2.4. Função exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas directas e inversas.

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1 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel.. Função eponencil e logritmo. Funções trigonométrics directs e inverss. Função eponencil A um unção deinid por nome de unção eponencil de bse. ( ), onde, > 0 e, dá-se o Eemplos ( ) ; g( ) ( ) ; h( ) ; i( ) e est unção é prticulrmente importnte pels sus plicções em diverss áres do conhecimento, nomedmente n áre d Economi. Obs. O número e é irrcionl ( e,788885), e é conhecido por constnte de Euler lim n n n e Crcterístics dests unções Se > Domínio D Im Contrdomínio ( ) Zeros não tem zeros. (0) ( 0 ) O gráico de pss no ponto ( 0,) ( ) Injectiv Estritmente crescente, em prticulr se > 0 >

2 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 5 Se 0 < < Domínio D Im Contrdomínio ( ) Zeros não tem zeros. ( 0) O gráico de pss no ponto ( 0,) Injectiv ( ) Estritmente decrescente. (Note-se que gor > qundo < 0 ) Função logritmo A unção invers d unção eponencil é unção que se deine por ( ) log ( ) onde, > 0 e, à qul se dá o nome de unção logritmo de bse. Obs. log represent o número pelo qul se elev de modo obter, isto é, ( ) log ( ) Dest equivlênci result tmbém que ( ) log ( ) log é unção invers d unção Notção log logritmo de bse ( ) log ( ) logritmo de bse 0 e log ( ). ln ( ) logritmo de bse e, estes logritmos chmm-se neperinos, em homengem o mtemático inglês Neper.

3 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel Crcterístics dests unções Se > Domínio D { R > 0} R Contrdomínio Im ( ) Zeros ( log ( ) 0) ( ) log ( ) O gráico pss no ponto (,0) Injectiv e sobrejectiv (bijectiv) Estritmente crescente, em prticulr, se < log ( ) < 0 Eemplos ( ) log ( ) ( ) log ( ) g 0 h( ) ln( ) Se 0 < < Domínio D { R > 0} R Contrdomínio Im ( ) Zeros ( log ( ) 0) ( ) log ( ) O gráico pss no ponto (,0) Injectiv e sobrejectiv (bijectiv) Estritmente crescente, em prticulr, se < log ( ) < 0 Eemplos ( ) log ( ) 0,5 g( ) log ( ) / e

4 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 7 Proprieddes dos logritmos log ( ) log ( ) log ( ) log log ( ) log ( ) p log ( ) p log ( ) log ( ) log ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ln log (órmul de mudnç de bse) ln Em prticulr, ( ) log e ln ln e ( ) ln( ) ln( ) ln( e) ln ( ) Eercícios. O cpitl cumuldo przo o im de n nos, qundo cpitlizdo de orm contínu, pode ser clculdo trvés d unção C(n) C 0 e tn, em que C 0 represent quntidde depositd e t t de juro nul (n orm deciml). Supondo C euros e t 5%, determine. A quntidde cumuld o im de um, de dois e de qutro nos e meio. b. Aproimdmente o im de qunto tempo duplic o cpitl?. O lucro L (em euros) obtido n vend de um peç depende do número de uniddes produzids menslmente. Est relção é dd por L ( ) log0.. Se ábric tiver cpcidde de produzir entre 500 e 800 uniddes por mês, entre que vlores vrirá o lucro obtido em cd peç?

5 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 8 b. Qul deverá ser o número de uniddes produzids num mês pr que o lucro unitário sej?. Sej ( ) ln( ).. Indique o domínio e contrdomínio. b. Clssiique- qunto à injectividde, monotoni e pridde. c. Considere unção deinid em [0, [. Crcterize su invers (isto é, indique o domínio e epressão nlític que deine )

6 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 9 Funções Trigonométrics (directs) Considere-se um triângulo [ ABC ] rectângulo em A. C cteto oposto b hipotenus A c cteto djcente α B Sej α AB ˆ C, BC, b AC, c AB Deine-se b cteto oposto sen α cos α hipotenus c cteto djcente hipotenus sen( α) b cos( α) c tg α cotgα cos( α) c tg( α) sen( α) b Obs. Alguns vlores de reerêncis dests unções θ rdinos 0 sen θ 0 0 cos θ 0 - tg θ 0-0 cotgθ - 0 -

7 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 0 Função sen / Sej α um ângulo representdo no círculo trigonométrico (círculo de rio ). Sen (α) corresponde o vlor d ordend do ponto que result d intersecção entre circunerênci e o segmento que determin o ângulo com o eio dos s (medido no sentido sen α α / / contrário o dos ponteiros do relógio), de cordo com igur o ldo. P (cos α, sen α ) 0 Assim, ddo um ângulo α temos s / seguintes relções (i) sen ( α ) sen( α) e (ii) sen( α ) sen( α) Notr que unção seno tom vlores positivos nos º e º qudrntes e vlores negtivos no º e º qudrntes. sen α sen (α) α α P (cos α, sen α ) 0 As relções nteriores permitem-nos determinr o seno de qulquer ângulo α conhecendo pens o vlor do seno / / no º Qudrnte. Eemplo 5 º qudrnte ms ( i) ( ii) 5 5 sen sen sen sen

8 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel Como unção rel de vriável rel, temos sen( ) À unção dá-se o nome de unção seno. (Obs é medid de um ângulo em rdinos) O seu gráico é / / / / Crcterístics dest unção Domínio ; Contrdomínio Im( ) [, ] ; Injectividde não injectiv; Zeros k, k Z ; Pridde sen( ) sen( ) (seno é um unção ímpr); Periodicidde sen( ) sen( ) ( é o período positivo mínimo); Limitd sen( ) ; Máimos em k, k Z ; Mínimos em k, k Z ;

9 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel Função rcsen Consideremos unção [, ] sen( ) Est unção não é injectiv / / / / Por eemplo, há ininitos pontos do domínio que têm por imgem zero ( sen( ) k, k Z 0 ). Pelo que não dmite invers. Contudo, podemos considerr um restrição do domínio onde unção seno sej injectiv (chmd restrição principl) cujo gráico é g, [, ] sen( ) / / / / Assim deinid, g é um unção injectiv e portnto z sentido lr n su invers, Então g tem por domínio [, ], imgem, e cd [, ] corresponder o ângulo (ou rco) cujo seno é, que se represent por rcsen ( ). g. z

10 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel g [, ], rcsen( ) cujo gráico é / / Crcterístics dest unção Domínio [, ]; Imgem, ; Injectividde injectiv; Zeros 0 ; Pridde rcsen( ) rcsen( ) ( rcsen é um unção ímpr); Monotoni estritmente crescente; Limitd Máimo em ; Mínimo em ; rcsen ( ) ; Obs. O rcsen () é o vlor rel tl que sen ) ( rcsen( ) ) sen onde ; ( sen( ) ) rcsen onde (, onde [, ] rcsen ( ) sen( )., ou sej

11 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel Eemplos rcsen sen sen rcsen rcsen sen rcsen pois, ; ( ) ( )? rcsen sen (note que Eercício Considere unção deinid em por cos ) ( rcsen Determine o domínio e contrdomínio de. Crcterize invers. Resolução { } [ ], D Determinemos o contrdomínio de cos cos cos cos é crescente) unção (notr que () ) ( rcsen rcsen rcsen rcsen rcsen rcsen rcsen rcsen Logo, ( ), Im

12 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 5 é um unção injectiv porque é compost de trnsormções injectivs (eercício) Comecemos por determinr epressão nlític d invers cos cos sen sen sen rcsen sen rcsen rcsen rcsen Portnto [ ],, sen Eercício Dd unção ) ( rcsen. Clcule D e CD. Veriique que não tem zeros. Resolução { } { } { } { } [ ] 0, 0 0 D Determinemos imgem de ( ) ( ) ( ) rcsen rcsen rcsen

13 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel, Logo, ( ) Im Vejmos gor que não tem zeros ( ) 0 rcsen 0 rcsen sen( rcsen ) sen não tem zeros, pois unção módulo é sempre não negtiv (isto é, 0 ). Eercício Considere unção rel de vriável rel deinid por ) Veriique que ], ] [ 0, [ b) Determine imgem de D. ( ) rcsen c) Crcterize unção invers de,.

14 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 7 Função cos Sej α um ângulo representdo no círculo trigonométrico (circulo de rio ). cos(α ) corresponde o vlor d bciss do ponto que result d intersecção entre circunerênci e o segmento que determin o ângulo com o eio dos se pode ver n igur o ldo. ' s, conorme Recorrendo o círculo trigonométrico, é ácil veriicr s seguintes iguldde pr um determindo ângulo α α α α α cos( α ) cos( α ) cos( α ) cos( α ) cos( α ) cos( α ) Assim, usndo s igulddes nteriores, é sempre possível determinr o vlor do co-seno de um ângulo α conhecendo pens os vlores d unção co-seno no º qudrnte. Eemplo º qudrnte ms cos cos cos cos

15 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 8 Como unção rel de vriável rel, temos cos( ) À unção dá-se o nome de unção co-seno. (obs é medid de um ângulo em rdinos) O seu gráico é / / / / Crcterístics dest unção Domínio ; Contrdomínio Im( ) [, ] ; Injectividde não injectiv; Zeros k, k Ζ ; Pridde cos( ) cos( ) (co-seno é um unção pr); Periodicidde cos( ) cos( ) ( é o período positivo mínimo); Limitd Máimos em Mínimos em cos( ) ; k, k Ζ ; k, k Ζ.

16 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 9 Função rccos Consideremos unção [, ] cos( ) Est unção não é injectiv / / / / Por eemplo, há ininitos pontos do domínio que têm por imgem zero ( cos( ) 0 k, k Z ). Pelo que não dmite invers. Contudo, podemos considerr um restrição do domínio onde unção co-seno sej injectiv (chmd restrição principl) g [ 0, ] [, ] cos( ) cujo gráico é / / Assim deinid, g é um unção injectiv e portnto z sentido lr n su invers, Então g tem por domínio [, ], imgem [ 0, ] e cd [, ] ângulo (ou rco) cujo co-seno é, que se represent por rccos ( ). g. z corresponder o

17 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 50 cujo gráico é g [, ] [ 0, ] rccos( ) Crcterístics dest unção Domínio [, ]; Imgem [ 0, ]; Injectividde injectiv; Zeros ; Pridde nem é pr nem é ímpr; Monotoni estritmente decrescente; Limitd [, ] Máimo em ; Mínimo em 0; 0 rccos () ; Obs. O rccos( ) é o vlor rel tl que ( rccos( )) cos onde ; ( cos( )) rccos onde 0. cos( ), onde [, ], ou sej rccos( ) cos( )

18 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 5 Eemplos cos rccos rccos cos 5 7 rccos cos rccos pois 7 [ 0, ] ; cos ( rccos( ))? (note que Eercício Considere unção deinid por ( ) rccos Determine o domínio e contrdomínio de. Crcterize invers, cso eist. Resolução D { } { } { 0 } { 0 } [ 0,] Determinemos o contrdomínio de 0 0 Logo, ( ) Im 0 rccos(0) rccos rccos() (notr que unção rccos é decrescente) 0 rccos 0 rccos 0,

19 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 5 A unção não dmite invers, pois não é injectiv, D ms Eercício Dd unção () Clcule D e ( ) rccos ( ). CD. (b) Crcterize invers, cso eist. (c) { ( ) 0} Resolução () D { } { 0} { 0} [,0] Determinemos imgem de 0 Logo, ( ) Im rccos( ) rccos( ) rccos 0 rccos( ) rccos( ) 0 rccos( ), (b) é um unção injectiv porque é compost de unções injectivs. rccos Portnto ( ) rccos( ) rccos, [,0] cos( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )

20 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 5 (c) Estudemos os zeros de ( ) 0 rccos rccos rccos ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) 0 ( ) cos tem um zero em.

21 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 5 Função tngente Sej α um ângulo representdo no círculo trigonométrico. tg (α) corresponde o vlor d ordend do ponto que result de projectr o ldo etremidde do ângulo α no eio prlelo o eio ds ordends e que pss pelo ponto de coordends (,0). (ver igur o ldo) α (,tg α) (,0) Recorrendo o círculo trigonométrico é ácil veriicr s seguintes igulddes pr um determindo ângulo α α α tg( α) tg( α) tg ( α ) tg( α ) Ests igulddes permitem clculr tngente de um ângulo α conhecendo pens os seus vlores no º qudrnte. Eemplo º qudrnte tg tg tg tg

22 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 55 Como unção rel de vriável rel, temos \ k, k Ζ tg( ) À unção dá-se o nome de unção tngente. (obs é medid de um ângulo em rdinos) O seu gráico é Crcterístics dest unção Domínio \ k, k Ζ; Contrdomínio ; Injectividde não injectiv; Zeros k, k Z ; Pridde tg( ) tg( ) (tngente é um unção ímpr); Periodicidde tg( ) tg( ) ( é o período positivo mínimo); Limitd não limitd; Máimos não tem; Mínimos não tem.

23 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 5 Função rcotngente Consideremos unção \ k, k Ζ tg( ) Est unção não é injectiv. Por eemplo, há ininitos pontos do domínio que têm por imgem zero ( tg( ) k, k Z 0 ). Pelo que não dmite invers. Contudo, podemos considerr um restrição do domínio onde unção tngente sej injectiv (chmd restrição principl) g, tg( ) cujo gráico é Assim deinid, g é um unção injectiv e portnto z sentido lr n su invers, Então g tem por domínio, imgem, e cd ângulo (ou rco) cuj tngente é, que se represent por rctg ( ). g. z corresponder o

24 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 57 g, rctg( ) cujo gráico é / / / / Crcterístics dest unção Domínio ; Contrdomínio, ; Injectividde injectiv; Zeros em 0 ; Pridde rctg( ) rctg( ) ( rctg é um unção ímpr); Monotoni estritmente crescente; Limitd Máimos não tem; Mínimos não tem; < rctg ( ) < ; Obs. O rctg () é o vlor rel tl que tg ( ), onde ( rctg( ) ) tg onde ; ( tg( ) ) rctg onde rctg ( ) tg( )., ou sej

25 Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel 58 Eemplos 7 7 rctg tg tg rctg 7 tg rctg tg rctg tg rctg pois, 7. Eercício Considere unção deinid por rctg ) (. Determine o domínio e contrdomínio de. Crcterize invers, cso eist. Resolução { } \ 0 D ( ) ( ) { } { } 0 \, 0 \, Im rctg pois nunc se nul! Not é injectiv rctg rctg rctg é um unção injectiv (recordr!) porque ) ( ) ( Determinemos epressão nlític d invers ( ) ( ) ( ) cot cot g g tg rctg Portnto { } ) ( cot \ 0 \, g