MATEMÁTICA. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1

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1 MATEMÁTICA Professor : Dêner Roch Monster Concursos

2 Adição e Subtrção de Números Inteiros ) (+) + (+7) = = +0 (tirmos os prentes e conservmos os sinis dos números) b) (-9) + (-8) = = -7 (tirmos os prentes e conservmos os sinis dos números) c) (+) + (-0) = = + (tirmos os prentes e conservmos os sinis dos números) d) (+5) - (+5) = = 5 (tirmos os prentes e trocmos o sinl do número que estv depois d subtrção) e) (-8) - (-) = -8 + = -6 (tirmos os prentes e trocmos o sinl do número que estv depois d subtrção) Lembrete: Pr fcilitr seu entendimento, efetue est operções pensndo em débito (número negtivo) e crédito (número positivo), + + 7, tenho reis se gnhr 7 fico com 0, , devo 5 reis se tenho só dez pr pgr ind fico devendo sete ou sej -7, - 5-8, tenho um divid de 5 reis fço mis um divid de 8 eu fico devendo treze ou sej -. Multiplicção e Divisão de Números Inteiros ) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +) b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +) c) (-4) x (+7) = - 8 (- x + = -) d) (+6) x (-7) = - 4 (+ x - = -) e) (-8) : (-) = + 4 (- : - = +) f) (+8) : (-6) = - (+ : - = -) g) (+48) : (+) = + 4 (+ : + = +) h) (-4) : (-7) = + (- : - = +) Monster Concursos

3 Lembrete: Observe que multiplicção ou divisão de números de mesmo sinl o resultdo e sempre positivo, multiplicção ou divisão de números de sinis diferentes o resultdo é sempre negtivo. Potencição de Números Inteiros ) (+)² = (+) x (+) = + 9 b) (-) 5 = (-) x (-) x (-) x (-) x (-) = - c) (-8) 0 = (todo número elevdo zero é igul positivo) d) (+9) 0 = (todo número elevdo zero é igul positivo) e) (8)¹ = 8 (todo número elevdo um é igul ele mesmo) Importnte: (-)² = (-) x (-) = 4 é diferente de ² = -() x () = - (4) = - 4 No primeiro cso tnto o sinl qunto o número estão o qudrdo e no segundo cso pens o número está elevdo o qudrdo. Rdicição de Números Inteiros ) (lembre-se que 5 x 5 = 5) b) (lembre-se que 7 x 7 = 49) c) (lembre-se não existe riz qudrd de número inteiro negtivo) d) (observe que neste cso o menos está for d riz, sendo ssim existe riz) e) (lembre-se (-) x (-) x (-) = - 8) d) (lembre-se () x () x () = 8) Resolvendo Expressões Numérics com Números Inteiros Monster Concursos

4 Potencição Qundo, em um multiplicção, os ftores são todos iguis, em módulo e em sinl, est operção recebe o nome de potencição. Assim sendo, potênci de um número é o produto de ftores iguis este número, sendo representd por: p expoente (n.º de repetições dos ftores iguis) bse (é o número ou ftor em questão) Conforme veremos seguir, tod potênci de expoente pr é positiv, qulquer que sej o sinl d bse, porém, tod potênci de expoente ímpr tem o sinl de bse. Ilustrção 4 ( ) ) 6 ( ) 4 b) 6 c) 8 d) ( ) 8 Monster Concursos 4

5 Ilustrção ) Potencição Sequencil: () 4 64, que tmbém pode ser efetud diretmente mntendo-se bse e multiplicndo-se os expoentes: 6 64 b) Potencição Esclond: que pode ser entendid como, ou sej: 8 56 Rdicição ) Riz n-ésim de um número: Dizemos que um número b é riz n-ésim ext de um número qundo n b e el é representd por n b Denomin-se rdicição operção pel qul se obtém riz n-ésim de um número. Ns operções exts, rdicição é operção invers d potencição. Temos então: O sinl é o rdicl O número" "é o rdicndo O número" n"é o índice do rdicl Assim sendo 9 porque 9 8 porque 8 No cso de n = riz se diz qudrd e não é usul escrever este índice no rdicl. No cso de n = riz se diz cúbic, ms este índice prece no rdicl. Monster Concursos 5

6 b) Vlor lgébrico dos rdicis: Se o rdicndo é considerdo em vlor bsoluto (módulo), rdicição é um operção unívoc. No entnto, se este rdicndo é um número reltivo unicidde, em lguns csos, não estrá mis grntid e por isso vmos considerr três csos:.º) Índice pr e rdicndo positivo. Neste cso o rdicl dmitirá dus rízes reis e simétrics no conjunto dos números reis, bem como um pr complexo conjugdo..º) Índice ímpr. Sendo o índice do rdicl um número ímpr, temos um riz no conjunto dos números reis, tendo o mesmo sinl que o rdicndo, e (n ) rízes no conjunto dos números complexos..º) Índice pr e rdicndo negtivo. Neste cso não existe nenhum vlor do conjunto do elevdo o índice pr sej igul o rdicndo. números reis que.º cso 4 Ilustrção pois pois 4 65.º cso 5 5 pois pois 5 5.º cso 4 j Observção: pelo que foi exposto, se lguém lhe perguntr qul é o vlor de respost e simplesmente. Agor se for pedido o vlor lgébrico do 9 teremos então. 9, Produto e Divisão de Potêncis de Mesm Bse ) Pr multiplicr potêncis de mesm bse, repetimos bse e sommos os expoentes. b) Pr dividir potêncis de mesm bse, repetimos bse e subtrímos o expoente do denomindor do expoente do numerdor. Monster Concursos 6

7 4 4 ) Ilustrção b) c) d) b b 8 5 x x 5 I I 4 b x I b x ( 4) I 7 Expoente Nulo Tod potênci de expoente nulo é igul à unidde. Ilustrção 0 Observção: São exceções 0 0 e 0, que não têm qulquer significdo numérico, sendo símbolos de indeterminção, e são borddos em Análise Mtemátic n prte de Limites. Expoente Negtivo Tod potênci de expoente negtivo equivle um frção cujo numerdor é unidde e o denomindor é potênci com o expoente positivo ou sej: n n. () Ilustrção ) b) 9 Monster Concursos 7

8 Observções: ª) Em consequênci do exposto nteriormente temos: n n () ª)Agor podemos obter o mesmo resultdo do item (d) d ilustrção por outro cminho: I I 4 I I 4 I 7 Expoente Frcionário Tod potênci de expoente frcionário equivle um riz cujo índice é o denomindor d frção e cujo rdicndo é bse elevd um expoente igul o numerdor, ou sej: p q q p () Ilustrção Determinr os vlores lgébricos ds seguintes operções: ) b) 6 4 c) Emprego de Potêncis de Dez pr simplificr representção de certos Números Monster Concursos 8

9 Ilustrção ) b) c) d) No Brsil: * ,000 0,05 6 * Nos E.U.A.:, ,000, (*) Antigmente representv-se e 4 milhões, respectivmente por.000 e Já há lguns nos bolirm-se os pontos seprtrizes de clsses, mntendo-se gor um espço entre s mesms. Potencição A x RESUMÃO DO MONSTER UMA VAGA É MINHA = B, onde: A= bse; x= expoente; B= potênci. Csos especiis X = X x = 0 x = 0 X 0 = Monster Concursos 9

10 Regrs:. Expoente pr = resultdo positivo, se bse estiver dentro de prênteses.. Expoente ímpr = repete-se o sinl d bse. Proprieddes:. m. n = mn. m n = mn. m n = m.n 4. m n x. b = m.x. b n. x 5. x m = n m. x n. x 6. m = m Monster Concursos 0

11 Operções com Frções (Q) O conjunto dos Números Rcionis (Q) é formdo por todos os números que podem ser escritos n form /b onde e b Z e b 0 (º Mndmento d Mtemátic: NÃO DIVIDIRÁSPOR ZERO) Adição e Subtrção Reduz-se s frções o mesmo denomindor. Pr isso devemos encontrr o mmc dos denomindores, crirmos um mesm sequenci de frção com o novo denomindor e numerdor igul o resultdo d divisão do novo denomindor pelo velho multiplicdo pelo numerdor velho. Exemplo: o mmc(,4)= então dividindo-se por e multiplicndo-se por, depois dividindo-se por 4 e multiplicndo-se por temos Multiplicção Multiplicm-se os numerdores e os denomindores obtendo-se ssim o resultdo. É importnte observr se o resultdo d multiplicção não pode ser simplificdo (dividir o numerdor e o denomindor pelo mesmo número), normlmente isso é possível e evit que se fç operções com números muito grndes: simplificndo por temos como resultdo Monster Concursos

12 Divisão Deve-se multiplicr primeir pelo inverso d segund simplificndo por ficmos com Expressões Qundo se resolve expressões numérics devemos observr o seguinte:. Deve-se obedecer seguinte prioridde de operção: º - multiplicção e divisão n ordem em que precer º - som e subtrção n ordem em que precer b. Deve-se primeiro resolver s operção dentro do prênteses, depois do colchete e por fim d chve, e dentro de cd seprdor obedecer s regrs do item. resolv operção que est dentro do prênteses : mmc(,) = 6 Monster Concursos

13 Primeiro os prênteses, e no segundo prênteses primeiro multiplicção Frções Será representdo em noss postil d seguinte form: /b O símbolo signific :b, sendo e b números nturis e b diferente de zero. Chmmos: /b de frção; de numerdor; b de denomindor. Se é múltiplo de b, então /b é um número nturl. Vej um exemplo: A frção / é igul :. Neste cso, é o numerdor e é o denomindor. Efetundo divisão de por, obtemos o quociente 4. Assim, / é um número nturl e é múltiplo de. Monster Concursos

14 Durnte muito tempo, os números nturis form os únicos conhecidos e usdos pelos homens. Depois começrm surgir questões que não poderim ser resolvids com números nturis. Então surgiu o conceito de número frcionário. O significdo de um frção Algums vezes, /b é um número nturl. Outrs vezes, isso não contece. Neste cso, qul é o significdo de /b? Um frção envolve seguinte idei: dividir lgo em prtes iguis. Dentre esss prtes, considermos um ou lgums, conforme nosso interesse. Exemplo: Michele comeu 4/7 de um bolo. Isso signific que o bolo foi dividido em 7 prtes iguis, Aline teri comido 4 prtes: N figur cim, s prtes pintds serim s prtes comids por Aline, e prte brnc é prte que sobrou do bolo. Como se lê um frção As frções recebem nomes especiis qundo os denomindores são,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e tmbém qundo os denomindores são 0, 00, 000,... Monster Concursos 4

15 Frções Própris São frções que representm um quntidde menor que o inteiro, ou sej, represent prte do inteiro., observe que neste tipo de frção o numerdor é sempre menor que o denomindor. Frções Imprópris São frções que representm um quntidde mior que o inteiro, ou sej, represent um unidde mis prte del., observe que neste tipo de frções o numerdor é sempre mior que o denomindor. Frções Aprentes São frções que representm um unidde, dus uniddes etc., observe que neste tipo de frções o numerdor é sempre múltiplo do denomindor. Monster Concursos 5

16 Frções Equivlentes Dus ou mis frções que representm mesm quntidde d unidde são equivlentes., são frções equivlentes, ou sej (/ é metde de / e 5/0 é metde de 0/0) Simplificndo Frções Qundo multiplicmos ou dividimos o numerdor e o denomindor de um frção pelo mesmo número, est não se lter. Encontrmos frções equivlentes frção dd. /4 = 6/8, observe que numerdor e denomindor form multiplicdos por. /8 = 4/6, observe que numerdor e denomindor form divididos por. Reduzindo Frções o Mesmo Denomindor Exemplo:, primeir cois se fzer é encontrr frções equivlentes às frções dds de tl form que ests tenhm o mesmo denomindor. Bst determinr o m.m.c entre os denomindores, que neste cso é., pr obtermos, pegmos o m.m.c, dividimos pelo denomindor, pegmos o resultdo e multiplicmos pelo numerdor, observe: : = 4, 4 x = 8 e ssim com s outrs frções. Monster Concursos 6

17 Adição e Subtrção de Frções º Cso Denomindores iguis Pr somr frções com denomindores iguis, bst somr os numerdores e conservr o denomindor. Pr subtrir frções com denomindores iguis, bst subtrir os numerdores e conservr o denomindor. º Cso Denomindores diferentes Pr somr frções com denomindores diferentes, devemos reduzir s frções o menor denomindor comum e, em seguid, dicionr ou subtrir s frções equivlentes às frções dds. Pr obtermos ests frções equivlentes determinmos m.m.c entre os denomindores dests frções. Exemplo: Vmos somr s frções. Obtendo o m.m.c dos denomindores temos m.m.c(4,6) =. : 4 = e x 5 = 5 : 6 = e x = Monster Concursos 7

18 Multiplicção e Divisão de Frções Multiplicção º Cso Multiplicndo um número nturl por um frção N multiplicção de um número nturl por um frção, multiplicmos o número nturl pelo numerdor d frção e conservmos o denomindor. Multiplicndo Frção por Frção N multiplicção de números frcionários, devemos multiplicr numerdor por numerdor, e denomindor por denomindor. (o resultdo foi simplificdo) Divisão N divisão de números frcionários, devemos multiplicr primeir frção pelo inverso d segund. Potencição e rdicição de números frcionários Potencição Monster Concursos 8

19 N potencição, qundo elevmos um número frcionário um determindo expoente, estmos elevndo o numerdor e o denomindor esse expoente: Rdicição N rdicição, qundo plicmos riz um número frcionário, estmos plicndo ess riz o numerdor e o denomindor: Números Decimis Frção Deciml São frções em que o denomindor é um potênci de 0. Tod frção deciml é escrit n form de número deciml. Números Decimis Monster Concursos 9

20 Lendo números decimis: 0,5 = Vinte e cinco centésimos;,4 = Dois inteiros e vinte e qutro centésimos,00 = Doze inteiros e dois milésimos; 0,000 = Dois décimos de milésimos Trnsformndo um frção deciml em número deciml: Observe: Denomindor 0 um número depois d vírgul, denomindor 00 dois números depois d vírgul, denomindor 000 três números depois d vírgul e ssim por dinte. Trnsformndo um número deciml em frção deciml: Observe: Um número depois d vírgul denomindor 0, dois números depois d vírgul denomindor 00, três números depois d vírgul denomindor 000 e ssim por dinte. Propriedde: Um número deciml não se lter o crescentrmos zeros direit do seu último número. 0,4 = 0,400 = 0,4000 = 0, , = 0,0 = 0,00 = 0,000 = 0,0000, =,0 =,00 =,000,,0000 Adição N dição de números decimis devemos somr os números de mesm ordem de uniddes, décimo com décimo, centésimo com centésimo. Antes de inicir dição, devemos colocr vírgul debixo de vírgul. Monster Concursos 0

21 Subtrção A subtrção de números decimis é efetud d mesm form que dição. 4,4 -,;, -,; 9, - 4, Multiplicção Efetumos multiplicção normlmente. Em seguid, contm-se s css decimis de cd número e o produto fic com o número de css decimis igul à som ds css decimis dos ftores. 4, x, ; 0, x,4 ; 0,4 x, Divisão N divisão de números decimis, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo número de css decimis. Devemos igulá-ls ntes de começr divisão. 7,0 :,5,7 :,4 Monster Concursos

22 : 7 Potencição Efetumos d mesm form que prendemos com os números nturis. #suvgéminh Monster Concursos