Prof. Jomar. matriz A. A mxn ou m A n

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1 MATRIZES Prof. Jomr 1. Introdução Em mtemátic, é comum lidr com ddos relciondos dus informções. Por isso, os mtemáticos crirm s sus própris tbels, que receberm o nome de mtrizes. N verdde, s mtrizes podem ser vists como um lingugem mtemátic que vis fcilitr sobremneir presentção de equções e cálculos. 2. Mtriz 2.1 Definição Chm-se mtriz A do tipo mxn (lê-se m por n) tod tbel com m linhs e n coluns. Diz-se, tmbém, que mxn é dimensão ou tipo d mtriz A. 2.2 Denotção Denot-se um mtriz A do tipo mxn por A mxn ou m A n 2.3 Representção Um mtriz A é representd colocndo-se seus elementos entre prênteses ou entre colchetes. Assim, mtriz A 2x3 por ser representd por

2 A = ou A = Obs.: A é do tipo 2x3 ou possui dimensão 2x Representção Genéric Há dus mneirs de se representr um mtriz A do tipo mxn: form explícit e form brevid Explícit Ness form, mtriz A mxn é representd indicndo-se cd um dos elementos por um letr minúscul compnhd de dois índices: o primeiro indicndo linh e o segundo colun. Assim, se indicrmos os elementos pel letr, então, o elemento d linh i e colun j será indicdo por ij. Logo, A = m m n 2 n... mn Abrevid Ness form, mtriz A mxn é dd por A = ( ij ) mxn

3 em que, ij indic o elemento d linh i e colun j. Assim, A 2x3 é equivlente à A=( ij ) 2x3. Exemplo: Escrev n form de tbel mtriz A=( ij ) 2x3, em que ij =2i-3j. Resolução: Form explícit: A =. Note, 11 = =-1; 23 = = Assim, 3. Tipos de mtriz 1 A = Mtriz Linh Chm-se mtriz linh tod mtriz que possui pens um linh (m=1). Genericmente, A 1xn. Exemplo: A=[2 6 9 ], mtriz linh do tipo 1x Mtriz Colun Chm-se mtriz colun tod mtriz que possui pens um colun (n=1). Genericmente, A mx1. Exemplo: 4 A =, mtriz colun do tipo 4x Obs.: Ess mtriz gerlmente é denotd por vetor.

4 3.3 Mtriz Qudrd Chm-se mtriz qudrd tod mtriz em que o número de linhs é igul o número de coluns (m=n). Genericmente, A nxn. Diz-se, portnto, que mtriz A é de ordem n. Nesse contexto, se A é qudrd, então: ) os elementos de A ij tis que i=j, formm digonl principl de A; b) os elementos ij tis que i+j=n+1 formm digonl secundári de A. 3.4 Mtriz Identidde (ou Mtriz Unidde) Chm-se mtriz identidde de ordem n, n 2, tod mtriz qudrd de ordem n, tl que os elementos d digonl principl são iguis um, e os demis elementos iguis zero. Se n=1, o elemento d mtriz identidde é igul um. Notção: I n. Exemplo: I 3 = Mtriz Nul Chm-se mtriz nul à mtriz que possui todos os elementos iguis zero. Notção: O mxn.

5 3.6 Mtriz Trnspost Chm-se mtriz trnspost d Mtriz A mxn à Mtriz A nxm cujs linhs (coluns) coincidem ordendmente com s coluns (linhs) d Mtriz A. Notção: A t ou A. Exemplo: A = Logo, A' = Mtriz Opost Chm-se mtriz opost d mtriz A à mtriz em que seus elementos são os opostos dos elementos correspondentes d mtriz A. Notção: -A Exemplo: A =. Então, -A = Not: elementos correspondentes são elementos que ocupm s mesms posições entre mtrizes. 3.8 Mtriz Simétric Se um mtriz qudrd A (n) =( ij ) tem ij = ji ; pr (i;j), então A é um mtriz simétric. Note que: cso A=A, então, A é simétric. Exemplo 1: A =

6 Exemplo 2: Pr que B sej simétric, é necessário que x e y vlhm 5 e -4, respectivmente. x 2 y B = y Not: Tod mtriz I n é simétric. 3.9 Mtriz Antissimétric Se um mtriz qudrd A (n) =( ij ) possui ij =, pr i=j e ij = - ji pr i j, então A é um mtriz ntissimétric. 3.1 Mtriz Tringulr É mtriz qudrd que possui todos os elementos nulos, cim ou bixo d digonl principl. Exemplos: A = (Tringulr Inferior) e 3 B = (Tringulr Superior) 4. Iguldde entre Mtrizes Dus mtrizes A=( ij ) e B=(b ij ), do mesmo tipo mxn, são dits iguis se, e somente se, os elementos correspondentes de A e B são iguis. Notção: A=B Exemplo: Se x y 1 1 z =, então, x=-1; y=5 e z=

7 5. Adição de Mtrizes Dds s mtrizes A=( ij ), B=(b ij ) e C=(c ij ), do mesmo tipo mxn, dizemos que C é som de A com B se, e somente se, cd elemento de C for som dos seus elementos correspondentes de A e B. Notção: A+B = C ij + b ij = c ij Exemplo: Sejm C = + x x + = x A = eb = Então, C=A+B vle: Not: pr que sej possível dição, necessrimente, s mtrizes devem possuir mesm dimensão (mesmo tipo). 5.1 Proprieddes Sejm A, B, C e O (nul) do mesmo tipo. Então, ) comuttiv: A+B=B+A; b) ssocitiv: (A+B)+C=A+(B+C); c) elemento neutro: A+O=A; d) elemento oposto: A+(-A)=O; e) trnspost d som: (A+B) =A +B 6. Subtrção de Mtrizes Equivlente à dição. Notção: A-B = A+(-B)=C ij - b ij = c ij 7. Multiplicção de um número (esclr) por um Mtriz Dds s mtrizes A=( ij ) e B=(b ij ) do mesmo tipo mxn e um número k, diz-se que B é o produto de k por A se, e

8 somente, B for obtid multiplicndo-se pó k todos os elementos de A. Notção: B=k.A b ij =k. ij 4 2 Exemplo: Se A =, k=2 e B=k.A, então, B = 2. = Proprieddes Sejm A e B mtrizes do mesmo tipo mxn, e k e s, esclres. Logo, ) k. (A+B)=k.A+k.B; b) (k+s)a=k.a+s.a; c) k.(s.a)=(k.s).a; d) (k.a) =k.a 8. Multiplicção de Mtrizes Dds s mtrizes A mxp e B pxn, diz-se que mtriz C do tipo mxn é o produto de A por B se, e somente se, cd elemento c ij d mtriz C for obtido multiplicndo-se, ordendmente, os elementos d linh i de A pelos elementos d colun j de B e, posteriormente, somndose os produtos obtidos. Notção: C=A.B c ij = i1.b 1j + i2.b 2j ip.b pj

9 Observções: 1) o produto existirá se o número de coluns de um mtriz for igul o número de linhs d outr mtriz. Assim, ma p. p B n C=A.B 2) C é do tipo mxn; 3) Se existe o produto A.B, não implic, necessrimente, n existênci de B.A. Vej: ma p. p B n A.B ms, p B n. ma p B.A se n=m. Exemplo: = Pois, por exemplo: 15 = 2x5+3x1+1x Proprieddes Sejm s mtrizes A, B, C, I (identidde) e r um número (esclr). Admitindo s condições pr s operções de dição e multiplicção, vlem s proprieddes: 1) ssocitiv: A.(B.C)=(A.B).C; 2) distributiv pel esquerd: A.(B+C)=A.B+A.C; distributiv pel direit: (B+C).A=B.A+C.A; 3) r.(a.b)=(r.a).b; 4) (A.B) =B.A ; 5) A mxn.i n =A e I m.a mxn =A.

10 9. Potênci de um Mtriz Sej A um mtriz qudrd. Chm-se potênci de bse A e expoente n (n N) mtriz que se indic por A n e se define por: A = I.A 1 = A e A n = A n-1.a, pr n 2. Exemplos: Sej A = 2 ) A 2 = Obter: 3 b) A 3 = 1 c) A n = Not: Dd mtriz A (n), então, em relção à su segund potênci, tem-se: ) idempotente, se A 2 =A; b) nilpotente, se A 2 =; c) unipotente, se A 2 =I. 1. Mtriz Ortogonl Diz-se que A é ortogonl se A.A =A.A=I

11 11. Mtriz Invers (Clássic) Um mtriz qudrd A de ordem n diz-se inversível, ou não singulr, se e somente se, existir um mtriz que indicmos por A -1, tl que: A.A -1 =A -1.A=I n 12. Equção Mtricil do Tipo XA=B Sendo X, A e B mtrizes qudrds do mesmo tipo, prov-se que, se A dmite invers clássic (A -1 ), então: X.A=B X=B.A Proprieddes d Mtriz Invers Clássic Sendo A e B mtrizes qudrds do mesmo tipo e inversíveis, temos que: ) (A -1 ) -1 =A; b) (A -1 ) =(A ) -1 ; c) (AB) -1 =B -1 A -1 d) A invers clássic, se existir, é únic.

12 14. FORMAS ESCALONADAS Definição 1: Operções elementres são ssim definids: - trocr posição de dus linhs (ou de dus coluns); - multiplicr linh i (ou colun j) por um constnte k; - substituir linh i por l i + k l i, (ou colun j por c j + k c j ). Definição 2: Um mtriz m A n, ou A mxn, está n form esclond, se ocorrer simultnemente: i) O primeiro elemento não nulo de cd linh não nul é 1 (líder); ii) Tod colun que tem um 1 líder, tem todos os outros elementos nulos; iii) Se linh i tem um 1 líder n posição j (colun j) então qulquer linh i que tenh um 1 líder, o terá n posição j, de modo que: Exemplo 1: i < i j < j i > i j > j A=, ij R; B=, b ij R; C= ;

13 D=. ou sej, o primeiro elemento de cd linh, se não for, é 1 e é chmdo de líder. Ns coluns que tenhm o 1 líder, o resto é. Ficrá sempre n digonl principl o 1 líder, exceto qundo linh for nul. Definição 3: Dizemos que um mtriz está n form esclond cnônic (FEC) se el está n form esclond e tem tods s linhs nuls bixo ds não nuls, cso existm linhs nuls. No exemplo 1, s mtrizes B, C e D estão n FEC. Teorem: Dd um mtriz rel não nul A mxn, é sempre possível obtermos su FEC trvés de operções elementres. 15. ALGORITMO DE GAUSS PARA ESCALOLAR MATRIZES Dd um mtriz A (n) : 1º psso: Zerr todos os elementos que estão bixo d digonl principl, isto é, os elementos ij tis que i > j. Pr tnto, bst multiplicr linh j pelo multiplicdor m ij e dicionr o resultdo à linh i, sequencilmente d 1ª té penúltim colun. Definimos m ij, por m ij = ij ; i> j; jj. jj Ao finl do 1º psso teremos um form tringulr superior.

14 Exemplo 2: A = Consideremos mtriz A. Primeirmente, devemos multiplicr 1ª linh por (- e somr à 2ª linh: Em seguid, multiplicmos 1ª linh por ( ) e sommos com 3ª linh: ~ ~ Agor, precismos zerr todos os elementos bixo d digonl principl n 2ª colun, neste cso, o elemento 32. Pr isto, multiplicremos 2ª linh por (- ) e somremos à 3ª linh: ~

15 2º psso: Relembrndo que: i) O primeiro elemento não nulo de cd linh não nul é 1 (líder); ii) Tod colun que tem um 1 líder, tem todos os outros elementos nulos; Devemos inicir o 2º psso trnsformndo em líder os elementos d digonl principl não nulos. Neste cso, multiplicmos 3ª linh por ( ). Depois, multiplicmos 3ª linh por (-3) e sommos à 2ª linh. Então, multiplicmos 2ª linh por ( ).

16 Multiplicndo novmente 2ª linh por (-1) e somndo à 1ª colun, temos: Agor, é só multiplicr 1ª linh por (1/3) e noss mtriz está esclond, e note, n form de Hermite. Ftos: - Nem sempre mtriz esclond terá form cnônic igul à d mtriz identidde. - O lgoritmo de Guss presentdo pode ser usdo pr esclonr mtrizes não qudrds tmbém.