MATRIZES. Matriz é uma tabela de números formada por m linhas e n colunas. Dizemos que essa matriz tem ordem m x n (lê-se: m por n), com m, n N*

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1 MTRIZES DEFINIÇÃO: Mtriz é um tl d númros formd por m linhs n coluns. Dizmos qu ss mtriz tm ordm m n (lê-s: m por n), com m, n N* Grlmnt dispomos os lmntos d um mtriz ntr prêntss ou ntr colchts. m m m n n n mn com m, n N* m n ou i m n com i,,,, m,,,, n O lmnto i é ftdo d dois índics ond o primiro, i, indic linh o sgundo,, indic colun, às quis o lmnto i prtnc. ( i m n ) Emplo: o lmnto (lê-s: um três) ocup primir linh trcir colun. o lmnto (lê-s: qutro dois) ocup qurt linh sgund colun.

2 CLSSIFICSSÃO DS MTRIZES: Mtriz linh: É mtriz qu possui um únic linh, ou s, tm ordm n. ( m = ) Mtriz colun: É mtriz qu possui um únic colun, ou s, tm ordm m. ( n = ) Mtriz nul: É mtriz ond todos os sus lmntos são iguis zro. Mtriz qudrd: É mtriz qu possui o númro d linhs igul o númro d coluns. Nss cso, dizmos qu mtriz é qudrd d ordm n. ( m = n ) Mtriz rtngulr: É mtriz qu possui o númro d linhs difrnt do númro d coluns. ( m n ) Mtriz idntidd ou mtriz unidd: Chm-s mtriz idntidd mtriz qudrd m qu cd lmnto d digonl principl tm o vlor os dmis têm o vlor zro. Rprsnt-s: I n ( n rprsnt ordm d mtriz idntidd ). I I Mtriz ortogonl: é mtriz qudrd m qu trnspost dss mtriz é igul à su invrs. ( t = - ) Mtriz digonl: é tod mtriz qudrd, ond sus lmntos posiciondos cim io d digonl principl são iguis zro. Mtriz tringulr: é tod mtriz qudrd, ond sus lmntos posiciondos cim ou io d digonl principl são iguis zro. Mtriz simétric: é mtriz qudrd tl qu = t

3 IGULDDE DE MTRIZES: Dus mtrizs,, d msm ordm srão iguis ( = ) s, somnt s, os sus lmntos d msm posição form iguis, ou s: = ( i ) m n = ( i ) m n s i i i,,,, m,,,, n MTRIZ TRNSPOST: Dd um mtriz d ordm m n, chm-s mtriz trnspost d, indic-s por t, mtriz cu ordm é n m, sndo s sus linhs ordndmnt iguis às coluns d mtriz. Emplo: 7 t 7 MTRIZ OPOST: Dnomin-s mtriz opost d um mtriz mtriz cuos lmntos são simétricos dos lmntos corrspondnts d. Mtriz opost d um mtriz = ( i ) é mtriz = ( i ) tl qu i = - i Emplo: OPERÇÕES COM MTRIZES: dição: som d dus mtrizs d msm ordm é mtriz, tmém d msm ordm, otid com dição dos lmntos d msm posição ds mtrizs. Sm = ( i ) m n, = ( i ) m n C = (c i ) m n s C = + c com i i i i,,,, m,,,, n

4 EXEMPLO Sutrção: difrnç ntr dus mtrizs, d msm ordm, é mtriz otid pl dição d mtriz com opost d mtriz, ou s: ( ) EXEMPLO Multiplicção d um númro rl por um mtriz: O produto d um númro rl k por um mtriz é otido pl multiplicção d cd lmnto d mtriz por ss númro rl k. S = ( i ) m n k. = ( i ) m n, ntão n,,,, m,,,, i com k. i i Multiplicção d mtrizs: Dds s mtrizs = ( i ) m n = ( i ) n p. Dfin-s como produto d por mtriz C = (c i ) m p tl qu o lmnto c i é som dos produtos d i-ésim linh d plos lmntos corrspondnts d -ésim colun d. C m n n p m p Dvm sr iguis Dimnsão do rsultdo m p OS: Só é possívl multiplicr dus mtrizs qundo o númro d coluns d for igul o númro d linhs d.

5 mtriz produto trá s linhs d coluns d EXEMPLO: MTRIZ INVERS: S um mtriz d ordm n. mtriz, d msm ordm qu, dnominmos invrs d s o produto dls for mtriz idntidd.. =. = I n mtriz qu é invrs d é indicd por = -. = I n Osrvçõs: ) Sndo I n d ordm n, invrs - srá tmém d ordm n. ) S não istir invrs, dizmos qu mtriz não é invrsívl ou um mtriz singulr.

6 EXERCÍCIOS ) UFL - S M = (m i ) é um mtriz, tl qu: m i, pr i, pr i i Clcul M. R: ) UFRN - Rsolv qução mtricil = R: - ) FCMSC-SP - Dds s mtrizs R: S t é mtriz trnspost d, ntão clcul ( t - ) ) UFGO - Sm s mtrizs: c 9 ) ( log 7 Clcul, c pr =. R: = ; = - c = - ) UFP - Sndo Clcul o vlor d. -. R:

7 ) FGV-SP - Considr s mtrizs 7 Clcul som dos lmntos d primir linh d.. R: 7) UFPR - Rsolvndo qução. Qu vlors ncontrrmos pr rspctivmnt? R: ; ) UFGO - Considr s mtrizs: 7 C D Clcul o vlor d pr qu s tnh +.C = D. R: 9) UFSC - Clcul som dos vlors d qu stisfzm à qução mtricil: 9 R: ) UF-Url. MG - S mtriz é igul Clcul mtriz ( t ) R:

8 ) F.C.C. - Clcul.. +, sndo qu: R: 9 ) PUC - SP - S, C, clcul mtriz X tl qu C X X R: ) Dtrmin, z, sndo qu é um mtriz digonl. z z R: - ; / ; - ) Dds s mtrizs = ( i ) com i = i + 7, clcul ( - ), sndo qu =. R: ) Sndo = ( i ), com i = i +, = ( i ), com i = > i s, i < i s, i = i s,, dtrmin ( + ) R: 7 9 ) Ddos, C, clcul mtriz X, d modo qu C X R:

9 7) Dtrmin mtriz X, tl qu. X = R: X ) FP - SP - Dds s mtrizs, C, dtrmin os vlors d pr qu. = C. R: = = - 9) Fuvst-SP - Dds s mtrizs, dtrmin d modo qu. = I, ond I é mtriz idntidd. R: = = ) N mtriz = ( i ), ond i =, s i <.i, s i =.i., s i >, clcul... R: -

10 DETERMINNTES DETERMINNTE DE UM MTRIZ QUDRD DE ORDEM S mtriz qudrd d ordm Dnomin-s dtrminnt ssocido à mtriz o númro otido pl difrnç ntr os produtos dos lmntos d digonl principl d digonl scundári. Rprsnt-s um dtrminnt d ordm por: dt.. digonl scundári digonl principl DETERMINNTE DE UM MTRIZ QUDRD DE ORDEM - REGR DE SRRUS S mtriz not-s mtriz dd rpt-s, dirit, coluns, conform o squm TROCR OS SINIS CONSERVR OS SINIS Multiplicndo os lmntos sgundo cd digonl ssocindo os produtos o sinl indicdo, tmos: dt

11 DETERMINNTE DE UM MTRIZ QUDRD DE ORDEM S mtriz not-s mtriz dd rpt-s, io d linh, linhs, conform o squm: INVERTE-SE OS SINIS CONSERV-SE OS SINIS Multiplicndo os lmntos sgundo cd digonl ssocindo os produtos o sinl indicdo, tmos: dt = OS: Ests rgrs prátics muito simpls só s plic dtrminnts d ordm. EXERCÍCIOS ) Rsolv s quçõs: ) ) 7 c) R: ) ) - ou / c) 7

12 ) Rsolv s sguints quçõs no conunto univrso dos númros ris: ) ) c) d) R: ) ou ) /7 c) d) ) Rsolv s inquçõs no conunto univrso dos númros ris: ) ) R: ) { R < - /} ) > / ) Dtrmin os vlors intiros d qu vrificm dsiguldd: R: {-, -, -,,,, } ) Clcul o vlor d, sndo qu R: = = -

13 ) O dtrminnt d mtriz sn sn sn cos cos é: ) cos ) sn c) sn d) sn ) sn R: d 7) S, = t, clcul dt (). R: ) S mtriz qudrd = ( i ), d ordm, tl qu i cos s i = i sn s i i +, clcul o dtrminnt d. R: - / 9) Clcul o dtrminnt d mtriz = ( i ), d ordm, ond i, s i i i, s i R: - ) Qul o conunto vrdd d qução: R: ) Dtrmin o polinômio qu rprsnt o dtrminnt: R: - + +

14 ) FUVEST - Clcul o dtrminnt d invrs d mtriz. R: - / / ) FUVEST - Clcul o dtrminnt d mtriz, ond = + - = - -. R: ) Clcul o dtrminnts: ) 9 ) 9 7 R: ; ) Rsolvr qução R: ; ; - ; ) Otr, < <, tl qu: sn sn cos = R: / ; ; /