Estatística e Matrizes

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1 Esttístic e Mtrizes Introdução à Análise Multivrid Análise multivrid: De um modo gerl, refere-se todos os métodos esttísticos que simultnemente nlism múltipls medids sobre cd indivíduo ou objeto sob investigção. Qulquer nálise simultâne de mis de dus vriáveis de certo modo pode ser considerd nálise multivrid

2 Introdução: Orgnizção de ddos, mtrizes, vetores Utilizção de computção - Possibilit nálise de grnde quntidde de ddos - Pcotes esttísticos são cessíveis não-especilists -Aorgnizção dos ddos pr cesso deve serfeit de form proprid. Neste contexto os ddos devem ser orgnizdos n form mtricil: x ij é medid d vriável jsobre o item ou indivíduo i

3 Introdução: Orgnizção de ddos, mtrizes, vetores A álgebr mtricil é fundmentl pr desenvolver métodos de esttístic multivrid. Asobservções x ij podemsertrtdscomoummtriz X:

4 Mtrizes e vetores: conceitos básicos Vetor: rrnjo de números ou vriáveis dispostos em um colun (ou em linh). Mtriz de um colun (ou um linh): ou Onde יx denot trnsposto (colun vir linh) Representremos vetores por letrs minúsculs em (,יx negrito (Ex: x,

5 Mtrizes e vetores: conceitos básicos Mtriz: rrnjo retngulr de números ou vriáveis dispostos em linhs e coluns n: número de linhs p: número de coluns Representremos mtrizes por letrs miúsculs em negrito e seus elementos por letrs minúsculs com dois índices, onde: -oprimeiroíndicerepresentlinhe - o segundo índice represent colun.

6 Exemplos de mtrizes Mtrizes e vetores: conceitos básicos Dimensão de um mtriz: é o pr i linhs x j coluns Dimensãodmtriz A:3x2, B:2x3, I eσ:3x3, E:1x1 Mtriz qudrd: número de linhs = número de coluns IeΣsãomtrizesqudrds dedimensão3x3 Mtriz identidde (I): Elementos d digonl principl com vlores 1 e zero nos outros elementos. A mtriz I cim é um mtriz identidde 3x3.

7 Mtrizes e vetores: conceitos básicos Mtriz digonl: um mtriz qudrd é um mtriz digonl se os elementos for d digonl principl são nulos. É um mtriz digonl Mtriz trnspost: A trnspost A de um mtriz Aé obtid mudndo-se s linhs pr coluns

8 Multiplicção de mtrizes Mtrizes e vetores: conceitos básicos Em gerl, multiplicção de mtriz não é comuttiv. Ou sej, em gerl, AB BA.

9 Mtrizes e vetores: conceitos básicos Mtriz simétric: um mtriz qudrd é simétric se A= A ou ij = ji pr todo iej Por exemplo, mtriz é simétric enqunto que mtriz não é simétric

10 Mtrizes e vetores: conceitos básicos O determinnte A (ou det) é um número ssocido um mtriz qudrd A. Lembrndo pr mtriz 2 x 2: = Trço de um mtriz (Tr): é som dos elementos d digonl principl 3 Tr = 3 + ( 5) = 2

11 Mtrizes e vetores: conceitos básicos Mtriz invers: mtriz invers de um mtriz A (se existir) é mtriz A -1 tlque A A -1 = A -1 A=1 Exemplo: A -1 = Pois:

12 Mtrizes e vetores: conceitos básicos Determinção d Mtriz invers: pel mtriz Adjunt A -1 =(1/det(A)) dj(a) Mtriz djunt: mtriz dos coftores trnspost Exemplo: dj(a)

13 Determinção d Mtriz invers: Eliminção de Guss-Jordn Operenmtriz[A I] Mtrizes e vetores: conceitos básicos Obtenh um mtriz n form: A mtriz é invers d mtriz A

14 Mtrizes e vetores: conceitos básicos Condição pr existênci d invers de um mtriz: A invers de um mtriz existe se s k coluns de um mtriz são linermente independentes. Exemplo: A solução é c 1 = c 2 = 0 e portnto s coluns d mtriz A são linermente independentes. Assim, existe invers de A. Mtriz ortogonl: Um mtriz qudrd é ortogonl se trnspost é igul invers, ou sej: A -1 = A

15 Invers de um mtriz digonl A= Se todos ii 0 Mtrizes e vetores: conceitos básicos A -1 =