MATRIZES. Em uma matriz M de m linhas e n colunas podemos representar seus elementos da seguinte maneira:

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1 MATRIZES Definiçã Chm-se mtriz d tip m x n (m IN* e n IN*) td tel M frmd pr númers reis distriuíds em m linhs e n cluns. Em um mtriz M de m linhs e n cluns pdems representr seus elements d seguinte mneir: M m m m m m n n mn A ntçã usd indic que este element está n ª linh e n ª clun. Exempls: M / M sen π é um mtriz x é um mtriz x e 8 Pdems representr s elements de um mtriz entre prênteses u entre clchetes. Adiçã de mtrizes Chm-se sm de dus mtrizes A m x n e B m x n mtriz C m x n, cujs elements sã iguis à sm ds elements crrespndentes de A e B Prdut de númer rel pr um mtriz Dd mtriz A e númer rel k, tems prdut de k pr A, multiplicnd-se tds s elements de A pr k. Se A / e k, entã k.a. /

2 Multiplicçã de mtrizes Dds dus mtrizes A m x n e B n x p, chm-se prdut, que se indic pr A.B, mtriz C m x p tl que cd element d mtriz C é clculd d seguinte mneir c ij i. j + i. j + i. j + i. j + + in. nj Oservçã : N multiplicçã de mtrizes, númer de cluns d primeir mtriz deve ser igul númer de linhs d segund mtriz. Oservçã : A mtriz resultnte d multiplicçã de A pr B terá númer de linhs d mtriz A e númer de cluns de B. Vej: A x. B x C x Dds s mtrizes A e B tenh A.B e B.A, se existirem. A x e B x, é pssível multiplicrms A pr B, pis númer de cluns de A é igul númer de linhs de B. A mtriz A.B terá linhs e clun. Visulizçã d multiplicçã: A A.B Lg A.B ( ) B B x e A x nã é pssível multiplicrms B pr A, pis númer de cluns de A é diferente d númer de linhs de B. DETERMINANTES Definiçã de determinnte (n ): Cnsiderems cnjunt ds mtrizes qudrds de elements reis. Sej M um mtriz de rdem n desse cnjunt. Chmms determinnte d mtriz M (e indicms pr det M) númer que pdems ter pernd cm s elements de M d seguinte frm: º. Se M é de rdem n, entã det M é únic element de M. Exempl [ ] det M M [ ] det M M.

3 º. Se M é de rdem n, entã det M é prdut ds elements d dignl principl Exempls detm mens prdut ds elements d dignl secundári. M det M M det M ( ) csx senx csx senx M det M csx cs y senx seny cs + seny csy seny csy º. Se M é de rdem n, ist é, M entã + + ( x y) Definiçã: Sej M um mtriz qudrd de rdem n. O cftr d element ij d mtriz M é dd pr A ij ( ) i+ j D, nde D ij é determinnte d mtriz M qund excluíms su linh i ij e su clun j. Três ds cftres d mtriz M sã: [ ( )( ) ] + ( ) 8 + A ( ) ( ) [ ( )( ) ] ( ) + A ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] + ( + ) + A ( ) ( )

4 Terem de Lplce: O determinnte de um mtriz qudrd de rdem n (qulquer n nturl) pde ser clculd d seguinte md: ) esclh um linh (u clun) d mtriz e clcule s cftres ds elements dess linh (u clun). ) clcule prdut ds elements dess linh (u clun) pel seu respectiv cftr. ) determinnte é dd pel sm ds prduts tids. Oservçã: Pr um mtriz de rdem, M linh, terems que determinnte será dd pr, se esclherms primeir detm A ( ) + + A + + A ( ) + + ( ) ( ) ( ) Biligrfi: ) Iezzi G, Dlce O, Gegenszin D, Périg R. Mtemátic. Vlume únic. Atul editr. Sã Pul,. ) Iezzi G. Fundments d Mtemátic Elementr- vl.. Atul editr. Sã Pul,.

5 Exercícis sre mtrizes ) Clcule A + B pr: ) A e B ) A e B c) A e B ) Dd mtriz A, escrev A n frm A λ B, cm B w t z y x e n frm A α C, cm f d c C. ) Clcule s seguintes prduts: ) [ ]. ) ( ). ) Send A cs sen sen cs, clcule (A.A). Lemrete: sen() sen().cs() cs() cs () - sen () Exercícis sre determinntes ) Clcule s determinntes ix: ) ) c) d) ) Pr quis vlres de e determinnte pde ser zer? ) Pr que vlres de, determinnte x x x pde se nulr? (Cnsidere que x é riz rel d plinômi de segund gru crrespndente).

6 ) Utilize terem de Lplce pr clculr s determinntes ix. Oservçã: + ) ) c) c d) i j k RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO MATRIZES E DETERMINANTES MATRIZES ) ) ) c) Nã é pssível relizr perçã A + B, pis s mtrizes A x e B x nã sã de mesm tip. ) A / / / / A / / / / / ) ) ) ( 8 ) ) DETERMINANTES ) ) )-- c) d) -. ) u / ) > 8 +, u < 8, 8. ) ) ) c c) + c + c i j k d) i j + k i j + k