MATRIZES E DETERMINANTES

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1 Professor: Cssio Kiechloski Mello Disciplin: Mtemátic luno: N Turm: Dt: MTRIZES E DETERMINNTES MTRIZES: Em quse todos os jornis e revists é possível encontrr tbels informtivs. N Mtemátic chmremos ests tbels de MTRIZES. Observe o eemplo: Médis de Público ª Divisão ª Divisão ª Divisão Inglterr lemnh Espnh ** Itáli rsil Fonte: Superinteressnte Setembro Est mtriz é de ordem, pois tem linhs e coluns. Cd elemento de um mtriz é indicdo por ij, onde i é linh e j colun onde se encontr este elemento. Genericmente, um mtriz será representd d seguinte form:... n... n... n ( ij ) m n m m m... mn Eemplo: Crir mtriz ( ij ), tl que ij i² - j.

2 TIPOS ESPECIIS DE MTRIZES: Mtriz Linh: Qundo m [ -] Mtriz colun: Qundo n Mtriz Qudrd: Qundo m n Mtriz Digonl: Qundo ij se i j. Somente em mtriz qudrd Mtriz Identidde: É um mtriz digonl onde ij se ij Mtriz Trnspost: Mtriz obtid o se inverter linhs e coluns de um mtriz E: M T M IGULDDE ENTRE MTRIZES: Dus Mtrizes são iguis se todos os seus elementos correspondentes forem iguis c b d, então, b, c e d

3 OPERÇÕES COM MTRIZES dição: ( ij b ij ) mn Subtrção: ( ij b ij ) mn Ddos C ) ( ) ( C Multiplicção por Esclr: Se multiplicrmos um mtriz por um número rel qulquer, todos os elementos dess mtriz tmbém serão multiplicdos por este número: Multiplicção de Mtrizes: Ddos (ij)mn e (bij)np C c ik i *b k i *b k... in *b nk IMPORTNTE: Só podemos multiplicr por se o número de coluns de for o mesmo que o número de linhs de. Clcule e MTRIZ INVERS: Sej um mtriz qudrd de ordem n. é invers de se In. Neste cso chmremos de -. Um mtriz só é inversível se seu determinnte for diferente de. chr -

4 EXERCÍCIOS: ) Constru s seguintes Mtrizes: ) ( ij ), em que ij i j b) (b ij ), em que b ij i i c) C (c ij ), em que c ij i j ) Dd Mtriz, che T e - ) Determine, b, c e d que verifiquem: c d b ) Efetue: ) b) ) Dds s mtrizes Obtenh s mtrizes: ) b) c) T d) * ) Efetue s Multiplicções: ) ( ) b)

5 ) Determine mtriz invers ds seguintes mtrizes ) b) c) d) ) (UFRGS) Se, então ² é mtriz ) b) c) d) e) ) (PUCRS) Sendo s mtrizes e, então o produto * é igul ) [ ] b) c) d) e) ) (PUCRS) Sendo I mtriz identidde e M então mtriz X, tl que XM I é ) b) c) d) e)

6 ) (ULR) Dds s seguintes mtrizes:, e C. O vlor de ª - C é: ) b) c) d) e) ) (FEI-SP) Se é mtriz invers de, então: ) b) c) d) e) ) (PUCMG) Se e b, o vlor do produto b é? ) - b) - c) - d) - e) - ) (UFRN) Dds s mtrizes e, qul é resultdo de? ) b) c) d) e)

7 DETERMINNTES: Chmmos de determinnte de um mtriz o número rel ssocido el. Determinnte de ª ordem [ ] det Determinnte de ª ordem det * * Determinnte de ª ordem plic-se regr de Srrus det ou Determinnte de ª ordem ( est regr pode sr plicd em qulquer mtriz qudrd ) Teorem de Lplce: Um determinnte é igul à som dos produtos dos elementos de um fil qulquer pelos seus respectivos coftores. Coftor: Cof ij (-) ij *D ij, onde D ij é o determinnte d mtriz obtid ecluindo-se linh e colun do elemento ij.

8 Proprieddes dos determinntes: ) Tod mtriz qudrd que possui um linh ou colun nul tem determinnte nulo ) O determinnte de um mtriz qudrd é igul o determinnte de su mtriz trnspost ) Tod mtriz que possui dus linhs ou coluns iguis tem determinnte nulo ) O determinnte mud de sinl qundo se troc posição de dus linhs ou coluns ) Um mtriz qudrd que possui dus linhs ou coluns proporcionis tem seu determinnte nulo ) O determinnte do produto de dus mtrizes é igul o produto dos determinntes ) Multiplicndo um linh ou colun de um mtriz por um número rel K, seu determinnte fic respectivmente multiplicdo por K. ) Um mtriz qudrd que possui todos os elementos de um mesmo ldo d digonl principl iguis zero tem determinnte igul o produto dos elementos d digonl principl. EXERCÍCIOS: ) Clcule o vlor de cd um dos determinntes: ) b) c) d) e) f) g) ) Se e, então det() é: ) - b) - c) d) e) ) Dd mtriz, o determinnte d mtriz ² é igul : ) b) c) d) e) ) (UFRGS) Sendo ( ij ) mn um mtriz onde n é igul e ij i²-j, o determinnte d mtriz é: ) - b) - c) d) e)

9 ) (UFRGS) solução d equção é ) - b) - c) d) e) ) (UFRGS) O vlor do determinnte é pr todo R ) ²(² ) b) ²(² - ) c) d) e) zero ) O determinnte d mtriz sen sen cos cos é equivlente ) tg² b) sec² c) d) zero e) sen² cos² ) (PUCRS) Dds s mtrizes e, o determinnte d mtriz *b é ) - b) - c) d) e) ) (UNISINOS) O vlor de um determinnte é. Se dividirmos ª linh por e multiplicrmos ª colun por, então o novo determinnte vlerá ) b) c) d) e)