Revisão Vetores e Matrizes

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1 Revisão Vetores e trizes

2 Vetores Vetores no R n R n {(x,..., x n ) tl que x,..., x n R} com s definições usuis de dição e multilicção Adição (x,..., x n ) (y,..., y n ) (x y,..., x n y n )

3 Vetores ultilicção Se c R, um esclr, então c(x,..., x n ) (cx,..., cx n ) Sej x (x,..., x n ) e y (y,..., y n ) dois vetores xn, temos w x.y T x.y... x n.y n (w éum esclr) Cominção iner Ddos u,..., u k vetores do R n, um cominção liner de u,..., u k éum exressão do tio α u... α k u k, onde α,..., α k são coef. reis 3

4 Vetores Indeendênci iner Dizemos que os vetores u,..., u k são linermente indeendentes qundo α u... α k u k 0 imlic em α... α k 0. Cso contrário dizemos que u,..., u k são linermente deendentes. 4

5 5 triz Def.: um mtriz nx de elementos reis é um rrnjo de n. números reis, num estrutur retngulr de n linhs e coluns. n n A

6 6 trizes Som e Sutrção A oerção de som/sutrção é definid ens entre mtrizes que têm mesm dimensão, ou sej, com o mesmo número de linhs e coluns. n n A n n B n n n n B A C

7 Som e Sutrção Prorieddes Associtiv (A B) C A (B C) Comuttiv A B B A Elemento Neutro 0 A A Elemento osto A (-A) 0 7

8 8 trizes ultilicção A oerção de multilicção de um mtriz A or um mtriz B é definid ens se o número de coluns de A for igul o número de linhs de B. n n A k k k B ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (. k n k n n n k k k k A B K K K K K K

9 trizes ultilicção ultilicção de um mtriz or um esclr c. c. c. A c. n c. c. c. n 9

10 ultilicção Prorieddes Distriutiv com esclr q(a B) qa qb Distriutiv entre mtrizes A(B C) AB AC Comuttiv AB BA Elemento Neutro 0.A 0 onde 0 é um mtriz Nul. 0

11 trizes Eseciis triz Qudrd Possuem o mesmo número de linhs e coluns triz Digonl Um mtriz qudrd A é dit mtriz digonl qundo todos os elementos não ertencentes digonl são diferentes de zero. A A 0 0

12 trizes Eseciis triz Tringulr Um mtriz qudrd A é dit ser tringulr: (i) se e somente se todo elemento ij A, tl que i < j, é igul zero; (ii) todo elemento ij A, tl que i > j, é igul zero; triz Simétric A Um mtriz qudrd A é simétric, se e somente se, x A y x z y z ij ji r todo i j {,,..., n}

13 trizes Eseciis triz Identidde Um mtriz qudrd A é um mtriz identidde, se e somente se, todo elemento ij A, tl que i j, é igul zero e todo elemento ij A, tl que i j, é igul ; 0 I 0 triz Idemotente 0 0 Um mtriz qudrd A é idemotente, se e somente se, A.A A 0 0 3

14 4 trizes Eseciis triz Trnsost Dd um mtriz A de qulquer dimensão nx, chmmos de mtriz trnsost de A, reresentd or A ou A T, mtriz xn tl que ji ij, ou sej, s linhs de A são s coluns de A, n mesm ordem. n n n A n n n T A 3 3 3

15 trizes Eseciis triz Invers Dd um mtriz qudrd A de dimensão nxn, chmmos de mtriz invers de A, denotd or A -, mtriz de dimensão nxn que tende seguinte roriedde:. A. A A A I n Regr do Coftor 5

16 Trnsost e Invers Prorieddes triz Trnsost (A T ) T A (A B) T A T B T (A. B) T B T. A T triz Invers (A - ) - A (A. B) - B -. A - (A T ) - (A - ) T 6

17 trizes Eseciis triz de Projeção Um mtriz simétric e Idemotente é chmd mtriz de rojeção. Exemlo P (x,y) Rere que: 0 x x. 0 0 y 0 (x,0) 7

18 trizes Eseciis triz Singulr Sej A um mtriz qudrd, dizemos que A é um mtriz singulr qundo seu determinnte é igul zero. triz Não-Singulr Sej A um mtriz qudrd, dizemos que A é não-singulr qundo seu determinnte é diferente de zero. BS: Um mtriz não-singulr tmém é inversível vel 8

19 trizes Eseciis triz Positiv Definid Um mtriz simétric A, nxn, é ositivdefinid qundo x Ax > 0, / todo vetor x, nx. BS : Tod mtriz simétric ositiv-definid é não-singulr, logo tmém é inversível. BS : Se A é ositiv-definid, então A - é ositiv-definid. BS 3 BS 3: Se X é nx (n >> ), com osto ρ(x), então X X é ositiv-definid. 9

20 trizes Eseciis Posto de um triz Sej A um mtriz qulquer, o osto de A reresentdo or ρ(a), corresonde o número máximo de linhs (ou coluns) linermente indeendente de A. Trço de um triz Sej A um mtriz qudrd nxn, definimos o trço de A como n (Som dos elementos tr( A) i ii d digonl) 0

21 trizes Eseciis Trço de um triz (Prorieddes) tr(a B) tr(a) tr(b) tr(λa) λtr(a), onde λ éum esclr tr(ab) tr(ba)

22 trizes Eseciis Determinntes A tod mtriz qudrd A, tem-se um número (esclr) conhecido como determinnte d mtriz, que é indicdo or det A ou elo símolo A. Note que um mtriz or si não tem vlor numérico lgum, ms o determinnte de um mtriz é um número inteiro. A A

23 trizes Eseciis Cálculo de um Determinnte triz x Det A A triz 3x3 (Regr de Srrus) A Det A ( ) - ( ) 3 ( 3 3 ) 3

24 trizes Eseciis Cálculo de um Determinnte triz nxn A n n Det A C C 3 C 3... (ou ) n C n, onde C, C, C 3,..., C n são os comlementres dos elementos,, 3,..., n. n n nn 4

25 trizes Eseciis Cálculo de um Determinnte Pr clculr os comlementres devemos eliminr linh e colun que o número em questão ertence. Deste modo, r clculr o comlementr de, devemos eliminr linh e colun d mtriz A. Já r encontrr o comlementr de 3, devemos eliminr linh e 3 colun d mtriz A Cso C ij tenh dimensão suerior 3, devemos reduzi-lá sucessivmente té que el tinj ordem 3, qundo então licmos regr de Srrus. 5

26 trizes Eseciis triz Prticiond uits vezes é comum trlhr com mtrizes n form de locos, or exemlo X A C B D onde A, B, C e D são mtrizes 6

27 trizes Eseciis Produto de trizes Prticionds uits vezes é comum trlhr com mtrizes n form de locos, or exemlo A C B E. D G F H AE BG CE DG AF CF BH DH desde que todos os rodutos e soms cim estejm em definidos. 7

28 trizes Eseciis Exercício Escrever um ensio de té 5 ágins sore trizes Prticionds 8