Reta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do tipo: Reta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do tipo:

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1 mta0 geometri nlític Referencil crtesino no plno Referencil Oxy o.n. (ortonormdo) é um referencil no plno em que os eixos são perpendiculres (referencil ortogonl) s uniddes de comprimento em cd um dos eixos são iguis (referencil monométrico) e coincidem com unidde de comprimento de comprimento prefixd no plno. As cisss representm-se no eixo Ox e s ordends no eixo Oy. Ret verticl Ret verticl é um ret prlel o eixo ds ordends é do tipo: x Um ponto que pertence à ret tem sempre ciss igul. Semiplno fechdo Semiplnos Ret horizontl Ret verticl é um ret prlel o eixo ds ordends é do tipo: y Um ponto que pertence à ret tem sempre ordend igul. Semiplno erto à esquerd d ret x à direit d ret x à esquerd d ret x à direit d ret x superior à ret y inferior à ret y superior à ret y inferior à ret y superior à ret y x inferior à ret y x superior à ret y x inferior à ret y x / 5

2 mta0 geometri nlític Sejm A e B N ret numéric Distânci entre A e B d A B Lugres geométricos no plno P x y Considere-se A x y B x y C e A Distânci entre dois pontos A distânci entre dois pontos A e B é dd por: A B A B A d A B AB x x y y Meditriz de um segmento de ret É um ret perpendiculr o segmento de ret AB e que pss pelo seu ponto médio. Sejm Px y os pontos d meditriz tis que AP x x y y x x y y A A B B B B BP Ponto médio de [AB] M Ponto médio de um segmento de ret O ponto médio do segmento de ret AB é o ponto cuj distânci cd um dos extremos (A e B) do segmento é mesm M x x y y A B A B AB Circunferênci e círculo Circunferênci é o conjunto de pontos Px y que se encontrm um distânci (rio r) de um ddo ponto C centro. x y r Círculo é reunião de um circunferênci com su prte intern. x y r Elipse É o conjunto de pontos do plno cuj som ds distâncis dois pontos fixos (focos) é constnte e mior que distânci entre eles. x y c Focos: F c e F c 0 Eixo mior: Eixo menor: 0 Centro: 00 ; Distânci focl: FF c c Focos: F c e F c 0 Eixo mior: Eixo menor: 0 ; Vértices: / 5

3 mta0 geometri nlític Vetores no plno Dois segmentos orientdos são equipolentes qundo têm mesm direção sentido e comprimento Um vetor é um conjunto de todos os segmentos de ret orientdos que têm em comum direção o sentido e o comprimento Bse cnónic v e e v ou Vetor como diferenç de dois pontos B Ddos os pontos A e AB B A Som de um ponto com um vetor u u u Ddos o ponto A e o vetor A u u u u u Se u u u Norm de um vetor então u u u Adição e multiplicção por um esclr v v v e : Sendo u u u u v u u v v u v u v u u u u u Vetores colineres Dois vetores não nulos do plno u e v são colineres se e somente se existe um número rel 0 tl que: u v v v v são colineres se e Dois vetores u u u e somente se: u u com v 0 e v 0 v v u u u e 0 u u u e v v são colineres se e só se u 0 v v 0 são colineres se e só se u 0 Equção de um ret no plno Direção de um ret O vetor v não nulo tem direção d ret r qundo r tiver direção de tods s rets-suporte dos segmentos orientdos que representm v. Vetor diretor Um vetor diretor de um ret r é qulquer vetor não nulo com direção d ret r. Declive de um ret (não verticl) Sej v um vetor diretor d ret o declive é Not: Se um ret r tem declive m então v m m é um vetor diretor d ret r Declive de rets prlels Se r e s são dus rets prlels sendo m e m os seus declives respetivmente então Declive de rets perpendiculres m m' Se r e s são dus rets perpendiculres sendo m e m os seus declives respetivmente então Ret verticl Se r é um ret verticl v0 \ 0 Equção vetoril de um ret é um vetor diretor de r m m ' Sej r ret que pss pelo ponto A e tem o vetor diretor v v v então os pontos P A kv x y k v v k Equção prmétric de um ret Sej r ret que pss pelo ponto A e tem o vetor diretor v v v então os pontos Equção crtesin de um ret x kv y kv k P x y d ret são: P x y d ret são: Sej r ret não verticl que pss pelo ponto A e tem o vetor diretor v v v então os pontos x x v v O desenvolvimento d equção crtesin lev-nos outrs equções crtesins d mesm ret: x y c 0 equção gerl y mx equção reduzid P x y d ret são: 3 / 5

4 mta0 geometri nlític Referencil ortonormdo do espço Referencil Oxyz o.n. (ortonormdo) é um referencil no espço em que os eixos são perpendiculres (referencil ortogonl) s uniddes de comprimento em cd um dos eixos são iguis (referencil monométrico) e coincidem com unidde de comprimento de comprimento prefixd no espço. As coordends de um ponto P c são tl que: é ciss d projeção ortogonl de P sore Ox é ordend d projeção ortogonl de P sore Oy c é cot d projeção ortogonl de P sore Oz Plnos coordendos Plno xoy Plno xoz Plno yoz Lugres geométricos no espço C c P x y z Considere-se A x y z B x y z e A A A B B B Distânci entre dois pontos A distânci entre dois pontos A e B é dd pel condição: B A B A B A d A B AB x x y y z z Plno medidor de um segmento de ret É um plno perpendiculr o segmento de ret AB e que pss pelo seu ponto médio. Sejm Px y z os pontos do plno medidor tis que AP BP x x y y z z x x y y z z A A A B B B Ponto médio de um segmento de ret O ponto médio do segmento de ret AB é o ponto cuj distânci cd um dos extremos (A e B) do segmento é mesm x x y y z z M AB A B A B A B Superfície esféric e esfer Superfície esféric é o conjunto de pontos Px y z que se encontrm um distânci (rio r) de um ddo ponto C c centro. x y z c r Esfer é reunião de um superfície esféric com su prte intern. x y z c r 4 / 5

5 mta0 geometri nlític Vetores no espço Dois segmentos orientdos são equipolentes qundo têm mesm direção sentido e comprimento Um vetor é um conjunto de todos os segmentos de ret orientdos que têm em comum direção o sentido e o comprimento Bse cnónic ou v c v e e ce3 Vetor como diferenç de dois pontos Ddos os pontos A e B AB B A 3 3 Som de um ponto com um vetor Ddos o ponto A e o vetor u u u u A u u u u u u u Direção de um ret 3 3 Adição e multiplicção por um esclr Sendo u u u u v v v v e : u v u u u3 v v v3 u v u v u3 v3 u u u u u u u Vetores colineres Dois vetores não nulos do plno u e v são colineres se e somente se existe um número rel 0 tl que: u v Dois vetores u u u u e somente se: u u u v v v Se com 0 u u u u então Equção de um ret no espço v v v v são colineres se e v v 0 e v3 0 Norm de um vetor u u u u O vetor v não nulo tem direção d ret r qundo r tiver direção de tods s rets-suporte dos segmentos orientdos que representm v. Vetor diretor Um vetor diretor de um ret r é qulquer vetor não nulo com direção d ret r. Equção vetoril de um ret Sej r ret que pss pelo ponto A e tem o vetor diretor v v v v então os pontos Equção prmétric de um ret P A kv x y z k v v v k Sej r ret que pss pelo ponto A e tem o vetor diretor v v v v então os pontos Equção crtesin de um ret x kv y kv k z 3 kv3 Sej r ret que pss pelo ponto A e tem o vetor diretor v v v v então os pontos x x x v v v 3 v v v3 0 P x y z d ret são: P x y z d ret são: P x y z d ret são: 5 / 5