3.3 Autómatos finitos não determinísticos com transições por ε (AFND-ε)

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1 TRANSIÇÕES POR (AFND-) Autómtos finitos não determinísticos com trnsições por (AFND-) Vmos gor considerr utómtos finitos que podem mudr de estdo sem consumir qulquer símbolo, isto é, são utómtos finitos não determinísticos que dmitem trnsições por (i.e., plvr vzi). Como no cso dos utómtos não deterministicos estes utomtos ceitm s mesms lingugens que os utómtos determinísticos, e têm interesse especilmente teórico e em permitir construção de uómtos mis compctos. Exemplo Estes utómtos tornm trivil construção de um utómto que reconhece reunião de dus lingugens descrits por utómtos finitos. Bst considerr um novo estdo inicil donde sem trnsições pr os estdos iniciis de cd um dos outros dois utómtos. O utómto seguinte ceit lingugem {x {} x é divisível por 3 ou 5}: s 1 s 2 s 3 s 0 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 Exemplo Considere o seguinte utómto:,b s 1 s 2 s 0 s b 3 s b 4 s 5 O conjunto de estdos possível pós consumir é {s 1,s 2,s 3 }, pelo que é ceite; depois de consumir bb é {s 1,s 3,s 5 }, pelo que bb é ceite; depois de consumir bbb é {s 1,s 4 }, pelo que bbb não é ceite; depois de consumir bbb é {s 1,s 2 }, pelo que bbb é ceite. Verifique que lingugem ceite pelo utómto é {x {,b} x termin em } {bb,}

2 TRANSIÇÕES POR (AFND-) 44 Exemplo Podemos tmbém simplificr construção dos utómtos que reconhecem conjuntos finitos de plvrs-chve. Pr lingugem do exemplo 3.13, podimos ter o utómto: Σ 10 0 r 2 e 3 d 4 e 5 1 d 6 e 7 d 8 o 9 Construímos um utómto pr cd plvr (cd um com o seu estdo inicil) e depois reunimos todos num só com um novo estdo inicil e trnsições por desse estdo pr cd um dos iniciis ds plvrs. Definição 3.5. Um utómto finito não determinístico E com trnsições por é um quinteto (S,Σ,δ,s 0,F), como pr os AFNDs ms onde em que δ é um função de S (Σ {}) em P(S) Exemplo Vmos construir um AFND- que reconhece lingugem ds plvrs que representm números decimis, i.e, plvrs que: opcionmente, contém um sinl + ou um sequênci de digitos 0 9 um ponto deciml outr sequênci de dígitos e pelo menos um ds sequênci de dígitos tem de ser não vzi Sej onde δ é ddo por: E = ({s 0,s 1,...,s 5 }, {,+,,0,1,...,9},δ,s 0, {s 5 }),+ 0,1,... 9 s 0 {s 1 } {s 1 } s 1 {s 2 } {s 1,s 4 } s 2 {s 3 } s 3 {s 5 } {s 3 } s 4 {s 3 } s 5

3 TRANSIÇÕES POR (AFND-) 45 0,...,9 0,...,9 s 0,+, s 1 s 2 0,...,9 s 3 s 5 0,...,9 s Fecho por trnsições Ddo um AFDN-, E = (S,Σ {},δ,s 0,F), pr cd estdo s S, podemos definir o conjunto de estdos cessíveis do estdo s por trnsições por, que se denot por Fecho (s). Formlmente definimos Fecho (s) recursivmente por Bse. s Fecho (s) Indução. se p Fecho (s) e r δ(p,) então r Fecho (s) Exemplo Pr o utómto do Exemplo 3.18 temos: Fecho (s 0 ) = {s 0,s 1 } Fecho (s 3 ) = {s 3,s 5 } Fecho (s) = {s}pr os restntes estdos s Extensão d função trnsição plvrs Ddo E = (S,Σ {},δ,s 0,F) estendemos δ de modo que δ(s,w) sej o conjunto de estdos que são cessíveis de s por cminhos cujs etiquets conctends dão w, ms lgums podem ser. A definição recursiv é: Bse. δ(s,) = Fecho (s) Indução. Suponhmos que w = x, com Σ, sej δ(s,x) = {p 1,...,p k } e sej k i=1 δ(p i,) = {r 1,...,r m } então δ(s,w) = m j=1 Fecho (r j ) Exemplo Pr o utómto do Exemplo 3.18, 0,...,9 0,...,9,+, s 0 s 0,...,9 1 s 2 s 3 s 5 0,...,9 s 4

4 TRANSIÇÕES POR (AFND-) 46 clculemos δ(s 0,3.7): δ(s 0,) = Fecho (s 0 ) = {s 0,s 1 } Pr δ(s 0,3) δ(s 0,3) δ(s 1,3) = {s 1,s 4 } δ(s 0,3) = Fecho (s 1 ) Fecho (s 4 ) = {s 1,s 4 } Pr δ(s 0,3.) δ(s 1, ) δ(s 4, ) = {s 2 } {s 3 } = {s 2,s 3 } δ(s 0,3.) = Fecho (s 2 ) Fecho (s 3 ) = {s 2,s 3,s 5 } Pr δ(s 0,3.7) δ(s 2,7) δ(s 3,7) δ(s 5,7) = {s 3 } δ(s 0,3.7) = Fecho (s 3 ) = {s 3,s 5 } A lingugem ceite por um AFND- define-se então como pr os AFNDs: Definição 3.6. Ddo um utomto não determinístico com trnsições por, E = (S,Σ {},δ,s 0,F) lingugem ceite por E é definid por L(E) = {x Σ δ(s 0,x) F } Pr o Exemplo 3.18 como δ(s 0,3.7) = {s 3,s 5 } e s 5 F então 3.7 L(E) Eliminção de trnsições Ddo E = (S E,Σ,δ E,s 0,F E ) um AFND-, podemos construímos um AFD A = (S A,Σ,δ A,s A,F A ) equivlente, por um método semelhnte à d construção de subconjuntos, tl que: s A = Fecho (s 0 ) S A é o conjunto dos subconjuntos X de S E, tl que X = Fecho (X) (i.e X é fechdo por trnsições ) e X é cessível de s A F A = {X X S A e X F E } δ A (X,) é clculdo pr Σ e X S A por 1. Sej X = {p 1,...,p k }

5 TRANSIÇÕES POR (AFND-) Sej k i=1 δ(p i,) = {r 1,...,r m } 3. então δ A (X,) = m j=1 Fecho (r j ) Exemplo Vmos construir um ADF equivlente o AFND- do exemplo Começmos por determinr o Fecho- de cd estdo de E: Fecho (s 0 ) = {s 0,s 1 } Fecho (s 3 ) = {s 3,s 5 } Fecho (s) = {s} e pr os restntes estdos s Pel construção nterior obtém-se:,+ 0,1,... 9 {s 0,s 1 } {s 1 } {s 2 } {s 1,s 4 } {s 1 } {s 2 } {s 1,s 4 } {s 2 } {s 3,s 5 } {s 1,s 4 } {s 3,s 2,s 5 } {s 1,s 4 } {s 3,s 5 } {s 3,s 5 } {s 2,s 3,s 5 } {s 3,s 5 } Equivlênci entre AFD e AFND- Proposição 3.4. Um lingugem L sobre um lfbeto Σ é ceite por um AFND- se e só se L é ceite por lgum AFD. Lem 3.2. Pr todo x Σ, δ E (s 0,x) = δ A (s A,x) Dem: Por indução em x. Bse. Se x =, δ E ({s 0 },) = Fecho (s 0 ) e s A = Fecho (s 0 ). Então δ A (s A,) = s A = Fecho (s 0 ) = δ E (s 0,) Indução. Suponh que x = y, pr lgum Σ, e δ E (s 0,y) = δ A (s A,y), sejm {p 1,...,p k }. Pel definição clculmos δ E (s 0,x) por 1. k i=1 δ(p i,) = {r 1,...,r m } 2. δ E (s 0,x) = m j=1 Fecho (r j ) ms isso é precismente δ A ({p 1,...,p k },) que é δ A (s A,x).

6 TRANSIÇÕES POR (AFND-) 48 Dem: (Proposição 3.4) ( ) Sej E = (S E,Σ,δ E,s 0,F E ) um AFND- e sej A = (S A,Σ,δ A,s A,F A ) um AFD construído pelo método de subconjuntos modificdo. Queremos que L(A) = L(E). Pr x Σ, x L(A) δ A (s A,x) F A δ A (s A,x) F E δ E (s 0,x) F E x L(E) ( ) Pr tornr um AFD num AFND- bst crescentr δ(s,) = e trnsformr s trnsições do tipo δ(s,) = s em δ(s,) = {s }, pr todos os estdos do AFD. Exemplo Pr o utómto do Exemplo 3.15,b s 1 s 2 s 0 s b 3 s b 4 s 5 é equivlente o utómto finito determinístico seguinte, q b 0 q 2 q 3 q 1 b b b b q 4 q 5 b cujo estdo inicil q 0 corresponde o utómto ddo poder estr inicilmente, sem que tenh consumido qulquer símbolo, em {s 0,s 1,s 3 }. δ ({s 0,s 1,s 3 },) = {s 1,s 2,s 3 } = q 1 δ ({s 0,s 1,s 3 },b) = {s 1,s 4 } = q 2 δ ({s 1,s 2,s 3 },) = {s 1,s 2,s 3 } δ ({s 1,s 2,s 3 },b) = {s 1,s 4 } δ ({s 1,s 4 },) = {s 1,s 2 } = q 3 δ ({s 1,s 4 },b) = {s 1,s 3,s 5 } = q 4 δ ({s 1,s 2 },) = {s 1,s 2 } δ ({s 1,s 2 },b) = {s 1 } = q 5 δ ({s 1,s 3,s 5 },) = {s 1,s 2,s 3 } δ ({s 1,s 3,s 5 },b) = {s 1,s 4 } δ ({s 1 },) = {s 1,s 2 } δ ({s 1 },b) = {s 1 }

7 TRANSIÇÕES POR (AFND-) 49 o qul não é o AFD minímo (com menor número de estdos e que não encrv). O AFD minímo equivlente os nteriores é o seguinte: b q 0 b q 1 q 2 b q 3 b Mis dinte vmos estudr um resultdo que nos permite verificr se um ddo AFD é ou não é o AFD minímo que reconhece um dd lingugem. Por enqunto, tente convencer-se, neste cso, d necessidde de cd um ds trnsições efectuds. Pr isso note que se plvr dd não pertencer {bb,} tem lgum imeditmente pós um bloco mximl de b s em número ímpr e nesse cso terá que terminr em. Exercício 3.6. Consider o utómto finito com trnsições por, ({s 0,s 1,s 2 }, {,b,c},δ,s 0, {s 2 }) com seguinte função de trnsição δ: b c s 0 {s 1,s 2 } {s 1 } {s 2 } s 1 {s 0 } {s 2 } {s 0,s 1 } s 2 ) Apresente o digrm que descreve o utómto. b) Clcule o fecho- de cd estdo. c) Determine tods s plvrs com comprimento 3 ceites pelo utómto. d) Determine um utómto finito determinístico completo equivlente.

8 Cpítulo 4 Expressões Regulres e Autómtos Finitos 4.1 Expressões Regulres Embor os utómtos finitos permitm crcterizr de um modo finito um dd lingugem, muits vezes é mis conveniente ter um que descrição declrtiv dos pdrões ds plvrs que constituem um dd lingugem. No cso ds lingugens ceites por utómtos finitos vmos ver que els podem ser descrits por expressões regulres. Vrintes dests expressões são usds em váris plicções computcionis como expnsão de nomes de ficheiros em UNIX: ls *.c em procur de plvrs em comndos como o grep ou nvegdores WWW nlisdores lexicis (lex) de compildores ou processdores de lingugens nturis: ex. números decimis, identificdores, plvrs chve, etc. Exemplo 4.1. A lingugem L 1 = {x {0,1} x tem 2 ou 3 ocorrêncis de 1, não sendo s dus primeirs consecutivs } pode ser descrit por: L 1 = {0} {1}{0} {0}{1}{0} ({1}{0} {ɛ}) ou simplificndo, podemos representr lingugem L 1 pel expressão (10 + ɛ)

9 4.1. EXPRESSÕES REGULARES 51 Exemplo 4.2. A lingugem L 2 = {x {0,1} x contém 000} pode ser descrit por: L 2 = {0,1} {000}{0,1} ou simplificndo, podemos ssocir L 2 expressão: (0 + 1) 000(0 + 1) Qulquer expressão regulr r represent um lingugem que se design por L(r). Definição 4.1. O conjunto ds expressões regulres sobre um lfbeto Σ e o conjunto ds lingugens por els descrits são definidos indutivmente por: 1. ɛ é um expressão regulr sobre Σ, e descreve lingugem {}; i.e L(ɛ) = {} 2. é um expressão regulr sobre Σ, e descreve lingugem ; i.e L( ) = 3. Se Σ então é um expressão regulr sobre Σ, e descreve lingugem {}; i.e L() = {} 4. Se r e s são expressões regulres sobre Σ que descrevem s lingugens L(r) e L(s), então (r + s), (rs) e (r ) são expressões regulres sobre Σ, e descrevem L(r) L(s), L(r)L(s) e L(r) respectivmente;i.e L((r + s)) = L(r) L(s), L((rs)) = L(r)L(s) e L((r )) = L(r). 5. As expressões regulres sobre Σ e s lingugens por els descrits são tods e pens s obtids por 1-4. Um lingugem diz-se lingugem regulr se e só se é descrit por um expressão regulr. Exemplo 4.3. Sej Σ = {0, 1}. expressão regulr lingugem descrit (0 +1) {0,1} (0 ) {,0,00,000,0000,00000,...} ((0 )(11)) {11,011,0011,00011,000011, ,...} ((01) ) {,01,0101,010101, , ,...} ((0 +1) ) {,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,...} ((1 )(0((0 +1) ))) {0,10,01,00,000,100,010,001,110,101,011,...} = {x x tem lgum 0}

10 4.1. EXPRESSÕES REGULARES 52 Pel definição de expressão regulr, fcilmente se concluí que o conjunto ds lingugens regulres sobre um lfbeto Σ contém, {ɛ}, {} pr Σ e é fechdo pr conctenção, reunião e fecho de Kleene. No entnto, iremos ver que nem tods s lingugens são regulres. Por exemplo, lingugem {0 n 1 n n 1} não o é. Usndo um convenção idêntic à plicd expressões ritmétics envolvendo som, produto e potencição, podemos brevir s expressões retirndo prêntesis desnecessários, como ilustrdo n Figur 4.1. As regrs de precedênci pr s operções + (união), conctenção e (fecho de Kleene) correspondem às usds ns expressões ritmétics pr dição, multiplicção e potencição, respectivmente. Isto é, precedênci é fecho de Kleene > conctenção > união. A vntgem d introdução dest simplificção é clrmente ilustrd pelos exemplos ddos n Figur 4.1. (r + s) r + s ((r + s) + t) r + s + t (r(st)) rst (r(s + t)) r(s + t) ((rs) + (rt)) rs + rt ( ) ((r ) ) (r ) (((r )(s )) ) (r s ) (0 +1) 0 +1 ((0 )(11)) 0 11 (((0 )(11)) + ((10)1)) ((01) ) (01) ((1 )(0((0 +1) ))) 1 0(0 +1) (((0 +1) )((00)((0 +1) ))) (0 +1) 00(0 +1) ((((0 +1) )((00)0)) + (((01) )(01))) (0 +1) (01) 01 Figur 4.1: Expressão regulr e brevitur respectiv Exemplo 4.4. Mis lguns exemplos de lingugens de lfbeto Σ = {0,1} e de expressões regulres que s descrevem.

11 4.1. EXPRESSÕES REGULARES 53 lingugem expressão regulr {0,00,000} {000,00000} ( ) {0 3n+1 n N} 0(000) {w Σ w não tem 1 s e tem número pr de 0 s} (00) {w Σ w tem pelo menos um 1 depois de cd 0} (01 +1) Exemplo 4.5. Pr cd um ds lingugens seguintes vmos determinr um expressão regulr que represent. Sej A = {x {0,1} x tem pelo menos um 11 entre cd pr de 0 s} Num plvr de A, se ocorrer um 0 tem de ocorrer 11 seguir. Temos então expressão regulr ( ) Ms, excepto pr o 0 mis à direit. Então, temos que A = L(( ) (ɛ )) Sej B = {x {,b} x que tem um número pr de s} Se um plvr de B tiver um tem necessrimente outro. Temos então que: B = L((b +b) ) Note que se um plvr tiver número pr de s, e esse número não for zero, então plvr pode ser vist como um sequênci de b s e de plvrs em L(b ). Por exemplo, pr bbbbbbbbbbbbbbb tem-se seguinte decomposição b }{{} bbbbb }{{} bbbbbbbbb }{{} }{{} }{{} L(b ) L(b ) L(b ) L(b ) L(b ) Sej C = {x {0,1} x não tem subplvr 111} Num plvr de C, se houver um 1 ou um 11 tem de hver pelo menos um 0. Isto é, C = L((0 + 0 (1 + 11)(0 + (1 + 11)) 0 ))

12 4.1. EXPRESSÕES REGULARES 54 Sej D = {x {0,1} x não tem subplvr 00} Num plvr de D, à direit de um 0 tem de hver um 1. Temos então expressão (01 + 1). Ms plvr pode terminr em 0. Fic, então, D = L((01 + 1) (0 + ɛ)) Sej R, lingugem dos números decimis rcionis em Σ = {0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9,,.} Pr os dígitos temos expressão regulr: digito = ( ). E, R = L((ɛ + )digito + (.digito + + ɛ)) Exercício 4.1. Melhorr expressão obtid no exemplo nterior pr lingugem R, pr que não existm 0 s à esquerd não significtivos Equivlênci de expressões regulres Sej Reg Σ o conjunto ds expressões regulres sobre Σ e sej relção binári em Reg Σ ssim definid: r s sse s lingugens descrits por r e s são iguis,i.el(r) = L(s) quisquer que sejm r,s Reg Σ. Pode verificr-se que é um relção de equivlênci (reflexiv, simétric e trnsitiv. Diz-se que dus expressões regulres são equivlentes se e só se s lingugens por els descrits são iguis. Exercício 4.2. Mostrr que é de equivlênci. Proposição 4.1. Quisquer que sejm s expressões regulres r, s e t de lfbeto Σ tem-se: