Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA III 1 DETERMINANTES

Transcrição

1 INTRODUÇÃO... DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM... DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM... DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM... PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES... 8 REGRA DE CHIÓ... MENOR COMPLEMENTAR... COFATOR... 6 TEOREMA DE LAPLACE... 6 RESPOSTAS... REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... No finl ds séries de eeríios podem preer sugestões de tividdes omplementres. Ests sugestões referem-se eeríios do livro Mtemáti de Mnoel Piv forneido pelo FNDE e dotdo pelo IFMG Cmpus Ouro Preto durnte o triênio -7. Todos os eeríios sugeridos nest postil se referem o volume. MATEMÁTICA III DETERMINANTES

2 INTRODUÇÃO Tod mtriz QUADRADA tem, ssoid el, um numero hmdo determinnte d mtriz otido por meio de operções que envolvem todos os elementos d mtriz. (Dnte, 7). A teori dos determinntes teve su origem em medos do séulo XVII, qundo erm estuddos proessos pr resolução de sistems lineres de equções. Hoje em di, emor não sejm um instrumento prátio pr resolução destes sistems, os determinntes são utilizdos, por eemplo, pr sintetizr erts epressões mtemátis omplids. DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM Sendo A um mtriz de ordem determind por A = [], por definição, o determinnte de A é igul o número, ou sej, em um mtriz de um únio elemento, o determinnte ssoido el será o próprio elemento. Dds s mtrizes A = [] e B = [-] podemos dizer que det A = e que det B = -. DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM No so de mtrizes qudrds de ordem dois, lulmos seu determinnte fzendo o produto dos termos d digonl prinipl menos o produto dos termos d digonl seundári., Assim, dd mtriz A, indimos seu determinnte por det A ou E.: Enontre o determinnte d 7 mtriz A. Resolução: CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 E.: Determine de modo que o determinnte d mtriz B sej igul 8. Resolução: Respost: = 6 8 O determinnte de M é o número: detm Afim de que possmos oter tl determinnte de form mis práti, vmos onheer regr de Srrus. ) Repetimos o ldo d mtriz, s dus primeirs oluns. ) Os termos preedidos pelo sinl + (mis) são otidos multiplindo-se os termos d digonl prinipl e seguir multiplindo os termos ds digonis que estão nest mesm direção. ) Os termos preedidos pelo sinl - (menos) são otidos multiplindo-se os termos d digonl seundári e seguir multiplindo os termos ds digonis que estão nest mesm direção DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM Consideremos gor mtriz de ordem dd por M. d) o determinnte é otido prtir d som dos 6 vlores enontrdos. MATEMÁTICA III DETERMINANTES

4 Clulr o determinnte d mtriz B Resolução: detb detb =6 Eiste um outr form mis práti de memorizr Regr de Srrus. Consiste em ompnhr os minhos indidos seguir sem neessidde de repetir s dus primeirs oluns. Apesr de ser um pouo mis rápid, eige stnte tenção. Oserve: Os termos preedidos do sinl de + (mis) são otidos multiplindo-se os elementos segundo s trjetóris indids. Já pr oter os termos preedidos do sinl de (menos) devemos seguir ests trjetóris: Oserve que o resultdo otido em d trjetóri é etmente o mesmo dqueles que enontrmos em d digonl n regr vist nteriormente. CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

5 ) Clule os determinntes: ) ) sen os os sen ) sen os os sen ) 7 ) ) Clule os determinntes: log log ) ) Clule os determinntes: sen os ) sen y os y ) m m m m m MATEMÁTICA III DETERMINANTES

6 CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO ) Determine tl que: ) ) ) Clulr os determinntes seguir: ) ) ) 7

7 MATEMÁTICA III 7 DETERMINANTES 6) Clulr os determinntes: ) ) ) n m 7) Determine tl que: ) ) )

8 8) Determinr tl que. P: Fils Iguis. Se os elementos orrespondentes de dus linhs ou dus oluns de um mtriz qudrd forem iguis, seu determinnte será igul zero. E.: pois ª e ª oluns são iguis. ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. Eeríio PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES P: Fil de Zeros. Se todos os elementos de um linh ou olun de um mtriz qudrd forem iguis zero, seu determinnte será nulo. E.: E.: 7 E.: 7 k k Pois ª e ª linhs são iguis. P: Fils Proporionis. Se um mtriz qudrd possui dus linhs ou dus oluns proporionis, seu determinnte será nulo. E.: 7 6 Pois ª linh é igul o produto dos termos d ª linh por. 7 E.: 8 pois ª olun é 7 vezes primeir. CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

9 P: Multiplição de um fil por um onstnte. Se todos os elementos de um linh ou um olun de um mtriz qudrd são multiplidos por um mesmo número rel k então seu determinnte fi multiplido por k. E.: A det A = Multiplindo todos os termos d segund olun por : A ' 9 det A = 6 6 Multiplindo todos os termos d ª linh de A por : 8 6 A " det A =. P: Multiplição de mtriz por um número rel. Se um mtriz qudrd de ordem n é multiplid por um número rel k, o seu determinnte fi multiplido por k n. P6: Determinnte d trnspost: O determinnte de um mtriz qudrd é igul o determinnte de su trnspost. E.: E.: A A t B B t det A t det A detb detb t P7: Tro de fils prlels: Se trormos de posição dus linhs ou dus oluns de um mtriz qudrd, o determinnte d nov mtriz otid é oposto o determinnte d mtriz originl. E.: A det A A deta E.: A e B Note que, de A pr B form trods de posição primeir om segund linhs. Temos que det A e detb. MATEMÁTICA III 9 DETERMINANTES

10 P8: Mtriz tringulr. O determinnte de um mtriz tringulr é otido multiplindo-se todos os termos d digonl prinipl. E.: A E.: B 7 8 det A detb P9: Teorem de Binet. Sendo A e B dus mtrizes qudrds de mesm ordem e AB mtriz produto, então o determinnte de AB é igul o determinnte de A vezes o determinnte de B. E.: A 9 B 7 AB det A detb det A detb 9 det AB P: Teorem de Joi Sej A um mtriz qudrd. Se multiplirmos todos os elementos de um linh ou olun pelo mesmo número e somrmos os resultdos os elementos orrespondentes de outr linh ou olun, formndo um outr mtriz B, então det A = det B. A det A Vmos multiplir os termos d primeir linh por e somr os termos orrespondentes d ª linh: B det 8 B. Note que det A detb. P: Determinnte d invers. Sendo A um mtriz qudrd invertível, e A - su invers, então det A. det A Sendo A e su invers A - indids io, oserve seus determinntes já enontrdos: A det A A det A CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 Oserve que det A, ou sej, det A um determinnte é o inverso do outro. REGRA DE CHIÓ A Regr de Chió onsiste em plir lgums operções de form reduzir s dimensões de um mtriz e, ssim, filitr o álulo do determinnte porém el é muito práti se o elemento for igul. Se tl termo for diferente de, plimos um ou mis proprieddes (já vists) fim de tornr =. Clule o determinnte d mtriz 6 9 M. Resolução: Vmos seguir os três pssos indidos.. Sig os pssos d Regr de Chió e, em seguid, vej su plição no eemplo.. Sendo =, suprime-se primeir linh e primeir olun.. De d elemento restnte, sutri-se o produto dos dois termos suprimidos, n linh e olun desse elemento restnte.. Com os resultdos ds sutrções, otém-se um mtriz um ordem menor que nterior porém om mesmo determinnte... Oserve o eemplo seguir pr entender d pssgem. MATEMÁTICA III DETERMINANTES

12 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO A mtriz tem o mesmo determinnte que mtriz 9 6 entretnto, por ser um ordem menor, é mis fáil lulr o determinnte e podemos fzê-lo utilizndo regr de Srrus. 9) Enontre o vlor do determinnte d mtriz A. (Di: Use o Teorem de Joi multiplindo segund olun por e somndo à primeir olun. Assim, voê terá =. Depois plique regr de Chió. N mtriz otid, troque de posição ª om ª linh e plique novmente Chió. Voê hegrá num mtriz de ª ordem e enontrrá o determinnte pel regr de Srrus)

13 MATEMÁTICA III DETERMINANTES ) Determine n equção 6 ) Clule os determinntes seguir: ) )

14 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO ) d) e) d f)

15 MENOR COMPLEMENTAR Sendo A um mtriz qudrd de ordem n, denomin-se menor omplementr de A pelo elemento ij, o determinnte Dij ssoido mtriz qudrd que se otém de A o suprimir linh i e olun j onde está o elemento ij. Esse determinnte é hmdo de Dij. ) Clule o MENOR COMPLEMENTAR de d um dos 9 6 termos d mtriz K. 8 Sendo mtriz A 6, temos: ) menor omplementr de A pelo termo : Vmos eliminr segund linh e primeir olun. Assim, temos que D... ) Menor omplementr de A pelo termo. D MATEMÁTICA III DETERMINANTES

16 COFATOR Sendo A um mtriz qudrd de ordem n, denomin-se oftor de um elemento ij o número rel ij A D onde Dij é o menor ij ij omplementr de A pelo termo ij. ) Clule os oftores de d um dos 6 9 termos d mtriz K. 8 Sendo mtriz A 6, temos: ) oftor de A pelo termo : A D (not: Est mtriz A é mesm do eemplo d págin nterior e D já hvi sido luldo) ) oftor de A pelo termo. A D 7 7 TEOREMA DE LAPLACE O determinnte ssoido um mtriz qudrd A de ordem n é o número que se otém pel som dos produtos de d termo de um fil qulquer pelos seus respetivos oftores. Assim, pr lulr o determinnte de um mtriz qudrd qulquer, devemos esolher um linh ou olun, seguir enontrmos d um de seus oftores. Multiplimos d oftor pelo seu termo orrespondente e sommos estes produtos. CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

17 Aompnhe o eemplo. Sendo A, podemos lulr prtir dos oftores de qulquer de sus fils.. Vmos fzer prtir d ª linh e seguir, prtir d ª olun pr verifirmos se os resultdos otidos oinidem. det A. A prtir d primeir linh temos que det A A A A Oserve que, em mos os sos, det A. Esse vlor será enontrdo em qulquer fil esolhid e voê pode verifir isto. É importnte destr que, nest segund esolh, espeifimente no produto A não hvi neessidde de lulr A pois, omo, o produto seri. Devido isto, qundo vmos lulr determinntes usndo o teorem de Lple, é interessnte que esolhmos um fil onde há um grnde quntidde de zeros, ssim, reduziremos quntidde de álulos. A A 6 6 A Assim, temos que: 8 8 det A A A A 6 8. Agor, prtir d tereir olun: det A A A A A A A 8 8 det A A A A 8 MATEMÁTICA III 7 DETERMINANTES

18 CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO ) Clule os determinntes seguir preferenilmente utilizndo o Teorem de Lple: ) 6 A ) B ) 6 C d) D

19 MATEMÁTICA III 9 DETERMINANTES e) E f) 7 F g) 6 G

20 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO h) H ) Provr que d d

21 6) Clule o determinnte sen sen y sen z os os y os z 8) Clule os determinntes: 7 ) ) Resolver equção MATEMÁTICA III DETERMINANTES

22 ) ) d d d Neste link, voê pode essr um doumento om outrs informções sore Determinntes e tmém sore nosso próimo onteúdo Sistems Lineres Com o seu elulr, use o qr-ode o ldo: CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

23 RESPOSTAS ) ) ) - ) 6 - ) A=- A=- A=- A=6 A= A=- A= A=- A=-6 ) ) sen y ) ) ) ) ) ) 6 sen os log ou ) ou ) m ) ) ) -9 ) - 6) ) ) ) m 8n 6 7) ) ) ou ) ou 8) 9) -9 ) ) ) 8 ) ) - d) -7 e) d f) ) D=- D= D=- D=-6 D= D= D= D= D=-6 detb ) ) det A ) ) d) detd e) dete 7 f) detf 8 g) det G h) deth det C ) Demonstrção sen y sen y z 6) senz 7) S, 8) ) 6 ) ) d d d REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DANTE, Luiz Roerto; Mtemáti, Volume dois. São Pulo, Ati,. IEZZI, Gelson e outros; Mtemáti, Volume únio. São Pulo, Atul,. IEZZI, Gelson e outros; Fundmentos d Mtemáti Elementr, Volume. São Pulo, Atul, ª edição, 977. MATEMÁTICA III DETERMINANTES