Progressão harmônica e o triângulo de Leibniz

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1 Artigo Origil DOI:0.590/79460X466 Ciêci e Ntur, St Mri, v. 37 Ed. Especil PROFMAT, 05, p Revist do Cetro de Ciêcis Nturis e Exts - UFSM ISSN impress: ISSN o-lie: X Progressão hrmôic e o triâgulo de Leibiz Hrmoic progressio Eglish d titlethe here trigle of Leibiz Dvid Pito Mrtis Resumo Colégio Estdul Pito de Aguir, Secretri de Educção d Bhi. BA, Brsil [email protected] Este rtigo pretede Progressão bordr de um form hrmôic elemetr o estudoedsoprogressões triâgulo hrmôics. de Pr este Leibiz fim, o uso d históri d mtemátic e estrtégis de resolução de problems permerm o texto. Vários problems, lgus clássicos e outros extrídos de olimpíds de mtemátic, form trtdos pr mostrr mpl plicbilidde deste ssuto. No fil, o triâgulo de Leibiz e Eglish title here su relção com s progressões hrmôics é estuddo. Plvrs-chve: Progressão hrmôic; Históri d mtemátic; Resolução de problems; Triâgulo de Leibiz. Abstrct This rticle iteds to ddress i elemetry wy the study Resumo of hrmoic progressios. To this ed, the usge of history of mthemtics d problem solvig strtegies permeted the text. Severl problems, some clssics d other extrcted from mthemticl Este rtigo pretede olympids, bordr werede treted um form to showelemetr the wideopplicbility estudo ds progressões of this subject. hrmôics. I the ed, Pr theeste trigle fim, oofuso Leibiz d históri d his d reltioship mtemáticwith e estrtégis the hrmoic de resolução progressios de problems is studied. permerm o texto. Vários problems, lgus clássicos e outros extrídos de Keywords: olimpíds Hrmoic de mtemátic, progressio, form trtdos Historypr of mthemtics, mostrr mpl Problem plicbilidde solvig, Trigle deste ssuto. of Leibiz. No fil, o triâgulo de Leibiz e su relção com s progressões hrmôics é estuddo. Plvrs-chve: Progressão hrmôic; Históri d mtemátic; Resolução de problems; Triâgulo de Leibiz. Abstrct This rticle iteds to ddress i elemetry wy the study of hrmoic progressios. To this ed, the usge of history of mthemtics d problem solvig strtegies permeted the text. Severl problems, some clssics d other extrcted from mthemticl olympids, were treted to show the wide pplicbility of this subject. I the ed, the trigle of Leibiz d his reltioship with the hrmoic progressios is studied. Keywords: Hrmoic progressio, History of mthemtics, Problem solvig, Trigle of Leibiz. submissão: Aceito: 04--0

2 Ciêci e Ntur, v. 37 Ed. Especil PROFMAT, 05, p Ciêci e Ntur Itrodução O estudo ds progressões miori ds escols brsileirs limit-se tão somete lisr s progressões ritmétics e geométrics, em um roteiro quse sempre defiido d seguite form: primeiro, se estud progressão ritmétic, o que essecilmete sigific obter expressão do termo gerl d progressão ritmétic e som dos seus termos, lém d resolução de problems, cotextulizdos ou ão; e depois, progressão geométric, que bsicmete segue o mesmo cmiho d progressão ritmétic, com prticulridde de que qui se determi tmbém som de ifiitos termos, qudo rzão dest é um úmero do itervlo ( ; ). Progressões, quse sempre, ão estão, por prte dos estudtes, etre os ssutos mis temidos de mtemátic. Etretto, um luo mis curioso pode se pergutr se ests serim s úics progressões existetes; e, existido outr progressão, como el é e o que é possível fzer com tl. A relidde é que mesmo licecidos em mtemátic revelm em su miori um descohecimeto do tem, se limitdo reproduzirem o que dizem os livros pr o esio médio de mtemátic sobre os ssutos. Neste rtigo, o leitor terá possibilidde de resolver problems que, té etão, ão teri codições de resolver com mtemátic vist pes s progressões ritmétic e geométric. Aqui, bordmos expositivmete, teori e prátic, com o uso de históri d mtemátic e com êfse resolução de problems, progressão hrmôic. O desevolvimeto deste coteúdo permitirá bordr o triâgulo de Leibiz, ferrmet mtemátic que permitiu o grde mtemático lemão clculr sus primeirs séries. Coforme dito tes, êfse resolução de problems como gete motivdor do esio em mtemátic está presete este rtigo, por ser um ds melhores forms de se promover rel predizgem mtemátic pr os luos. Neste setido, o otável mtemático húgro George Poly ( ) deixou um lição muito cohecid o meio mtemático, qudo dividiu o processo de resolução de problems em mtemátic em qutro pssos básicos. O primeiro psso é compreesão do problem; em seguid, costrução de um estrtégi de resolução; o peúltimo psso é execução d estrtégi e, por fim, revisão d solução. Poly sbi d importâci de se resolver problems em mtemátic pr cosistêci d predizgem de quem estud. A relizção ds Olimpíds de Mtemátic, sobretudo OBMEP (Olimpíd Brsileir de Mtemátic d Escol Públic), recetemete crid o Brsil, é um medid positiv pr o umeto do iteresse do estudo d mtemátic e reforç posição de que resolução de problems em mtemátic é fudmetl pr o cohecimeto d mesm. Muito d teori e dos problems qui vistos se ecixm este espírito olímpico, de rciocíio diferecido. Despertr o iteresse pr tis cotéudos, lém de eriquecedor mtemticmete, permite que se questioe se outros tems, té etão icessíveis com mtemátic básic, podem ser expdidos. Estes tems podem ser desevolvidos, em lgus csos, sem o uso d mtemátic vist o ível superior, o que pode ser estimulte o espírito pesquisdor o que é muito bom de se istigr em quem estud. Ideis iiciis Um progressão hrmôic é um sequêci fiit ou ifiit de úmeros cujos termos são todos diferetes de zero e tis que seus iversos formm um progressão ritmétic de primeir ordem. Assim, sequêci (,,...,,...) é um progressão hrmôic se, e somete se, sequêci dd por (,,...,,...) é um progressão ritmétic de primeir ordem. Defiimos progressão hrmôic fiit de modo iteirmete álogo. Pr simplificr, dqui por dite deomiremos progressão ritmétic de primeir ordem que está ssocid um dd progressão hrmôic pes de progressão ritmétic, sej el fiit ou ifiit. Determiemos expressão do termo gerl de um progressão hrmôic. Pr tto, sej j um termo qulquer d progressão hrmôic ( ), etão b j = é o termo j gerl de um progressão ritmétic de rzão r tl que e etão temos que r = b b = = b j = b +(j )r = +(j )( ). Como b j = j, segue que e ssim obtemos = +(j )( ) j j = +(j )( ) que é expressão do termo gerl de um progressão hrmôic pr j >, ode j é um úmero turl. São exemplos de progressões hrmôics s sequêcis ( ), (b ) e (c ) disposts seguir: ( )=(,, 3, 4,...,,...) ()

3 48 Mrtis: Progressão hrmôic e o triâgulo de Leibiz 3 Autores: Progressão hrmôic... (b )=( 5,,, 4, 7 ) (c )=(4, 4, 4, 4,... ) As sequêcis ( ), (b ) e (c ) são progressões hrmôics pois podemos ssocir, respectivmete, à ( ), (b ) e (c ) s sequêcis e (d )=(,,...,,...) (e )=(5,,, 4, 7) ( f )=( 4, 4, 4, 4,...), que são progressões ritmétics. É possível clssificr s progressões hrmôics quto o úmero de termos: um progressão hrmôic pode ser fiit, como por exemplo progressão hrmôic (b ) cim, ou ifiit, como progressão hrmôic ( ) terior. H = b + b. Est defiição é equivlete à defiição de médi hrmôic, pois o multiplicrmos por b iguldde = H + temos que b = bh + b e ssim b bh = b. Alogmete, qudo multiplicmos por iguldde H = b + b temos H = b + b e ssim b H = b. Somdo membro membro ests dus últims igulddes, temos: Problem. Dd progressão hrmôic (3, 7, 6 5,...), determie o seu oo termo. Solução. Temos pel iguldde que 9 = (3 7 ) 7 +(9 )(3 7 ) = 3 7. e portto b bh H = 0 b H(b + ) =0 b = H( + b) H = b + b. Muito útil será defiição de médi hrmôic. Os gregos tigos estudrm, gerdo problems e descoberts iteresstes, que qui serão borddos. A defiição de médi hrmôic dispost seguir, pr três úmeros, pode ser fcilmete geerlizd pr úmeros, ode é um iteiro positivo qulquer: ddos três úmeros, H, b, dizemos que H é médi hrmôic de e b se etre estes úmeros vle iguldde + b = H + H, que é equivlete à iguldde H = +b b. Percebemos etão dest defiição que o sigificdo de médi hrmôic etre dois úmeros é obter um úmero H tl que som do iverso de com o iverso de b sej igul à som do iverso de H cosigo próprio; ou sej, podemos substituir cd um ds frções e b por H que o resultdo d som etre eles é preservdo. N Gréci tig, cerc de 500 os tes de Cristo, um correte filosófic mrcou époc. Os pitgóricos erm um escol de pesdores cujo líder foi o mtemático e filósofo Pitágors, o qul credit-se ter scido em 565.C. e flecido em 490.C.. Os pitgóricos em muito cotribuírm pr mtemátic e cultur de modo gerl. Os pitgóricos defiim médi hrmôic ssim: ddos dois úmeros positivos e b, H émédi hrmôic de e b se existe um úmero tl que = H + e 3 Um propriedde ds progressões hrmôics e hrmoi geométric de Filolo Um propriedde que vle pr s progressões hrmôics é seguite: em tod progressão hrmôic, quisquer três termos cosecutivos são tis que o segudo é médi hrmôic dos outros dois. Provemos ess ssertiv: Demostrção. Sejm, h, b três termos de um progressão hrmôic. Por defiição, temos que (, h, b ) é um progressão ritmétic. Logo, vle iguldde Assim, segue que logo h = + b. b+ h = b = + b b, h = b + b.

4 Ciêci e Ntur, v. 37 Ed. Especil PROFMAT, 05, p Ciêci e Ntur 4 e com muits ideis. Viveu em um époc em que mtemátic greg estv em declíio, ms isto ão o impediu de, o o 30 proximdmete, escrever su obr Coleção Mtemátic, compost por oito livros. Focdo oss teção o livro III d Coleção Mtemátic, ode Pppus trt d teori ds médis, vemos que ele oferece o leitor um costrução geométric simples, porém elegte e muito iteresste, ode represet geometricmete em um semicírculo o mesmo tempo médi ritmétic, médi geométric e médi hrmôic etre dois úmeros positivos que são represetdos por medids de segmetos de ret. É est costrução geométric o tem cetrl do problem 3 disposto seguir. Figur : A hrmoi geométric do cubo. De posse dess propriedde, podemos resolver o problem seguir, que explic o motivo de Filolo, um pitgórico que viveu por volt de 45.C., deomir o cubo de hrmoi geométric. Problem. Determie o segudo termo de um progressão hrmôic ( ) cujo primeiro termo é igul 6 e tl que 3 =. Solução. Temos 3 = e, pel propriedde ds progressões hrmôics vist teriormete, émédi hrmôic etre os iteiros positivos = 6 e 3 =. Assim, segue que: = = 44 8 = 8. O motivo de Filolo chmr o cubo de hrmoi geométric se deve o fto de que este tem 6 fces, 8 vértices e rests e, pelo resultdo do último problem, vemos que o úmero de vértices de um cubo, que é um figur geométric espcil, é médi hrmôic etre o seu úmero de fces e o seu úmero de rests. A figur é de um cubo plificdo. As seis fces são os qudrdos, os oito vértices são os potos deotdos por letrs miúsculs (os demis potos de itersecção etre dois segmetos perpediculres, o motr o cubo, coicidem com lgum dos vértices destcdos) e s doze rests são os segmetos de ret mis espessos e que são ldos dos qudrdos d hrmoi geométric de Filolo. 4 Pppus, costruções geométrics e médis O grego Pppus de Alexdri, que viveu o século IV, é descrito como um mtemático hbilidoso, elegte Problem 3. (Costrução geométric ds médis por Pppus) Prove que os segmetos OD, BD e FD costruídos coforme orietções seguir possuem, respectivmete, medids iguis à médi ritmétic, geométric e hrmôic dos úmeros ddos por AB e BC. A costrução geométric ser feit começ o trçr um ret suporte t e el represetr dois segmetos de ret djcetes, cujs medids são os úmeros AB e BC os quis se quer obter s médis ritmétic, geométric e hrmôic, como se vê figur seguir. Trce o poto médio O do segmeto AC ssim costruído e, com o compsso cetrdo em O e com outr extremidde do compsso em A, trce o semicírculo de diâmetro AC. Por B, trce um perpediculr o segmeto AC, que itersectrá o semicírculo em um poto que deotremos por D. Trce o segmeto OD, cuj medid é o rio do semicírculo costruído. Pr filizr, trce por B um perpediculr o segmeto OD e deote por F o poto de itersecção dest perpediculr com o segmeto OD. Demostrção. A figur visuliz o que se pss. Iicilmete, provemos que OD é médi ritmétic de AB E BC. Temos que OD = r, ode r é o rio do semicírculo costruído coforme descrito cim; e clrmete AB + BC = AC = r, de modo que AB + BC = OD, logo AB + BC OD = e portto OD é médi ritmétic de AB e BC. Pr ver que BD é médi geométric de AB e BC, ote que o triâgulo ADC está iscrito o semicírculo que foi costruído e portto o triâgulo ADC é retâgulo em D. Su ltur reltiv à bse AC, que é o segmeto BD, stisfz BD = AB BC, pels relções trigoométrics existetes em um triâgulo retâgulo. Logo, BD = AB BC e ssim BD é médi geométric de AB e BC. Por fim, provemos que FD é médi hrmôic de AB e BC. Pr tto, ote que os triâgulos DFB e DBO

5 430 Mrtis: Progressão hrmôic e o triâgulo de Leibiz 5 Autores: Progressão hrmôic... e ssim cocluímos que, ddos dois úmeros positivos, qui represetdos por AB e BC, médi ritmétic etre eles é sempre mior ou igul do que su médi geométric, e est por su vez é sempre mior ou igul do que su médi hrmôic. Figur : Semicírculo de Pppus e s médis. são semelhtes, visto que o âgulo com vértice em D é âgulo comum estes triâgulos; id, estes triâgulos DFB e DBO possuem, respectivmete, âgulo reto com vértice em F e B. Etão, dest relção de semelhç, temos que FD BD = BD OD e ssim FD = BD OD. Como vimos cim que BD = AB BC, segue que FD = AB BC OD. AB + BC Vimos tmbém que OD = qudo provmos que OD é médi ritmétic de AB e BC e portto temos AB BC FD = FD = AB+BC AB BC AB + BC, o que comprov o último resultdo ser demostrdo. Problem 4. Aproveitdo costrução geométric relizd o problem 3, prove desiguldde ds médis: ddos dois úmeros, médi ritmétic etre eles é sempre mior ou igul do que su médi geométric, que por su vez é sempre mior ou igul do que su médi hrmôic. Demostrção. Se AB = BC, o que só ocorre se, e somete se, B e O são potos coicidetes, trivilmete verificmos que s médis são iguis etre si. Se AB = BC, observe que o triâgulo retâgulo DBO temos que OD > BD, visto que em qulquer triâgulo retâgulo hipoteus é sempre mior que qulquer um dos seus ctetos. Alogmete, o triâgulo retâgulo DBF temos que BD > FD. Dests dus últims desigulddes, temos que OD > BD > FD, O livro III d Coleção Mtemátic trz id outr costrução elegte, dest vez exclusiv pr obteção d médi hrmôic. Est costrução geométric d médi hrmôic será vist gor, o problem 5. Problem 5. (Costrução geométric d médi hrmôic por Pppus). Prove que medid do segmeto OC, costruído coforme s istruções seguir, é médi hrmôic dos úmeros ddos pels medids dos segmetos OA e OB. A costrução geométric ser feit é seguite: dd um ret suporte t, fixe el um poto O e represete mesm semirret os potos A e B, de modo que OA e OB tehm como medids os úmeros pr os quis se quer sber médi hrmôic. Sem perd de geerlidde, sej OB > OA, como idic figur seguir. Trce por B um perpediculr à ret t e el mrque os potos D e E, de modo que BD = BE =, ode é um úmero rel positivo qulquer. Trce etão o segmeto OD. Em seguid, trce outr perpediculr à ret t, gor pssdo por A e sej F o poto de itersecção etre est últim perpediculr e o segmeto OD. Por fim, trce o segmeto EF e sej C o poto de itersecção dos segmetos OB e EF. Demostrção. A figur 3 os permite visulizr o que ocorre. Os triâgulos OAF e OBD são semelhtes, visto que o âgulo com vértice o poto O é comum mbos; id, o triâgulo OAF tem o seu vértice A um âgulo reto, o mesmo ocorredo o triâgulo OBD em seu vértice B. Dest semelhç de triâgulos temos que OA OB = AF BD. Como BD = BE, segue que OA OB = AF BE. () Notemos gor que os triâgulos ACF e BCE são tmbém semelhtes etre si, visto que possuem um âgulo oposto pelo vértice em C e, id, o triâgulo ACF tem o seu vértice A um âgulo reto, o que tmbém ocorre o triâgulo BCE em relção o seu vértice B. Dest outr semelhç de triâgulos temos que AC CB = AF BE. Como AC = OC OA e CB = OB OC, segue que OC OA OB OC = AF BE. (3)

6 Ciêci e Ntur, v. 37 Ed. Especil PROFMAT, 05, p Ciêci e Ntur 6 De c b = r, temos (c b)(b + c) =r e, dividido mbos os ldos dest últim iguldde por c b, o que é possível pois b c, temos b + c = r. Segue que c b b + c = c b. (4) r Alogmete, de c = r e b = r temos, respectivmete, que Figur 3: Costrução geométric d médi hrmôic por Pppus. Ds igulddes () e (3) temos que OA OB = OC OA OB OC. Pel propriedde fudmetl ds proporções, temos OB (OC OA)=OA (OB OC) OB OC OA OB = OA OB OA OC OB OC + OA OC = OA OB + OA OB OC(OB + OA)= OA OB e ssim, dividido mbos os membros dest últim iguldde por OB + OA 0, temos OC = OA OB OA + OB. Assim, demostrmos que medid do segmeto OC, costruído como orietou o grde mtemático grego Pppus de Alexdri, é médi hrmôic ds medids dos segmetos OA e OB. 5 Problems e plicções com médi e progressão hrmôic Mesmo qudo restrit pes três termos descohecidos, problems com progressões hrmôics se revelm iteresstes; vejmos lgus desses problems. Problem 6. Se, b e c estão em progressão ritmétic, etão b + c, + ce+ b estão em progressão hrmôic. Solução. Se = b = c progressão ritmétic (, b, c ) é estcioári, bem como sequêci (b + c, + c, + b), que trivilmete se vê este cso que é um progressão hrmôic. Cso cotrário, como, b e c formm um progressão ritmétic, etão existe um costte rel r tl que c b = r, c = r e b = r. + c = c (5) r e + b = b. (6) r Provemos que os úmeros b + c, + c, + b, est ordem, estão em progressão ritmétic. Subtrido iguldde (4) d iguldde (5), temos que + c b + c = b c. r Alogmete, subtrido iguldde (5) d iguldde (6), temos + b + c = b c. r Logo, ds dus últims igulddes, temos que + c b + c = + b + c e portto b + c, + c, + b formm est ordem um progressão ritmétic, visto que difereç etre o segudo e o primeiro termo é igul à difereç etre o terceiro e o segudo termo. Por defiição, segue que os úmeros b + c, + c e + b estão em progressão hrmôic. Problem 7. Se, b, c estão em progressão hrmôic, etão ocorre o mesmo com b + c, b + c, c + b. Solução. Sejm m = b + c e = c. Sbemos que + b iterpolr um meio hrmôico etre m e equivle formr progressão hrmôic (m,, ). Como deve ser médi hrmôic de m e, temos que = m m +, logo: ( = b + c )( c + b ) b + c + c + b

7 43 Mrtis: Progressão hrmôic e o triâgulo de Leibiz 7 Autores: Progressão hrmôic... portto, desevolvedo est expressão segue que = = e ssim temos que = c (b + c)( + b) ( + b)+c(b + c) (b + c)( + b) c ( + b)+c(b + c) c + b( + c)+c. (7) Por outro ldo, como (, b, c) por hipótese é progressão hrmôic, etão por defiição temos que (, b, c ) é um progressão ritmétic. Etão, vle iguldde: e etão, temos Portto, segue que c b = b b + b = + c b = + c c. b( + c) =c. (8) Substituido iguldde (8) tto o umerdor quto o deomidor d expressão à direit d iguldde (7), obtemos e ssim = = b( + c) + c + c b( + c) ( + c). (9) Note que (, b, c) estão em progressão hrmôic, etão temos que b = c c e ssim + c =. Ms, por + c b defiição, progressão hrmôic dd tem seus termos, b, c todos diferetes de zero, logo + c = c = 0. b Dividido o umerdor e o deomidor d expressão à direit d iguldde (9) cim por + c, obtemos que = b. Logo, (m,, ) =( + c b + c, b + c, c + b ) é um progressão hrmôic. Problem 8. Sejm, b e c úmeros reis positivos que est ordem formm um progressão hrmôic. Se, b e c represetm, respectivmete, o ldo, áre d fce e o volume de um cubo, demostre que este cubo é o cubo uitário. Solução. Temos que b = e c = 3, logo (,, 3 ) é um progressão hrmôic e etão é médi hrmôic de e 3. Assim, 3 = e segue que = Como é positivo, dividido expressão cim por 3 obtemos: = + + = 0 ( ) = 0 e ssim = ou =. Novmete, lembremos que é positivo e portto = ão é respost deste problem. Cosequetemete, o cubo tem ldo =, áre d fce = = e volume igul 3 = 3 =, o que comprov que o cubo ddo é o cubo uitário. Filizmos est seção com um plicção que mostr que utilizmos médi hrmôic qudo lidmos com grdezs iversmete proporciois como velocidde e tempo, por exemplo. Mis especificmete, mtedo fix distâci totl percorrid, médi hrmôic ds velociddes deste corpo em todos os trechos prciis d distâci totl percorrid é igul à velocidde médi do corpo em todo percurso, coforme veremos o problem 9 seguir pr o cso de dois trechos. Problem 9. Um crro vij à rzão de r quilômetros por hor de A té B e etão retor de B A à rzão de r quilômetros por hor. Mostre que velocidde médi do percurso de id e volt é médi hrmôic de r er. Solução. Sejm d, t e t, respectivmete, distâci totl percorrid, o tempo d vigem de A té B eo tempo d vigem de B A. Temos que t = d e t = d. A velocidde médi r r r m deste crro é tl que r m = d, logo segue que: t + t d r m = d + d. r r Como d = 0, dividido iguldde cim por d obtemos: r m = + r r r m = r + r r r r r e portto r m = r r, r + r logo velocidde médi r m do percurso de id e volt é médi hrmôic de r e r.

8 Ciêci e Ntur, v. 37 Ed. Especil PROFMAT, 05, p Ciêci e Ntur 8 6 A série hrmôic A série hrmôic, qui deomid S h, é som ifiit dos iversos dos úmeros iteiros positivos, isto é: S h = Se um série tem som fiit, etão est série é dit covergete; cso cotrário, série é dit divergete. Veremos qui que série hrmôic é divergete. Percebe-se fcilmete que os termos d série hrmôic decrescem tededo pr zero, ddo impressão de que est série é igul um costte. De fto, somdo os primeiros trit milhões de termos d série hrmôic o resultdo é um úmero meor que 8. Ms est impressão de covergêci ão se cofirm, e o mtemático frcês Nicole Oresme (35 38) foi o primeiro provr tl fto. Nicole Oresme é cosiderdo por lgus historidores como o mior mtemático do século XIV. Acredit-se que Oresme sej precursor d geometri lític, importte rmo d mtemátic estudd o esio médio. Ao lidr com série de Suiseth, Oresme tmbém se revel como precursor d álise ifiitesiml, rmo de muit importâci d mtemátic de ível superior. Coforme firmdo teriormete, Oresme teve sucesso o demostrr que série hrmôic é divergete, o que os revel o quto é fudmetl utilizção do rciocíio lógico pr verificr lgo que é impossível costtr de outro modo. A série hrmôic diverge, pois sedo um úmero turl fixo porém rbitrário com, como temos + m, pr todo m úmero turl tl que m, segue que + m gruprmos todos os seus termos d form, pr todo, obtemos: ; ssim o + té S h = + +( )+( )+... S h + +( )+( )+... Notdo que cd um dos prêteses cim é igul, pois som de prcels iguis de é igul =, segue que: S h Como série é clrmete divergete, um vez que podemos somr ifiits prcels iguis, cosequetemete série hrmôic diverge. A retird de um qutidde fiit de termos d série hrmôic obvimete ão frá mesm covergir. Etretto, provremos que um retird ifiit de termos d série hrmôic pode implicr covergêci d série remescete. A idei que será expost é válid pr qulquer úmero formdo por um úico lgrismo. Cosideremos série que deomiremos por S 7, formd pel série hrmôic meos todos os elemetos que possuem o lgrismo 7 o deomidor; ssim, 7, 37, 7 e são exemplos de termos que ão fzem prte de S 7. Temos que: S 7 = Cd um dos 8 primeiros termos, ode os deomidores possuem pes um lgrismo, é meor ou igul e ssim < 8. Alogmete, cd um dos 8 9 termos seguites, ode os deomidores possuem somete dois lgrismos, é meor ou igul e portto som destes 0 termos é meor que = O mesmo rciocíio vle pr cd um dos termos seguites, ode os deomidores possuem extos três lgrismos, é meor ou igul 00 e portto som destes termos é meor que = Prosseguido este rciocíio pr os demis termos d série S 7, vemos que 9 S 7 < Etão, como é som dos 0 ifiitos termos de um progressão geométric tl que = 8 e rzão q = 9, segue que = e ssim S 7 < 80, logo S 7 coverge. = 80 Agor, um iteresste discussão sobre o motivo d série ser deomid de hrmôic. Iicilmete, ote que médi hrmôic de dois úmeros ddos é igul o iverso d médi ritmétic dos seus iversos. De fto, por defiição de médi hrmôic, temos que ddos e b, su médi hrmôic H é tl que + b = H + H = H, logo: + = H. b

9 434 Mrtis: Progressão hrmôic e o triâgulo de Leibiz 9 Autores: Progressão hrmôic... Multiplicdo por expressão cim, temos + = H, b e portto H = +. b A série hrmôic tem esse ome pois seu termo gerl é igul à médi hrmôic do seu tecessor e seu sucessor. Com efeito, como vimos tes, médi + hrmôic de dois úmeros ddos é igul o iverso d médi ritmétic dos seus iversos; tomdo os iversos do tecessor e do sucessor de, ddos por e +, respectivmete, médi ritmétic etre eles é ( )+( + ) igul =, cujo iverso é,queéo termo gerl d série hrmôic. Isso explic o motivo pr deomição série hrmôic, ms é turl pergutr gor o motivo d médi hrmôic ter esse ome. A origem é icert, porém historidores creditm que o mis provável é que os pitgóricos tehm ssim deomido. Há registros de que dois pitgóricos, Arquits e Hipso, tehm muddo o ome d médi de subcotrári, desigção iicil, pr tul, hrmôic. Outrs possibiliddes pr origem, bem remots, são o Egito e Bbilôi. Ms o motivo d deomição é cohecido: médi hrmôic prece cosiderção dos tos de um moocórdio. O diciorist Aurélio Burque de Hold Ferreir defie o moocórdio como o istrumeto composto de um cix de ressoâci, sobre qul se estede um cord que fic poid sobre dois cvletes móveis, e que já er usdo o tempo de Pitágors pr o estudo e cálculo ds relções etre s vibrções soors. A mtemátic explic melhor o que ocorre. Cosidere três tos sooros diferetes de um moocórdio, o primeiro produzido qudo cord é esticd em todo seu tmho, qui cosiderdo uidde de comprimeto; oitv, que é qudo cord é reduzid à de comprimeto; e quit, que é qudo cord tem de comprimeto. A médi hrmôic H dos úmeros 3 e é, igul : H = + = 3. dus frequêcis. A plvr hrmôic tem ver, portto, com hrmoi do som itermediário reltivo os outros dois sos. Isso explic tmbém proporção musicl: ddos dois iteiros positivos e b, os pitgóricos descobrirm um importte relção, chmd por eles de proporção musicl, etre, b, su médi ritmétic A e su médi hrmôic H, express por A = H b. Ecerrmos est seção verificdo vlidde d proporção musicl. Pr tl, clculemos médi hrmôic H por est proporção; etão, devemos ecotrr como resultdo H = b + b. Temos A = + b, logo segue que: = H + b b + b = H b e ssim obtemos H = b + b, comprovdo vlidde d proporção musicl. 7 Progressão hrmôic de segud ordem e o triâgulo hrmôico Do mesmo modo como se defie progressão ritmétic de ordem, podemos defiir progressão hrmôic de ordem. Cocetrremos teção ordem dois, isto é, bordremos progressão hrmôic de segud ordem. Defiição 7.. Um progressão hrmôic de ordem é um sequêci fiit ou ifiit de úmeros, todos diferetes de zero, tis que seus iversos formm um progressão ritmétic de ordem. Etão, tomdo =, temos que um progressão hrmôic de segud ordem é um sequêci fiit ou ifiit de úmeros, todos diferetes de zero, tis que seus iversos formm um progressão ritmétic de segud ordem. Sej (h ) um progressão hrmôic de segud ordem qulquer e ( ),progressão ritmétic de segud ordem ssocid (h ). Aid, sej (b ) progressão ritmétic de primeir ordem de rzão r ssocid ( ). Como o termo gerl d progressão ritmétic de segud ordem é expresso por segue que = + b ( )+ ( )( )r, Etão, 3 émédi hrmôic de e, de modo que frequêci d quit é médi hrmôic ds outrs h = + b ( )+ ( )( )r. (0)

10 Ciêci e Ntur, v. 37 Ed. Especil PROFMAT, 05, p Ciêci e Ntur 0 O problem seguir é fcilmete resolvido com o uso d iguldde (0). Problem 0. Cosidere ( ) progressão ritmétic de segud ordem express por ( ) = (, 6,, 0,...), qul está ssocid progressão ritmétic de primeir ordem (b )=(4, 6, 8, 0,...). Determie o termo gerl d progressão hrmôic de segud ordem (h ) ssocid ( ), bem como seu sétimo termo. Solução. Temos =, b = 4 e rzão r = 6 4 =. Pel iguldde (0), segue que h =. ( )( ) + 4( )+ Desevolver lgebricmete est últim expressão result em h = e portto o termo gerl h é ddo por h = +. () De posse d iguldde (), vemos sem dificuldde que o sétimo termo de (h ) é tl que h 7 = = 56. O otável mtemático lemão Gottfried Wilhelm Leibiz (646 76) é, às vezes, cosiderdo o último sábio coseguir cohecimeto uiversl, por ter estuddo mtemátic, direito, teologi e filosofi uiversidde. Ele cotribuiu sigifictivmete ests áres e tmbém em históri, diplomci, polític e metfísic. Em mtemátic, Leibiz é cosiderdo persogem pricipl o descobrimeto do cálculo diferecil e itegrl, áre d mtemátic de ível superior. Começou produzir em mtemátic qudo estudou séries e, em especil, clculou váris séries trvés do triâgulo hrmôico. O triâgulo hrmôico que lisremos gor (vej figur 4) e que fsciou Leibiz é d seguite form: primeir colu, de cim pr bixo, são escritos os termos d série hrmôic, do mior pr o meor; segud colu, cd elemeto é difereç etre o elemeto imeditmete cim e o elemeto o ldo, mbos d colu à esquerd mis próxim; pr s demis colus, o mesmo rciocíio d segud colu se plic. A figur seguir mostr os primeiros elemetos do triâgulo hrmôico. Por exemplo, o terceiro elemeto d segud colu é, pois 6 =. Repre que e são os elemetos que estão, respectivmete, imeditmete cim 6 e Figur 4: Triâgulo hrmôico. o ldo d primeir colu, que é colu d esquerd mis próxim em relção à segud colu. Alisemos o triâgulo hrmôico; pr tto, deotemos por posição d colu do triâgulo hrmôico, d esquerd pr direit; e deotemos por, posição, cosiderd de cim pr bixo, do elemeto loclizdo -ésim colu do triâgulo hrmôico. Assim, um elemeto qulquer do triâgulo hrmôico pode ser deotdo por T,. Por exemplo, T,3 deot o segudo elemeto d terceir colu do triâgulo hrmôico, coforme se pode ver figur 5 seguir. Com est otção, os termos do triâgulo hrmôico são, por defiição, tis que T, = T, T +,. () A proposição 7. permite clculr um termo qulquer do triâgulo hrmôico somete em fução de e. Proposição 7.. Sej T, um elemeto qulquer do triâgulo hrmôico. Temos que T, = ( + ) Demostrção. Provemos por idução em, deixdo fixo porém rbitrário. Pr =, temos que: T, = T, = ( + ) ( )

11 436 Mrtis: Progressão hrmôic e o triâgulo de Leibiz Autores: Progressão hrmôic... Prosseguido com os cálculos lgébricos temos: Figur 5: Triâgulo hrmôico coforme otção usd. e, como ( ) =, segue que T, = =, verificdo ssim vlidde do cso =, pois os elemetos d primeir colu são os termos d série hrmôic, que são d form. Se, pr lgum úmero turl temos válid iguldde T, = ( +, etão bst mostrr que é ) válid tmbém iguldde T,+ = ( +, pr que ) proposição fique totlmete demostrd. Temos, pel iguldde (), que logo T, = T, T +,, T,+ = T, T +,. (3) Como por hipótese de idução temos que tmbém temos que T +, = + T, = ( ++ ( + ), + ) = + ( + + ), logo desss dus últims igulddes e tmbém de (3) segue que T,+ = ( + ) + ( + + ). (4) A defiição de úmero biomil, plicd iguldde (4), os permite firmr que T,+ = (+ )!!( )! +. (+)! (+)!( )! T,+ = ( + )!!! + ( + )!!!. Novmete, d defiição de úmero biomil, temos ( + )! que = ( +!! ) e ssim T,+ = ( + ) + ( + ). Colocdo ( + em evidêci, temos ) T,+ = ( + ) ( + ) T,+ = ( + ) ( + ) T,+ = ( + ) ( ) T,+ = ( + ), portto T,+ = ( + ) e proposição está demostrd por completo. Corolário 7.3. O termo gerl do triâgulo hrmôico pode ser expresso tmbém como T, = ( )! ( + )...( +( )). Demostrção. Bst otr que d proposição 7. temos T, = ( + ), logo c.q.d. T, = T, = T, = T, = ( +( ))!!( )!!( )! ( +( ))! ( )!( )! ( +( ))! ( )! ( + )...( +( )), O corolário seguir é de fudmetl importâci em ossos estudos est seção, pois relcio o triâgulo hrmôico com progressão hrmôic de ordem.

12 Ciêci e Ntur, v. 37 Ed. Especil PROFMAT, 05, p Ciêci e Ntur Corolário 7.4. Os elemetos d -ésim colu do triâgulo hrmôico formm um progressão hrmôic de ordem. Demostrção. Como sbemos que ( ) é um progressão ritmétic de ordem se, e somete se, pode ser ddo por um poliômio de gru em, etão (h ) é um progressão hrmôic de ordem se, e somete se, h pode ser expresso por um frção de umerdor igul e deomidor ddo por um poliômio de gru em. Sem perd de geerlidde, est firmção permece válid se multiplicrmos por um costte todos os termos d progressão ritmétic de ordem. Do corolário 7.3, temos que T, = ( )! ( + )...( +( )), isto é, T, é igul à um frção ode o umerdor é um iteiro positivo ddo por ( )! e com deomidor igul um poliômio de gru em. Segue etão que os elemetos d -ésim colu do triâgulo hrmôico formm um progressão hrmôic de ordem. A propriedde 7.5 revel que comuttividde é válid pr os ídices dos termos do triâgulo hrmôico, como veremos seguir. Proposição 7.5. Sejm T, e T, termos quisquer do triâgulo hrmôico. Temos que T, = T,, isto é, troc dos ídices e ão lter o vlor do termo. Demostrção. Pel proposição 7., temos que logo T, = Como T, = T, = ( + ), ( + ) = T, = T, = ( + )!!( )! ( + )! ( )!( )! =, segue que ( + )!!( )!. ( + )!!( )! = ( + ) e ssim, utilizdo ovmete proposição 7. últim iguldde qui obtid, temos que T, = T,. Ecerrmos este rtigo com mior motivção de Leibiz em relção o triâgulo hrmôico: o cálculo de séries ifiits. Pr eteder melhor, vejmos últim proposição dest seção gor. Proposição 7.6. A som S, dos primeiros termos d - ésim colu, de cim pr bixo, com >, é tl que S, = ( )! ( + )...( +( )). Demostrção. D iguldde () temos que T, = T, T, T, = T, T 3,. T, = T, T +,. Somdo ests igulddes membro membro e como S, = T, + T, + + T,, segue que S, =(T, + + T, ) (T, + + T +, ). Notdo que est é um som telescópic, chegmos S, = T, T +,. (5) Clculdo gor T,, pelo corolário 7.3, temos que T, =. (6) Alogmete, clculdo gor T +,, pelo corolário 7.3, temos que T +, = ( )! ( + )...( +( )). (7) Substituido s igulddes (6) e (7) iguldde (5), obtemos que S, = ( )! ( + )...( +( )), o que ecerr demostrção. Voltdo flr ds séries clculds por Leibiz, observe que qudo tede o ifiito, série S formd pel -ésim colu do triâgulo hrmôico é tl que S =, visto que qudo tede o ifiito, prcel ( )! ( + ) ( + )...( +( )) d som prcil S tede zero. Deste modo, Leibiz obteve o vlor de covergêci pr ifiits séries; em prticulr, por exemplo, temos que =,

13 438 Mrtis: Progressão hrmôic e o triâgulo de Leibiz 3 Autores: Progressão hrmôic... referete à som de todos os termos d segud colu do triâgulo hrmôico; id, mis um exemplo, dest vez se referido à som de todos os termos d quit colu do triâgulo hrmôico: Referêcis = 4. Atr, A. (979). Progressões e Logritmos, o ed. Moder. Boyer, C., Merzbch, U. (996). Históri d Mtemátic, o ed. Edgrd Blücher Ltd. Hefez, A. (006). Elemetos de ritmétic, o ed. Sociedde Brsileir de Mtemátic. Lopes, L. B. R. (99). Mul de Sequêcis e Séries, o ed. Didátic e Cietífic Ltd. Lopes, L. B. R. (998). Mul de Progressões, o ed. Iterciêci. Póly, G. (995). Iterciêci. A rte de resolver problems, o ed. Strther, P. (998). Pitágors e Seu Teorem em 90 Miutos, o ed. Jorge Zhr. Wtbe, R. G. (996). Alergi pelo Número 7. Revist do Professor de Mtemátic, (3), 3.