Gabarito Sistemas Lineares

Transcrição

1 Gbrito Sistes ineres Eercício : () rieir inh :. > Segund inh :. > Terceir inh :. Qurt inh :. α á( α ) > ogo, não stisfz o Critério ds inhs. (b) rieir inh : > Segund inh : 6 > Terceir inh : > Qurt inh : β á( β ) 6 > ogo,não stisfz o Critério de Sssenfeld

2 (c) Coo este siste não stisfz o Critério ds inhs, então não podeos ter grnti de convergênci e nenhu dos étodos. OBS.: O Critério de Sssenfeld pode ser stisfeito eso que o Critério ds inhs não o sej. (d) erutndo - se s dus prieirs equções do siste,teos : - - elo Critério de Sssenfeld,teos : /; /; 7/8; 7/6 á 7/8 < ogo,o siste stisfz o Critério de Sssenfeld (e) Resolvendo por Guss-Seidel, fzeos s seguintes iterções: ( ) ( ) ( ) rtindo de X () (,,,), chos n 9 iterção u proição co precisão enor ou igul,. (9) X (.985,.877,.578,.7)

3 ( ) ( ) ebrndo que cd iterção, teos que verificr sepre se Má. Eercício : () Co pivoteento prcil: (-) Ver que te o ior ódulo n prieir colun d triz uentd (triz dos coeficientes is os teros independentes): i i i 8 8 (i) Má {,,,} (este vi ser o pivô! ) (ii) erutr prieir linh e linh do pivô : Os ultiplicdores dest etp serão : /; /; Assi, ( - ) - / - / - / 9/ 8 / 88/ ( i ) Má {,/,/} / (-/ vi ser o pivô n segund colun! ) (ii) erutr segund linh e linh do pivô.

4 - / - / - - / 9/ 8 - / 88/ E os ultiplicdores dest etp serão : /; /; Assi, ( ) - / - 5/ / - / - / 9/ 8 - / 9/ 7/ (i)má{5/,/} 5/(não vos principl. precisr perutr nd porque ele já pertence à digonl E o ultiplicdor dest etp é: /5; E finlente, teos triz reduzid: - / - 5/ - / - / 7/ 8 - / 9/ 7 Solução do siste: (-.878, -.9, -.95,.95) (b) No pivoteento prcil, A U, onde é triz perutção ds linhs d triz identidde. Então, A b U b

5 7/ - / 5/ - - / / - U /5 / / / / b ; Então, represent troc ds linhs e d triz identidde e d triz identidde represent troc ds linhs onde () () ) ( ) ( E deveos escrever o siste liner U b substituindo s trizes ci nest epressão.

6 Deterinção d triz invers: A b U b A U (A) - (U) - A U A U Deter in ção deu - : Usndo For Escd Reduzid por inhs : / 5/ / / 7/ / / 5/ / / / 7/ / / - / / / / 5 / - / - /5 /7 Agor, teos que nulr os eleentos ci dos ' s prtir d últi colun té segund. N últi colun,teos ci de :/5,/ e /,os quis serão nuldos trvés ds seguintes operções : (/5) (/) (/) Assi, teos: / - / / - /5 - /7 - /9 - /669 /7

7 Agor, teos que nulr o -/ ci do n terceir colun. Assi, teos: / / - /5 - /5 - / /669 /7 E finlente, eliinos / n segund colun: / /5 - /5 - / /7 ortnto, U / /5 /5 / /7 r deterinr, bst pens trocr o sinl dos ultiplicdores d triz : / / / / /5 Agor, pr deterinr triz invers, bst substituir s trizes chds ci n fórul A U. (c) Coo o Critério ds inhs não é stisfeito, não teos grnti de convergênci pr o Método de Guss-Seidel, sej qul for proição inicil. Eercício : t () A proição é elhor porque sus ordends se proi is de zero (Observe que A b é o eso que A b )

8 (b) Usr étodo de Eliinção de Guss co ivoteento rcil Respost: t (.9685,.68) (c) A triz A do siste está prói de u triz singulr (não possui invers). ortnto, o siste é l condiciondo. Eercício : Fonte ág. 76 do livro Cálculo Nuérico Aspectos nuéricos e coputcionis Mron Boos. Eercício 5: () Observe que os coeficientes d terceir linh não stisfze o Critério ds inhs. ogo, precisos perutr segund e terceir linhs e teos gor o siste equivlente: 6 6 < Ms, ind ssi, teos pr prieir linh: < > () e pr terceir linh : 6 < < 5 () Coo () (), precisos rerrur o siste de novo de odifique, pois el já stisfz o Critério ds inhs. for que segund linh não se O que deveos fzer, neste cso, é perutr s coluns de coeficientes d segund e d terceir linhs de odo que interseção dest vez não sej vzi.

9 6 6 > () > 7 () () (): > 7 ortnto, pr (7, ) teos grnti de convergênci (b) Resolver o siste odificdo e (b) por Guss-Jordn co 8 Respost: (-.57,.5, -.7) (c) Método de Guss-Seidel converge is rápido. Eercício 6: () Fonte Cálculo Nuérico Aspectos Teóricos e Coputcionis ág. 6 Obs.: supor que o eleento que está n posição é diferente de zero no início d etp. // Eliinção de Guss se pivoteento: r,, fç r i,, fç j i r j,..., fç ij ij j b i b i b // Resolução do siste: b / r,, fç s r j ( ),..., s s ( b j j s ) / fç

10 (b) (5/8) 5/8 (/5) /5 (/) / /5 8/5 9/ 5/ 5 6 9/ 5/ /8 - /8 /5 8/5 9/ 5/ 5 or substituição retrotiv, teos: ) ( 5 5/ ) ( 9/ 8/5 ) ( /5 /8 /8 Solução: S {(-, -, -, -)} (c) Verificr qundo resolver o lgorito.