(fg) (x + T ) = f (x + T ) g (x + T ) = f (x) g (x) = (fg) (x). = lim. f (t) dt independe de a. f(s)ds. f(s)ds =

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA (MAP 33 PROF: PEDRO T P LOPES WWWIMEUSPBR/ PPLOPES/TMA Os eercícios seguir form seleciodos dos livros dos utores G Folld (F, Djiro Figueiredo (D e E Kreysig (K (FXY, (DXY e (KXY idicm o eercício Y do cpítulo X do livro F, D ou K Eercício (D, D3 e D4 Sejm f : R C e g : R C dus fuções periódics de período T > e sej λ C um costte, mostre que: i s fuções f + g e fg tmbém são periódics de período T ii fução λf é periódic de período T iii Se f é difereciável, etão f tmbém é periódic de período T i De fto, ii iii De fto, (f + g ( + T f ( + T + g ( + T f ( + g ( (f + g ( (fg ( + T f ( + T g ( + T f ( g ( (fg ( (λf ( + T λf ( + T λf ( f f( + h + T f( + T f( + h f( ( + T f ( h h h h Eercício (D5 Sej f : R C um fução cotíu e periódic de período T > Mostre que, pr todo R, temos ˆ +T ˆ T f(tdt f(tdt (Dic: Feito em sl de ul Vmos deir fução F : R R por F ( ˆ +T f (t dt ˆ +T f (t dt Logo F ( f( + T f( Logo F é costte Cocluímos que +T f (t dt idepede de ˆ f (t dt Eercício 3 (D Sej f : R C um fução Riem itegrável periódic de período T > Mostre que fução F : R C deid como F (θ ˆ θ f(sds é periódic (de período T se, e somete se, T f(sds (Dic: Feito em sl de ul Se F é periódic, etão F (θ + T F (θ Em prticulr, F (T F ( Logo ˆ f(sds ˆ T f(sds

2 Se T LISTA DE EXERCÍCIOS - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA (MAP 33 f(sds e f um fução periódic Logo F (θ + T ˆ θ+t f(sds Usdo periodicidde de f, cocluímos que ˆ θ+t primeir iguldde usmos s s T Portto, F (θ + T F (θ T f(sds ˆ θ ˆ T ˆ θ+t ˆ θ+t f(sds + f(sds f(sds T T f( s + T d s ˆ θ f( sd s F (θ, Eercício 4 (D Sej f : R C um fução Riem itegrável, periódic e de período T > Determie costte A > tl que fução bio sej periódic e de período T : Queremos que F ( + T F (, ou sej, Observmos que ˆ Como f é periódic, temos +T ˆ +T F ( ˆ f(tdt A AT ˆ +T f(tdt + f(tdt A AT f(tdt T f(tdt A ˆ ˆ f(tdt A f(tdt A ˆ +T f(tdt AT f(tdt Assim, rmção cim equivle : A T ˆ T f(tdt Eercício 5 (D3 Verique s seguites relções: i cos(se(d ii cos(cos(md δ m iii se(se(md δ m (Observção: Ests são s relções álogs ei( m d δ m, provds em sl de ul Eercício 6 (D5 Sej f : R C um fução tl que f( pr todo R Mostre que: i Se f é um fução pr, etão f tmbém é um fução pr ii Se f é um fução ímpr, etão f tmbém é um fução ímpr i f ( f( f( f ( ii f ( f( f( f ( Eercício 7 (D5 Sej f : R C um fução derivável Mostre que: i Se f é um fução pr, etão f é um fução ímpr ii Se f é um fução ímpr, etão f é um fução pr i Bst observr que se f( f(, etão f f( + h f( f ( ( h f ( ( h h h h

3 LISTA DE EXERCÍCIOS - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA (MAP 33 3 f ( h f ( f ( h f ( lim lim h h h h ii Bst observr que se f( f(, etão f ( + h f ( lim f ( h h f f( + h f( f ( ( h f ( ( h h h h f ( h + f ( f ( h f ( f ( + h f ( lim f ( h h h h h h Eercício 8 (D63, D64 e D65 Sejm f : R C e g : R C dus fuções -periódics e Riem itegráveis i Clcule s relções etre os coecietes de Fourier, b e c ds fuções f e g, se g( : f( + α, em que α R é um costte ii Clcule s relções etre os coecietes de Fourier, b e c ds fuções f e g, se g( : f( + k, em que k C é um costte iii Sejm f, bf e cf e g, bg e cg os coecietes de Fourier ds fuções f e g, respectivmete Clcule os coecietes de Fourier d fução αf + βg em fução de f, bf, cf, g, bg e cg e i Observmos que ˆ f( + αe i d eiα +α +α Logo c g e iα c f Portto, g cg cf f, +α +α f(ye iy dy eiα f(ye iy+iα dy f(ye iy dy g c g + c g e iα c f + e iα c f ( ( cos(α c f + c f + se(αi c f c f cos(α f + se(αb f b g i ( c g c g i ( e iα c g e iα c g i ( cos(αc g cos(αc g ( se(αc g + se(αc g cos(αc f se(αb f Logo g cos(α f + se(αb f e bg cos(αc f se(αb f ii Vemos que c g g(e i d (f( + k e i d g b g g(cos(d g(se(d f(e i d + (f( + k cos(d (f( + k se(d ke i d c f + kδ f(cos(d+ f(se(d + Assim, c g c f, g f e bg b f pr, e cg cf + k e g f + k iii Vemos que c αf+βg (αf( + βg( e i d α f(e i d + β αf+βg b αf+βg Assim, c αf+βg (αf( + βg( cos(d α (αf( + βg( se(d α αc f + βc g, αf+βg Eercício 9 (K E6 f(cos(d + β f(se(d + β α f + β g, bαf+βg αb f + βb g kcos(d f +kδ kse(d b f g(e i d αc f + βc g g(cos(d α f + β g g(se(d αb f + βb g

4 LISTA DE EXERCÍCIOS - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA (MAP 33 4 Sej f : R C um fução periódic de período T > periódics de período T e bt Bst observr que e que f f ( ( + T f ( + T f ( ( ( ( ( ( + bt f b b + T f b f b Mostre que f ( e f ( b são fuções Eercício (K E 4 Sej f : R C um fução periódic Dizemos que T > é o período fudmetl de f se T é o meor úmero rel positivo que stisfz f( + T f( i Clcule o período fudmetl ds seguites fuções:, se ( k, cos ( k (, se k cos(, se(, cos(, se(, cos(, se(, cos ( k Os períodos fudmetis são, respectivmete, ddos:,,,,,, k, k, k, k ii Mostre que em tod fução periódic tem um período fudmetl (Dic: Pese fução costte Bst observr que se f é um fução costte, isto é, eiste C C tl que f( C pr todo R, etão f( + T f(, pr todo T > Logo if {T > ; f( + T f(, R} Ms ão é um úmero rel positivo Portto ão pode ser chmdo de período fudmetl pel deição dd o eercício Assim, fução costte ão tem período fudmetl Eercício (K E3 Mostre que s cohecids idetiddes bio podem ser iterpretds como série de Fourier d fução à esquerd d iguldde (Pr isto clcule série de Fourier ds fuções à esquerd: i cos 3 ( 3 4 cos( + 4 cos(3 ii se 3 ( 3 4 se( 4 se(3 Desevolv cos 4 ( usdo série de Fourier Eercício (K4 E: Sej f : R C um fução -periódic e Riem itegrável Mostre que: i Mostre que se f é pr, etão os coecietes c são úmeros reis ii Mostre que se f é ímpr, etão os coecietes c são úmeros imgiários puros Estv fltdo hipótese f( R pr todo R i Se f( f( e f( R pr todo R, etão c f(e i d ( f(cos(d + i f(cos(d R f(se(d Acim usmos que f( se( f(( se( f(se( Logo, fução f(se( é ímpr Logo su itegrl sobre [, ] é igul zero ii Se f( f( e f( R pr todo R, etão c f(e i d ( ( ˆ i f(cos(d + i f(se(d f(se(d Logo c é imgiário puro Acim usmos que f( cos( f(cos( Logo, fução f(cos( é ímpr Logo, su itegrl sobre [, ] é igul zero

5 LISTA DE EXERCÍCIOS - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA (MAP 33 5 Eercício 3 (K4 E:3 Sej f : R C um fução -periódic e Riem itegrável relciom d seguite form: Mostre que os coecietes, b e c se c, c + c, > b i (c c, > (Dic: Foi feito em sl de ul Bst usr relção de Euler e iθ cos(θ + ise(θ Assim, c e i c + c e i + c e i c + c e i + c e i c + c (cos( + ise( + c (cos( ise( c + (c + c cos( + i (c c se( Portto, c, c + c e b i (c c A prtir ds relções cim, obtemos fcilmete que c, c ib e c +ib Eercício 4 (K3 E: e Verique se s fuções bio são pres, ímpres ou em pres, em ímpres:, se(, +, e, l(, cosh(, se(, se (, seh(, 3, e, e, t(, + Chmmos f de fução pr se f( f( e dizemos que f é um fução ímpr se f( f( De cordo com est deição temos: As fuções pres são:, e, se(, se (, seh(, 3 As fuções ímpres são: se(, cosh(, t( As fuções que ão são em pres em ímpres são: +, l(, e, e, OBS: Notemos que l( sequer está deid pr < + Eercício 5 (F Es Clcule trsformd de Fourier ds seguites fuções f : ], [ C: i f(θ θ ii f(θ θ iii f(θ { θ θ, se θ [, [ iv f(θ, se { θ ], ], se θ [, [ v f(θ, se θ ], ] vi f(θ seθ vii f(θ θ viii f(θ θ ( θ Resposts: Ateção Há um erro o eucido Queremos clculr série de Fourier, ão trsformd ( + i ii 4 iii se(θ iv 4 v 4 vi 4 vii viii 8 se(θ cos(( θ ( cos(( θ ( se(( θ ( cos(θ 4 ( se(( θ ( cos (θ + ( + se (θ

6 LISTA DE EXERCÍCIOS - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA (MAP 33 6 Eercício 6 (F e Mostre que: i 4 e ( + 4 ii 6 e ( + iii ( + ( (Use vi do eercício terior (Use vii do eercício terior (Use viii do eercício terior Eercício 7 (F3 e Usdo o Teorem de Itegrção de Série de Fourier provdo em sl de ul e o item vii do eercício 5 cim, mostre que: i θ 3 θ ( se(θ ii θ 4 θ 48 3 ( + cos(θ Usdo os resultdos cim, mostre que Eercício 8 (F4 e5 Alise o seguite rgumeto: Sej f : R C um fução -periódic tl que f(θ e θ, pr < θ < Sej c e iθ série de Fourier de f Logo e θ c e iθ Derivdo os dois ldos d epressão, temos e θ c ie iθ Assim, c e iθ c ie iθ Pel uicidde d série de Fourier, temos c ic, ou sej, ( ic isto implic que c pr todo Portto, e θ Ms isto clrmete é flso Ode está o erro? Provmos em sl de ul que se f(θ c e iθ, etão df dθ (θ d dθ ( c e iθ ic e iθ sempre que f : R C for suve por prtes, cotíu e -periódic No etto, qudo pegmos fução θ [, ] e θ e fzemos um epsão -períódic del, fução resultte ão é cotíu Por eemplo, em ], 3[ el é dd por θ e θ Logo el é descotíu o poto De meir gerl, el será descotíu em todo poto + k, k N Eercício 9 (F4 e 6 Ache s séries de Fourier seo e séries de Fourier cosseo ds seguites fuções f : [, ] R: i f(θ ii f(θ θ iii f(θ se(θ iv f(θ cos(θ v f(θ θ vi f(θ θ, pr θ e f(θ θ, pr θ i Cosseo:, Seo: ii Cosseo: + 4 iii Cosseo: 4 iv Cosseo: cos(θ, Seo: v Cosseo: vi Cosseo: 4 se( θ cos( θ ( cosθ 4 8 ( , Seo:, Seo: se(θ se(θ 4 cos(θ, Seo: cos(4 θ (, Seo: 4 se(θ ( + se(θ 8 ( + se( θ ( se( θ ( 3 Eercício (F4 e Sej f : [, ] C um fução cotíu por prtes tl que f(θ f( θ Sejm e b os termos d epsão em cosseos e d epsão em seos de f, respectivmete Mostre que pr ímpr e b pr pr Lembrmos que f(cos(d

7 LISTA DE EXERCÍCIOS - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA (MAP 33 7 Se é ímpr, etão k +, em que k Logo Lembrmos que f(cos(d f(cos ((k + d + f(cos ((k + d + f(cos ((k + d + f(cos ((k + d + f(cos ((k + d + f(cos ((k + d b Se é pr, etão k, em que k Logo f(se(d f(se (k d + f(se (k d + f(cos ((k + d f ( cos ((k + d f(cos ((k + ( d f(cos ((k + (k + d f(cos ( (k + d f(cos ((k + d f(se(d f(se (k d + f(se ((k + d + f(se (k d + f(se (k d f(se (k d f ( se (k d f(se (k ( d f(se (k k d f(se ( k d f(se (k d