EAD Nº 8 - ÁLGEBRA LOGARITMOS

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1 EAD Nº 8 - ÁLGEBRA LOGARITMOS INTRODUÇÃO : A invenção (ou descobert) dos logritmos pelos mtemáticos contribuiu decisivmente pr o desenvolvimento d Astronomi, d Biologi, d Economi e de outrs ciêncis que desde o século XVI, époc do surgimento dest ferrment lgébric, erm objeto de preocupções de vários pesquisdores. Afinl, estávmos vivendo o Renscimento Europeu, um dos períodos mis férteis do desenvolvimento rtístico e científico do mundo ocidentl. O nscimento dos logritmos ocorreu no momento em que os mtemáticos resolvim equções exponenciis. Conforme vimos, equção x 8 é fcilmente resolvid se x 4 ftorrmos o número 8, e obteremos. Como nest iguldde de potêncis s bses são iguis, então obrigtorimente teremos x = 4, que de fto é riz d equção. Porém, se o resolvermos um equção desse tipo chegrmos à iguldde x, veremos que não existe vlor rcionl de x que stisfç. Porém, como 7 e 4 8, não é difícil percebermos que o vlor de x que resolve equção dd é um número irrcionl situdo entre e 4. Pr chegrmos tl vlor de x será necessário desenvolvermos um nov teori lgébric, ssunto deste cpítulo, que é teori dos logritmos. DEFINIÇÃO : Ddos os números reis, b e x, tis que 0 < e b> 0. dizemos que o logritmo de b n bse é igul x, se e somente se x-ésim potênci de for igul b. É clro que qulquer definição lgébric escrit em um língu, como o Português, o Espnhol, o Inglês, ou qulquer outr, não é fvorável à noss compreensão, simples mortis que somos. Por isso, se utilizrmos lingugem lgébric, mis diret e mis simples, entenderemos melhor o que foi escrito no prágrfo nterior. Então definição de logritmo, cujo símbolo lgébrico é log, vem ser : Ddos, b e x R 0 < e b > 0, log b = x x b Se utilizrmos ess definição, poderemos escrever que : ) log 6 = ) log = ( lembre-se que ) OBSERVAÇÃO : O símbolo, que signific se e somente se, pode ser lido d esquerd pr direit ou d direit pr esquerd. Assim, é indiferente escrevermos ntes dele o logritmo e depois potênci, como ntes potênci e, pós, o logritmo.

2 EXERCÍCIO : Complete s frses, utilizndo definição de logritmo : ) log ; 4) ; 4 ) log ; ) ; ) log ; 6) 0, Resp.:( ) 4 6; ) 4; ) 4 4 6) ; 4) 04 log 4 04=; ) 000 log 0000= ; 6) 0,0 log 0, 0,0= ). NOMENCLATURA : A sentenç que nos define logritmo de um número rel nos mostr dus operções, logritmção e potencição (qulquer um dels só existe se outr existir tmbém) entre s quis há o símbolo cujo significdo é o que cbmos de escrever sobre existênci de tis operções. N verdde, tis operções são inverss, os elementos que s compõem possuem nomes conforme operção que estão sendo referidos, e esses nomes são: log b = x x = b logritmção operções inverss potencição bse bse ntilogritmo b potênci logritmo x expoente O ntilogritmo tmbém pode ser chmdo de logritmndo. Chmmos de Sistem de Logritmos em um cert bse o conjunto dos logritmos de todos os números positivos nest bse. As bses mis importntes são bse dez e bse e, onde e é um número irrcionl proximdmente igul,7l8. Os logritmos n bse dez são representdos somente pelo símbolo log b, sem especificr bse, e os de bse e por lnb, logritmo neperino ou logritmo nturl de b.

3 EXEMPLO DE CÁLCULO DE UM LOGARITMO : log 9 4 = x. Vmos gor, utilizndo definição, obter o vlor de um logritmo : log 9 4. Como não sbemos o vlor deste logritmo, vmos chmá-lo de x, e escreveremos x Se utilizrmos definição, poderemos firmr que : log 9 4 = x 9 4. Obtemos então um equção exponencil. Bst procurrmos su solução : 9 x x x 4 ( ) Conclusão : log 9 4 =. Então x = x =. EXERCÍCIOS : Clcule os seguintes logritmos (usndo definição): ) log 04 ; ) log 6 ; ) log 0, 6 ; 4) log 0, ; ) log 0, ; 6) log 6 4 ; 7) log ; 8) log ; 9) log 0,000 ; 0) log 0 0. Resp.: ) 0 ; ) -4 ; ) -4 ; 4) - ; ) - 6) 6 ; 7) - 6 ; 46 8) ; 9) -4 ; 0) 0,7. CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DOS LOGARITMOS : N definição, vimos que um logritmo somente existe se os logritmndo for positivo e bse for positiv e diferente de um. Isto signific que não é possível obter um

4 número rel que sej igul log(-), ou log (x+), ou ind log x, pois s condições de existênci dos logritmos não form obedecids. Em resumo, somente existe log b se tivermos 0 < vlor do logritmo pode ser qulquer, negtivo, nulo ou positivo. e b > 0. Vej que o EXEMPLOS : Obtenh os vlores de x pr os quis existem os seguintes logritmos: ) log (x-6) Pel definição, o ntilogritmo deve ser positivo, ou sej : x 6 > 0. Resolvendo inequção obtid, teremos x >. Logo, existe o logritmo ddo pr qulquer vlor rel de x tl que x >. ) log x4 8 Novmente, pel definição, bse do logritmo deve ser positiv e diferente de, ou ind 0 < x-4 existe pr vlores reis de x tis que 4 < x 4 x. 4 x. Logo, o logritmo ddo ) log 6 x (x + 9) A definição nos diz que o ntilogritmo deve ser positivo e bse positiv e diferente de. Então isso nos remete à resolução do sistem de inequções simultânes seguir. A solução será obtid pel interseção ds resoluções ds inequções, um vez que mbs devem ser stisfeits o mesmo tempo : x + 9 > 0 x > - e 0 < 6-x - x Assim, o este logritmo existe pr vlores reis de x tis que - < x < e x -. 4

5 EXERCÍCIOS : Resp.: Obtenh s condições de existênci dos seguintes logritmos : ) log (x+6); ) ln(x+); ) log (x x) ; 4) log x6 4 ; ) log (4x+6) ; 6) log x 4 (x+4) ; 7) log x 4 (x-4) ; 8) log x (x 6x) ; 9) log (x 6x 8). x 4 ) x>- ; ) x > - ; ) x<0 ou x> ; 7 4) <x ; 6) 4<x ; 7) x>4 ; 8) x>6 ; 9) x<- ou x>4. ) Impossível PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS : A definição nos lev lgums conseqüêncis que são s proprieddes iniciis dos logritmos, desde que todos eles existm : ) O logritmo de, em qulquer bse, é igul zero: log = 0 0. ) O logritmo d própri bse é igul : log =. ) O logritmo d potênci d bse é igul o expoente : log n = n n = n. 4) O logritmo de b, n bse, é igul o expoente de pr que se obtenh b : log b x b, pois b log b = x (por substituição) log b = b.

6 EXEMPLOS : Clculr os seguintes logritmos : ) log = 0 (propriedde ) ) log0 = (propriedde ) ) log 000 = log 0 = (propriedde ) log 4) = (propriedde 4) EXERCÍCIOS : Obtenh os vlores ds expressões : ) log 4 ; ) log 7 ; ) log ; 4) log 0, 64 ; ) log0,00; 6) log 6 ; 7) log 8 ; 8) 6 log ; 6 9) ln e ; 0 ) L = Resp.: log ln e log0 log 0,0 log 0. ) 6 ; ) ; ) ; 4) -6 ; ) - ; 6) - ; 7) ; 8) ; 9) ; 0) 0. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS : Conhecids s proprieddes iniciis, estudemos s proprieddes opertóris dos logritmos. Ests proprieddes relcionm os logritmos às operções fundmentis. No início deste cpítulo foi visto que os logritmos contribuírm com o desenvolvimento ds Ciêncis, e são s proprieddes seguir que justificm tl utilidde, pelo fto de simplificrem operções, substituindo s potencições por multiplicções, rdicições por divisões. 6

7 ) Logritmo de um produto : O logritmo, em qulquer bse, de um produto é igul à som dos logritmos dos ftores, n mesm bse, desde que os logritmos envolvidos existm. Ou sej : log (b.b ) = log b + log b Demonstrção : Se fizermos log b = x e log b = y, definição nos grnte que x = b e que y = b. Então, se multiplicrmos membro membro ests dus últims igulddes, teremos : x. y x y = = b. b, pois, n multiplicção de potêncis de mesm bse, repetimos bse e sommos os expoentes,e se tivermos um iguldde, o logritmo do primeiro membro é igul o logritmo do segundo, desde que estejm n mesm bse. Logo, podemos escrever que : x y log (b.b ) = log Assim fic demonstrd propriedde. = x + y = log b + log b x ) Logritmo de um quociente : O logritmo, em qulquer bse, de um quociente é igul o logritmo do numerdor menos o logritmo do denomindor, n mesm bse, e desde que os logritmos existm. Isto é : = b log = log b - log b b Demonstrção : Anlogmente à demonstrção d propriedde nterior, como x = b e b, se fizermos divisão membro membro dests igulddes, teremos : x y = x y = b, pois n divisão de potêncis de mesm bse, repetimos bse e subtrímos os expoentes b e podemos tmbém escrever que log x y = log b. Portnto, log b b b = x y, e ssim b teremos : log = log b - log b, e propriedde fic demonstrd. b 7

8 ) Logritmo de um potênci : O logritmo, em qulquer bse, de um potênci qulquer, é igul o produto do expoente dess potênci pelo logritmo d bse d potênci, n mesm bse inicil do logritmo, desde que os logritmos existm. Ou sej : log (b n ) = n. log b Demonstrção : n log (b ) = log (b.b.b.b...b) = log b + log b log b = n. log b, e temos propriedde demonstrd. n. vezes n vezes EXEMPLOS DE APLICAÇÃO : Pssemos gor utilizr tudo o que foi visto sobre logritmos em questões lgébrics e em plicções prátics deste ssunto em outrs áres do conhecimento: ) Sbendo que log = m, log = p e log = r, clcule os logritmos seguir : ) log 0 Se ftorrmos o número 0, teremos 0 =.., então : log 0 = log (..) = log + log + log = m + p + r 7 b) log 8 Ftoremos os elementos d frção. Teremos então : 7. log = log = log + log - log = 8 = log +. log -. log = p + r - m c) log 70 Ftoremos o rdicndo e trnsformemos o rdicl em um potênci: log 4 70 = log (..) = log (.. ) = 4 = log 4 + log + log 4 log = + log + log = = 4m p r = 4m p r 8

9 ) Se log = 0,00 e log = 0,477, clcule : ) log 6 log 6 = log (.) = log + log = 0,00 + 0,477 = 0, 778 b) log 0 log = log = log 0 log = 0,00 = 0, c) log log log( ) = log ( ) 7 = log + log - log = = log log log = 0,00.0,6990.0,477 = = 0, ,494-0,86 = 0,9 EXERCÍCIOS : ) Se log = 0,0 e log = 0,477, clculr os seguintes logritmos : 7 ) log ; b) log 4 ; c) log ; d) log ( 4 ) ; 0 e) log,6 ; f) log 60 ; g) log 0, ; h) log 4 ; 0 i) log 0,00000 ; j) log 6.. Resp.: ),0 ; b),7; c) -0,76 ; d) 0,4 ; e) 0,6; f) 0,889 ; g) -0,699 ; h) 0,4 ; i) -, ; j) 0,796. 9

10 ) Sbendo que log x m, obtenh log x log = log x = -. log x = - m x Obs. : Dizemos que log log x = colog x, e ssim definimos cologritmo x do número positivo x n bse positiv e diferente de. MUDANÇA DE BASE : Como firmmos no início deste ssunto, s bses 0 e e definem respectivmente os sistems deciml e nturl de logritmos, e estes são os sistems mis importntes ns plicções dest ferrment. A bse 0, como veremos mis à frente, está té tbeld. Porém, há momentos em que necessitmos obter o logritmo de um número em um bse diferente dests dus, e, pr isso, não é preciso que tenhmos tbel dest outr bse. Se fosse ssim, terímos que possuir infinits tbels logrítmics. Pr conseguirmos o logritmo de um número em qulquer bse, recorreremos à fórmul de mudnç de bse logrítmic, que é : log c b = log log b c Demonstrção : Suponhmos conhecidos os logritmos n bse e desejmos clculr logritmos n bse b. Então, temos log b e desejmos conhecer log c b. Então escrevemos : log b = x x log c b = y c y = b = b x c y log x = log c y x. log = y log c x = y. log c Se substituirmos x e y pelos seus vlores n últim iguldde, teremos : log b = log c b. log c log c b = log b,como querímos demonstrr. log c 0

11 EXEMPLO : Conhecidos log = 0,0 e log = 0,477, clculr : log 44 Est questão pede o logritmo de um número n bse, e é dd bse 0. Pr isso, devemos utilizr fórmul de mudnç de bse : log 44 = log 44 log = 4 log. log. = 4 log log log log = 4 log log 0 0, 477 log = 4. 0, 0. 0, =,, 0, 76 0, 477 log0 log 0, 477 0, 0 76, EXERCÍCIOS : ) Sbendo que log = 0,0 e log = 0,477, clculr : ) log ; b) log 8 ; c) log 6 ; d) log 6 8 ; e) log Resp.: ),8 ; b),89 ; c),449 ; d) 0,87 ; e) -, ) Sbendo que log b = m, clcule log b, com e b positivos e diferentes de. Resp.: log b log log b m

12 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS : Um equção é chmd logrítmic se su vriável prticipr de lgum ntilogritmo ou de lgum bse logrítmic de su composição. Pr resolvermos um desss equções, devemos recorrer à definição dos logritmos, lgum de sus proprieddes ou à fórmul de mudnç de bse. Há csos em que é necessário mudr de vriável. EXEMPLOS : Resolver em R s seguintes equções logrítmics : ) log 6 (x ) = Se utilizrmos definição de logritmo, poderemos escrever x- = 6 x = 6 x = 4 x = 4. Porém, não podemos nos esquecer d condição de existênci dos logritmos que, neste cso é : x > 0 x > x >. Como 4 >, e condição de existênci está stisfeit, então o Conjunto 4 Verdde d equção é V = { }. ) log ( x ) x A definição nos diz que : x + = x x - x = 0 x = -, que não stisfz condição de existênci de bse ser positiv. x = 4, stisfz condição de existênci d bse e do ntilogritmo Portnto, V = {4}. ) log log 4 log (x-6) = 0 A resolução dest equção exige plicção d definição mis de um vez : ª plicção : log 4 log (x-6) = 0 0 log 4 log (x-6) = ª plicção : log (x-6) = 4 log (x-6) = 4 ª plicção : x 6 = 4 x 6 = 6 x = x = Como condição de existênci fic stisfeit, então V = { }

13 4) (log x) - log x = 0 Se fizermos mudnç de vriável log x = y, teremos seguinte equção de º gru nest vriável y - y = 0, cujs rízes são ssim obtids : 4..( ) 9 y=. y = log x = x = 0 =00 y = - logx = - x = 0 = 0 Como os dois vlores de x stisfzem definição, temos : V = {,0} 0 ) log ( x ) + log ( x ) = Se plicrmos propriedde que diz que som de logritmos de mesm bse é igul o logritmo do produto dos nti-logritmos, teremos : log ( x )( x+) =, e se plicrmos definição, obteremos equção de º gru : (x-).(x +) = x x 6 = x - x = 0, cuj solução é : 44 4 x=. x = x = que não stisfz x >. que stisfz x >. Portnto, V = { } 6) x = 6, sbendo que log = 0,0 e log = 0,477 Se dus expressões são iguis, seus logritmos num mesm bse tmbém serão. x Então, temos : log log 4 (x-). log = 4. log (x-). 0,477 = 4. 0,0 x = x = 4,4 V = { 4,4 },04 0,477 x =, 4

14 EXERCÍCIOS : ) Resolv em R s seguintes equções : Resp.: ) log( x - 0 ) = ; b) ln(x-e) = ; c) log (x+) = -; d) log (x 4 ) 4 x ; e) ) log x log x 4 ; f) 8 logx ; g) (log x 6log x 9 0 ; h) log 0, (log 9 x ) ; i) log(log(logx)))=0 ) 0 ; b) e ; c) ; d) -7. ; e) 0 ; f) ; g) 7 ; h) ; i) ) Obtenh o Conjunto Solução ds equções seguir : ) + log ( x + ) = log ( + x ) ; b) log 7x 4) log ( x ) ; ( x x c) log x ) log ( x ) ; d) log ) log log 6 ( 4( 4 4 e) log(x ) log( x ) log0; f) log(x-4) + log(x+4) =.log ; x g) 4. Resp. ) S={ }; b) S={ } ; c) S={ 6} ; d) S={ }; e) S={ -0, 0}; f) S={ } ; g) S={,967}. = 7, sbendo que log = 0,00 e que log = 0,

15 EXEMPLO : Resolv o sistem de equções : x y = 48 log x - log y = D ª equção, temos que x = 48 + y, e ª equção ficrá sendo : 48 y log ( 48 y) - log y = log y 48 y y 48 + y = 4y y = 48 y = 6 Como x y = 48, então x - 6 = 48, logo x = 64. Ou sej : V = {(64,6)}. EXERCÍCIOS : Resolv os seguintes sistems : x + y = 0 x 4 y = 7 ) b) log x + log y = log ( x+) log y =.log.log x +.log y = 7 log x = 4 - log 4 y c) d) 4.log x log y = 0 x.y = 8 Resp. : ) (0,00),(00,0) ; b) (,) ; c) ( 0,00) ; d) (, ).) 4 FUNÇÃO LOGARÍTMICA : Tod função de vriável x que pode ser escrit n form função logrítmic de bse positiv e diferente de. De cordo com definição de logritmo, devemos ter x positivo. y = f(x) = log x é chmd

16 Se plicrmos definição de logritmo de um número à função logrítmic, poderemos y escrever : x y = log x, e, como função exponencil y = x é bijetor, el possui função invers, e ess invers é função logrítmic y = log x. Já sbemos que s representções gráfics de dus funções inverss são curvs simétrics em relção o gráfico d função identidde f(x) = x, pois el é igul à su invers. Vejmos os seguintes exemplos : ) y = log x (simétric d função y = x em relção à Identidde) ) y = log x (simétric d função y = ( ) x em relção à Identidde ) Podemos perceber que qundo bse é mior que, função logrítmic é crescente, curv se proxim cd vez mis do eixo-y, pr vlores cd vez menores de y, conforme x se proxim do zero à su direit, o Domínio d função é R *, e su Imgem é R. Se bse estiver entre 0 e, função logrítmic é decrescente, curv se proxim cd vez mis do eixo-y,pr vlores cd vez miores de y, conforme x se proxim do zero pel direit, o seu Domínio é R * e su Imgem é R. 6

17 Por outro ldo, pr que o gráfico sej obtido com mior precisão, é conselhável que sej montd um tbel com vlores ddos convenientemente à vriável independente, e os correspondentes vlores d função. Vej os exemplos seguir : EXEMPLOS : Representr grficmente s seguintes funções e dê seu Domínio : ) f (x) = log ( x ) b) y = + log ( x ) 7

18 EXERCÍCIOS : Trçr os gráficos ds funções : ) y =.log x ; b) f(x) = -log 4( x ) ; c) f(x) = log x ; d) f(x) = log x log. Resp.: ) 0 Resp.: b) 8

19 Resp.: c) 00 Resp.: d) INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS : Tod inequção cuj vriável pertenç lgum logritmndo ou lgum bse é chmd de equção logrítmic. Pr resolver um dests inequções, lém d condição de existênci, devemos tentr pr bse de logritmos que inequção se refere, e lembrr que se bse é mior que inequção se mntém pr os ntilogritmos, porém, se el estiver entre 0 e, o sentido d inequção se inverte o comprrmos os ntilogritmos. 9

20 EXEMPLOS : Resolv s inequções em R : ) log (x 6) 4 A condição de existênci nos diz que x + 6 > 0 x > -6 x > - Além disso, inequção pode ser escrit : log 4 (x 6) log 4 6 Como bse 4 é mior que, o sentido d inequção se mntém pr os ntilogritmos, e escrevemos : x + 6 < 6 x + 6 < 6 x < 0, e ssim teremos um interseção de intervlos pr Conjunto Verdde, e então : V = { x R - < x < 0 }. b) log (4x 0) - Condição de existênci : 4x 0 > 0 x >, e inequção pode ser escrit : log (4x 0) log 9. Como bse se encontr entre 0 e, e o sentido d inequção se inverte pr os ntilogritmos, escrevemos : 4 x 0 ( ) 4x 0 9 4x 0 9 4x 9 x. 4 Logo interseção entre os dois intervlos será o Conjunto Verdde procurdo : 9 V = {x R x }. 4 EXERCÍCIOS : Resolv s seguintes inequções em R : ) ln (x- e) > ; b) log(x-) 0 ; c) log (x ) + log (x- ) < ; d) log 0, x - log 0,(4x ) 0 ; e) log 6x < ; f) log (x ) - log x 4 -. Resp.: ) x > e ; b) x ; c) <x ; d) x ; e) x ; 4 6 f) 4<x<. 0

21 SISTEMA DECIMAL DE LOGARITMOS : Você já deve ter percebido que os logritmos que mis utilizmos em nossos exercícios form os de bse dez. Isto não foi por cso. Há muits clculdors eletrônics que disponibilizm os vlores destes logritmos. Porém, muito ntes dels, já existim s tábus logrítmics decimis que bordremos seguir : Todo logritmo deciml de um número rel positivo possui crcterístic e mntiss. A crcterístic é su prte inteir e mntiss é prte frcionári deciml. Então, se log x =,08 crcterístic do logritmo é, e su mntiss é 08. Pr obtermos crcterístic do logritmo deciml de um número, devemos escrevê-lo entre s dus potêncis inteirs de 0 que mis se proximm dele. Exemplos : ) log 7 log 0 < log 7 < log 00 < log 7 < log 7 = = + 0,--- crcterís tic ; ) log 6 log <log6<log 0 0<log 6< log 6 = 0+0,--- crcterís tic 0; ) log 0,0 log 0,0 < log 0,0 < log 0, - < log 0,0 < - log 0,0 = - + 0,- crcterístic = -; 4) log 48,44 log 00 < log 48,44 < lo g 000 < log 48,44 < log 48,44= = + 0,--- crcterís tic ; ) log 0,00087 log 0,000 < log 0,00087 < log 0,00-4 <log 0,00087 < - log 0,00087 = ,--- crcterístic = -4. Podemos dizer que, o logritmo de um número mior que tem crcterístic igul o número de lgrismos d prte inteir menos, e do logritmo de um número entre 0 e é um número negtivo cujo módulo é o número de zeros que ntecedem o primeiro lgrismo significtivo do número ddo. A mntiss, sempre positiv, é fornecid pel tbel presentd n próxim págin. Nel constm s mntisss, com 4 css pós vírgul,dos logritmos decimis dos números de zero cem:

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24 EXEMPLOS : ) Clculr os logritmos seguintes, usndo tábu : ) log 4 = (crcterístic :, mntiss : 0,46) = + 0,46=,46 b) log 40 = (crcterístic :, mntiss : 0,46) = + 0,46=,46 c) log,4 = (crcterístic : 0, mntiss : 0,46) = 0 + 0,46 = 0,46 d) log 0,4 = (crcterístic : -, mntiss : 0,46)= - + 0,46 = -0,89 e) log 0,004 = (crcterístic : -, mntiss : 0,46) = = -,89 f) log 76, = (crcterístic :, mntiss : 0,88) = + 0,88 =,88 g) log 98 = (crcterístic :, mntiss : 0,99) = + 0,99 =,99 ) Clculr s expressões com o uso d tábu de logritmos : ),8 Fçmos x =,8 log x = log,8 = log,8 = log, 8 = 0,6.,07 log x = 0,664 (crcterístic:0, mntiss :664) x = 4,6 b) 0,47,4 Sej x = 0,47,4 log x = log 0,47,4 = log 0,47 - log,4 log x = log 0,47 log, 4 = 0,6667. (-+0,40) 0,4048 log x = 0,6667. (-0,497) 0,4048 = - 0,7 - + = - + 0,887 (crcterístic: -, mntiss : 0,887) x 0,94 EXERCÍCIOS : Clculr o vlor ds seguintes expressões numérics :,8,46 ),47, 48 ; b) 0, 04 ; c), 6,7 ; d) 4 8, 0,84 4 ; e)

25 Resp.: ) 640,7 ; b) 0, 896; c) 99,48 ; d) 0,667 ; e),86. APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS : No início deste texto vimos que ferrment lgébric dos logritmos tem grnde utilidde em vários rmos d Ciênci. Apresentremos seguir lgums de sus plicções : ) A quntidde de álcool residul no sngue de um pesso, decorrids n hors pós ingestão de cchç, é obtid pel função pel função f(n) =.( ) n. Qul será o tempo que um motorist deverá esperr pr dirigir seu veículo, se o limite máximo permitido de álcool no sngue pr lguém estr pto pr sentr-se o volnte é 0,8 grms por litro? Como f(n) = 0,8 0,8 =. 0, n 0,4 = 0, n log 0,4 = log 0, n log 0,4 = n. log 0, - + 0,60 = n. ( - + 0,6990) -0,979 = -0,00. n n = 0, 979 0, 0 =,0 hors, ou proximdmente hor e 0 minutos. ) A iguldde que permite clculr o totl de um únic plicção de dinheiro, decorrido o tempo n meses, um tx mensl é dd por T(n) = C.( + i) n, onde i é igul à tx escrit n form deciml e C é o vlor do Cpitl inicil. Então, em quntos meses, o cpitl de R$ 8 000,00 ger o totl de R$ 7 684,0, à tx mensl de %? T(n) = 7 684, ,0 = ,0 n,49 =,0 n log,49 = log,0 n n. log,0 = log,49 n.0,0086 = 0,88 n = 0,88 0,0086 meses.

26 EXERCÍCIOS : ) Clcule o juro d plicção de R$ 4 00,00 plicdos à tx de,% o mês durnte, nos. b) Ache o totl d plicção (cpitl + juros), ou Montnte, se o cpitl plicdo foi igul R$ 6 000,00, durnte 0 bimestres à tx mensl de 0,8%. b) Cert substânci rdiotiv se desintegr conforme função M(t) = M 0.9, wt, onde t é o tempo em nos, w é um constnte pr cd substânci e M(t) é mss residul pós o tempo t. Se tivermos M(0) = 600g e M o = 000g, clcule o vlor de w. c) Em Físico-Químic define-se ph de um solução do seguinte modo : Dd um solução qulquer temos ph = log ( ), onde ph signific concentrção de Hidrogênio em H íons-grm por litro d solução. Então, se H =,. 0 8, clcule seu ph. d) A intensidde de um terremoto costum ser medid n Escl Richter. O número obtido deve estr entre 0 e 9 e é clculdo com plicção d seguinte fórmul: I = log E, E 0 onde I é intensidde do terremoto, E é energi liberd pelo terremoto em kwh e E 0 é sempre igul 7. 0 kwh. ) Clcule energi liberd no terremoto cuj intensidde n Escl Richter é 7,. ) Se intensidde do terremoto for crescid de unidde por qunto Energi liberd ficrá multiplicd? Resp.: ) R$ 47,79 ; b) R$ 49 4, ; c) 7,97 ; 9 d) : 7.0 kwh ; :0 0 ). 6