Matemática Básica. A.1. Trigonometria. Apêndice A - Matemática Básica. A.1.1. Relações no triângulo qualquer. Leis Fundamentais:

Transcrição

1 Apênice A - Mtemátic Básic A.. Trigonometri A... Relções no triângulo qulquer A Mtemátic Básic C A α c β B γ Figur A. - Triângulo qulquer Leis Funmentis: c sen = sen = sen c A- Lei os cossenos: = + c - c cos = + c - c cos A- c = + - cos c 63

2 Mecnismos Articulos A... Relções no triângulo retângulo β B c Expressões Direts Seno e α: C α A Figur A. - Triângulo retângulo sen = c A-3 Cosseno e α: cos = A-4 Tngente e α: tg = c A-5 Cotngente e α: cotg = c A-6 Secnte e α: sec = = cos A-7 Cossecnte e α: cosec = = c sen A-8 64

3 Apênice A - Mtemátic Básic Ângulos notáveis α π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/ sen α 0 3 cos α 3 0 Projeções: tg α 0 sen = c cos = Figur A.3 - Ângulos notáveis. A-9 A..3. Relções Trigonométrics Relção Funmentl sen + cos = A-0 Conseqüêncis: - sen = cos - cos = sen + tg = sec + cotg = cosec Outrs Relções: sen( - ) =-sen cos( - ) = cos sen( r - ) = sen( r + ) = cos cos( r - ) = sen cos( r + ) =- sen A- A- 65

4 Mecnismos Articulos A..4. Aição/Sutrção e Arcos sen(! ) = sen cos! sen cos cos(! ) = cos cos" sen sen A-3 tg! tg tg(! ) = " tg tg Conseqüêncis: sen = sen cos cos = cos -sen A-4 tg tg = - tg Arco Mete sen =! - cos cos =! + cos tg =! - cos + cos A-5 Em Função o Arco Mete tg sen = + tg - tg cos = + tg tg tg = - tg A-6 66

5 A.. Geometri Pln Congruênci e Ângulos Ângulos com los perpeniculres: Apênice A - Mtemátic Básic β α α=β Figur A.4 - Congruênci e ângulos Relções no Triângulo C A α c γ β α + γ B Figur A.5 - Relções no triângulo qulquer. Som os ângulos internos: c r + + = A-7 Se = c, então α = γ Projeções B t A B' P α A' Fiur A.6 - Projeção e segmento e ret. 67

6 Mecnismos Articulos Sore ret t: Ou: A.3. Diferencição Diferenciis Básics: Projt AB = AB l l A-8 ProjtAB = AB cos A-9 Distânci e B t: BBl = PB sen A-0 = 0 se for constnte = = x n n = nx - A- Funções Trnscenentis: ( ) =- x x ln x = x e x e x = Funções Trigonométrics: senx = cos x cosx =-sen x tg x = sec x = cos x A- A-3 68

7 Regrs e Diferencição: Consierno u e v funções em x: Exemplo: ( u + v ) = u + v u $ v = u $ v + u $ v u v ( u $ v- u$ ) = v v Consierno v função e u, e u função e x: v Vmos fzer: Logo: Apênice A - Mtemátic Básic A-4 = v $ u u A-5 sen x = ( sen x) A-6 u = sen x & v = u A-7 u = cosx e v = u = sen x u & v = v $ u = senxcos x u A-8 69

8 Mecnismos Articulos 70

9 Apênice B - Sistems Trigonométricos B Sistems Trigonométricos Ns ceis cinemátics e form gerl, solução o sistem composto pels equções e restrição nos lev os eslocmentos s rrs ssocis às coorens generlizs. O prolem se á pelo fto e ests equções não serem lineres visto que, s incógnits normlmente são rgumentos e funções trigonométrics. Em vere coorens ngulres, normlmente ssocis pres rottivos, levm rgumento e função trigonométric e coorens lineres, ssocis pres prismáticos levm incógnits lineres e fácil solução. Um outro prolem oro neste pênice iz respeito à inversão s mtrizes jcoins em ceis composts que, como veremos, pesr e serem mtrizes e orem superior ois, ests poem sempre ser rerrnjs em locos e form que possmos encontrr solução pel inversão e um seqüênci e mtrizes qurs. B.. Equções pr o Mecnismo Biel-mnivel No cso o mecnismo iel-mnivel, quse sempre vmos ter um cooren secunári ssoci um pr cinemático prismático e isto vi nos levr um incógnit liner no sistem e equções 7

10 Mecnismos Articulos fcilitno soremneir solução o prolem. Consierno, pr incógnits o sistem, s vriáveis φ e x, s us situções mis comuns levm às equções o tipo B- e B-3 seguir. B- Teno pens um incógnit como rgumento e um função trigonométric, solução pr o sistem e equções em B- é imeit em φ e simples e se oter em x prtir som os quros os termos sen φ e cos φ, pós isolos no sistem. B- Um outr inversão, tmém muito comum em mecnismos iel-mnivel, tem o sistem e equções B-3 pr equções e restrição. B-3 O ponto e prti pr solução e B-3 consiste em se isolr x sen φ e x cos φ ns us equções o sistem, pr em segui oter-se φ pel ivisão primeir pel segun, e x pel som os quros, equção B-4. B-4 Nos ois csos, equções B- e B-4, o sinl o ricl será único, ms efinio em função e c geometri e nálise e lgum impossiilie pr sinl positivo ou negtivo. B.. Equções pr o Qurilátero Articulo B... Equção em Seno e Cossseno Antes e rmos prosseguimento às equções pr o qurilátero rticulo, vmos procurr um solução pr equção trigonométric em B-5, que iremos utilizr mis inte. B-5 7

11 Apênice B - Sistems Trigonométricos Neste cso, sustituição e seno e cosseno pels ienties trigonométrics em B-6, vi nos levr à equção B-7. que tem pr solução: Note que se equção B-5 tivesse form: B-6 B-7 B-8 B-9 com os mesmos proceimentos ou sustituio negtivmente em B-8, chegrímos : B-0 B... Sistem o Qurilátero Neste cso s us incógnits serão ngulres e portnto o sistem será trnsceentl ns vriáveis α e β, levno-nos um equção o tipo: B- Se isolrmos A sen α e A cos α ns us equções o sistem, e somrmos os seus quros, vmos oter: one: B- B-3 seno equção B- similr B-5 vmos oter solução pr α, prtir e B-8, como seno: 73

12 Mecnismos Articulos B-4 D mesm form, se isolrmos gor B sen β e B cos β ns us equções o sistem B-, e efeturmos os mesmos proceimentos nteriores com: B-5 vmos oter, pr solução e β: B-6 Pr o cso em que se tenh B negtivo em um s linhs o sistem, como em B-7, por exemplo. B-7 não teremos munç pr o vlor e α, porém solução pr β tornse: B-8 One, mis um vez em toos os csos, o sinl o ricl everá ser único e efinio pr c cso, em função nálise geométric e lgum impossiilie pr sinl positivo ou negtivo. A.3. Mtrizes Jcoins em Ceis Composts Antes e pssrmos à situção gerl, vejmos o cso e um cei impost com oito rrs ou e qulquer cei não impost com seis rrs secunáris. O prolem nos levrá um equção mtricil o tipo B-5: Note que se mtriz jcoin o sistem não estiver n form equção B-5, est poerá ter s sus coluns recmis, nturlmente que com s respectivs linhs s mtrizes coluns B e C, e moo se ter este formto. 74

13 Apênice B - Sistems Trigonométricos B-9 Após ssumir este formto, poemos suiviir mtriz principl em locos, junto com s sus respectivs sumtrizes colun, seno primeir els: B-0 que irá fornecer, sem prolems, os vlores e e pel inversão e um mtriz qur simples. Agor, com conhecio, poemos montr o seguno loco: B- que fornecerá, novmente pel inversão e um mtriz qur, os vlores e 3 e 4. E então, com 4 conhecio, chegmos o último loco: B- one vmos oter os ois últimos vlores 5 e 6, resolveno o prolem. Pssemos gor o cso gerl em que possmos ter n equções e restrição levno em conseqüênci um mtriz jcoin n n. Como est mtriz eriv-se e um cei cinemátic é possível se provr que el poe ser post n form e um mtriz em que:. ij = 0 pr j > i, com exceção os termos sucessivos, n linh, ii, com i ímpr.. ij = 0 pr j < i+, com exceção os termos ntecessores, n linh, o ntecessor e ii, com i pr. 75

14 Mecnismos Articulos Cso n sej igul seis, temos um exemplo est mtriz no equção B-5. Pr este cso, pós etermino o primeiro loco como em B-5, os locos sucessivos, i = 3 té n e ois em ois sempre ímpr, serão eterminos por: B-3 One o vlor i- sempre será conhecio prtir o loco nterior e os vlores e i e i+ poem ser otios pel inversão e um simples mtriz qur. 76