6.1: Séries de potências e a sua convergência
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- Rebeca Dreer Alvarenga
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1 6 SÉRIES DE FUNÇÕES 6: Séries de potêcis e su covergêci Deiição : Um série de potêcis de orm é um série d ( ) ( ) ( ) ( ) () Um série de potêcis de é sempre covergete pr De cto, qudo, otemos série uméric, cuj som é IR Ms será que eistem outros vlores de pr os quis série () é covergete? O teorem seguite orece um respost ess pergut Teorem : Teorem de Ael- séries de potêcis de Dd série de potêcis ( ) seguites situções se veriic: (i) série coverge pes pr ; (ii), pes um ds série coverge (solutmete) pr todos os vlores reis de ;
2 (iii) eiste um úmero rel R > (chmdo rio de covergêci) tl que série coverge solutmete pr todos os vlores de pr os quis < R, e diverge pr todos os vlores de pr os quis > R Not: No teorem terior, qudo se veriic (i) tem-se R e qudo se veriic (ii) tem-se R Deiição 3: Chm-se itervlo de covergêci d série de potêcis o cojuto de todos os vlores de pr os quis série coverge Not: Pr estudr covergêci de um série de potêcis, podemos plicr o critério de Cuchy ou de D Alemert série dos módulos Eemplo 4: Determie o itervlo de covergêci d série de potêcis ( ) ( )! Vmos gor ver dus regrs pr o cálculo do rio de covergêci de um série de potêci de termos ão ulos
3 Teorem 5: O rio de covergêci de um série de potêcis d orm ( ) é ddo por R lim, desde que o limite eiste ou sej igul à ; ou R lim, desde que o limite eiste ou sej igul à Além disso, (i) se R etão série coverge pr ; (ii) se R (iii) se ], [ etão série coverge IR ; R etão série coverge pelo meos pr todos os ] R, R[ Eemplo 6: Determie o rio e o itervlo de covergêci d! série ( ) Eemplo 7: Determie o rio e o itervlo de covergêci d série Eercício 8: Alise covergêci d série > ( ), sedo 3
4 6: Séries de Tylor e de Mcluri Nest secção, vmos cosiderr o prolem seguite: dd um ução com derivds de tods s ordes, como represetá-l por um série de potêcis? Deiição : Sej um ução que dmite derivds de tods s ordes o poto Chm-se série de Tylor de em série! ( ) ( ) ( ) No cso em que, série é desigd por série de Mcluri de Eemplo : Determie série de Mcluri pr ( ) se Eemplo 3: Determie série de Mcluri d ução ( ) e lise su covergêci Eemplo 4: Determie série de Mcluri d ução ( ) e e lise su covergêci Teorem 5: Sej um ução que dmite derivds de tods s ordes um itervlo I cetrdo em, etão ( )! ( ) ( ) ( ), 4
5 pr todo I tl que ( ) ( ) lim c ( ) úmero compreedido etre e! ( ), sedo c um Not: () Pr, R ( ) de grge d ução ( ) ( c) ( ) ( )! é chmdo resto () Se eistir dus costtes C e M tis que ( ) ( ) CM, I, etão R, I lim ( ) 63: Séries de Fourier 63 Deiições Em muitos eómeos d vid rel precem uções periódics (ods de som, timeto crdíco ) Deiição 3: Diz-se que ução é periódic de período T> se ( T ) ( ),, T D O meor úmero T que stisz relção terior é chmdo período udmetl Eemplo 3: As uções ( ) se e g( ) cos periódics de período T são 5
6 6 Eercício 33: Mostre que ução ( ) se, IN, > é periódic de período T Resolução: se se ( ) se se O ojectivo dest secção é de represetr um ução periódic à cust de uções periódics simples, omedmete, seo e cosseo, so orm de um série trigoométric Supohmos que um dd ução IR IR :, periódic de período, pode ser represetd por um série trigoométric d orm cos se, () ou sej, ( ) cos se ()
7 Etão, os coeicietes ds seguites relções: e estão ligdos à ução trvés ( ) cos d, ; (3) ( ) se d, (4) Deiição 34: Sej : IR IR, um ução periódic de período, itegrável e solutmete itegrável em cd itervlo limitdo ( ) d < A série () é chmd série de Fourier de e os úmeros, pr e, pr, deiidos pels relções (3) e (4) são chmdos coeicietes de Fourier de Eemplo 35: Determie série de Fourier d ução ( ) Solução: se se k < e periódic de período T < ( k ) se (( k ) ) Eercício 36: Determie série de Fourier d ução se < ( ), periódic de período T se 7
8 Eercício 37: Determie série de Fourier d ução ( ) se se, de período < < T 63 Fuções pres e ímpres - desevolvimeto em séries de Fourier de seos e cosseos Proposição 38: Se or um ução pr, periódic de período, itegrável e solutmete itegrável, etão su série de Fourier é dd por cos com ( ) cos d,, (5) A série (5) é chmd série de Fourier de cosseos Proposição 39: Se or um ução ímpr, periódic de período, itegrável e solutmete itegrável, etão su série de Fourier é dd por se, (6) com ( ) se d, A série (6) é chmd série de Fourier de seos 8
9 Eemplo 3: Sej deiid por ( ) Fourier de : IR IR periódic de período, pr < Determie série de Resolução: Como é ímpr, teremos um série de seos cujos coeicietes são ddos por se d, Eectudo mudç de vriável y, otemos y sey dy, Itegrdo por prtes, y sey dy [ y y] Ou sej, y sey dy cos( ) ( ) ogo, ( ), Portto série de Fourier d ução é ( ) se cos cos y dy Eemplo 3: Sej : IR IR periódic de período deiid por ( ) Fourier de, pr < Determie série de 9
10 Resolução: Como é pr, teremos um série de cosseos cujos coeicietes são ddos por d e cos, 3 d Eectudo mudç de vriável y, otemos cos, 3 3 y y dy Itegrdo por prtes, y [ y sey] y sey dy cos y dy y sey dy Como, y sey dy ( ) (ver eemplo terior), temos 4 ( ), Portto série de Fourier d ução é 4 3 ( ) cos 633 Covergêci ds séries de Fourier e plicções Em () supusemos que um dd ução er represetd por um série de Fourier Ms qudo é que um ução é igul à su série de Fourier? Pr dr respost est questão, precismos de lgums deiições
11 Deiição 3: Um ução : IR IR, diz-se secciolmete cotíu o itervlo [, ], se or deiid em [ ], ecepto possivelmete um úmero iito de potos i, i,, com < < < <, se é cotíu em cd suitervlo d orm ] [, ], [,, ], [, limites lteris em cd poto i,, e se são iitos os i,, Not: Tod ução cotíu é secciolmete cotíu Eercício 33: Mostre que ução ( ) periódic de período se se T é secciolmete cotíu < < Deiição 34: Um ução : IR IR, diz-se secciolmete diereciável, se s uções e orem secciolmete cotíus Teorem de Fourier Sej : IR IR um ução periódic de período, secciolmete diereciável Etão série de Fourier de, dd em (), coverge, em cd poto, pr [ ( ) ( )], ou sej, [ ( ) ( )] cos se
12 Eemplo 35: Use o resultdo do eemplo 35 pr oter um epressão em série de Um ds plicções ds séries de Fourier é o cálculo d som de um série uméric Eemplo 36: Use o resultdo do eemplo 3 pr clculr som d série Resolução: Como cosequêci do teorem de Fourier, podemos irmr que 4 3 ( ) cos Cosiderdo, otemos ( ) 4 4 cos( ) 3 3 ou sej,, 6
Exemplo: As funções seno e cosseno são funções de período 2π.
4. Séries de Fourier 38 As séries de Fourier têm váris plicções, como por eemplo resolução de prolems de vlor de cotoro. 4.. Fuções periódics Defiição: Um fução f() é periódic se eistir um costte T> tl
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