Matemática Fascículo 03 Álvaro Zimmermann Aranha

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1 Mtemátic Fscículo 03 Álvro Zimmerm Arh

2 Ídice Progressão Aritmétic e Geométric Resumo Teórico... Exercícios...3 Dics...4 Resoluções...5

3 Progressão Aritmétic e Geométric Resumo teórico Progressão Aritmétic (P.A.) Defiição Um seqüêci uméric ( ; ; 3 ;...; ; ; + ;...) será deomid P.A. se um termo qulquer ( ), prtir do segudo ( ) for obtido pel som do termo imeditmete terior ( ) com um vlor costte (r) deomido rzão d P.A.; ou sej, um P.A.: = +r pr IN/ Exemplo: (,3,5,7,9,...) Coseqüêcis: seqüêci dos úmeros ímpres positivos é um P.A. de rzão r = e primeiro termo =. A difereç etre dois termos cosecutivos é costte e igul à rzão d P.A., ou sej: 4 3 = 3 = =r. Um termo qulquer, prtir do segudo, é médi ritmétic dos termos que lhe são eqüidisttes, ou sej: 3 ; ; p p Fórmul do Termo Gerl d P.A. ( ) Num P.A. de rzão r e primeiro termo, podemos obter um termo qulquer trvés d seguite relção: = + ( ).r pr IN/ Exemplo: pr ecotrrmos o 0º termo fzemos = 0, logo: 0 = + 9.r Coseqüêci:. Pr obtermos um termo qulquer, prtir de um termo de ordem p ( p ) devemos fzer: = p + ( p).r Exemplo: 0 = 7 +3rou 0 = 4 + 6r, etc...

4 Som dos Termos de um P.A. A som dos primeiros termos de um P.A. pode ser obtid pel seguite relção: ( ) S ode é o primeiro termo, é o último termo, é o.o de termos somdos e S é o vlor d som dos termos. Progressão Geométric (P.G.) Defiição Um seqüêci uméric ( ; ; 3 ;...; ; ; + ;...) será deomid P.G. se um termo qulquer ( ), prtir do segudo ( ) for obtido pel multiplicção do termo imeditmete terior ( ) por um costte uméric (q) deomid rzão d P.G.; ou sej, um P.G.: =. q pr IN/ Exemplo: (, 6, 8, 54, 6) é um P.G. ode q=3 Coseqüêcis:. O quociete etre dois termos cosecutivos é costte e é igul à rzão (q) d P.G., ou id: 3 q (pr q 0). Um termo qulquer, prtir do segudo ( ) é médi geométric dos termos que lhe são eqüidisttes, ou: 3 4 p p ( ) ou ( ) Fórmul do Termo Gerl d P.G. ( ) Num P.G. de primeiro termo e rzão q, um termo qulquer pode ser obtido trvés d seguite relção: =.q pr IN/ Exemplo: pr obtermos o quito termo fzemos =5, dí: 5 =.q 4 Coseqüêci: Pr obtermos um termo qulquer ( ) prtir de um termo de ordem p devemos usr seguite relção: = p.q p Exemplo: 0 = 7.q 3 ou 0 = 6.q 4, etc...

5 Som Fiit de Termos de um P.G. A som dos primeiros termos de um P.G. é dd pel seguite relção: (q ) S= q Som Ifiit de Termos de um P.G. Covergete Qudo som ifiit coverge, ou sej, P.G. q <, podemos obter o limite d som fzedo S q Produto dos Primeiros Termos de um PG. É ddo pels seguites relções: ( ) IP q ou IP ( ) Exercícios 0. (FUV-83-Modificdo) Clculdo um dos âgulos de um triâgulo retâgulo, sbedo que os mesmos estão em P.G. obtemos:. ( ).90º b. ( 3 ).45º c. ( 5 ).45º d. ( 7 ).90º e. (+ ).45º 0. (FUV-85-Modificdo) Os úmeros x, x, log 0x são, est ordem, os três primeiros termos de um progressão geométric. Clculdo o vlor de x obtemos:. b. c. 5 d. 5 e (FUV-9-Modificdo) Três úmeros distitos formm um P.A. crescete, cuj som é três. Seus qudrdos, mtedo respectiv ordem, formm um P.G.. Qul é rzão d P.A.?. b. c. d. 3 e. 04. Em um progressão ritmétic de termos positivos, os três primeiros termos são,,. O qurto termo dest P.A. é:. b. 3 c. 4 d. 5 e A seqüêci de úmeros reis, b, c, d form, ess ordem, um progressão ritmétic cuj som dos termos é 0; seqüêci de úmeros reis, b, e, f form, ess ordem, um progressão geométric de rzão. A som d+féigul :. 96 b.0 c. 0 d. 3 e. 4 3

6 06. Se som dos termos d progressão geométric dd por 0,3 : 0,03 : 0,003 :... é igul o termo médio de um progressão ritmétic de três termos, etão som dos termos d progressão ritmétic vle. 3 b. 3 c. d. e. 07. Pr todo turl ão ulo, sejm s sequêcis (3, 5, 7, 9,...,,...) (3, 6, 9,,..., b,...) (c,c,c 3,..., c,...) com c = +b. Nesss codições, c 0 é igul. 5 b. 37 c. 0 d. 9 e. 49 Dics 0. Use P.G. de 3 termos (x, xq, xq ) Num triâgulo retâgulo o mior âgulo mede 90º (fç x = 90º, cim, e ote que q<) Fç som dos termos cim igul 80º (som dos âgulos iteros um triâgulo). 0. Num P.G. (,, 3 ): 3 Lembre-se ds codições de existêci pr os vlores de x 03. Use P.A. de três termos ( 3 x r, { x, 3 x r ) 3 Pelo eucido ( ; ; 3 ) é P.G., etão: Se P.A. é crescete, etão r > 0 3 Clcule rzão, fzedo r =, (por exemplo) 04. Ddos três termos cosecutivos de um P.A., o termo do meio é igul à médi ritmétic dos outros dois, ou sej, se (, b, c) é P.A., etão b = c. 05. Num PA qulquer = r, ode r é rzão d PA Num PG qulquer =q,odeqérzão d PG 4

7 06.. A som dos termos de um P.G. ifiit é dd por S, <q< q. Pr três termos em P.A. vle propriedde: o termo do meio émédi ritmétic dos outros dois. 07. A primeir seqüêci dd é um P.A. de rzão esegud seqüêci dd é um P.A. de rzão 3. O termo gerl de um P.A. é ddo pel fórmul = + ( )r. Resoluções 0. Altertiv c. Usdo P.G. de 3 termos: (x, xq, xq ) fremos x = 90º; etão s medids serão (90º, 90ºq, 90ºq ) ode0 < q <,pois o mior âgulo o triâgulo retâgulo mede 90º. Ms: 90º + 90ºq + 90ºq = 80º (Som dos âgulos o triâgulo) 5 5 dí q ou q (ão covém) Logo, os âgulos medirão: (90º; 45º( 5 ), 45º(3 5) 0. Altertiv d. Se (x, x, log 0x) é P.G., etão: log0x x x log0x ( x) x x x log0x x, ms x x poisx > 0(codição de existêci) x log 0x x log 0x 0x x = Altertiv c. Usdo P.A. de três termos (x r, x, x + r) teremos: x r+x+x+r=3(eucido), odex= Logo, P.A. fic ( r,, + r) ms (( r),,( r) ) é P.G. (eucido) dí ( r) (+r) (+r) ( r) 5

8 r 0,ou ( r ) =, logo r,ou r etão r = ou r = 04. Altertiv b. Como(,, ) é um P.A., temos: ( = )+ = + = (*) Elevdo o qudrdo os dois membros, temos: ++= +3 0=0 ' ' ' 5 Como elevmos o qudrdo, temos que fzer verificção dos vlores ecotrdos equção (*). Pr=,temos: = (flso) Pr= 5,temos:+5 = 5 (verddeiro) Como= 5,P.A. fic (6, 5, 4). O qurto termo será Altertiv d. Sej (, b, c, d) um PA de rzão r b =r(i) Sej (, b, e, f) um PG de rzão q= b = b = (II) Substituido II em I, temos =r r= Assim sedo PA poderá ser escrit como (,, 3, 4), cuj som dos termos é igul =0 0 = 0 = A PG fic com primeiro termo = erzão q = epode ser escrit como (,, 44, 88). Assim d+f=44+88=3 b d f 06. Altertiv c. 03, 03, A som dos termos d PG ifiit (0,3 ; 0,03 ; 0,003 ;...) é dd por S q 0, 09, 3 Um PA de três termos com termo médio x e rzão r pode ser escrit como (x r, x, x + r). Sbedo que x = 3, temos PA 3 r, 3, 3 r etão som de seus termos vle 3 r r 3 3 6

9 07. Altertiv c. A sequêci (3, 5, 7, 9,...,...) é um PA de rzão, etão = +( ).r =3+( ). A sequêci (3, 6, 9,,... b,...) é um PA de rzão 3, etão b =b +( ).r b =3+( ).3 Como c = +b c 0 = 0 +b 0 c 0 =[3+(0 ).]+[3+(0 ).3] c 0 = 0 7