Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte B

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1 Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl 5 CPES FUNÇÕES Prte B Prof. ntônio Murício Medeiros lves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez

2 UNIDDE FUNÇÕES PRTE B. FUNÇÂO DO SEGUNDO GRU - FUNÇÃO QUDRÁTIC.. Definição: Um equção d form y f() c com e 0 é chmd de função qudrátic em. Dependendo do vlor de, práol poderá ter um ds forms mostrds io: O gráfico d função qudrátic f c é representdo por um curv ert, chmd práol. Se o coeficiente d função for mior do que zero, >0, práol present concvidde voltd pr cim, se < 0 práol present concvidde voltd pr io. Em mos os csos práol é simétric em torno de um ret verticl prlel o eio y. Ess ret de simetri cort práol em um ponto chmdo de vértice (V). Eemplos de função do segundo gru: f 5, onde, 0 e c 5. f, onde, e c. f, onde, 0 e c 0..

3 .. Vértice O Vértice é um ponto de ordend máim ou um ponto de ordend mínim (Ponto de Máimo ou Ponto de Mínimo), sendo sciss do vértice dd por v e ordend dd por f c é ddo pelo ponto V,. y v. Logo o vértice d práol Se 0 então pr v função tem seu vlor mínimo ddo por y v Se 0 então pr v função tem seu vlor máimo ddo por y v.. Rízes Os zeros ou rízes de um função qudrátic são os vlores de que nulm função, ou sej, são os pontos onde ordend é nul, f()= y = 0. Pr se oter s rízes de um função qudrátic f c resolvese equção c 0, plicndo fórmul de Bháskr c. ssim otemos s rízes e. Lemrmos que: c é chmdo de discriminnte d equção ( delt). Se 0 função present dus rízes reis e diferentes, e. Se 0 função present dus rízes reis e iguis, =. Se 0 função não tem zero rel.

4 .. Estudo do sinl d função Estudr o sinl de um função y = f() signific determinr os vlores reis de que tornm função: positiv (y> 0), negtiv (y <0) ou nul (y = 0). Devemos considerr três csos, de cordo com o vlor do coeficiente e do discriminnte : Podemos seguir regr: entre s rízes sinl contrário o de, for ds rízes o mesmo sinl de.

5 Eemplo: Estudr o sinl d função f. plicndo Bháskr em 0 temos: c Logo práol cort o eio ds scisss em e, e como 0 concvidde d práol é voltd pr cim Estudndo o sinl d função trvés do método prático de esoço do gráfico temos: Qundo Qundo ou y 0 ou y 0 Qundo y 0 Eemplo: Dd função f Clculndo o vértice: f, temos, e c. Clcule o vértice e constru o gráfico. 5

6 v. y v y v, sendo que c: c.. Portnto o vértice será, Construindo o gráfico: triuindo vlores pr : f V.. 6 Pr y y 0 y y y. 5 (,5). 0 (,0) 0.0 (0, ). (, ). (, ). FUNÇÃO RECEIT E LUCRO QUDRÁTICS: N prte de Funções, vimos como oter função receit qundo o preço er constnte. gor vmos oter função receit qundo o preço pode ser modificdo de cordo com demnd do produto. 6

7 Eemplo : função demnd de um produto é P 0 e função custo é C 0. ) Otenh função receit e o preço que mimiz. B) Otenh função lucro e o preço que mimiz. Solução: ) função receit é dd por R P, se P 0, sustituindo em R, otemos: R (0 ) 0 0, ssim receit é um função qudrátic de e seu gráfico é um práol de concvidde voltd pr io (<0). Portnto o vlor de que mimiz receit é ddo pel sciss do vértice 0 5. Conseqüentemente, o preço é ddo pel função ( ) procur ou de demnd P ) função lucro é dd por L() R() C(), logo L() 0 (0 ) 9 0, o que mostr que o função lucro tmém é um função qudrátic. ssim, o vlor de que mimiz o 9 lucro é ddo por, 5. ( ) O correspondente preço é P 0 0,5 5, 5. Eemplo: Um compnhi de televisão co estim que com milhres de ssinturs, o fturmento e o custo mensis(em milhões de dólres) são: R() 0, e C() 95. Encontre o número de ssinntes pr o qul o fturmento é igul o custo, ou sej, o ponto de lucro zero. Solução: Sej L() R() C() função lucro, então, L() ( 0, ) (95 ), 7

8 L() 0, 0 95 (o gráfico d função qudrátic será um práol de concvidde voltd pr io). Os pontos nos quis o fturmento (receit) se igul os custos correspondem o lucro zero. Dest form, precismos resolver 0, Determinndo s rízes ou zeros: 0 0 ( 0,)( 95) 0 6,, 7,6 6, 59, logo ( 0,) 0,,0 e 8, (são os pontos onde práol intercept o eio ). Os pontos nos quis o fturmento se igul o custo ocorrem qundo compnhi tem 00 ou 80 ssinntes. Entre estes dois vlores compnhi será rentável (lucro positivo), conforme mostr o gráfico io. Retirdo do livro Economi, dministrção e Contilidde Mtemátic plicd, Lrry Goldstein et l. Eemplo: s funções custo e receit (fturmento) são dds pelo gráfico io. O custo pr se produzir uniddes de um determindo produto é C() dólres e o fturmento otido pel vend de uniddes é R() dólres. 8

9 ) Qul o vlor do fturmento e do custo de produção e vend de 0 uniddes do produto? R(0)=800 e C(0)=00, logo receit ou fturmento é de U$ 800,00 e o custo é de U$ 00,00. ) Pr que nível de produção o custo é de $00? Pr qundo são produzids 0 uniddes c) Em que intervlo de produção present lucro? L=R-C, então há lucro qundo são produzids de 0 60 uniddes do produto.. FUNÇÃO EXPONENCIL Relemrndo lgums proprieddes ds potêncis de se positiv e epoente rcionl:. :.y.. y 0 y y / / Um função eponencil é qulquer função n qul regr especific vriável independente como um epoente. Um função eponencil tem form f, onde 0 e, sendo f : *. Esss restrições são importntes, pois pr 0 e negtivo, não eistiri, ou sej, não terímos um função em. 9

10 .. Equções e Inequções Eponenciis seguir lguns eemplos de resolução de equções e inequções eponenciis: ) Resolv s equções 9, 7, 9 ) 9 9 mesm se Logo solução d equção é ) 7 / e 7 S., então / / 6 mesm se. Logo solução d equção é S. 6 c) 9 9 e logo ' 0 0 e ' Logo solução d equção é S,0. ) Resolv s inequções 0 000, ) , 9. Como s ses são iguis e miores que,. Logo o conjunto solução é S /. mesm se ' 0

11 ) 9 9, se, então, pois s ses são iguis, positivs e menores que. Logo o conjunto solução é / S. c) 9 I II nlisndo I temos: (pois s ses são iguis e miores que ). gor nlisndo II temos: 9 (pois s ses são iguis e miores que ). Nesse cso solução será I II. Vejmos no esoço do gráfico: º º I II I II Solução Logo o conjunto solução é / S

12 .. Gráfico d Função Eponencil Função Decrescente qundo 0 Função Crescente qundo O gráfico de um função eponencil é chmdo de curv eponencil e, como pode ser oservdo cim, pss pelo ponto 0,. lém disso, o gráfico não toc o eio e não tem pontos no e qudrntes. O domínio dess função é, ou sej: D f e imgem é *, ou sej, Im f *. Podemos oservr que pr todo do eio. temos 0, logo o gráfico d função fic cim Eemplo:. Constru o gráfico ds funções: ) f triuindo vlores pr f ,00 0,007 0, 0,

13 ) f triuindo vlores pr : f ,5 0,5 0,007 0,065

14 7. Verifique se s funções f, f 0,8 e f ou decrescentes. são crescentes ) f é crescente, pois se é mior do que, ) f 0,8. é decrescente, pois se é mior do que zero e menor do que, 0 0,8. 7 c) f 7 7 7, logo função é crescente, pois... Modelo de crescimento e decrescimento eponencil: O modelo mtemático que deu origem função eponencil é conhecido como modelo de crescimento eponencil. De modo gerl, se tivermos um grndez com vlor inicil y 0 e que cresç um t igul k por unidde de tempo, então, pós um tempo, medido n mesm unidde de K, o vlor dess grndez y será ddo por: y y 0 k Se k>0 crcteriz crescimento, e k<0 crcteriz decrescimento. Eemplo: Um pesso deposit R$ 500,00 n cdernet de poupnç, menslmente, são creditdos juros de % sore o sldo. Sendo que fórmul do montnte (cpitl+rendimento), pós meses é M()=500(+0,0) clcule: ) o montnte pós no (meses): M=500(,0) =6, ) o rendimento no primeiro no: Rendimento=montnte-cpitl =6,- 500=, Eemplo : O número de hitntes de um cidde é hoje igul 7000 e cresce um t de % o no. ) Qul o número de hitntes dqui 8 nos? ) qul o número de hitntes dqui 0 nos?

15 0 k y y Y 0 =7000 k=t=%=0,0 ) y=7000(+0,0) 8 =7000(,0) 8 =8867 hitntes. ) y=7000(,0) 0 =6990 hitntes. Eemplo: Um utomóvel novo vle R$0.000,00. Sendo-se que ele sofre um desvlorizção de % o no. Qul seu vlor dqui 5 nos? Desvlorizção t negtiv k=-0,0 y=0000(-0,0) 5 =0000(0,97) 5 =7.7,68. Se o mesmo utomóvel sofresse um desvlorizção de 5% o no, qul seu vlor dqui 5 nos? K=-0,5 y=0000(-0,5) 5 =0000(0,85) 5 =887,0. FUNÇÃO LOGRITMIC Relemrndo seguir lgums proprieddes dos logritmos: c log c log 0 log log n n log log log c c log log.b log log B log log log B n log log B n.log log B log B logc log log B c log log ou log.log 5

16 função f log, onde * logrítmic de f : * vlores positivos poderão ser triuídos. e é chmd de função. Esss restrições são importntes, pois somente.. Equções logrítmics Veremos seguir eemplos de resolução de equções logrítmics: Eemplos:. Resolv s seguintes equções: ) 5 log Semos que 5 0. Temos: log Verificmos que , logo solução é S. 5 ) 6 log Semos que 6 0. Temos: log ou 6 (plicndo Bhskr). Verificmos que , logo é um riz , logo 6 é outr S,6. riz. O conjunto solução é c) log Semos que 0 e. Temos: log ou. Verificmos que Pr Pr é flso e é verddeiro. Logo é riz d equção e o conjunto solução é S. 6

17 5.) Gráfico d Função Logrítmic Função Crescente > Função Decrescente 0 < < O gráfico de um função logrítmic pss sempre pelo ponto,0. lém disso, o gráfico não toc o eio y e não tem pontos no e qudrntes. OBS.: Podemos oservr que função logrítmic é o inverso d eponencil. Eemplo: Constru o gráfico ds funções f e f ) f triuindo vlores pr :. f 0, 5 0, 5 0 7

18 ) f triuindo vlores pr : f 0 8