f(x + 2P ) = f ( (x + P ) + P ) = f(x + P ) = f(x)

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1 Seção 17: Séries de Fourier Fuções Periódics Defiição Dizemos que um fução f : R R é periódic de período P, ou id, mis resumidmete, P periódic se f(x + P ) = f(x) pr todo x Note que só defiimos fução periódic se o domíio d fução for todo R Portto se o domíio de um fução ão for todo R, ão fz em setido pergutr se el é periódic Exemplo A fução f(x) = se x é 2π periódic A fução f(x) = cos x é 2π periódic Observção Se um fução f(x) é P periódic, etão f(x + P ) = f(x) pr todo x Substituido x por x + P, temos f(x + 2P ) = f ( (x + P ) + P ) = f(x + P ) = f(x) pr todo x ogo, se f(x) é P periódic, etão f(x) tmém é 2P periódic Pelo mesmo rgumeto, f tmbém é 3P periódic De meir semelhte se obtém que f(x) tmbém é P periódic, pr todo Portto se existir período, ele ão é úico O mis iteresste é determir o meor período de um fução Operções com fuções periódics Teorem 1 Se f(x) e g(x) são fuções com um mesmo período P, e se c é um úmero rel, etão f(x) + g(x), f(x) g(x), f(x)g(x), cf(x) e f(x) são fuções P periódics g(x) Demostrção: Vmos provr um dels As outrs são semelhtes Sej h(x) o produto h(x) = f(x)g(x) Etão, mostrdo que, de fto, h é P periódic h(x + P ) = f(x + P )g(x + P ) = f(x)g(x) = h(x), Exemplo As fuções f(x) = se x e g(x) = cos x são periódics com o mesmo período 2π Portto f(x)g(x) e f(x) são 2π periódics N verdde, g(x) f(x)g(x) = cos x se x = se 2x 2 e f(x) = se x cos x = t x são té π periódics Pel observção feit o prágrfo cim, sedo π periódics, são tmbém 2π periódics, o que está de cordo com o que diz o Teorem 1 Teorem 2 Sejm f(x) e g(x) fuções com períodos distitos P 1 e P 2, respectivmete Se rzão P 1 = m f(x) for um úmero rciol, etão f(x) + g(x), f(x) g(x), f(x)g(x), cf(x) e P 2 g(x) são fuções periódics Mis precismete esss fuções têm período P 1 = mp 2

2 Demostrção: Se P 1 P 2 = m é um úmero rciol, etão P 1 = mp 2 Chmemos de P o vlor comum P = P 1 = mp 2 Etão f(x) e g(x) são mbs periódics com o mesmo período P 1 = mp 2 Pelo Teorem 1, temos que f(x) + g(x), f(x) g(x), f(x)g(x), cf(x) e f(x) g(x) são fuções P periódics Se rzão P 1 P 2 etre os períodos for um úmero irrciol, s ovs fuções obtids por som, produto, difereç e quociete em gerl ão são periódics Exemplo As fuções f(x) = se x e g(x) = se (11 x) são periódics O período de f é P 1 = 2π O período P 2 de g é tl que g(x + P 2 ) = se ( 11 (x + P 2 ) ) = se ( 11 x + 11 P 2 ) = se (11 x) = g(x) Etão, devemos ter 11 P 2 = 2π, ou sej, P 2 = 2π Estmos situção em que o quociete 11 dos períodos é o úmero rciol P 1 = 11 = 11 P 2 1 Temos 1P 1 = 11P 2 = 2π Portto som f(x) + g(x) = se x + se (11 x) tem período 2π, que é bem mior do que o período de cd um dels Exemplo A fução f(x) = 2 + N ( cos πx é 2 periódic, pois é um som de fuções 2 periódics + b se πx ) O objetivo dest sessão é fzer justmete o cotrário Dd um fução f(x) periódic, gostrímos de obter pr el um represetção como superposição de seóides Não será sempre possível obter ests represetção como som fiit Por exemplo, fução f(x) cujo gráfico é f(x) ão pode ser escrit como um som fiit do tipo (1), pois um som fiit de fuções deriváveis deveri ser um derivável Ms fução f(x) ão é derivável, pois seu gráfico é um curv que ão dimite ret tgete em todos os potos Pr represetr fução f(x) como som de fuções periódics simples, vmos ter que somr um ifiidde de prcels: f(x) = 2 + ( cos πx (1) + b se πx ) (2) A expressão (2) é chmd de um série de Fourier Note que já mostrmos que cd termo cos πx + b se πx pode ser escrito de um meir mis simples, como cos πx + b se πx 2 ( ) πx = c se + φ

3 As seóides são os exemplos mis simples de fução periódics Expdir um fução em série de Fourier é represetá-l como superposição de seóides deslocds f(x) = 2 + ( ) πx c se + φ (3) Ortogolidde Defiição Um fução f : [, b R é dit cotíu por prtes se tem o máximo um úmero fiito de potos de descotiuidde t 1 < t 2 < < t e em cd um destes potos de descotiuidde existem os limites lteris f(t i + ) = lim x t + i f(x) e f(t i ) = lim x t i f(x) Diremos que um fução f : R R é cotíu por prtes se em cd itervlo [, b fução tem o máximo um úmero fiito de potos de descotiuidde e em cd um deles existem os limites lteris Defiição Fixdo um itervlo [, b, sej V o cojuto de tods s fuções f : [, b R cotíu por prtes V = {f : [, b R f é cotíu por prtes} V é um espço vetoril, som de elemetos de V está em V, vledo o mesmo pr o produto de um elemeto de V por um esclr No espço vetoril V temos um produto itero O produto itero de dus fuções é defiido por f(x), g(x) = As fuções são dits ortogois se f(x), g(x) =, ou sej, se f(x)g(x) dx (4) f(x)g(x) dx = Note que os elemetos de V são fuções Ests fuções estão sedo pesds como vetores de um espço vetoril V e, como tl, podemos flr em produto itero e tmbém em orm (ou comprimeto de um vetor), defiid por f = f(x), f(x) 1 2 ( = f(x) 2 dx ) 1 2 (5) Exemplo Pr ós o exemplo mis importte será qudo [, b = [,, V = {f : [, R f é cotíu por prtes} e f(x), g(x) = Neste cso um cojuto de fuções ortogois é ddo por 1 2, cos πx, cos 2πx,, cos πx,, se πx f(x)g(x) dx 2πx πx, se,, se, (6) De fto, vmos verificr que ests fuções são ortogois etre si Começmos mostrdo que cd um destes seos é ortogol qulquer dos cosseos Tommos s fórmuls d trigoometri se ( + b) = se cos b + se b cos se ( b) = se cos b se b cos 3

4 Somdo ests dus iguldde obtemos Em prticulr, pr = πx Itegrdo, se πx se πx se cos b = 1 2[ se ( + b) + se ( b) e b = mπx, temos mπx cos = 1 2 [ ( + m)πx se + se ( m)πx mπx cos dx = 1 ( + m)πx se dx + 1 ( m)πx se dx 2 2 É imedito ver que s dus itegris do ldo direito vlem Fic ssim provd ortogolidde etre dois quisquer seos Em seguid usmos s fórmuls cos( + b) = cos cos b se se b cos( b) = cos cos b + se se b (7) Somdo s dus obtemos Em prticulr, pr = πx cos πx cos cos b = 1 2[ cos( + b) + cos( b) e b = mπx, temos mπx cos = 1 2 [ ( + m)πx cos + cos ( m)πx Itegrdo, cos πx Pr quisquer m e, Pr m, Ms pr m =, Portto, mπx cos dx = 1 ( + m)πx cos dx + 1 ( m)πx cos dx ( + m)πx cos dx = 2 1 ( m)πx cos dx = 2 2( + m)π 2( m)π se ( + m)πx se ( m)πx 1 ( m)πx cos dx = 1 1 dx = 2 2 x= x= x= x= = = cos πx { mπx, cos = cos πx mπx, se m cos dx =, se = m (8) 4

5 Subtrido s dus igulddes em (7) e procededo de meir álog, obtemos se πx { mπx, se = se πx mπx, se m se dx =, se = m (9) Precisremos id de 1 2, 1 = 2 2 (1) Fórmuls de Euler A vtgem de se usr um sistem ortogol de fuções pr expdir um dd fução f(x), é que os coeficietes podem ser fcilmete clculdos De fto, supohmos que {ϕ (x), ϕ 1 (x), ϕ 2 (x), ϕ 3 (x), } sej um sistem ortogol de fuções o itervlo [, b, isto é ϕ (x), ϕ m (x) = ϕ (x)ϕ m (x) dx =, se m Se expdimos f(x) = c ϕ (x), (11) = os coeficietes c podem ser clculdos d seguite meir Primeiro multiplicmos (11) por ϕ m (x), f(x)ϕ m (x) = c ϕ (x)ϕ m (x) Itegrdo os dois ldos e usdo que itergrl d som é som ds itergris, temos f(x)ϕ m (x) dx = Ms, pel ortogolidde, = c ϕ (x)ϕ m (x) dx = = c ϕ (x)ϕ m (x) dx (12) = ϕ (x)ϕ m (x) dx = pr todos os vlores de, exceto pr = m Portto, últim som d iguldde (12) se reduz um úic prcel ão ul, ogo, c m = f(x)ϕ m (x) dx = c m ϕ m (x)ϕ m (x) dx f(x)ϕ m(x) dx ϕ m(x)ϕ m (x) dx = f(x), ϕ m(x) ϕ m (x) 2 Trocdo letr m por, obtemos c = f(x)ϕ (x) dx ϕ (x)ϕ (x) dx (13) O exemplo mis importte de sistem ortogol de fuções é ddo por (6) expsão (11) de um fução f : [, R tom form f(x) = 2 + ( cos πx + b se πx ) Neste cso, (14) 5

6 e é chmd de série de Fourier d fução f(x) Em vist ds expressões (8),(9) e (1), expressão álog (13) pr os coeficietes é = 1 π f(x) cos πx dx e b = 1 π f(x) se πx dx (15) As expressões (15) são cohecids como Fórmuls de Euler Note que expressão pr é = 1 π estdo, portto, icluíd em (15), pr = f(x) dx, Séries de Fourier Notção Pr um fução cotíu por prtes, idicremos por f(x + ) e f(x ) os limites lteris f(x + ) = lim f(x) e f(x ) = lim f(x) y x + y x Teorem de Fourier Sej f : R R um fução 2 periódic cotíu por prtes e possuido um derivd primeir f (x) tmbém cotíu por prtes (em cd itervlo limitdo, pode existir um úmero fiito de potos ode fução ão é derivável, ms estes potos devem existir os limites lteris d derivd) Sejm e b s seqüêcis defiids pels fórmuls (15) e cosideremos série de Fourier (14) d fução f(x) Etão série de Fourier de f(x) coverge pr todo vlor de x e su som vle ( f(x), se x é poto de cotiuidde 2 + cos πx + b se πx ) = f(x+) + f(x ), se x é pt de descotiuidde 2 Exemplo Sej f : R R 2π periódic e tl que f(x) = x 2 pr < x < 2π 4π 2 Vmos ter 2π 2π 4π f(x) = 2 + ( cos x + b se x ) Pr clculr os coeficietes deverímos itegrr = 1 π π f(x) cos x dx Como f(x) = x 2, pr < x < π ms tem um defiição diferete pr π < x <, terímos que decompor est itegrl som de dus, um pr x etre e π e outr etre π e Em vez disto, fic mis fácil deslocr o itervlo e clculr = 1 π 2π f(x) cos x dx 6

7 É possível fzer isto pois o itegrdo é periódico e seu período coicide com o comprimeto do itervlo de itegrção Portto, = 1 π Alogmete, e Etão, b = 1 π 2π 2π x 2 cos x dx = 1 [ x 2 se x + π x 2 se x dx = 1 π 2x cos x 2 [ x2 cos x 2x se x = 1 π 2π x 2 dx = 8π2 3 f(x) = 4π ( cos x 2 ) π se x 2 se x x=2π 3 = 4 x= 2 2 cos x x=2π 3 = 4π x= Em prticulr, x = é um poto de descotiuidde, o qul os limites lteris vlem f(+) = e f( ) = 4π 2 Assim, 4π 2 + = 4π , de ode segue que Pr x = π, obtemos Segue que π 2 12 = π 2 = f(π) = 4π ( 1) = π2 6 (16) ( 1) 2 2 = Observção No estudo do Cálculo, usdo os critérios de covergêci de séries, se mostr que série 1 coverge, ms ão se tem idéi ehum do vlor d som A iguldde (16) 2 é um resultdo fmoso, que foi obtido por Euler O fto de que qui el foi deduzid prtir de um plicção do Teorem de Fourier mostr forç deste teorem É muito surpreedete relção dest série com o úmero π Em exemplos futuros veremos que s séries 1 e tmbém estão relciods com π Neste curso ão fremos demostrção do Teorem de Fourier, ms um curso mis vçdo el deve ser feit Fuções pres e ímpres Defiição Um fução f : [, R, defiid em um itervlo simétrico em relção à origem, é dit um fução pr se f( x) = f(x), pr todo x (17) 7

8 Note que codição (17) diz que ddo um poto (x, f(x)) o gráfico d fução, o poto simétrico dele em relção o eixo Y, isto é, o poto ( x, f(x)), tmbém é um poto do gráfico Portto, fução f : [, R é pr qudo seu gráfico for simétrico em relção o eixo Y Exemplo Pr iteiro pr, f(x) = x é um fução pr As fuções g(x) = x e h(x) = cos x tmbém são fuções pres Observção Segue imeditmete d simetri em relção o eixo Y que se f : [, R é pr, etão f(x) dx = 2 f(x) dx Defiição Um fução f : [, R, defiid em um itervlo simétrico em relção à origem, é dit um fução ímpr se f( x) = f(x), pr todo x (18) Note que codição (18) diz que ddo um poto (x, f(x)) o gráfico d fução, o poto simétrico dele em relção à origem ( x, f(x)) tmbém é um poto do gráfico Portto, fução f : [, R é ímpr qudo seu gráfico é simétrico em relção à origem Exemplo Pr iteiro ímpr, f(x) = x é um fução ímpr A fução g(x) = se x tmbém é fução ímpr Observção Segue imeditmete d simetri em relção à origem que se f : [, R é ímpr, etão f(x) dx = Série de Fourier de um fução pr Sej f : R R for pr e 2 periódic É fácil ver que o produto de um fução pr f(x) por um fução ímpr g(x) é ímpr De fto, como f( x) = f(x) e g( x) = g(x), segue que f( x)g( x) = f(x)g(x) Portto f(x) se πx é ímpr Etão, b = 1 f(x) se πx dx = Portto série de Fourier de um fução pr ão cotém ehum dos seos, que são fuções ímpres Cotém somete os cosseos e costte, que são fuções pres Além disto, como o produto de fuções pres é pr, f(x) cos πx é pr ogo, = 2 f(x) cos πx dx, e = 2 f(x) dx Série de Fourier de um fução ímpr Alogmete, se f : R R for ímpr e 2 periódic, su série de Fourier só vi coter os seos, que são fuções ímpres tmbém e ão vi coter ehum dos cosseos em costte, que são fuções pres Além disto, b = 2 f(x) se πx dx Exemplo Cosideremos fução dd pelo gráfico bixo 8

9 π 1 π 1 Est fução é ímpr é 2π periódic Etão com Etão, ogo, b = 2 π f(x) se x dx = 2 π f(x) = b = 4 π, f(x) = 4 ( se x + π 1 b se x, se x dx = 2 π se é ímpr, se é pr se 3x 3 + se 5x 5 cos x π ) + = 2( 1 ( 1) ) Em prticulr, pr x = π 2, obtemos 1 = 4 π ( ), ou sej, π 4 = (19) Obs A iguldde (19) tmbém é um resultdo fmoso e foi obtid pel primeir vez por eibiz Exemplo Cosideremos f(x) fução 2π periódic dd pelo gráfico bixo π π π 2π Como o gráfico tem simetri em relção o eixo Y, est fução é pr Etão b = e Tmbém = 2 π = 2 π f(x) dx = 2 π cos π 1 2 = 2 ( ( 1) 1 ) 2 = π = 2 π x cos x dx = 2 [ x se x + π f(x) dx = 2 π 4 2 π, cos x 2 se é ímpr, se é pr x dx = π x=π x=π 9

10 Portto f(x) = π 2 4 π ( ) cos x cos 3x cos 5x = π 2 4 π Em prticulr pr x =, obtém-se o resultdo surpreedete = f() = π 2 4 ( π ) 2 +, ou sej, π 2 8 = = = = cos(2 + 1)x (2 + 1) 2 1 (2 + 1) 2 (2) Um fto curioso é que prtir de (2) podemos ovmete obter som d série (16) De fto, podo 1 S = 2 = queremos descobrir o vlor de S Agrupmos os termos d seguite form S = ( ) ( ) Usdo (2), temos ( S = π ) Colocdo 1 4 ou sej, Segue que S = π2, isto é, 6 em evidêci o prêteses cim, temos S = π ( ) 2 +, S = π S π 2 6 = = 1 2 Série de Fourier Cosseo e Série de Fourier Seo As séries de Fourier estudds cim servem pr expdir um fução periódic Ms servem tmbém pr expdir um fução f : [, R, cujo domíio ão é todos os reis, ms é pes um itervlo simétrico cetrdo em De fto, um fução f : [, R pode ter estedid como um fução 2 periódic defiid em todos or reis Vmos pssr estudr gor um outr situção Agor oss fução vi estr defiid pes de f : [, R Vmos primeiro esteder seu domíio, defiido f(x) tmbém pr x < Existem ifiits meirs de fzer isto, ms dus dels têm utilidde prátic 1

11 Estededo como fução pr Tommos o gráfico de f : [, R e refletimos em relção o eixo Y, ou sej, podo f( x) = f(x), pr x [, Agor temos f : [, R Em seguid podemos id esteder ovmete o domíio e ter f : R R 2 periódic Usdo s séries de Fourier estudds teriormete, obtemos f(x) = 2 + cos πx, com = 2 f(x) cos πx A expressão cim pr f(x) em série de Fourier, é válid pr todo x rel, ms iteres-o pes os x pr os quis fução estv iicilmete defiid Coclusão: Podemos expdir fuções f : [, R em série f(x) = 2 + cos πx, pr x, com = 2 dx f(x) cos πx Estededo como fução ímpr Tommos o gráfico de f : [, R e estedemos fução, tomdo os potos simétricos em relção à origem Tem o mesmo efeito primeiro refletir o gráfico em relção o eixo Y e ovmete em relção o eixo X Alogmete temos Coclusão: Podemos expdir fuções f : [, R em série f(x) = b cos πx, pr < x <, com b = 2 f(x) se πx Note que o estedermos fução como ímpr, o poto ecessrimete tor-se um poto de descotiuidde, meos que tivéssemos f() = Por est rzão x = foi excuído do itervlo de vlidde d iguldde cim D mesm form estededo como ímpr e depois como periódic, se tor um poto de descotiuidde tmbém, sedo tmbém excluído do itervlo de vlidde Exemplo Cosideremos fução f : [, π R, f(x) = x Vmos obter pr el dus expsões Em série de cosseos: Tmbém = 2 π x cos x dx = 2 [ x se x + π = 2 π f(x) dx = 2 π Portto, x = π 2 4 ( ) cos x cos 3x cos 5x π Em série de seos: b = 2 π x se x dx = 2 π [ x cos x + cos x x=π 2 = x= 11 x dx = π = π 2 4 π 2 = 4 2 π 2, se x x=π 2 cos π 2 = x= dx se é ímpr, se é pr dx cos(2 + 1)x (2 + 1) 2, ( x π) = 2 ( 1) 1

12 Portto, x = 2 ( 1) 1 se x, ( x < π) Note que expsão cim é válid pr x = Isto se deve o fto de que como f() =, x = é um poto de cotiuidde d extesão ímpr d fução Temos ssim dus expsões x = π 2 4 π 2 = cos(2 + 1)x (2 + 1) 2 = 2 ( 1) 1 se x 12