CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA

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1 [Digite teto] CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA BELO HORIZONTE MG

2 [Digite teto] CONJUNTOS NÚMERICOS. Conjunto dos números nturis Ν é o conjunto de todos os números contáveis. N { 0,,,,,, K}. Conjunto dos números inteiros Ζ é o conjunto dos números negtivos, positivos e nulos. Ζ { K,,, 0,,,,K}. Conjunto dos números rcionis Q é o conjunto de todo número que pode ser escrito n form / b, onde (numerdor) e b (denomindor) são números inteiros e b 0. Q K,, K,, K; 0,..,.., K. Conjunto dos números reis R é o conjunto de todos os números, ou sej, é união dos conjuntos dos números irrcionis. R Q I R K K, 0..,.. KK,.. K, K.. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS Ζ ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Se os números tiverem sinis iguis devemos somá-los e conservr o sinl, Eemplos: Se os números tiverem sinis diferentes devemos subtrí-los e conservr o sinl do mior,

3 [Digite teto] Eemplos: Obs: pr melhor compreensão deste conteúdo dotmos o sinl ( ) como sldo negtivo e o sinl ( ) como sldo positivo em um cont bncári. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Se os números tiverem sinis iguis o resultdo será positivo, Eemplos: ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( 0 ) : ( ) ( ) : ( ) 8 Se os números tiverem sinis diferentes o resultdo será negtivo, ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 8 ( 8) : ( ) ( 8) : ( ) Obs: o esquem bio servirá somente pr multiplicção e divisão de números inteiros.

4 [Digite teto] I. EXERCÍCIOS EM SALA Efetue s operções, f) ( ) ( 0 ) ) 8 g) ( 8 ) ( ) ( 8 0) 8 c) ( ) h) 00 ( 8) d) ( ) e) ( ) II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Efetue s dições lgébrics: ) Efetue s dições lgébrics: ) c) 0 d) Efetue ests dições lgébrics: ) c) Efetue os seguintes cálculos: ) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) e) ( )

5 [Digite teto] OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS Q ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Pr somr ou subtrir dus ou mis frções é necessário que els tenhm o mesmo denomindor, de preferênci que ele sej o menor possível, ou sej, o (mínimo múltiplo comum). Encontrndo o mmc devemos dividi-lo pelo denomindor de cd frção e multiplicá-lo pelo numerdor, depois efetumos som ou subtrção. Eemplos: ) c) MULTIPLICAÇÃO Pr multiplicr dus ou mis frções devemos multiplicr numerdor com numerdor e denomindor com denomindor. Eemplos: ) 0 : : DIVISÃO Pr efeturmos divisão de dus ou mis frções devemos conservr ª frção e multiplicr pelo inverso d ª frção. Eemplos: ) : : c) :

6 [Digite teto] Observções:. Qundo efetumos operções em Q, se possível, devemos simplificr o resultdo; ou sej, se numerdor e denomindor tiverem lgum divisor comum, devemos dividir mbos por ele. Eemplos: ) 0 : : 8 0 : :. Não devemos confundir simétrico (oposto) com inverso. Simétrico: o símbolo de é igul Inverso: o inverso de é igul. Número misto ou frção imprópri. Eemplo: 8 NÚMEROS DECIMAIS Todo número deciml eto pode ser escrito n form de frção. Bst contr quntos lgrismos direit d vírgul eistem e dividir pel potênci de 0 correspondente. Eemplos: ), 0 0,0 00 I. EXERCÍCIOS EM SALA ) 0, c) 0 d) : 0

7 [Digite teto] POTENCIAÇÃO Definição; n K Onde é um número rel. Eemplos: ) 8 d) 8 e) 9 c) ( ) ( ) ( ) 9 PROPRIEDADES. m n m n Eemplo:. m n m n : com 0 Eemplo: :. 0 com 0 Eemplos: 0 ( ) 0. ( ) n m n m Eemplos: ( ) 8 ( ) 0. ( ) n n n b b ou ( ) n n n b b Eemplos: ( ). n n Eemplos: 9

8 [Digite teto] EXERCÍCIOS EM SALA ) c) d) e) : ( ) ( ) f) ( ) 9 9 g) ( ) 9 h) GERATRIZES E DÍZIMAS PERIÓDICAS. Clcule s gertrizes ds dízims periódics : ) 0,... 8), ),() 9) 0, ),(09) 0), ), ) 0,0... ),0... ), ),() ),9... ),0() ),... OBS: OS ALGARISMOS QUE ESTÃO ENTRE PARENTESES, CORRESPONDEM AO PERÍODO DA DÍZIMA.. Encontre s gertrizes ds seguintes dízims periódics. ), 0,.. c),0.. d),000.. Se p/q é frção irredutível equivlente à dízim periódic 0,..., então q-p vle: ).. c) 8. d) 9. e).. Simplifique s frções: ) 8 8 c) 8 d) 9 e) f) g) h)

9 . Trnsforme s frções decimis em números decimis: ) e) 0 00 f) c) 8 g) d) h) trnsforme os números decimis em frções decimis: ) 0, e) 0,, f) 0, c), g) 0, 0 d), h),. Dê representção deciml ds frções: ) c) d) e) f) Clssifique s dízims periódics em simples ou compost e determine sus frções gertrizes ) 0,... 0,... c) 0,... d) 0,... e) 0,... f) 0,... 9) Obtenh s gertrizes ds seguintes dízims periódics: ),... 0, c) 0,... d),... e) 0,...

10 0) Determine o vlor numérico ds epressões lgébrics: ), pr e - -, pr e c) -, pr - e - d) b - b, pr - e b e) ( )(-), pr e - f) (, pr e b - g), pr e h), pr - e i) -, pr e - j), pr - e 8 k) ( ), pr - e l), pr ) Clcule os vlor numérico ds epressões: ) b b, pr e b -, pr e 0 00 ) Escrev epressão lgébric pr representr o perímetro de cd um ds figurs, sbendo que s medids são dds num mesm unidde de comprimento: ) c) ) Em um prov há, questões que vlem

11 pontos e questões que vlem pontos. Dê epressão lgébric que dá o número de pontos ness prov. ) Usndo s letrs e b pr indicr dois números reis, represente lgebricmente cd um ds frses seguintes: ) A som de dois números reis. A diferenç entre dois números reis. c) O produto de dois números reis. d) O qudrdo d som de dois números reis. ) Um livro cust reis e um cderno cust reis. Escrev epressão lgébric que represent qunti que você gst n compr de um livro e três cdernos ) Em um jogo de bsquete, você certou rremessos de pontos e rremessos de pontos. Escrev epressão lgébric que represent quntidde de pontos que você mrcou ) Um colégio tem, o todo, professores. Destes, professores são do seo msculino. Qul é epressão lgébric que represent quntidde de professores do seo feminino que trblhm nesse colégio? 8) Um cnet cust reis. Crol comprou cnets e deu 0 reis pr pgr. Escrev epressão lgébric que represent qunti que Crol deve receber de troco. 9) Qul epressão lgébric que represent áre d figur o ldo? ) Áre do qudrdo Áre do retângulo c) Áre d figur 0) Pr -8 e -, determine o vlor numérico d

12 epressão 9. ) Determine o vlor numérico d epressão ² -, qundo - e. ) Complete tbel. Considere h. Epressão Algébric Vlor Numérico h- h h (h ) 0 h h (h-)- ) Um motorist dirige seu crro, num trecho de um rodovi de pist dupl, um velocidde constnte de 00 km/h. Nesss condições, distânci que ele percorre com seu veículo pode ser clculd pel fórmul: d distânci (em d 00.t km) t tempo (em hors) ) Qul é distânci que ele percorre em hors? Qul é distânci que ele percorre em mei hor? c) Em qunto tempo ele percorre 0 km? d) Em qunto tempo ele percorre 0 km? ) Ns corrids noturns, os tists de cert cidde cobrm um t fi de R$,80, chmd bndeird, e mis R$,90 por quilômetro roddo. ) Escrev um fórmul pr representr o custo de um corrid noturn de tái dess cidde. Um pesso utilizou o tái durnte noite, percorrendo um distânci de 0, km. Qul é, em reis, o custo dess corrid?

13 ) O comprimento d circunferênci é dd pel fórmul C r. Usndo,, clcule o comprimento de um prç circulr cujo rio é de 0m. ) O comprimento d circunferênci de um moed de R$,00 é de 8, cm. Qul é o rio dess moed? ) Sbendo que ½ e b /, determine o vlor numérico de b ². 8) No utomobilismo, bndeir qudriculd indic o vencedor: Considerndo que represent medid do ldo de cd um dos qudrdos menores, escrev: ) áre de cd qudrdo: áre totl dos qudrdos pretos: c) áre d bndeir: 9) Clcule o vlor ds epressões bio : ) 0,... ( 0,...)

14 0) Efetue, observndo s definições e proprieddes: ) (-)³ i) j) (0,)³ c) 00¹ l) ¹ d) 00º m) e) 0³ n) f) 0º o) g) p) h) q) ) (Fuvest) O vlor de, é: () 0,0 ( 0,0 (c) 0,0 (d) 0,8 (e) 0, ) (Fei) O vlor d epressão é: () -/ ( / (c) (d) -/ (e) -/ ) (UECE) O vlor de é () -/ ( -/ (c) -/ (d) -/ ) (F.C. CHAGAS) Simplificndo-se epressão, obtém-se: () 0, ( 0, (c), (d), (e),

15 ) Dê o vlor de cd rdicl no cmpo dos número reis. Cso não eist, escrev: não eiste. ) h) i) c) j) d) l) e) m) f) n) g) o) ) Escrev um epressão simplificd que represente áre totl d figur: / / RADICIAÇÃO É operção invers d potencição n b, então b n. Eemplos: ) pois c) 8 pois 8 8 pois 8

16 PROPRIEDADES. n n b n b Eemplo: n. n n b b Eemplo: 0 0 m n vezes n n m. ( ) Eemplo: ( ) n n. ( ) Eemplo: ( ) m n m n. Eemplo:. n m n p m p n ou Eemplos: m 0 n: p m: p : : SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS Qundo o rdicndo tem ftores com epoentes iguis o índice d riz esses ftores podem ser etrídos do rdicndo. Eemplos: ) 0 c)

17 EXERCÍCIOS EM SALA ) c) 0 d) e) f) 8 g) h) i) 8 OPERAÇÕES COM RADICAIS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Só podemos efetur dição e subtrção de rdicis semelhntes, nesse cso, bst fzer som lgébric dos ftores eternos e copir os rdicis. Eemplos: ) c) : : : : MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Só podemos efetur multiplicção e divisão de rdicis que possuem o mesmo índice, qundo os rdicis possuem índices diferentes o psso é reduzi-los o mesmo índice. Isso é feito tirndo o mmc dos índices. Eemplos: ) tirndo o mmc de e

18 EXERCÍCIOS EM SALA ) 0 ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) e) RADICIAÇÃO DE RAÍZ Qundo o rdicndo for outro rdicl, podemos escrever um só riz com índice igul o produto dos índices. Eemplo: RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Qundo o denomindor de um frção é um número irrcionl podemos trnsformá-lo em um número rcionl; Eemplos: ) ( ) c) ( ) ( ) EXERCÍCIOS EM SALA ) c) d)

19 EXERCÍCIOS PROPOSTOS OPERAÇÕES COM RADICAIS. Complete s igulddes: ) c) b d) e). Complete s igulddes: ) 9 : 8 8 : d) : T e) 0 : c) 0 :. Simplifique: ) d) 8 e) c) 8 f) b c. Simplifique: ) 80 e) 80 f) c) g) 8 d) h). Efetue: ) 8 c) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) b b g) 0 h) 8

20 . Efetue: ) 8 : c) g) d) 8 : e) : f) :. Rcionlize: ) f) c) d) e) g) h) i) j) b 8) Fç rcionlizção ds epressões, e resolv-s. ) c) d) e) 9) Simplifique: ) c) 0) Reduz um único rdicl. ) 0 c) d)

21 . Reduz um único rdicl e em seguid simplifique, se possível: ) c) d). Encontre o perímetro ds figurs, cujs medids de seus ldos são dds num mesm unidde de medid de comprimento. ) 8 8. Clcule áre e o perímetro ds figurs, cujs medids indicds são dds num mesm unidde de medid de comprimento. ),, ) Efetue s seguintes dições de polinômios: ) ( ² 9 ) ( ² ) ( ² 9 ) ( ² ) c) ( ² 8) ( ² ) d) ( ² 8) ( ² ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) g) ( ² ) ( ² ) h) ( ² ) ( ² ) i) ( ) ( 9) j) ( ) ( 9) k) ( ³ ² ) ( ³ ² ) l) ( ³ ² ) ( ³ ² ) m) ( ² ²) ( ² ²) n) ( ² ²) ( ² ²) o) ( ² ) ( ²) p) ( ² ) ( ²)

22 )Clcule os produtos: ) ( ² ).( ) ( ² ).( ) c).( ) d) ( ² ).( ) e).( f) ( ² ).( ) g).( ) h) ( ² ).( ) i).( j) ( ³ ² ).( ) k).( ) )Ddos os polinômios: A B C D Clcule os seguintes produtos: ) A.B A.C c) A.D d) C.D e) A.B.C f) A.B.D g) A² h) B² i) A² B² C² D² j) A² - B² - C² - D² PRODUTOS NOTÁVEIS As identiddes bio se verificm quisquer que sejm os vlores tribuídos s vriáveis dd freqüênci que são usds, lgums dels são dits notáveis. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

23 FATORAÇÃO Ftorr um polinômio é escrevê-lo em form de produto cujos ftores devem ser os mis simples possíveis. cso: colocr o ftor comum em evidênci. Eemplo: ( ) cso: ftorr por grupmento. Eemplo: b b ( ) b( ) cso: usndo os produtos notáveis. Eemplos: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) EXERCÍCIOS EM SALA. Desenvolv ( ( ) ( ( (. Ftore s epressões ) d) b e) c) b

24 EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Efetue: ) ( c) ( ) e) ( ) ( c d ). Efetue: d) ( ) f) ( ) ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ). Efetue: ) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ). Efetue: ) ( ) ( ) c) ( 0) d) ( ) e) f). Efetue: ) ( 9) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ). Efetue: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Efetue: ) 0 ( ) 8 ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( )

25 8. Efetue: ) d) e) c) f) 9. Efetue: ) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) ( ) 0. Efetue: ) ( 0)( 0) ( )( ) c) ( )( ) d) ( )( ) e) ( )( ) f) ( )( ). Efetue: ). Efetue: b ) ( ) d) ( 9) ( 0) c) ( ) e) ( ) f) ( )

26 . Efetue: ) ( )( ) ( 0)( 0) c) ( )( ) d) ( )( ) e) ( )( ) f) ( )( ). Efetue: ) ( ). Efetue: ( ) ( )( ) ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) c) ( ) ( ) ( ) d) ( )( ) ( ) ( ). As epressões são diferençs de dois qudrdos. Ftore-s: ) d) 8 c) 9 e) f). As epressões são trinômios qudrdos perfeitos. Ftore cs um dels: ) 8 8 c) 0 d) 9 e) f) 8. Ftore: ) m 0m c) 0 9

27 9. Efetue s divisões seguintes; ftorndo o dividendo. ) 9 c) 0 ( ) d) 9 0. Ftore: ) 9 b 9 8 9b c d) c) 9 b. Ftore, colocndo o ftor comum em evidênci: ) b c c) d) b e) f) z z 80. Ftore: ) c) d) z z z e) z f) g) h) 0. Ftore: ) 8. Vej este eemplo de ftorção: ( ) ( ) ( )

28 ( 9) ( ) 9 Agor, ftore: ) 8 0. Ftore: ) 8 9 c) d) ( ) ( ). Coloque o ftor comum em evidênci. ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) b( ) ( ) d) ( m n) m n e) ( ( f) ( ( (. Ftore, por grupmento: ) m n bm bn c) d) b b 8. Ftore: ) b c b c 9. Ftore: ) c) z d) c) d) b b 0. Ftore: ) b b c) b b d) b b

29 . Ftore: ) b b c) b 0 b d). Ftore: ) 0 b b b 0 c) b b d) c bc b. Ftore: ) b b. Ftore: ) b b b b 0 c) mn 8 m 0n 80 d) 0 EQUAÇÃO DO GRAU Chmmos equção do gru de vriável, tod equção que pode ser reduzid à seguinte form. b 0 ( 0) Resolver est equção é determinr su riz, ou sej, encontrr o vlor de que torn verddeir iguldde. Eemplo: 0 0 Onde é solução ou riz d equção.

30 EXERCÍCIOS EM SALA ) ( ) ± EXERCÍCIOS PROPOSTOS Determine o conjunto verdde ds seguintes equções bio: ( ) ( ). ( )... ( ) 8. ( ) 9. ( ) ( ) 0. ( ) ( ). 0.. ( ).. 9

31 Soluções: SISTEMA DE GRAU É um conjunto de dus equções do tipo. d b e c f COM INCÓGNITAS E Pr resolvermos, devemos encontrr os vlores de e que stisfçm s dus equções. MÉTODO: ADIÇÃO Consiste em multiplicr um ds equções ou s dus por números reis não nulos, de tl modo que o somr membro membro s equções um ds incógnits sej elimind. Eemplo: ( I ) ( II ) Multiplicndo mbos os membros d equção ( II ) por temos: Se 9 9 Solução: (, )

32 MÉTODO: SUBTRAÇÃO Consiste em colocr em um equção um incógnit em função d outr e em seguid substituir n outr equção. Eemplo: ( I ) ( II ) Usndo equção ( I ) Substituímos o vlor encontrdo em ( II ) ( ) Se ( ) Solução (, ) 8 9 EXERCÍCIOS EM SALA ) 8 Se 8 Então é igul à

33 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Resolv os seguintes sistems: ) 8 0 c) 9 d) e) f) 9 g) h) i) 8 j) 9

34 Soluções: ) (, 0), c) ( 9, 8) d) (, ) e) (, ) f), g) φ h), i) (, ) j) (, ) PROBLEMAS DE GRAU Problems de gru. São problems práticos que podem ser resolvidos com uílio de equções ou sistems do gru. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Divid. 080 em dus prtes, tl que 8 d primeir prte mis 0 d segund produz.. Num fábric trblhm pessos, entre homens, mulheres e menores. O número de homens é o dobro do ds mulheres e este é o dobro de menores. Quntos são os homens, s mulheres e os menores?. A som ds iddes de um pi e um filho é nos. Há três nos pssdos, idde do pi er onze vezes idde do filho. Determine s iddes.. Um pi tem, nos e o filho, 0. Dqui quntos nos idde do pi será o quádruplo d idde do filho?

35 . A diferenç entre dois números é 8. O quociente do mior pelo menor é e o resto é. Determine os números.. Num quintl eistem ptos e glinhs. O número dos ptos é 0 do ds glinhs. Morrerm ds glinhs e um pto, restndo, desse modo, tntos ptos qunts glinhs. Pergunt-se: Quntos erm os ptos e qunts s glinhs?. Num fábric trblhm homens e mulheres, sendo que o número de mulheres é do número de homens. Form dispensdos dos homens e dus mulheres, restndo tntos homens qunts mulheres. Pergunt-se: Quntos erm os homens e qunts s mulheres? 8. Um pi desej dividir R $.000, 00 entre seus dois filhos, de modo que o mis moço receb metde do que recebe o mis velho e mis R $00, 00. Qunto cberá cd um? 9. A som dos três números pres consecutivos é. Quis são os números? 0. A som de dois números ímpres consecutivos ecede terç prte do menor em 8 uniddes. Quis são os números?. A som de três números ímpres consecutivos é. Determine os números.. A um fest de cridde comprecerm 00 pessos. Os homens contribuírm com R $.000,00 e s mulheres, com R $.000, 00. Houve um rend de R $.0.000, 00. Quntos erm os homens e qunts s mulheres?. Num escol eistem 00 lunos. A terç prte do número de meninos é igul à metde do número de menins. Quntos são os meninos e qunts s menins?

36 . Pensei em um número. Acrescentei e dividi som obtid por. Se o resultdo foi 8, qul o número pensdo?. Num pátio eistem utomóveis e biciclets. O número totl de rods é 0 e o número de biciclet é o triplo do número de utomóveis. Quntos veículos há no pátio?. Um tijolo pes kg mis meio tijolo. Qunto pes um tijolo e meio? PROBLEMAS EQUAÇÃO DO GRAU (Gbrito). 00 e homens, 0 mulheres e menores.. e. 8. e. 0 glinhs e ptos. 0 homens e mulheres 8. R $.000, 00 pr o mis velho. R $.000, 00 pr o mis moço. 9. 0, e. 0. e., e. 0 homens e 0 mulheres. 0 meninos e 80 menins... kg

37 EQUAÇÕES DO GRAU ) Resolv s seguintes equções do gru ) ² ² c) ² d) ² - 0 e) ² - 0 f) ² g) ² 0 0 h) ² 0 i) ² j) ² - ² k) 8² 0 ² l) (² - ) m) (² - ) ² n) (² - ) (² ) o) ( )( ) 8 ) Resolv s seguintes equções do gru. ) ² - 0 ² 0 c) ² d) ² 0 e) ² - 0 f) ² 0 g) ² 0 h) ² - 0 i) ² j) ² 8 k) ² - l) -² 0 0 )Resolv s seguintes equções do gru ) ² ( ) 0 ( ) c) ( ) - ( -) d) ( )² e) ( )² 9 f) ( ) ( ) - ) Resolv s seguintes equções do gru ) ² - 0 ) ² ) ² ) ² ) ² ) ² ) -² 0 8) -² - 0 9) ² - 0 0) ² - 0 ) ² - ) ² 9 ) ² ) ² ) ² 9 ) ² 0 ) ² 8) ² -8 9) ² 0) ² - ² ) ² - 9 ² ) ( - ) ) ( ) 0 0 ) ² 0 ) ² - 0 ) ² 0 ) ² 0 8) ² ) -² ) ² ) ( )² ) ( - )² )( - )² 0 ) ( - )² -²

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