75 5,, 75., 75 5,.(, 9875), 5., 75, 5., 99, 999, 99, 75 ( ), 99, 999 () (),75 () (), d r (),(má i () ),9 < ε () (),8

91 Critério de Sssenfeld Sejm os seguintes vlores: β i ii β n j j i n β + ij j j j i+ ij, pr < i n β má {β j }, j n Se β <, então o Método de Guss-Seidel ger um sequênci convergente, qulquer que sej () Qunto menor for β, mis rápid será convergênci

92 Eemplo +, 6, +,,, 6 + +,, 7, 8,, +, +, 8 +,, +, β ( +, +,),7 β (,6.,7 +,6 +,), β (,.,7 +,., +,),58 β (,.,7 +,., +,8.,58),76 β,7 <

93 Demonstrção Sejm: * [,,..., n ] T : solução et de A b (k) [ (k), (k),..., (k) n] T : k-ésim proimção de * e (k) (k) *: erro n k-ésim proimção Queremos grntir que lim k e (k) i, i n No método de Guss-Seidel, podemos consttr que: e (k) -( e (k-) + e (k-) n e (k-) n) e (k) -( e (k) + e (k-) n e (k-) n) e (k) n -( n e (k) + n e (k) n(n-) e (k) n-) nn Sejm: E (k) má i n { e (k) i } β ( n ) β i (β. i β i-. i(i-) + i(i+) in ) ii, <i n

94 Demonstrção (continução) Qundo k, (k) * é equivlente E (k) Demonstrremos por indução no índice i ( i n) que E (k) β.e (k-), onde β má i n {β i } Bse (i): e (k) (. e (k-) +. e (k-) n. e (k-) n ) e (k) [( n ) ].má i n { e (k-) i } e (k) β.e (k-) β.e (k-) Hipótese (<i n): e (k) i- β i-.e (k-) β.e (k-) Psso (<i n): e (k) i ( i. e (k) i(i-). e (k) i- + i(i+). e (k-) i in. e (k-) n ) ii e (k) i ( i.β i(i-).β i- + i(i+) in ).E (k-) ii e (k) i β i.e (k-) β.e (k-) Portnto, E (k) E (k-) β Como β<, então E (k) qundo k : há convergênci!

95 Eemplos Considere o sistem bio, nteriormente visto: + β β β (. ) Não há grnti de convergênci No entnto, o Método de Guss-Seidel converge neste sistem pr solução et. Verifique! Isso mostr que o critério de Sssenfeld, como o critério ds linhs, é suficiente, ms não necessário Considere outro sistem: β β ( 6., ) β, <,, Neste cso, o critério de Sssenfeld grnte convergênci, ms o critério ds linhs, não...

96 Relção entre os critérios Se um sistem stisfz o critério ds linhs, então tmbém stisfrá o critério de Sssenfeld Demonstrção: Sej α má i n {α i } <, onde α i ( i i(i-) + i(i+) in ) ii Vmos provr por indução em i que β i α i <, i n Bse (i): β ( n ) α < Hipótese (<i n): β i- α i- < Psso (<i n): β i (β. i β i-. i(i-) + i(i+) in ) ii β i ( i i(i-) + i(i+) in ) ii α i < Portnto, α < β < A volt nem sempre é verddeir...

97 CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento de Sistems Decomposição LU Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

98 Considerções finis Tnto o critério ds linhs como o critério de Sssenfeld são condições suficientes pr convergênci, ms não necessáris Em sistems esprsos (com grnde número de coeficientes nulos), o Método d Eliminção de Guss não é proprido, pois não preserv est vntjos qulidde. Nesses csos, convém utilizr métodos itertivos Os métodos itertivos são menos suscetíveis o cúmulo de erros de rredondmento

99 Métodos diretos versus itertivos Convergênci Diretos: não fz sentido considerr ess questão, pois clculm solução et Itertivos: ocorre sob determinds condições Esprsidde d mtriz de coeficientes Diretos: lterm estrutur d mtriz Itertivos: utilizm sempre mtriz inicil Erros de rredondmento Diretos: ocorrem cd etp e cumulm-se Itertivos: somente os erros d últim etp fetm solução