Matrizes e Vectores. Conceitos

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1 Mtrizes e Vectores Coceitos Mtriz, Vector, Colu, Lih. Mtriz rigulr Iferior; Mtriz rigulr Superior; Mtriz Digol. Operções etre Mtrizes. Crcterístic de um mtriz; Crcterístic máxim de um mtriz. Mtriz Ivertível, Mtriz rspost, Mtriz Ivers, Ivers à Esquerd, Ivers à Direit. Mtriz dos Coeficietes, Mtriz umetd, Form Esclod/Escd, Líder/Pivot. Método de Elimição de Guss (pr que serve?). Em que cosiste o Método de Elimimção de Guss? O Método de Elimimção de Guss é o processo que cosiste execução de sucessivs etps dos seguites três tipos: permut de dus lihs multiplicção de um lih por um esclr ão-ulo sustituição de um lih por ess somd/sutríd com outr, té oter um mtriz esclod, i.e., um mtriz d seguite form: ª etrd ão-ul de cd lih (se existir) é, desigdo por líder; se um colu cotém um líder, etão tods s etrds ixo são uls se um lih cotém um líder, tods s lihs cim têm líders à esquerd desse. Pr que serve o Método de Elimimção de Guss? Iverter Mtrizes (vmos fzer este volume) Resolver e clssificr sistems (vmos fzer o volume seguite) Estudr turez de sistems em fução de prâmetros (vmos fzer o volume seguite) determir Núcleos e imges de trsformções (vmos fzer um volume seguite)

2 Coteúdo deste Volume Coceitos... Exercícios Propostos... 3 Exercícios Propostos... 5 Soluções dos Exercícios Propostos... 6 Soluções dos Exercícios Propostos... 8 ópicos eoricos... 9 Defiição de Mtriz. Mtrizes Especiis Operções lgérics com Mtrizes.... dição de Mtrizes.... Multiplicção de Mtrizes por um Esclr....3 Multiplicção de Mtrizes....4 Potêci de um Mtriz Qudrd Operções Elemetres e Crcterístic de um Mtriz Cálculo d Ivers Usdo o Método de Guss... 5 Resumo...7

3 Exercícios Propostos I. Determie, se possível, som + B : ) [ 3], 4 B ) c) 3 3 4, B , B II. Determie, se possível, o produto B : 3 4 ) 3, 4 3 ) 3, 4 3 c) [ 3], d) B B B, B [ 5] III. Cosidere mtriz B M( ) 3. Determie s mtrizes: 3 ) B ; ) B ; c) B ; d) B e) B 3

4 4 IV. Cosidere mtriz ( ) 3 C M ) Utilizdo uicmete trsformções elemetres s lihs, oteh prtir de C um mtriz trigulr superior, D. ) Comete firmção: D é um mtriz trigulr superior. c) Justifique que mtriz C é ivertível. V. Cosidere s mtrizes reis , 3 C e B Idique qul ds firmções seguites é FLS: ) É possível clculr s mtrizes C B e C B + + B) I C) C D) mtriz tem crcterístic máxim. VI. Sejm M 3, B mtriz que se otém de trocdo s lihs e 3; e C mtriz que se otém de B diciodo à lih lih 3 multiplicd por 5. Idique qul ds firmções seguites é VERDDEIR: ) C 5 C) C 5 B) C 5 D) C 5

5 3 VII. Cosidere mtriz D M4( ) 3 ) Utilizdo uicmete trsformções elemetres s lihs, oteh prtir de D um mtriz em form de escd. ) Idique, justificdo, crcterístic d mtriz D. c) Utilizdo líe terior, lise se D é ivertível. Exercícios Propostos.I. Oteh um fórmul pr potêci ( ) de cd um ds seguites mtrizes: π ) π ) c) Sugestão: Use o Método de Idução Mtemátic. cosα siα siα cosα.ii. Comete firmção: mtriz é um riz qudrd d mtriz I.III Qudo é que um mtriz digol é ivertível? Qul é su ivers? 5

6 Soluções dos Exercícios Propostos.I. ) o úmero de colus e lihs d mtriz, é diferete do úmero de lihs e colus d mtriz B, logo som ão é possível. ) + B c) o úmero de colus e lihs d mtriz, é diferete do úmero de lihs e colus d mtriz B, logo som ão é possível..ii. ) 3 B ) o úmero de colus d mtriz, dus, é diferete do úmero de lihs d mtriz B, três, logo o produto ão é possível. c) B [ 4]. d) 4 B III. ) B I ; ) B BB. 4 7 ; c) B B. B 7 ; 3 d) B e) B ( B ) determid pelo Método de Guss: [ ], com B 3 d líe terior. BI IB. 6

7 .IV () Um form de oter prtir d mtriz C um mtriz em form de escd, utilizdo uicmete trsformções elemetres s lihs, é seguite: ) Flso. D é um mtriz trigulr iferior. c) Pel líe terior, mtriz em form de escd foi otid prtir d mtriz C por trsformções elemetres s lihs. Nests codições, se-se que crcterístic d mtriz C é igul o úmero de lihs ão uls dest mtriz em form de escd. Logo c(c) 4. mtriz qudrd C é ivertível se, e só se, c(c) ordem d mtriz C 4. Como, pel líe terior, c(c) 4, segue-se que C é um mtriz ivertível..v. C..VI C..VII. () Um form de oter prtir d mtriz D um mtriz em form de escd, utilizdo uicmete trsformções elemetres s lihs, é seguite: (mtriz em f.e.)

8 () Pel líe terior, mtriz em form de escd foi otid prtir d mtriz D por trsformções elemetres s lihs. Nests codições, se-se que crcterístic d mtriz D é igul o úmero de lihs ão uls dest mtriz em form de escd. Logo, c(d) 3. (c) mtriz qudrd D é ivertível se, e só se, c(d) ordem d mtriz D 4. Como, pel líe terior, c(d) 3, segue-se que D ão tem crcterístic máxim, pelo que D ão é um mtriz ivertível. Soluções dos Exercícios Propostos I, 4k π, 4k+.I. ) ) π c) I, 4k +, 4k+ 3.II. Verddeir, porque cos si ( α ) si ( α ) ( α) cos( α).iii. Qudo os elemetos d digol forem todos ão ulos. mtriz ivers é tmém digol em que os elemetos são os iversos ritméticos d mtriz iicil. 8

9 ópicos eoricos Defiição de Mtriz. Mtrizes Especiis. Defiição Um mtriz de tipo m lihs e colus. Sej um mtriz do tipo m é um qudro com m. úmeros reis dispostos em m. Represet-se por o elemeto d mtriz situdo lih i e colu j. ssim, represetremos mtriz por:... j j i i i m m... mj... m Não existido risco de cofusão, mtriz terior pode represetr-se por [ ]. Defiição Um mtriz diz-se qudrd de ordem se m, isto é, se tiver igul úmero de lihs e de colus. Se m etão diz-se mtriz rectgulr. Se m, isto é, se mtriz tiver um só lih, chm-se mtriz lih. Se, isto é, se mtriz tiver um só colu, chm-se mtriz colu. Defiição Os elemetos,...,,, 33 m d mtriz qudrd dizem-se pricipis ou,,, 3,,..., formm digois e formm primeir digol. Os elemetos chmd segud digol. Defiição Um mtriz qudrd [ ] diz-se trigulr superior se sempre que i > j, isto é, se todos os elemetos por deixo d primeir digol são ulos. Se sempre que i < j, etão, diz-se trigulr iferior. Defiição Um mtriz qudrd diz-se digol se sempre que i j. Defiição Um mtriz qudrd [ ] diz-se esclr se for digol e os elemetos pricipis forem todos iguis o esclr k, isto é: se i j k se i j Defiição Chm-se mtriz idetidde de ordem à mtriz esclr I em que os elemetos pricipis são iguis. 9

10 Defiição O elemeto geérico δ, d mtriz idetidde é defiido d seguite form: se i j δ se i j e é hitulmete cohecido por símolo de Kroecker., é um mtriz esclr com os elemetos pricipis iguis λ, etão: Se [ ] λδ, isto é: [ λδ ] Defiição Um mtriz [ ] do tipo m diz-se ul se todos os seus elemetos são ulos, isto é:,, i m,, Um mtriz ul represet-se hitulmete por []. Defiição Dus mtrizes [ ] e [ ] i j j B são iguis se:,, i m,, isto é, se os seus elemetos homólogos forem iguis. i j j Defiição Chm-se simétric d mtriz [ ] do tipo m à mtriz [ ] mesmo tipo, tl que:,, i m,, i j j mtriz simétric de represet-se hitulmete por [ ]. B do Defiição Chm-se trspost d mtriz [ ] do tipo m à mtriz B [ ] tipo m, tl que:,, i m,, ji i j j mtriz trspost de represet-se hitulmete por. Não é difícil verificr que ( ). Defiição Um mtriz diz-se simétric se é igul à su trspost, isto é, se. Um mtriz simétric é sempre um mtriz qudrd. Com efeito, se é do tipo m, é do tipo m e como por defiição de mtriz simétric, vem m. lém disso, sedo [ ] tem-se ji, isto é, os elemetos simétricos reltivmete à digol pricipl são iguis. Defiição Um mtriz diz-se ti-simétric se. Um mtriz ti-simétric é sempre um mtriz qudrd e se [ ] ji. Fzedo i j, otemos ii ii ii., do, temos Logo, um mtriz ti-simétric os elemetos pricipis são ulos e os elemetos colocdos simetricmete em relção à digol pricipl são simétricos.

11 Operções lgérics com Mtrizes. dição de Mtrizes Defiição Sejm [ ] e [ ] dus mtrizes à mtriz C [ c ], do tipo Diz-se etão que C + B... Proprieddes d dição de mtrizes B dus mtrizes do tipo m. Chm-se som de m, cujo elemeto geérico é c +. s proprieddes d dição de mtrizes são cosequêci imedit ds proprieddes d dição de úmeros reis.. dição de mtrizes é comuttiv: + B B +, pr quisquer mtrizes, B e C do mesmo tipo.. dição de mtrizes é ssocitiv: + ( B + C) ( + B) + C, pr quisquer mtrizes e B do mesmo tipo. 3. É um operção que tem elemeto eutro: mtriz ul; + +, qulquer que sej mtriz do tipo m. 4. od mtriz tem um e um só mtriz simétric: dd um mtriz do tipo m, existe um mtriz, -, tmém do tipo m, tl que + ( ) ( ) trspost d som é igul à som ds trsposts: quisquer que sejm e B mtrizes do mesmo tipo. ( + B) + B,. Multiplicção de Mtrizes por um Esclr Defiição Sej [ ] um mtriz do tipo m e λ um esclr. Chm-se produto esclr λ pel mtriz, à mtriz que se represet por λ e cujo elemeto geérico é λ, isto é, mtriz que se otém de multiplicdo todos os seus elemetos por λ... Proprieddes d multiplicção de um esclr por um mtriz. λ ( + B) λ + λb, qulquer que sej λ IR, quisquer que sejm s mtrizes e B do mesmo tipo.. ( λ + µ ) λ + µ, quisquer que sejm os úmeros reis λ e µ, qulquer que sej mtriz. 3. ( λµ ) λ( µ ), quisquer que sejm os úmeros reis λ e µ, qulquer que sej mtriz.

12 .3 Multiplicção de Mtrizes Defiição s mtrizes e B dizem-se ecdeds se o úmero de colus de é igul o úmero de lihs de B. Defiição Sejm [ ] e B [ ] dus mtrizes do tipo m e p respectivmete. Chm-se produto de mtriz pel mtriz B à mtriz C [ c ] do tipo m p, cujo elemeto geérico c se otém somdo os produtos dos elemetos d lih i d mtriz pelos elemetos correspodetes d colu j d mtriz B, isto é, c i j ikkj , comi,,..., m, j,,... p. ik kj Nests circustâcis, escreve-se, C B. ssim, c, elemeto d lih i e d colu j do produto otém-se prtir d lih i d mtriz e d colu j d mtriz B trvés do esquem: j j c [ ] i i j i + i j ik ik kj i kj j É evidete que o produto CB tem o mesmo úmero de lihs que mtriz e o mesmo úmero de colus que mtriz B, isto é, B é do tipo m p. Em esquem temse: ( m ) ( p) ( m p)..3. Propriedde d multiplicção de mtrizes i j Proposição multiplicção de mtrizes verific s seguites proprieddes:. multiplicção de mtrizes é ssocitiv, isto é, ( B ) C ( BC) em que [ ] é do tipo m, B [ ] do tipo p e C [ c ] do tipo p q.. multiplicção de mtrizes é distriutiv reltivmete à dição, isto é, ( B + C) B + C ( D + E) F DF + EF desde que os produtos idicdos existm. 3. trspost do produto é igul o produto ds trsposts, por ordem ivers, isto é: ( B ) B + [ ] é do tipo m e B [ ] do tipo ). ( p 4. Qulquer que sej mtriz mtriz é simétric.

13 5. Sej um mtriz qudrd de ordem e sej I mtriz idetidde de ordem. Etão, I I 6. multiplicção de mtrizes ão é comuttiv. N verdde, B e B podem ão estr simultemete defiids. Se é do tipo m e B é do tipo p o produto B só será defiido se p m. Neste cso, B é do tipo m m e B é do tipo. Se m B e B são de tipos diferetes e ão podem ser iguis. Se m, isto é, se e B são mtrizes qudrds d mesm ordem, B e B tmém são qudrds d mesm ordem, ms em gerl, B 7. O produto de dus mtrizes B pode ser ulo sem que ehum dels sej ul. 8. equção B C ão implic B C, mesmo qudo mtriz é ão ul. Defiição Dus mtrizes qudrds e B d mesm ordem dizem-se permutáveis se B B..4 Potêci de um Mtriz Qudrd Defiição Sej um mtriz qudrd de ordem. Defie-se: 3,,..., 4 Exemplo Sedo, result,, Se é um úmero iteiro positivo etão é ivertível e ( ) ( ). 3

14 3 Operções Elemetres e Crcterístic de um Mtriz Defiição Chm-se crcterístic dum mtriz o úmero máximo de colus (iterpretds como vectores) liermete idepedetes d mtriz, ou o úmero máximo de lihs (iterpretds como vectores) liermete idepedetes d mtriz. Este úmero represet-se por c(). Defiição Um mtriz do tipo m diz-se um mtriz em escd se:. s primeirs k lihs ( k ) cotém elemetos ão ulos e s resttes lihs, se existirem, só cotêm elemetos ulos.. O º elemeto ão ulo ( cotr d esquerd pr direit) em cd lih ão ul prece à direit do º elemeto ão ulo ( cotr d esquerd pr direit) de qulquer lih cim dele. Defiição O primeiro elemeto ão ulo ( cotr d esquerd pr direit) de cd lih de um mtriz em escd chm-se pivot/elemeto redutor. eorem Sej um mtriz em escd do tipo m, etão:. s lihs ão completmete uls são liermete idepedetes em. s colus que cotêm os redutores são liermete idepedetes em IR. m IR. 3. O úmero máximo de lihs liermete idepedetes é igul o úmero máximo de colus liermete idepedetes, prâmetros estes, mos, iguis o úmero de redutores d mtriz. Defiição Chmm-se operções elemetres sore lihs (ou colus) de um mtriz às seguites operções:. roc etre si de lihs (ou colus) d mtriz.. Multiplicção dos elemetos de um lih (ou colu) por um esclr diferete de zero. 3. dição um lih (ou colu) um outr lih (ou colu) multiplicd por um costte. eorem s operções elemetres sore lihs (ou colus) ão lterm depedêci ou idepedêci lier ds lihs (ou colus) de um mtriz. eorem s operções elemetres sore lihs (ou colus) ão lterm depedêci ou idepedêci lier ds colus (ou lihs) de um mtriz. eorem O úmero máximo de lihs idepedetes de um mtriz é igul o úmero máximo de colus idepedetes dess mtriz. 4

15 5 4 Cálculo d Ivers Usdo o Método de Guss Defiição Sej um mtriz qudrd de ordem. mtriz diz-se ivertível se existe um mtriz, qudrd de ordem, tl que: I mtriz chm-se ivers de e represet-se hitulmete por. eorem ivers de um mtriz qudo existe é úic. Proprieddes ssocids à Iversão de Mtrizes. Se é ivertível etão tmém é ivertível ) (.. Se e B são ivertíveis etão mtriz B tmém é ivertível e ) ( B B 3. Se é ivertível e é um úmero iteiro positivo etão é ivertível e ) ( ) (. lisemos o prolem d determição d ivers de um mtriz qudrd [ ] de ordem. Supoh-se que é ivertível e sej [ ] B su mtriz ivers, isto é, B. Nests circustâcis: I B isto é, Sedo que multiplicção de pel j-ésim colu de B, permite oter, j-ésim colu d mtriz produto, iguldde terior é equivlete às seguites, igulddes:...,,, ssim, determição de B pss pel resolução destes sistems de equções lieres o que pode ser feito simultemete reduzido mtriz, [ ] I

16 6 que se otém de mplido est mtriz com mtriz idetidde I. O método de Guss coduzir-os-á à mtriz, [ ] B I que preset o ldo direito d lih verticl mtriz ivers procurd.

17 Resumo dição de Mtrizes B dus mtrizes do tipo m. Chm-se som de dus Sejm [ ] e [ ] mtrizes à mtriz C [ c ], do tipo etão que C + B. m, cujo elemeto geérico é c +. Diz-se Produto de Mtrizes Sejm [ ] e B [ ] dus mtrizes do tipo m e p respectivmete. Chm-se produto de mtriz pel mtriz B à mtriz C [ c ] do tipo m p, cujo elemeto geérico c se otém somdo os produtos dos elemetos d lih i d mtriz pelos elemetos correspodetes d colu j d mtriz B, isto é, c i j ikkj Nests circustâcis, escreve-se, C B., comi,,..., m, j,,... p. ik kj Defiição Chm-se crcterístic dum mtriz o úmero máximo de colus (iterpretds como vectores) liermete idepedetes d mtriz, ou o úmero máximo de lihs (iterpretds como vectores) liermete idepedetes d mtriz. Este úmero represet-se por c(). Defiição Chmm-se operções elemetres sore lihs (ou colus) de um mtriz às seguites operções:. roc etre si de lihs (ou colus) d mtriz.. Multiplicção dos elemetos de um lih (ou colu) por um esclr diferete de zero. 3. dição um lih (ou colu) um outr lih (ou colu) multiplicd por um costte. Defiição Sej um mtriz qudrd de ordem. mtriz diz-se ivertível se existe um mtriz, qudrd de ordem, tl que: mtriz chm-se ivers de e represet-se hitulmete por. I Ivers usdo o Método de Elimição de Guss [ I Método ] I Guss 7