Formas Quadráticas. FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominação de uma função especial, definida genericamente por: 1 2 n ij i j i,j 1.

Transcrição

1 Forms Qudrátics FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominção de um função especil, definid genericmente por: Q x,x,...,x x x x... x x x x x... x 1 n n 1 n 3 3 nn n ou Qx,x,...,x 1 n ij i j i,j1 i j n x x Exemplos: Q x,x 3x 5x x 8x Q x,x,x x x x x x x x x x

2 Em termos mtriciis, função qudrátic pode ser representd por: onde T Q x,x,...,x 1 n x A x x1 x x xn e A n 1n 1n n nn Por exemplo: ou ou ou 1 11 x x Q x,x x x 1 1 x1 Qx 1,x 11x1 x x1 x x Q x,x x x x x x x Q x,x x x x x

3 FUNÇÕES QUADRÁTICAS DEFINIDAS: Diz-se que um função qudrátic é definid, se pr todo seguintes resultdos: n x R, tl que x 0, el presentr os Qx 0, cso em que função é Definid Positiv; Qx 0, cso em que função é Definid Negtiv; Se dmitirmos possibilidde d função qudrátic ssumir o vlor zero pr pelo menos um é Semi-definid: n x R, tl que x 0, então dizemos que ess função Qx 0, cso em que função é Semi-definid Positiv; Qx 0, cso em que função é Semi-definid Negtiv. OBS.: Se Q(x) é tl que, dependendo do x, el pode ssumir vlores positivos e negtivos, então diz-se que el é do tipo indefinido. 1) Definid Positiv: Qx,x x x 1 1 Q x x 1 3

4 ) Semi-definid Positiv: Q x,x x x x x x x Q x 1 = -x x x 1 3) Indefinid: Qx,x x x 1 1 X = -X1 X X1 X1 = X 4

5 Como tod mtriz qudrd e simétric pode ser utilizd pr se obter um função qudrátic, pode-se então utilizr tipologi dest presentd cim, pr seguinte definição: MATRIZES (qudrds e simétrics) DEFINIDAS: Diz-se que um mtriz simétric, de ordem (n x n), é definid, se pr todo x 0, el é tl que: n x R, tl que T x Ax 0, cso em que mtriz é Definid Positiv; T x Ax 0, cso em que mtriz é Semi-definid Positiv; T x Ax 0, cso em que mtriz é Definid Negtiv; T x Ax 0, cso em que mtriz é Semi-definid Negtiv; Como verificr se um mtriz qudrd e simétric é definid? Como não é possível fzer isso por experimentção em relção os vlores n de x R, o processo envolve nálise de lgums crcterístics desss mtrizes Cso simplificdo de mtrizes de ordem (x): Q x,x x bx x cx (1) ou sej Q x,x x x bx b c x 5

6 Primeir Crcterístic: Se = 0, então pr qulquer pr ( x 1,0) temos que Q x,x 0 0. Logo, pr que ess form qudrátic poss ser 1 Definid Positiv ou Definid Negtiv é necessário então que 0. Por outro ldo, somndo-se e subtrindo o termo cim, temos que: bx n expressão (1) ou ou b x b x Q x,x x bx x cx bx x b x b x Qx,x x cx bx c b 1 1 Qx,x x x Portnto, pr quisquer vlores de x 1 e x, com pelo menos um deles diferente de zero, temos que: Qx 1,x 0 se e somente se 0 e c b 0 Qx 1,x 0 se e somente se 0 e c b 0 6

7 Ms, podemos observr que: b c b b c e Portnto, queles dois resultdos podem ser reescritos como: Qx 1,x 0, se e somente se 0 e Qx 1,x 0, se e somente se 0 e b 0 b c b 0 b c Ou sej, mtriz será definid positiv ou negtiv dependendo d combinção de sinis do seu próprio determinnte e do determinnte d sub-mtriz resultnte d eliminção d su últim linh e últim colun. Ms esses determinntes são conhecidos e denomindos de Menores Principis de ordem e 1, respectivmente. Pr conhecer isso, vmos considerr os seguintes conceitos ssocidos qulquer mtriz qudrd. Definição 1: Sej A um mtriz de ordem (n x n). Um sub-mtriz dest, de ordem (k x k), formd pel eliminção de quisquer n-k coluns e linhs de mesms posições, é chmd de Submtriz Principl de ordem k de A Definição : O determinnte de um sub-mtriz principl de ordem k de A é chmdo de Menor Principl de ordem k de A. 7

8 Exemplo: Considere mtriz de ordem (3 x 3): A Ess mtriz possui os seguintes menores principis: um menor principl de ordem três menores principis de ordem ; ; três menores principis de ordem 1 11 ; ; 33 Definição 3: Se sub-mtriz principl de ordem k de A é obtid pel eliminção ds últims n-k coluns e linhs de mesms posições, então mesm é denomind especificmente de Sub-mtriz Principl Líder de ordem k de A, ou simplesmente de k-ésim Sub-mtriz Principl de A Definição 4: O determinnte d k-ésim sub-mtriz principl de A (ou sub-mtriz principl líder de ordem k de A) é denomindo de k-ésimo Menor Principl de A, (ou tmbém por Menor Principl Líder de ordem k de A). 8

9 Exemplo: Um mtriz A de ordem (4 x 4) present os seguintes k- ésimos menores principis: Primeiro menor principl: 11 Segundo menor principl: Terceiro menor principl: Qurto menor principl: A TEOREMA: Sej A um mtriz simétric de ordem (n x n). Então A é: DEFINIDA POSITIVA (SEMI-DEFINIDA POSITIVA) se e somente se todos os seus n k-ésimos menores principis são positivos (não negtivos), ou sej, se 11 0 ( 0) ( 0) n 1n 0 ( 0) 1n n nn 9

10 DEFINIDA NEGATIVA (SEMI-DEFINIDA NEGATIVA) se e somente se os seus k-ésimos menores principis são negtivos (não positivos) pr todos os k impres e positivos (não negtivos) pr todos os k pres, ou sej, se 11 0 ( 0) ( 0) ( 0) n 1n 1n n nn 0 ( 0) se n e pr 0 ( 0) se n e impr Exemplos: 1. Considere mtriz ddo que 0 e 1 10, temos que ess mtriz é definid 1 1 positiv. 10

11 . No cso d mtriz ddo que 1 0 ; que ess mtriz é semi-definid negtiv. e , temos 0 0 RESTRIÇÕES LINEARES E MATRIZES ORLADAS Mis dinte veremos que num problem de otimizção condiciond, s condições de segund ordem envolverão nálise d nturez de forms qudrátics que estrão sujeits restrições lineres. Um exemplo desse tipo de nálise pode ser ddo pel função qudrátic Q x,x x bx x cx onde desej-se determinr se Qx 1,x present um único sinl (positivo ou negtivo) pr todo x x R Ax1Bx 0 1, que tende à seguinte restrição: 11

12 Pr isso vmos isolr vriável x 1 n últim equção de restrição e substituí-l n primeir: ou ou B B Q x x b x x cx A A B bbx Q x x b cx A A x Q x B bab ca A Portnto, pr qulquer vlor de x, temos que: Qx 0 se e somente se B bab ca 0 Qx 0 se e somente se B bab ca 0 1

13 Ms podemos observr que 0 A B A b bab B ca B bab ca B b c Concluindo, temos então que form qudrátic Q x,x 1 sujeit à restrição liner Ax1Bx 0 é: x x b x1 1 b c x Definid Positiv, se o determinnte d mtriz orld Definid Negtiv, se o determinnte d mtriz orld 0 A B A b 0 B b c 0 A B A b 0 B b c T TEOREMA: Sej função qudrátic Qx liner Bx = 0, onde x A x, sujeit à restrição x1 x x xn ; A n 1n 1n n nn ; B B B B 1 n Definindo-se mtriz orld 0 B H T, tem-se que: B A ) Q(x) é Definid Positiv, pr todo x R tl que Bx = 0, se os últimos (n 1) k-ésimos menores principis de H são negtivos; b) Q(x) é Definid Negtiv, pr todo x R tl que Bx = 0, se os últimos (n 1) k-ésimos menores principis de H lternrem os seus respectivos sinis; c) Q(x) é Indefinid se mbs s condições () e (b) cim não são tendids pelos últimos (n 1) k-ésimos menores principis de H, com vlores diferentes de zero. n n 13

14 Exemplos: 1. Qx,x 4x x x x sujeito x1x x1 1 1 x ou sej, Qx,x x x 1 1 x1 sujeito x Portnto H o seu último k-ésimo menor principl, (ddo que n 1 = 1) é: H Portnto, form qudrátic cim, sujeit à restrição liner, é Definid Positiv. Obs.: Note que o penúltimo k-ésimo menor principl não é considerdo, pois o seu sinl é sempre negtivo: 14

15 . Qx,x x 4x x 6x x x sujeito x1 x x3 0 ou sej, 1 0 x1 Qx 1,x,x3 x1 x x3 0 3 x x 3 x x 0 x 3 sujeito Nesse cso, H os seus (n 1 = ) últimos k-ésimos menores principis são: H H Portnto, form qudrátic cim, sujeit à restrição, é indefinid. 15

16 O último teorem pode ser generlizdo pr o cso de forms qudrátics sujeits à restrição de mis de um equção liner. Ou sej, pr o seguinte problem: sej função qudrátic com n T vriáveis Qx m, onde x Ax, sujeit às m restrições lineres Bx = 0, com n > x1 x x xn ; A n 1n 1n n nn ; B B B B B B B B B B n 1 n m1 m mn Nesse cso, mtriz orld H é de ordem [(m +n)x(m+n)] e definid d seguinte form: H B 0 0 B B 11 1n 0 0 B B m1 mn T B A B11 Bm1 11 1n B1n Bmn 1n nn 16

17 E o resultdo gerl é especificdo no seguinte teorem: T TEOREMA: Sej função qudrátic com n vriáveis Qx sujeit à restrição de m equções lineres Bx = 0, onde x Ax, x1 x x xn ; A n 1n 1n n nn ; B B B B B B B B B B n 1 n m1 m mn Definindo-se mtriz orld de ordem (m +n) x (m+n), temse que: B H B T A ) Se o determinnte de H tem o mesmo sinl de 1 m e se os últimos (n m) k-ésimos menores principis de H tmbém presentm esse mesmo n sinl, então Q(x) é Definid Positiv, pr todo x R tl que Bx = 0; b) Se o determinnte de H tem o mesmo sinl de 1 n e se os últimos (n m) k-ésimos menores principis de H lternm o seu sinl, então Q(x) é n Definid Negtiv, pr todo x R tl que Bx = 0; c) Q(x) é Indefinid se mbs s condições () e (b) cim não são tendids pelos últimos n 1 k-ésimos menores principis de H, com vlores diferentes de zero. 17

18 Fim 18