1. Conceito de logaritmo

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Logritmos Prof.: Rogério Dis Dll Riv

2 Logritmos 1.Conceito de logritmo 2.Antilogritmo 3.Consequêncis d definição 4.Sistems de logritmos 5.Proprieddes dos logritmos 6.Mudnç de bse

3 1. Conceito de logritmo Lembremos que no estudo de equções e inequções exponenciis, feito nteriormente, só trtmos dos csos em que podímos reduzir s potêncis à mesm bse. Se quisermos resolver equção 2 x = 3, sbemos que x ssume um vlor entre 1 e 2, pois 2 1 < 2 x = 3 < 2 2, ms com os conhecimentos dquiridos té qui não sbemos qul é esse vlor nem o processo pr determiná-lo. A fim de que possmos resolver este e outros problems, vmos inicir gor o estudo de logritmos. 3

4 1. Conceito de logritmo Definição Sendo e b números reis e positivos, com 1, chm-se logritmo de b n bse o expoente que se deve dr à bse de modo que potênci obtid sej igul b. Em símbolos: se, b, 0 < 1 e b > 0, então: R x log b = x = b 4

5 1. Conceito de logritmo Em log b = x, dizemos: é bse do logritmo, b é o logritmndo, x é o logritmo. 5

6 1. Conceito de logritmo Exemplos 1 ) log 8 = 3, pois 2 = 8 o 3 2 o ) log3 = 2, pois 3 = ) log 5 = 1, pois 5 = 5 o ) log 1= 0, pois 7 = 1 o o ) log4 8 =, pois 4 = ( 2 ) = 2 = o ,2 ( ) 6 ) log 25 = 2, pois 0,2 = = 5 =

7 1. Conceito de logritmo Com s restrições imposts (, b, 0 < 1 e b > 0), ddos e b existe um único x = log b. A operção, pel qul se determin o logritmo de b (b R e b > 0) num dd bse ( R e 0 < 1), é chmd logritmção e o resultdo dess operção é o logritmo. R 7

8 2. Antilogritmo Sejm e b números reis positivos com 1; se o logritmo de b n bse é x, então b é o ntilogritmo de x n bse. Em símbolos, se, b, 0 < 1 e b > 0, então: R log b = x b = ntilog x 8

9 2. Antilogritmo Exemplos = = o 1 ) ntilog3 2 9, pois log = = o 2 ) ntilog1 3, pois log o 3 ) ntilog 2( 2) =, pois log2 = 2 9

10 2. Antilogritmo Exemplo 1: Clcule pel definição os seguintes logritmos: 1 ) log2 8 b) log 4 8 c) log 32 0,25 10

11 2. Antilogritmo Exercício 1: Clcule pel definição os seguintes logritmos: x x 3 ) log2 = x 2 = 2 = 2 x = 3 = x = = x = x = x 3x 2 b) log x x 1 5 2x 5 = x = = = c) log0,25 32 (0,25) x = 5 x =

12 3. Consequêncis d definição Decorrem d definição de logritmos s seguintes proprieddes pr 0 < 1, b > 0. 1 o ) O logritmo d unidde em qulquer bse é igul 0. log 1= 0 2 o ) O logritmo d bse em qulquer bse é igul 1. log = 1 12

13 3. Consequêncis d definição 3 o ) A potênci de bse e expoente log b é igul b. log b = b 4 o ) Dois logritmos em um mesm bse são iguis se, e somente se, os logritmndos são iguis. log b = log c b = c 13

14 3. Consequêncis d definição Exercício 2: Clcule o vlor de: log 5 ( ) 2 ( ) log2 5 3 log2 5 ) 8 = 2 = 2 = 5 3 = log3 4 1 log3 4 b) 3 = 3 3 = 3 4 = 12 14

15 4. Sistems de logritmos Chmmos de sistem de logritmos de bse o conjunto de todos os logritmos dos números reis positivos em um bse (0 < 1). Por exemplo, o conjunto formdo por todos os logritmos de bse 2 dos números reis e positivos é o sistem de logritmos n bse 2. Entre infinidde de vlores que pode ssumir bse e, portnto, entre infinidde de sistems de logritmos, existem dois sistems de logritmos prticulrmente importntes, que são: 15

16 4. Sistems de logritmos ) sistem de logritmos decimis é o sistem de bse 10, tmbém chmdo sistem de logritmos vulgres ou de Briggs (Henry Briggs, mtemático inglês ( ), quem primeiro destcou vntgem dos logritmos de bse 10, tendo publicdo primeir tábu (tbel) dos logritmos de em 1617). Indicremos o logritmo deciml pel notção log 10 x ou simplesmente log x. 16

17 4. Sistems de logritmos b) sistem de logritmos neperinos é o sistem de bse e (e = 2,71828 número irrcionl), tmbém chmdo de sistem de logritmos nturis. O nome neperino vem de John Npier, mtemático escocês ( ), utor do primeiro trblho publicdo sobre teori dos logritmos. O nome nturl se deve o fto de que no estudo dos fenômenos nturis gerlmente prece um lei exponencil de bse e. Indicremos o logritmo neperino pels notções log e x ou ln x. Em lgums publicções tmbém encontrmos s notções Lg x ou L x. 17

18 5. Proprieddes dos logritmos 1 o ) Logritmo do produto Em qulquer bse (0 < 1), o logritmo do produto de dois ftores reis positivos é igul à som dos logritmos dos ftores. Em símbolos: Se 0 < 1, b > 0 e c > 0, então ( ) log b c = log b + log c 18

19 5. Proprieddes dos logritmos Demonstrção Fzendo log b = x, log c = y e log (b.c) = z, provemos que z = x + y. log log log x b = x = b z ( b c) = z = b c y z x y z x+ y c = y = c = = z= x + y 19

20 5. Proprieddes dos logritmos Observção Est propriedde pode ser estendid pr o cso do logritmo do produto de n (n 2) ftores reis e positivos, isto é: Se 0 < 1 e b 1, b 2, b 3,, b n ( ) log b b b b = log b + log b + log b + log b n n R 20

21 5. Proprieddes dos logritmos Exemplos ( ) ( ) o 1 ) log 3 4 = log 3 + log o 2 ) log = log 2 + log 3 + log

22 5. Proprieddes dos logritmos 2 o ) Logritmo do quociente Em qulquer bse (0 < 1), o logritmo do quociente de dois números reis positivos é igul à diferenç entre o logritmo do dividendo e o logritmo do divisor. Em símbolos: Se 0 < 1, b > 0 e c > 0, então b log = log b log c c 22

23 5. Proprieddes dos logritmos Demonstrção Fzendo log b = x, log c = y e log (b/c) = z, provemos que z = x - y. log log log x b = x = b x y z z x y c = y = c = = z = x y y b z b = z = c c 23

24 5. Proprieddes dos logritmos Exemplos o 2 1 ) log5 = log5 2 log53 3 o ) log = log( 2 3) log5 = log2 + log3 log5 5 o 2 3 ) log = log2 log 3 5 = log2 log3 + log5 3 5 = log2 log3 log5 ( ) [ ] 24

25 5. Proprieddes dos logritmos Cologritmo Chm-se cologritmo de um número b (b Re b > 0), num bse ( R e 0 < 1), o oposto do logritmo de b n bse. Em símbolos: Se 0 < 1 e b > 0, então colog b = log b 25

26 5. Proprieddes dos logritmos Exemplos o 1 ) colog 5 = log o ) colog2 = log2 3 3 o 2 3 ) log = log2 log3 = log2 + colog3 3 26

27 5. Proprieddes dos logritmos 3 o ) Logritmo d potênci Em qulquer bse (0 < 1), o logritmo de um potênci de bse rel positiv e expoente rel é igul o produto do expoente pelo logritmo d bse d potênci Em símbolos Se 0 < 1, b > 0 e α R, então log b α = α log b 27

28 5. Proprieddes dos logritmos Demonstrção Fzendo log b = x e log b α = y, provemos que y = α. x. log log b = x = b = ( ) = y = α x = = x α y x y α x α y α b y b 28

29 5. Proprieddes dos logritmos Exemplos 1 ) log 2 = 5 log 2 o o = 5 = 5 2 ) log 2 log 2 log 2 3 o ) log2 = log 4 23 = 4 log

30 5.1. Observções As proprieddes ( ) 1 ) log = log + log b c b c b = c 2 ) log logb log α 3 ) logb = α log b c válids com s devids restrições pr, b e c, nos permitem obter o logritmo de um produto, de um quociente ou de um potênci, conhecendo somente os logritmos dos termos do produto, dos termos do quociente ou d bse de potênci. 30

31 5.1. Observções Notemos impossibilidde de obter o logritmo de um som ou de um diferenç por meio de regrs nálogs às dds. Assim, pr encontrrmos log (b + c) e log (b - c) devemos, respectivmente, clculr inicilmente (b + c) e (b c). 31

32 5.1. Observções As expressões que envolvem somente s operções de multiplicção, divisão e potencição são chmds expressões logrítmics, isto é, expressões que podem ser clculds utilizndo logritmos, com s restrições já conhecids. Assim, por exemplo, expressão A = α c n β b * * em que, b, c R +, α, β R e n N, pode ser clculd plicndo logritmos. 32

33 5.1. Observções Vej o exemplo bixo: α n α n b b A = log A = log β β c c ( α ) n log A = log b logc α n log A = log + log b logc α log A = log + logb logc 1 log A = α log + logb β logc n 1 n β β β 33

34 5.1. Observções Exercício 3: Desenvolv, plicndo s proprieddes dos logritmos (, b e c são reis positivos): 2b ) log2 = log 2 (2 b) log2 c = c = log 2 + log + log b log c = = 1+ log + log b log c b = 3 b 3 c = b) log log ( ) log c = log + log b log c = = 3log + 2log b 4log c

35 5.1. Observções Exercício 3: Desenvolv, plicndo s proprieddes dos logritmos (, b e c são reis positivos): 3 3 ( 2 b c ) 2 = = c) log log log b c ( ) = b + c = 3 2 log log log = log log b log c = 1 = 3log 2log b log c 2 35

36 5.1. Observções Exercício 4: Qul é expressão cujo desenvolvimento logrítmico é: 1+ log log b 2log c (, b e c são reis positivos) log log b 2log c = = log 2 + log (log b + 2log c) = = + = 2 log 2(2 ) (log2 b log 2 c ) = = 2 log 2(2 ) log 2( bc ) 2 bc = log2 2 A expressão é 2 bc 2 36

37 6. Mudnç de bse Há ocsiões em que logritmos em bses diferentes precism ser convertidos pr um únic bse conveniente como, por exemplo, n plicção ds proprieddes opertóris. Vejmos o processo que permite converter o logritmo de um número positivo, em um cert bse, pr outro em bse conveniente. 37

38 6. Mudnç de bse Se, b e c são números reis positivos e e c diferentes de 1, então tem-se: log b = log log c c b 38

39 6. Mudnç de bse Demonstrção Consideremos log b = x, log c b = y e log c = z e notemos que z 0, pois 1. Provemos que x = y/z. log log log c c x b = x = b ( ) x y z x y b = y c = b c = = b = c zx= y x= z = z c = y z 39

40 6. Mudnç de bse Exemplos o 1 ) log35 convertido pr bse 2 fic: log 5 2 log35 = log 2 3 o 2 ) log27 convertido pr bse 10 fic: log 7 10 log27 = log 10 2 o 3 ) log100 3 convertido pr bse 10 fic: log 3 l 10 = = og 3 = 1 log log100 3 log

41 6. Mudnç de bse Exercício 5: Sbendo que log e, 30 3 = log30 5 = b clcule log Notndo que 2 = e 10 =, temos: log log30 log log30 30 log30 3 log30 5 = = = = log log30 30 log30 3 log b = 1 41