um número finito de possibilidades para o resto, a saber, 0, 1, 2,..., q 1. Portanto, após no máximo q passos,

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1 Instituto de Ciêncis Exts - Deprtmento de Mtemátic Cálculo I Profª Mri Juliet Ventur Crvlho de Arujo Cpítulo : Números Reis - Conjuntos Numéricos Os primeiros números conhecidos pel humnidde são os chmdos inteiros positivos ou nturis Temos então o conjunto N,,3,4, { } Os números,, 3, 4, são chmdos inteiros negtivos A união do conjunto dos números nturis com os inteiros negtivos e o zero define o conjunto dos números inteiros que denotmos por Ζ 0, ±, ±, ± 3, ± 4, { } Os números d form q p, onde p e q são inteiros e q 0 são chmdos de frções e formm o conjunto dos números rcionis Denotmos por p Q ; p Ζ, q Ζ e q 0 q Cd número rcionl q p possui, tmém, um representção deciml Pr otê-l, st efetur divisão de p por q Por exemplo: 5 0,5, 0,4857 e 0,46, 4 7 onde rr cim dos lgrismos indic que quele grupo de lgrismos repete-se indefinidmente Dizemos, nesse cso, que se trt de um dízim periódic Oserve que, ddo o número rcionl q p, o dividirmos p por q, temos, em cd psso d divisão, pens um número finito de possiiliddes pr o resto, ser, 0,,,, q Portnto, pós no máximo q pssos, chegremos o resto zero, que é o que ocorre com 4, e representção deciml será finit, ou repetiremos lgum resto, que é o que ocorre com 7 e 5, qundo teremos um representção deciml n form de dízim periódic Reciprocmente, se x possuir um representção deciml finit ou for um dízim periódic, então x será um número rcionl Os exemplos seguir podem ser generlizdos pr dízims quisquer e permitem entender como oter um frção prtir de um representção deciml 5 Exemplo : 0, Exemplo : Como x 0, 4857 possui um período de 6 dígitos, multiplicmos por 0 6 pr oter x 4857,4857 Assim, 0 x x 4857, de modo que ( 0 ) x 4857 e result x t Regr Gerl: x 0, 3 t, onde o denomindor tem tntos dígitos iguis 9 quntos 9999 forem os lgrismos do período (t, nesse cso)

2 Exemplo 3: Como os dois primeiros dígitos d prte deciml de x 0,46 não fzem prte do período, multiplicmos x por 0 pr oter 0 x 4,6 4 0,6 4 4 ; portnto, x 300 Existem números que não podem ser representdos n form q p, onde p e q são inteiros e q 0, ou sej, números cuj expnsão deciml não é finit e nem periódic, tis como, ,,44, π 3,4597, e,7888 Estes números formm o conjunto dos números irrcionis que denotremos por Q C D união do conjunto dos números rcionis com o conjunto dos números irrcionis result o conjunto dos números reis, que denotremos por C R Q Q Temos tmém os números d form i, onde e são números reis e i, que constituem o conjunto dos números complexos denotdo por C i; R, R e i { } Oservção: As letrs N, Q, R e C são s iniciis ds plvrs número (ou nturl), quociente, rel e complexo, respectivmente A letr Z é inicil d plvr zhl, que signific número em lemão - O Corpo dos Números Reis No conjunto dos números reis introduziremos dus operções, chmds dição e multiplicção, s quis stisfzem os xioms seguir A dição fz corresponder cd pr de elementos, R su som R, enqunto multiplicção ssoci esses elementos o seu produto R - Axioms d dição A Associtividde: Quisquer que sejm,, c R, tem-se ( ) c ( c) A Comuttividde: Quisquer que sejm, R, tem-se A3 Elemento neutro: Existe 0 R tl que 0 0, qulquer que sej R A4 Simétrico: Todo elemento R possui um simétrico em R, denotdo por, tl que ( ) ( ) 0 - Axioms d multiplicção M Associtividde: Quisquer que sejm,, c R, tem-se ( ) c ( c) M Comuttividde: Quisquer que sejm, R, tem-se M3 Elemento neutro: Existe R tl que 0 e, qulquer que sej R M4 Inverso multiplictivo: Todo elemento 0 em R possui um inverso multiplictivo em R, denotdo por - ou /, tl que - - D - Axiom d distriutividde: Quisquer que sejm,, c R, tem-se ( c) c e ( ) c c c

3 Oservções: Outros conjuntos numéricos presentm-se munidos ds operções de dição e multiplicção, stisfzendo s nove proprieddes nteriormente referids Por exemplo, o conjunto Q dos números rcionis e o conjunto C dos números complexos Um conjunto K munido de dus operções stisfzendo os nove xioms nteriores é denomindo corpo Portnto, reltivmente às operções de dição e multiplicção, R é um corpo Tmém Q e C são corpos 3 Usndo os xioms A4 e M4 podemos definir sutrção e divisão de números reis - Sutrção: Se e são números reis, diferenç entre e, denotd por, é definid por ( ) A operção que ssoci cd pr de elementos, R su diferenç R chm-se sutrção - Divisão: Se e são números reis e 0, o quociente de por, denotdo por, é definido por chm-se divisão A operção que ssoci cd pr de elementos, R, com 0, o quociente R 3- Algums proprieddes que se deduzem dos xioms de corpo P O elemento neutro d dição em R é único Vmos supor que 0 e 0 são elementos neutros pr dição em R 0 é neutro e 0 R ; 0 R e 0 é neutro Logo, 0 0 Portnto o elemento neutro d dição em R é único P O elemento simétrico em R é único Vmos supor que e são simétricos de R Então: ' 0 [ ( )] ( ) ( ) 0 ( ) Portnto o elemento simétrico de R é único P3 O elemento neutro d multiplicção em R é único Vmos supor que e são elementos neutros pr multiplicção em R é neutro e R ; R e é neutro Logo, Portnto o elemento neutro d multiplicção em R é único P4 O elemento inverso em R é único Vmos supor que - e são inversos de R, 0 Então: ' ( - ) ( ) Portnto o elemento inverso de R, 0, é único P5 Se R então (0 0) [ (0)] 0 0 [ (0)] 0 0 Logo, 0 0 3

4 P6 Se, R tis que 0 então 0 ou 0 Se 0, não temos nd mostrr Vmos supor, então, 0 Assim existe - R e otemos: 0 - () - 0 ( - ) P7 Se,, c R então, c c c ( ) c [ ( )] c [( ) ] c 0 c c c ( ) ( ) ( c) ( ) [( ) ] c 0 c c P8 Se,, c R, com 0, então, c c c c c ( ) c ( ) ( c) ( ) c c c c c c P9 Se,, c R então, c c c c ( c) ( c) ( c) ( c) [c ( c)] [c ( c)] 0 0 P0 Se,, c R, com c 0, então, c c c c (c)c - (c)c - (cc - ) (cc - ) P Se, R então, ( ) ; ( ) ; ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ) ( ) ( ) [( ) ] 0 0; logo o simétrico de é ( ), ou sej, ( ) ) ( ) 0; logo o simétrico de ( ) é, isto é, ( ) 3) ( ) [( ) ] 0 0; logo ( ) é o simétrico de, isto é, ( ) () ( ) [( ) ] 0 0; logo ( ) é o simétrico de, ou sej, ( ) () 4) ( )( ) [( )] [ ()] P Se, R então, se, e somente se, ± 0 0 ou 0 ou 4- Desigulddes e sus proprieddes - Axiom de Ordem ( ) ( ) 0 No conjunto dos números reis, existe um suconjunto denomindo de conjunto dos números positivos tl que s seguintes condições são stisfeits: (i) ddo R, extmente um ds três lterntivs seguintes ocorre: ou 0, ou é positivo ou é positivo; (ii) som de dois números positivos é positiv; (iii) o produto de dois números positivos é positivo 4

5 - Definições O número rel é negtivo se, e somente se, é positivo Os símolos < (menor que) e > (mior que) são definidos como segue: (i) < é positivo; (ii) > é positivo 3 Os símolos (menor que ou igul ) e (mior que ou igul ) são definidos como segue: (i) < ou ; (ii) > ou 4 Expressões envolvendo os símolos <, >, ou são chmds desigulddes Expressões do tipo < e > são desigulddes estrits, enqunto e são desigulddes não estrits - Proprieddes Sejm,, c e d números reis P > 0 é positivo > 0 0 é positivo é positivo P < 0 é negtivo < 0 0 é positivo é positivo é negtivo P3 > 0 < 0 > 0 é positivo é negtivo < 0 P4 < 0 > 0 < 0 é negtivo é positivo > 0 P5 Se R e 0 então > 0 Em prticulr, > 0 Como R e 0 temos, pelo xiom de ordem, que > 0 ou > 0 Tmém pelo xiom de ordem otemos que se > 0 então > 0 e se > 0 então ( )( ) > 0 Em prticulr, 0 e ; logo > 0 P6 Ddos, R, ocorre extmente um ds lterntivs seguintes: ou, ou < ou > Sendo, R então R e, pelo xiom de ordem, temos: ou 0, ou > 0 ou ( ) > 0 Assim, ou, ou < ou > P7 Se < e < c então < c < e < c > 0 e c > 0 ( ) (c ) > 0 c > 0 < c P8 Se < então c < c < > 0 c c > 0 ( c) ( c) > 0 c < c 5

6 P9 Se < e c > 0 então c < c < e c > 0 > 0 e c > 0 c ( ) > 0 c c > 0 c < c P0 Se < e c < 0 então c > c Em prticulr, < é equivlente > < e c < 0 > 0 e c > 0 ( )( c) > 0 c c > 0 c > c P Se < e c < d então c < d < e c < d > 0 e d c > 0 ( ) (d c) > 0 ( d) ( c) > 0 c < d P Se 0 < < e 0 < c < d então c < d < e c > 0 c < c c < d e > 0 c < d Logo, c < d P3 Se > 0 e < 0 então < 0 > 0 e < 0 > 0 e > 0 ( ) > 0 () > 0 < 0 P4 Se > 0 então - > 0 Segue-se que > 0 e > 0 implic > 0 Como > 0 e - > 0 então - > 0, pois se - 0 então e se - < 0 então - < 0 Se > 0 e > 0 então > 0 e - > 0; logo > 0 P 5 Se 0 < < então - < - Logo, - < - - Oservções: ( ) ( ) ( ) > 0 As proprieddes P7 P5 válids pr relção < tmém são válids pr s relções >, e É evidente que se R então, e ddos, R, tem-se se, e somente se, e Um corpo ordendo é um corpo K no qul se destc um suconjunto P K, chmdo o conjunto dos elementos positivos de K, tl que s seguintes condições são stisfeits: P Ddo x K, extmente um ds três lterntivs seguintes ocorre: ou x 0, ou x P ou x P P A som e o produto de elementos positivos são positivos, ou sej, se x, y P então x y P e xy P Os elementos x de K tis que x P chmm-se negtivos Portnto, R e Q são corpos ordendos 3 Num corpo ordendo K, se 0 então P De fto, sendo 0, ou P ou P No primeiro cso, P No segundo cso, ( )( ) P, pois vlem s mesms regrs de sinis vists pr o conjunto R Em prticulr, num corpo ordendo é sempre positivo e, segue que, é negtivo Portnto, num corpo ordendo, não é qudrdo de elemento lgum Assim, concluímos que C não é ordendo 6

7 4 Geometricmente, o conjunto dos números reis pode ser visto como um ret, trvés de um correspondênci entre os números reis e os pontos d ret Pr tnto, escolhemos um ponto ritrário d ret, que denominmos origem, e um unidde de medid A origem fic em correspondênci com o número 0 (zero) N semi-ret d direit representmos os números reis positivos e, n semi-ret d esquerd, os números reis negtivos Ess ret, provid d origem e d correspondênci com os números reis, costum ser denomind ret rel e denotd, tmém, por R N correspondênci com ret rel, < signific que fic à esquerd de 5- Vlor soluto de um número rel Se quisermos oter, pr cd número rel x, distânci entre x e origem, devemos considerr os seguintes csos: Nos dois primeiros csos, dizemos que distânci entre x e 0 é o próprio x No terceiro cso, distânci é x - Definição O vlor soluto (ou módulo) de um número rel x, denotdo por x, é definido por: x x, se x 0 x, se x < 0 De cordo com definição temos que se x R então x 0, e x 0 se, e somente se, x 0 Além disso, se x R, ou x e x são mos zero, ou um é positivo e o outro é negtivo Aquele, dentre x e x, que não for negtivo, é x Logo, x é o mior dos elementos x e x, ou sej, x máx { x, x} x x x Temos, portnto, x x e x x Est últim desiguldde pode ser escrit x x e otemos Pelo que vimos, geometricmente, o vlor soluto de um número rel x é distânci entre x e 0 (zero) Pr encontrrmos distânci entre dois números reis e quisquer, devemos nlisr três situções possíveis pr pontos e ritrários d ret rel: No primeiro cso, como > 0, temos ; no segundo cso, como 0, temos 0 ; no terceiro cso, como < 0, temos ( ) Assim, em qulquer cso, temos distânci entre e 7

8 - Proprieddes P Pr todo R temos Como é um dos elementos ou - então Logo, ou ( ) P Se R então Se 0 então 0 e 0 Se > 0 então < 0; ssim ( ) Se < 0 então > 0; segue que Portnto, e e P3 Se x então x ou x, onde x, R e 0 Como x e x é um dos elementos x ou x então x ou x Logo, x ou x P4 Se, R e então ou Como ou, ou e então ou P5 x < se, e somente se, < x <, onde x, R e > 0 x mx { x, x} < x < e x < x < e x > < x < P6 x se, e somente se, x, onde x, R e > 0 Demonstrção nálog P5 P7 x > se, e somente se, x > ou x <, onde x, R e > 0 ( ) ( ) Como Se x > x > e x x ou x e como x x temos então x > ou x > Se x < x > ; logo x > então x > ou x < e como x x otemos x > P8 x se, e somente se, x ou x, onde x, R e > 0 Demonstrção nálog P7 P9 Se, R então ( ) ( ) ± Como e são reis não negtivos otemos 8

9 P0 Se, R e 0 então Inicilmente vmos mostrr que De fto, ; ssim é o inverso multiplictivo de, ou sej, Logo, Portnto, P Se, R então (Desiguldde tringulr) Se 0, é clro que Se 0 ou 0, temos: ( ) e P Se, R então ( ) P3 Se, R então Se, é clro que Se, temos: ( ) ( ) Assim otemos: Logo, e, portnto, P4 Se,, c R então c c c c c P5 Se R então Explicção: Ddos um número rel 0 e um número nturl n, demonstr-se que sempre existe um único rel positivo ou nulo tl que n Ao número chmmos riz n-ésim de e indicmos por n, onde é chmdo rdicndo, o símolo é o rdicl e n é o índice 9

10 Por exemplo: 5 3, pois , pois , pois 3 9 6, pois 6 Conseqüêncis: D definição decorre que n ( ) n 3 Pel definição temos que 36 6 e não 36 ± 6 Ms, 8, 4, ± 9 ± 3 são sentençs verddeirs, onde o rdicl não é o cusdor do sinl que o ntecede 3 Note que no cálculo d riz qudrd de um qudrdo perfeito temos: De fto, é, por definição, o único número rel positivo ou nulo que elevdo o qudrdo result Como e 0, segue que Por exemplo, ( 5) 5 5 e não ( 5) 5 6- Intervlos - Definições Sejm e números reis, com Os nove suconjuntos de R definidos seguir são chmdos intervlos: [, ] { x R; x }, (, ] { x R; x }, (, ) { x R; < x < }, (, ) { x R; x < }, [, ) { x R; x < }, [, ) { x R; x}, (, ] { x R; < x }, (, ) { x R; < x}, (, ) R, é erto, é é semi-, pode ser Os qutro intervlos d esquerd são limitdos, com extremos e : [, ] é um intervlo fechdo, ( ) [, ) é fechdo à esquerd, (, ] é fechdo à direit Os cinco intervlos d direit são ilimitdos: (,] semi-ret esquerd, fechd, de origem ; (,) é semi-ret esquerd, ert, de origem ; [, ) ret direit, fechd, de origem ; (, ) é semi-ret direit, ert, de origem ; ( ) considerdo erto ou fechdo Qundo, o intervlo fechdo [ ] [, ] { }, chm-se um intervlo degenerdo, e os outros três intervlos d esquerd, neste cso, são vzios, reduz-se um único elemento - Oservções: Os símolos (lei-se menos infinito) e (lei-se mis infinito) não representm números reis Todo intervlo não-degenerdo é um conjunto infinito e contém números rcionis e números irrcionis 0

11 7- Exemplos Encontre um número rcionl c e um número irrcionl d tis que < c < d <, pr os números reis e ddos, com < ) e 4 3 ) 0,99437 e 0,99438 c) 0,87479 e 0, d) 0,00000 e 0, O resultdo d som de dois números irrcionis é um número irrcionl Verifique se é verddeir ou fls ess firmção, justificndo su respost 3 Encontre os números reis que stisfçm s desigulddes ixo Fzer representção gráfic n ret rel ) 3x < 5x 8 ) 4 < 3x 0 7 c) >, x 0 x x d) < 4, x 3 x 3 e) (x 3) (x 4) > 0 4 Resolv s seguintes equções: ) 3 x 5 ) x 4x 3 c) 5x 4 3 d) x x 4x 5 Encontre os números reis que stisfçm s seguintes desigulddes: ) x 5 < 4 3 x ) 4, x x c) 3 x > 5 8- Exercícios Págins 0 e do livro texto