Universidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Métodos Quantitativos Aplicados I Professora: Marina Sequeiros

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1 Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros. Poliômios Defiição: Um poliômio ou fução poliomil P, vriável, é tod epressão do tipo: P)=... 0, ode IN, i, i 0,,..., são úmeros reis chmdos coeficietes e s prcels i i, i,...,, termos do poliômio. Cd termo é deomido moômio. Eemplos: P)=5 ; P ) 8 ; 5 P ) Cotr-eemplos epressões que ão represetm poliômios): f ) 5; f ).. Vlor umérico de um poliômio Sej P) um poliômio. Cosidere = IR) um vlor fio triuído. Clcule P)= P) é o vlor umérico do poliômio pr =. OBS:. O vlor umérico do poliômio P pr =0 é: P0)= Isto é, P0) é igul o termo idepedete de.. O vlor umérico do poliômio P pr = é: P)= Assim, P)=. k k 0, isto é, P) é igul som dos coeficietes do poliômio.. Qudo P)=0, dizemos que é riz do poliômio P)... Poliômio ulo É quele em que todos os seus coeficietes são iguis zero P)=0)... Gru de um poliômio O gru de um poliômio P), ão ulo, é o mior epoete d vriável, com coeficiete ão ulo, que prece epressão que defie P).

2 Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros Eemplo: P)=5 6 grp)=6 P)= 5 grp)= P)=5 grp)=0 OBS: Não se defie o gru de poliômio ulo... Iguldde de poliômios Dois poliômios P) e Q) são iguis, P)=Q), qudo todos os seus coeficietes são ordedmete iguis. Sejm P)= 0... e Q)= 0... P)=Q) Coeficietes de mesmo gru são iguis.5. Operções Sejm P) e Q) tis que P)= 0... e Q)= 0..., IN..5.. Adição e sutrção de poliômios A dição e sutrção de poliômios é feit prtir d dição e sutrção dos coeficietes correspodetes um mesmo gru. P)+Q)= ) ) )... ) ) 0 0 P)-Q)= ) ) )... ) ) 0 0 Eemplo: P)= e Q)= 7 P)+Q)= 0+) ) ) 0 0) 7) P)-Q) = 0-) 0 ) ) 0 0) 7))

3 .5.. Multiplicção de poliômios Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros A multiplicção é feit pel propriedde distriutiv d multiplicção em relção à dição e multiplicção. OBS: Se o gru do poliômio P é e o gru do poliômio Q é, etão o gru do poliômio P.Q será +m. Eemplo: P)=- e Q)=5 P).Q)= -) 5 ) P).Q)= 0 5 P).Q)= Divisão de poliômios Dividir um poliômio P) por um poliômio D), ão ulo, é chr um pr de poliômios Q) e R), de tl meir que: Ou sej, dividir o poliômio P) pelo poliômio D) é oter os poliômios Q) e R) tis que: Qudo o resto d divisão de P) por D) é ulo, dizemos que o poliômio P) é divisível por D). Método de divisão de poliômios. Método d chve Vmos dividir por 5

4 Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros. Dispositivo prático de Briott-Ruffii Este dispositivo é utilizdo pr dividir um poliômio P) por um poliômio do º gru d form -. Neste método, trlh-se pes com os coeficietes do poliômio e com o vlor de. Dispositivo: Sej P)= por D)=- Eemplo: OBS: Se o resto d divisão é zero, etão o poliômio é divisível pelo iômio divisor.

5 Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros Teorem do resto O resto d divisão de um poliômio P) por um iômio do ºgru do tipo - é igul o vlor umérico do poliômio P) pr =, ou sej, P)=R. Como o divisor é do o gru, o resto é ulo ou tem gru zero. De qulquer modo, R é um costte, isto é, idepedete de. Pr clculr o vlor de R st sustituir idetidde por. Note que é riz do iômio. Teorem de D Alemert Um poliômio P) é divisível pelo iômio - se, e somete se, P)=0. Note que lém de ser riz do iômio - é tmém riz do poliômio P). OBS: Cohecid um riz r do poliômio P), podemos oter s demis rízes de P) d seguite meir: Dividimos P) por -r, usdo o lgoritmo de Briott-Ruffii. As rízes do quociete Q) dess divisão são s demis rízes de P). Divisão por -)-) Se um poliômio P) é divisível seprdmete pelos iômios -) e -), com, etão P) é divisível pelo produto -)-). A recíproc é verddeir) Geerlizdo, se P) é divisível por ftores distitos - ), - ),..., - ) etão P) é divisível pelo produto - ).- )... - ). Eercício proposto: 5

6 Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros.6 Equções poliomiis Defiição: Se P) é um poliômio de gru >0, chm-se equção lgéric ou poliomil à iguldde P)=0. Assim, equção lgéric de gru é um equção do tipo: P)=... 0 =0, 0 0. Riz de um equção lgéric Dd um equção lgéric P)=0, o úmero r é um riz dess equção se, e somete se, Pr)=0. Cojuto-solução Cojuto-solução de um equção lgéric é o cojuto formdo por tods s rízes e somete por els) d equção. Resolver um equção é oter seu cojuto solução. Equção do o gru Um equção é clssificd como equção do o gru qudo puder ser escrit so form +=0, ode e são reis com 0. Um equção do o gru tem pes um riz que pode ser otid isoldo-se. Equção do o gru Um equção é clssificd como equção do o gru qudo puder ser escrit so form c 0, ode, e c são reis, com 0. Um equção do o gru tem o máimo dus rízes, que podem ser otids pel fórmul: c = OBS: Se >0 etão equção dmite dus rízes reis e distits Se =0 etão equção dmite dus rízes reis e iguis. Se <0 etão equção dmite dus rízes comples. Equção do o e o gru Um equção é clssificd como equção do o e o gru, qudo puder ser escrit so form c d 0 ou c d e 0 6

7 Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros As rízes ds equções do terceiro e qurto grus podem ser otids trvés de fórmuls geris que são etremmete trlhoss. OBS: As equções de gru superior ão presetm fórmuls resolutivs. Dest form, presetm-se teorems válidos pr quisquer equções lgérics que possiilitm resolução ou, o meos, iformções úteis oteção ds rízes de um equção. Teorem Fudmetl d Álger O teorem d Álger sore equções lgérics de coeficietes reis diz: Tod equção lgéric de gru dmite o cojuto dos úmeros compleos rízes comples. O teorem grte eistêci de rízes comples, ão diz como otê-ls. O teorem tem vlidde o cojuto dos úmeros compleos, ou sej, pode ou ão ter riz rel. Teorem d decomposição Sej P)=... 0 um poliômio de gru >0. Demostr-se que P) pode ser decomposto, ou sej, ftordo, form seguite: OBS: Est form ftord mostr que equção tem o máimo rízes distits, e ão etmete, pois ão semos se os úmeros Multiplicidde de um riz são todos distitos dois dois. Dizemos que r é um riz de multiplicidde m m), d equção P)=0 se, e somete se, equção puder ser escrit so form, -r) m. Q)=0 Isto é, r é riz de multiplicidde m de P)=0 qudo o poliômio P é divisível por -r) m, ou sej, decomposição de P preset etmete m ftores iguis -r). 5 Eemplo: A equção. 7) multiplicidde ). dmite s rízes =0 com multiplicidde 5) e = -7 com 7

8 Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros Pesquis de rízes Qudo se cohece um riz r de um equção lgéric P)=0, divide-se P) por -r, recido-se um de gru meor. Eemplo: Se =- é um riz d equção 6 0, determie s outrs rízes. Teorem ds rízes iteirs OBS: Este teorem permite descorir se equção tem ou ão rízes iteirs; st pr tto, verificr um por um os divisores do termo idepedete de, 0. Teorem ds rízes rciois 8

9 Teorem ds rízes comples Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros Eercícios ) ) Clcule s rízes de P)= ³- ²- +, sedo que P) é divisível por +. ) Eercícios propostos: ) ) 9

10 Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros e -) Resposts dos eercícios propostos ) r= ) ) 7, primeir hor mot 8 e segud 88; ) Crescete, porque umetdo-se o úmero de hors de trlho, umet-se o úmero de peçs motd; c)[0,] ) - )m= e = 5) 6) =0,= e c=/ 7) = e = Produtos otáveis Os produtos otáveis são multiplicções etre poliômios, muito cohecids em virtude de seu uso eteso. Iguldde Eemplo +) = ++ +) +) = -+ -) 6 6 = +)-) 5 5) 5) 7) ) ) ) ) ) ) 8 ) ) ) ) 6 ) 8) ) ) ) 8 6) )... ) 0

11 Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros.8. Ftorção Ftorr um poliômio sigific reescrevê-lo como produto de outros poliômios. Eemplos: ) ) 5 c) d) 8 6 e) 7 ) Eercícios: ) ) Simplifique

12 ) Ftore o poliômio do o gru Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros Eercícios propostos ) Simplifique ) e) ) f) c) g) d) h) ) Ftore o poliômio do o gru ) ) c) d) ) Ftore os poliômios ddos

13 Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros ) Determie, cso eistm, s rízes iteirs d equção:.9. Completr qudrdos O processo de completr qudrdos tem se s fórmuls de produtos otáveis +) e -), fzedo-se um comprção diret etre os termos. É um operção muito utilizd em poliômios de gru. Eemplos: Completr qudrdos: ) +6 Temos que comprr com +) +) = + + = + 6 Comprdo, diretmete, temos = e que =6 =6 =. Logo =9. +) = + + +) = Assim: + 6 = ) = ) 9 = + ) - 9 ) + = ) + Iicilmete, vmos descosiderr costte. Podemos comprr ess epressão com -), pois o coeficiete do termo de gru é egtivo. Assim: -) = Comprdo, diretmete, temos que = e que =. Dí, = =/. Logo, =/ -) = + c) Assim, ) + = ) + - 7

14 Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros Eercício: Completr qudrdos ) - ) +8+ c) - + Eercício proposto Completr qudrdos: ) ++7 ) -9 c) - +