EQUAÇÃO DO 2 GRAU ( ) Matemática. a, b são os coeficientes respectivamente de e x ; c é o termo independente. Exemplo: x é uma equação do 2 grau = 9

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1 EQUAÇÃO DO GRAU DEFINIÇÃO Ddos, b, c R com 0, chmmos equção do gru tod equção que pode ser colocd n form + bx + c, onde :, b são os coeficientes respectivmente de e x ; c é o termo independente x x x é um equção do gru com = b = c = Observção: Um equção do gru pode precer n form norml + bx + c ou não x + x + Está n form norml; x x + = 4x Não está n form norml Nesse cso devemos colocá-l n form norml ssim: x x x + 4x EQUAÇÕES INCOMPLETAS x + Um equção do gru pode ser complet ou incomplet: ) Complet: Um equção está n form complet, qundo b 0 e c 0 Nesse cso equção será: + bx + c ) Incomplet: Um equção está incomplet, qundo b ou c : Qundo b + c ; Qundo c + bx RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO GRAU Resolver um equção do gru, é encontrr os vlores d vriável que torn iguldde verddeir ) Rízes de um equção do gru Dd equção + bx + c chm-se riz dess equção todo vlor de x que torn ess iguldde verddeir Verificr se e são rízes d equção x 9 Pr verificr se e são rízes d equção dd, bst substituí-los pel vriável Vej: Pr x = temos ( ) (verddeir); Pr x = temos (verddeir) Logo, - e são rízes d equção x 9 Resolver um equção do gru signific encontrr sus rízes ) N form norml, isto é, n form + bx + c Nesse cso usremos fórmul de Bhskr: x = = b 4 c onde Observções: Se > 0 terá dus rízes reis diferentes; Se terá dus rízes reis e iguis; Se < 0 não terá rízes reis então equção + bx + c então equção + bx + c então equção + bx + c Resolver equção x + x temos que =, b = e c = ) Clculndo o vlor de temos: = b 4c = 4 = + 8 = 9 ( ) ) Pr encontrr s rízes bst plicr fórmul de Bhskr: x = Dí: b + x = b x = x = = = = e 9 4 x = = = = Editor Exto 5

2 tem riz rel Logo S = {, } Resolver equção 4x + x + b c = b 4c = 4 4 = = < 0 Achndo o vlor de : = 4 = = A equção não 4 RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO INCOM- PLETA Pr resolvermos um equção incomplet, devemos seguir s seguintes etps: 4) N form + bx Nesse cso, bst colocr x em evidênci: + bx x + b = ( ) 0 e fzer: x ou b + b x = Qundo temos um produto de dois ftores iguis zero, pelo menos um dos ftores será igul zero x colocndo x em evidênci: Resolver equção x 4x Temos que : 4x Então, S = {0,4} 4) N form + c x ( x 4 ) = x ou x 4 0 x = 4 Nesse cso, isolmos x e extrímos riz qudrd de c (sempre que c 0 ) Resolver x 4 Temos que : x 4 ; x = 4 isolmos x ; de 4 ; x = ± 4 x = ±, Então, S = { } extrímos riz qudrd 5 SOMA E PRODUTO Pr encontrrmos som ds rízes d equção, do tipo; 0, bst seguir seguinte relção: + bx + c = x + x b = Pr encontrrmos o produto ds rízes d equção do tipo: 0, bst seguir seguinte relção: + bx + c = x x = Encontre som e o produto ds rízes d equção x + x c x + x = = e x x = = 6 EQUAÇÕES IRRACIONAIS Tod equção que possui um incógnit no rdicndo, é chmd equção irrcionl x + = x É um equção irrcionl; x É um equção irrcionl 6) Resolução Pr resolvermos um equção irrcionl, devemos elevr os dois membros dess equção um expoente igul o índice d riz e resolvermos equção obtid No entnto, equção obtid nem sempre é equivlente equção dd, por isso devemos verificr entre s soluções obtids à- quels que são rízes verddeirs Resolver equção ( + ) = x x + = x Elev o qudrdo os dois membros d equção x + = x Elimin s rízes = x x b = Colocmos equ- c = ção obtid n su form norml e resolvemos = b = = 9 4c ( ) 4 ( ) x = então: x = e x = x Editor Exto 6

3 Verificção: Pr x = temos: + = 4 = = (verddeir); Pr x = temos: + = = = = { (flso) Logo o conjunto solução dess equção é S } 7 SISTEMA DO GRAU Um sistem do gru é todo sistem em que su solução e encontrd n resolução de um equção do gru 7) Resolução Pr resolvermos um sistem do gru bst utilizr o método d substituição ou d dição x y = I x + y = II x = + y isolmos x n I equção; Resolver o sistem ) ) ( + ) + y = y substituímos x = + y n equção II e resolvemos equção obtid: ( + y ) + y = + y + y + y y + y 6 Resolvendo ess equção encontrmos y = e y = pr encontrr os vlores de x devemos substituir x = + y : o vlor de y n equção x Pr y = x = + = Pr y = x = x = S =,,, Logo {( ) ( )} EXERCÍCIOS Verifique se: ) é riz de x 4x ; b) é riz de x 4x + ; c) 4 é riz de x 6 Resolv s equções bixo: ) x 6 ; b) x 5x ; c) ( x ) = 8 ; x = d) ( ) 49 4 Resolv s seguintes equções, sendo U = R ) x 9x + 8 ; b) 6x + 8x ; c) x + 9 = x 6x ; x x ; d) ( ) + = ( + ) + 0 x = + 4 e) x x 5 Resolv s seguintes equções irrcionis: ) x + = b) x + = x 4 c) 7 x x = d) x 5 + x = 5 6 (U Cis do Sul-RS) Se um ds rízes d equção x px + 40 é 8, então o vlor de p é: ) 5 b) c) 7 d) -5 e) -7 7 (PUC-MG) Um vlor de B, pr que equção x + Bx + tenh dus rízes reis e iguis é: ) b) c) 4 d) 5 e) 6 8 (FGV-SP) Se som ds rízes d equção Kx + x 4 é 0, podemos firmr que o produto ds rízes é: 40 ) 40 b) 80 c) 80 d) e) 0 Determine o numero rel, tl que seu qudrdo é igul seu dobro Editor Exto 7

4 9 (ULBRA-RS) RS) O(s) vlor(s) de B n equção x Bx + 4 pr que o discriminnte sej igul 65 é(são): b) 9 c) -9 d) -9 ou 9 e) 6 0 (UFFLUMINENSE) Cortndo-se pedços qurdos iguis nos cntos de um crtolin retngulr de 80cm de comprimento por 60cm de lrgur,obtém-se um figur em form de cruz Se áre d cruz for terç prte d áre retngulr originl, o tmnho do ldo de cd qudrdo é igul : 4 (FAAP-SP) A riz d equção x + x + = 6 é um número: ) divisor e b) nturl mior que 4 c) múltiplo de d) ímpr 5 (FEI-SP) O vlor negtivo incógnit y no sistem de e- x y = quções é: = x y 6 ) b) c) 4 d) e) 6 6 (FCC-RJ) Se x +, então x R é tl que o inverso de x vle: x é ) 5 cm b) 0 cm c) 5 cm d) 0 cm e) 5 cm (MACK-SP) Sendo x e x s rízes reis d equção 6x x 0 x ' + x '' + é: b) c) d) =, o vlor d expressão ( )( ) (PUC-SP SP) A equção Então, m é igul : b) 6 c) d) 4x + x + m tem um únic riz (FUVEST) A equção do º gru 4x 6 tem um riz cujo vlor é 4 A outr riz é: ) b) c) d) ) 4 b) c) d) e)0 7 (MACK-SP) A som ds iddes de n pessos é nos Se umentrmos nos à idde de cd pessos, nov som será 57 nos Então n vle: ) 7 b) 9 c) d) e) 5 0 ou 4 GABARITO ) Não b) Sim c) Sim ) S = { 6,6} b) S = { 0,5} c) S = { 7,} d) S = {,5} ) S = {,8 } b) S = 4 c) S = { } d) S = e) S = Editor Exto 8

5 5 ) S = { } 7 b) S =, 9 c) S = {,4 } d) S = { 9} 6 C 7 C 8 B 9 D 0 D B B D 4 A 5 B 6 A 7 E Editor Exto 9