2) Observe a matriz seguinte e responda:

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1 PROF. GILBERTO SANTOS JR MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES I-MATRIZES. INTRODUÇÃO Muits vezes, pr designr com clrez certs situções é necessário um grupo ordendo de números que se presentm dispostos em linhs e coluns, formndo o que se chm mtriz. Observe por exemplo seguinte situção: As vends de um editor em relção os livros de Mtemátic, Físic e Químic, no primeiro trimestre de um no, podem ser expresss pel tbel seguir. Jneiro Fevereiro Mrço Mtemátic 5 Físic Químic 6 7 Se quisermos sber: Quntos livros de Mtemátic form vendidos em Fevereiro, bst olhrmos o número que está n primeir linh e n segund colun; Quntos livros de Físic form vendidos em Jneiro, bst olhrmos o número que está n segund linh e n primeir colun; Quntos livros de Químic form vendidos nos meses, bst somrmos os números d terceir linh. E ssim por dinte. Ness tbel os números estão dispostos em linhs e coluns, é chmd mtriz do tipo ou ordem (lê-se três por três), pode ser representd por: DEFINIÇÃO 5 5 ou Denomin-se mtriz m n (lê-se m por n) qulquer tbel retngulr formd por m linhs e n coluns, sendo m e n números inteiro mior que zero. Dizemos que mtriz é do tipo m n ou de ordem m n. Exemplo: A é um mtriz de ordem dois por 5 três. ) Os estudntes de um colégio responderm seguinte pergunt: Você prefere Mtemátic ou Português? Cd estudnte escolheu um únic mtéri. Os resultdos seguem n tbel: Sexo Mtéri msculino feminino Mtemátic 7 98 Português 5 7 ) Quntos estudntes escolherm Mtemátic? b) Quntos estudntes do sexo feminino responderm à pergunt? c) Quntos estudntes, o todo, responderm à pergunt? ) Observe mtriz seguinte e respond: ) De que tipo ou ordem é mtriz dd? b) Quis são os números d ª linh? c) E os d ª colun? d) Qul é o número que está n ª linh e n ª colun? e) E n ª linh e n ª colun? f) E n ª linh e n ª colun? g) Qul o resultdo d som dos números d ª colun? EXERCÍCIO DE VESTIBULAR )(Enem-) Um pesquis relizd por estudntes d Fculdde de Esttístic mostr, em hors por di, como os jovens entre e 8 nos gstm seu tempo, tnto durnte semn (de segund-feir sext-feir), como no fim de semn (sábdo e domingo). A seguinte tbel ilustr os resultdos De cordo com est pesquis, qunts hors de seu tempo gst um jovem entre e 8 nos, n semn inteir (de segund-feir domingo), ns tividdes escolres? () (b) (c) (d) 5 (e) 7. MATRIZES ESPECIAIS. MATRIZ QUADRADA É tod mtriz cujo número de linhs é igul o número de coluns.

2 Exemplo: A mtriz A é de ordem dois 5 por dois ou simplesmente ordem, simbolicmente A ou simplesmente, A 5. 5 Observção: Em tod mtriz qudrd temos digonl principl e digonl secundári, vej digonl secundári digonl principl Observe que n digonl principl os índices (i e j) são iguis.. MATRIZ IDENTIDADE É um mtriz qudrd em que todos os elemento d digonl principl são iguis e os outros elementos são iguis zero, seu símbolo é I n. Exemplos: I, I.. MATRIZ NULA É qulquer mtriz que possui todos os elementos iguis à zero. Simboliz-se mtriz nul de ordem m n por m n e de ordem n por n. Exemplos:,,,. IGUALDADE DE MATRIZES Dus mtrizes A e B são iguis se, e somente se, tem mesm ordem e seus elementos correspondentes (que estão n mesm linh e n mesm colun) são iguis. ) Clcule os termos desconhecidos: b 6 ) c d 5 8 x 6 b) 5 y 5 8 m n c) I p q m d) n 5 y e) I x y x y b 5 f) y - b 8 g) b b d h) z x - 5x 6 I y - 5. ADIÇÃO DE MATRIZES Dd dus mtrizes A e B do mesmo tipo m n denomin-se som d mtriz A com mtriz B, que representmos por A + B, mtriz C do tipo m n n qul cd elemento é obtido dicionndo os elementos correspondentes de A e B. 5) Dds s mtrizes A C 5, clcule: - ) A + B c) B + C, B 7 b) A + C d) A + B + C 6) Determine x, y, z e t, sbendo que: x ) y + z 5 5 x b) y + z y z 5 9 x y x c) + z t z 8 x y d) y z + x t y 6. SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Sejm s mtrizes A e B de mesm ordem, denomin-se diferenç entre A e B (representd por A B) som de A com mtriz opost de B, simbolicmente 7) Clcule: A B A + (-B) 8 ) 7-6 c) b) - 5 8) Dds s mtrizes A 6, B 6 e e

3 C, clcule: - ) A + B C b) A - B + C c) A - B C 9) Determine x, y e z sbendo que: x ) y - z b) x y z y 5 - z 8 x 6 - x y c) - z - z d) x y - - z MULTIPLICAÇÃO DE N REAL POR MATRIZ Se A é um mtriz de elementos ij, e é um número rel, então A é um mtriz cujos elementos são ij. - e B 5 ) Sendo A, de- 6 termine: ) 5A c) A e) 5A x b) -B d) A + B ) Se A -, B - clcule A + B - C. e C 8. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES, Dd um mtriz A ( ij ) do tipo m x n e um mtriz B (b ij ) do tipo n x p, o produto d mtriz A pel mtriz B é mtriz C (c ij ) do tipo m x p tl que o elemento c ij é clculdo multiplicndo-se ordendmente os elementos d linh i, d mtriz A, pelos elementos d colun j, d mtriz B, e somndo-se os produtos obtidos. A mtriz C é o produto de A por B, vmos indicá-l por AB. ) O qudro bixo registr os resultdos obtidos por qutro times em um torneio em que todos se enfrentm um vez: Vitóris Emptes Derrots Améric Botfogo Ncionl Comercil ) Represente em form de mtriz tbel. b) Qul é ordem d mtriz? c) Sendo A indicção d mtriz, o que represent o elemento d mtriz? d) Qul o elemento d mtriz A que indic vitóri do Comercil? e) Considerndo que um time gnh três pontos n vitóri e um ponto no empte, usndo multiplicção de mtrizes, clcule, fzendo um multiplicção de mtrizes, quntos pontos fez cd time. f) Qul foi clssificção finl do torneio? ) Pr fbricção de cminhões, um indústri montdor precis de eixos e rods pr seus três modelos de cminhões, com seguinte especificção: Componentes/modelos A B C Eixos Rods 6 8 Pr os primeiros meses do no, produção d fábric deverá seguir tbel bixo: Modelo/Meses Jneiro Fevereiro A B 5 8 C 5 Usndo multiplicção de mtrizes, respond: nesss condições, quntos eixos e qunts rods são necessários em cd um dos meses pr que montdor tinj produção plnejd? EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 5)(Enem-) Um luno registrou s nots bimestris de lgums de sus disciplins num tbel. Ele observou que s entrds numérics d tbel formvm um mtriz x, e que poderi clculr s médis nuis desss disciplins usndo produto de mtrizes. Tods s provs possuím o mesmo peso, e tbel que ele conseguiu é mostrd seguir. ) Determine os produtos: ) 6 5 d) b) 5 e) - - c).i Pr obter esss médis, ele multiplicou mtriz obtid prtir d tbel por: () (b) (c) (d) (e)

4 6)(UFRS) A mtriz C fornece, em reis, o custo ds porções de rroz, crne e sld usdos num resturnte. A mtriz P fornece o número de porções de rroz, crne e sld usdos n composição dos prtos tipo P, P, P desse resturnte. rroz crne sld rroz prto P C P crne prto P sld prto P A mtriz que fornece o custo de produção, em reis, dos prtos P, P, P é: () (b) (c) 9 (d) 6 8 II-DETERMINANTES (e). INTRODUÇÃO Tod mtriz qudrd tem, ssocido el, um número chmdo de determinnte d mtriz, obtido prtir de operções que envolvem todos os elementos d mtriz. Os determinntes são usdos, por exemplo, pr resolver sistems como o seguinte, chmdo de sistem liner (de três equções, com três incógnits): x y z x - 5y z x y - z Muito utilizdo tmbém em geometri nlític, por exemplo, pr cálculo de áre de triângulo, encontrr equção d ret e verificr se três pontos são colineres.. DETERMINANTE DE MATRIZ QUA- DRADA DE ORDEM Sejm s mtrizes A [] e B [-], o determinnte d mtriz A é igul, simbolicmente det A, e o det B -.. DETERMINANTE DE MATRIZ QUA- DRADA DE ORDEM Se A é um mtriz qudrd de ordem, clculmos o seu determinnte fzendo o produto dos elementos d digonl principl menos o produto dos elementos d digonl secundári. Dd mtriz A seu determinnte ssim: det A.. ou, indicmos.. 7) Clcule os determinntes: ) 6 b) 6 5 8) Se c) -5 - d) , b 6 e c 8 clcule o vlor de + b c.. REGRA DE SARRUS Podemos obter o determinnte de um mtriz qudrd de ª ordem utilizndo um regr prátic muito simples denomind regr de Srrus. Sej mtriz A Vmos repetir ª e ª colun à direit d mtriz, conforme o esquem bixo: Em seguid fz-se diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl somdo s sus prlels pelos elementos d digonl segundri e somdo s sus prlels sus prlels, simbolicmente: [(.. )+(. )+(. )]- [(.. )+(.. )+(. )] Os produtos ssim obtidos n direção d digonl principl permnecem com o mesmo sinl; Os produtos obtidos n direção d digonl secundári mudm de sinl; O determinnte é som dos vlores ssim obtidos. Exemplo: Sej A mtriz bixo, 5 A -, clculndo o determinnte d - - mtriz, segue, Logo [ + + ] - [ - 6] [-] + 7. O det A 7.,

5 9) Aplicndo regr de Srrus, clcule os determinntes: ) b) c) 5 8 d) e) f) ) Sbendo que x determine x - y. ) Se, clcule b + b ) Resolv equção e b - x x - e y - -., (Vej resolução dess questão ) III-SISTEMAS LINEARES. EQUAÇÕES LINEARES Dizemos que: x + y 7 é um equção liner ns incógnits x e y; x + y z é um equção liner ns incógnits x, y e z; x - 5y + z t é um equção liner ns incógnits x, y, z e t; De modo gerl, denomin-se equção liner tod equção que pode ser escrit n form: x + x + x n x n b n qul:,,,..., n são números reis chmdos coeficientes ds incógnits; x, x, x,..., x n são s incógnits; b é o termo independente. Pel definição, não são equções lineres: xy x + y 6 x xy yz + z Observe, gor, s seguintes equções lineres: ª) x + y 8 Dizemos que: O pr (, ) é um solução d equção, pois. +. 8; O pr (6, ) é um solução d equção, pois ; O pr (5, ) não é solução d equção, pois ª) x + y z 8 Dizemos que: O terno (,, ) é um solução d equção, pois. +. 8; O terno (, 6, -) é um solução d equção, pois. + 6.(-) 8; O terno (5, -, ) não é solução d equção, pois.5 + (-) -.() 8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Verifique se o pr: )(6, ) é um solução d equção liner x y 8 b)(, -5) é um solução d equção liner x + y. EQUAÇÃO DO TIPO x b Observe equção do tipo x b, com vriável rel x, R e b R, nos exemplos bixo: º) Em x 6, temos x 6 como o único vlor rel possível pr x. º) Em x 7, não temos vlor rel pr x, pois não existe número rel que multiplicdo por dê 7. º) Em x, x pode ssumir qulquer vlor rel, pois todo número rel multiplicdo por dá. De modo gerl: x b, com x b é o único vlor de x; x b, com e b não existe vlor rel pr x; x b, com e b x pode ssumir qulquer vlor rel.. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Denomin-se sistem liner m x n o conjunto S de m equções lineres em n incógnits, que pode ser representdo ssim: S x x x... n xn b x x x... xn b n mx m x m x... xn b mn Exemplos: º) x - y 6 x y é um sistem liner x ns incógnits x e y. º) x - y - x x y y é um sistem liner x ns incógnits x e y. x - y - z º) x - y - z - é um sistem liner x ns X - Y Z 6 incógnits x, y e z. m 5

6 . SISTEMAS LINEARES. Resolução pelo método d dição Resolver um sistem liner signific descobrir o seu conjunto solução S, formdos por tods s soluções do sistem. A resolução dos sistems lineres x, já foi vist no Ensino Fundmentl, por meio de lguns métodos como dição, substituição, comprção e outros. Vmos retomr, com exemplos, resolução pelo método d dição: x y.(5) 5x - 5y 5 x 5y x 5y 7x 5 x (vlor único de x). Substituindo o vlor de x em qulquer um ds equções do sistem, por exemplo em x + 5y, segue,. + 5y 6 + 5y 5y 6 5y -5 y - (vlor único de y). Então, (, -) é o único pr que é solução do sistem. Dizemos então que o sistem tem S {(, -)}, e que tem um únic solução. º) x y 5.(-) x y -x y - x y y -8 Se y -8 não existe vlor rel pr y, logo não existe pr de números reis que sej solução do sistem. Dizemos que o sistem tem S e que é sistem impossível ou sistem sem solução. º) 6x 8y -x 9y -.() 6x - 8y -6x 8y - y Se y, incógnit y pode ssumir qulquer vlor rel. Fzendo y, e substituindo em um ds equções do sistem, temos: 6x 8. 6x - 8 6x + 8 6x x 6 x 7. Logo o pr (7, ) é solução do sistem. Fzendo pr y, fzendo todos os cálculos semelhntes o de cim, encontrremos x. E ssim por dinte. Portnto pr cd vlor de y, temos um solução pr o sistem, logo S {(7, ), (, ), (, ), (, -)...}. Dizemos que o sistem tem infinits soluções. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Resolv os sistems lineres bixo usndo o método d dição: x y ) x - y - x y b) x - y - 8 x - y c) x y 9 x 5y - d) x - y 9 5) Observe figur bixo: Qunto pes cd niml? 6) Usndo sistems lineres, clcule quntidde de cd objeto, n figur bixo: 7) Clssifique os seguintes sistems lineres em únic solução, infinits soluções ou impossível, utilizndo o método d dição: x y 6 ) x - y 8 x y b) x - y x y c) x y d) x - 6y 6x - 9y EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 8)(Enem-) Um pesso compr semnlmente, num mesm loj, sempre mesm quntidde de um produto que cust R$, unidde. Como já sbe qunto deve gstr, lev sempre R$ 6, mis do que qunti necessári pr comprr tl quntidde, pr o cso de eventuis despess extrs. Entretnto, um di, o chegr à loj, foi 6

7 informd de que o preço dquele produto hvi umentdo %. Devido esse rejuste, concluiu que o dinheiro levdo er qunti ext pr comprr dus uniddes menos em relção à quntidde hbitulmente comprd. A qunti que ess pesso levv semnlmente pr fzer compr er () R$ 66,. (d) R$ 6,. (b) R$ 56,. (e) R$,. (c) R$ 8,. dos tipos: DDR/GB/8MHz/PC e DDR/GB/667MHz/PC. Sbendo-se que s memóris custrm, cd um, respectivmente, R$ 8, e R$ 5,, e que o vlor totl gsto com els foi de R$.75,, quntidde de memóris do tipo DDR/GB/8MHz/PC é igul : () (b) (c) 8 (d) (e) 5 9)(UFRA-) Um função de custo liner é d form C(x) Ax + B, onde B represent prte fix desse custo totl. Suponh que um indústri o produzir 5 uniddes de um produto, gst R$ 55, e qundo produz uniddes seus gstos são de R$ 7,, então podemos firmr que os custos fixos dess indústri são, em reis, (Vej resolução dess questão ) () 75 (c) 75 (e) 75 (b) 5 (d) )(UEPA-) Em um Shopping Center, um pesso verificou o vlor por unidde de CD de diferentes gêneros musicis (smb e forró) ns lojs A e B, conforme indicdo n tbel bixo: Smb Forró Loj A R$ 8, R$, Loj B R$ 7, R$, Se ess pesso decidisse comprr x uniddes de CD do gênero smb e y uniddes de CD do gênero forró, n loj A, el gstri R$ 8,. Ms, se el comprsse s mesms quntiddes de CDs x e y n loj B el gstri R$,. Então som x+y é igul : () 8 (b) 7 (c) 6 (d) 5 (e) )(UEPA-) Em um empres n qul foi implntdo um projeto de colet seletiv será necessário compr coletores pr pilhs e lâmpds. Ao se fzer o orçmento desses coletores form recebids proposts de dus lojs que presentm o mesmo preço pr cd coletor, conforme indicdo n tbel bixo. Se decisão for de comprr coletores de pilh e coletores de lâmpds, será gsto o vlor de: Orçmento Coletor Coletor Lâmpd Pilhs Totl Loj uniddes uniddes R$.6, Loj uniddes uniddes R$., () R$.5, (d) R$., (b) R$.6, (e) R$.7, (c) R$.9, )(UEPA-) Um empresário do rmo d informátic comprou pr su loj memóris Um esfer ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são clssificdos como grupos de Lie. Um ds mis complicds estruturs desse tipo já estudds é o Excepcionl Grupo de Lie E8. Ele é um objeto de 57 dimensões e pr descrevê-lo é necessári um mtriz de 5.6 linhs e coluns. Apostil tulizd em 9/5/7 Gostou d Apostil? Você encontr no Blog: Link! Dê um olhd. Referêncis DANTE, L.R. Mtemátic: Contexto & Aplicções.. Ed. São Pulo: Átic,, v.. 7