FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DA COMPUTAÇÃO

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1 Ministério d Educção Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curitib Gerênci de Ensino e Pesquis Deprtmento Acdêmico de Mtemátic FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DA COMPUTAÇÃO Nots de ul pr o Curso de Tecnologi d Informção Prof. Pul Frncis Benevides 6

2 Conteúdo AULA FUNÇÕES CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO.... NOTAÇÃO DE FUNÇÃO.... DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO.... FUNÇÃO COMPOSTA....6 FUNÇÃO INVERSA Determinção d Função Invers... AULA FUNÇÃO POLINOMIAL FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU Função liner Gráfico de um função polinomil do o gru Determinção de um função prtir do gráfico Crescimento e decrescimento de um função polinomil do o gru Estudo do sinl d função polinomil do o gru Zero de um função polinomil do o gru Qudro de sinis d função polinomil do o gru.... INEQUAÇÕES DO O GRAU..... Resolução de inequções do o gru..... Sistems de inequções do o gru..... Inequção-produto e inequção-quociente... AULA.... FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU..... Gráfico de um função qudrátic..... Concvidde..... Zeros de um função qudrátic Vértice d prábol Gráfico de um prábol Estudo do sinl d função qudrátic INEQUAÇÕES DO O GRAU Resolução de inequções do o gru Sistems de inequções do o gru..... Inequção-produto e inequção-quociente... AULA.... FUNÇÃO EXPONENCIAL.... REVISÃO DE POTENCIAÇÃO..... Potêncis com epoente nturl..... Potêncis com epoente inteiro...

3 Prof Pul Frncis Benevides.. Potêncis com epoente rcionl..... Potêncis com epoente rel Proprieddes.... EQUAÇÕES EXPONENCIAIS..... Resolução de equções eponenciis Resolução de equções eponenciis com o uso de rtifícios FUNÇÃO EXPONENCIAL Gráfico d função eponencil no plno crtesino Crcterístics d função eponencil INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Resolução de inequções eponenciis... 9 AULA.... FUNÇÃO LOGARÍTMICA.... DEFINIÇÃO DE LOGARITMO.... CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO.... PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS.... COLOGARITMO.... MUDANÇA DE BASE....6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Gráfico d função logrítmic no plno crtesino....7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS... AULA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO DE UM ARCO: Conseqüêncis: Função seno e função cosseno Gráfico ds funções seno e cosseno Função seno: Conclusões Seno é função ímpr Função cosseno Conclusões Cosseno é função pr TANGENTE DE UM ARCO Conseqüêncis..... Função tngente..... Gráfico d função tngente..... Conclusões..... Tngente é um função ímpr.... COTANGENTE DE UM ARCO..... Conseqüêncis..... Função cotngente..... Gráfico d função cotngente..... Conclusões..... Cotngente é um função ímpr.... SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO..... Função secnte e cossecnte...

4 Prof Pul Frncis Benevides.. Gráfico d função secnte..... Conclusões..... Gráfico d função cossecnte..... Conclusões.... RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS..... Usndo o teorem de Pitágors..... Usndo semelhnç entre triângulos..... Identiddes trigonométrics Processo pr demonstrr identiddes... 7 AULA POLINÔMIOS FUNÇÃO POLINOMIAL: POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO: POLINÔMIOS IDÊNTICOS: VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS: Adição: Subtrção: MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS: DIVISÃO DE POLINÔMIOS: Método dos Coeficientes Determinr Método de Descrtes Divisão de Polinômio por Binômios do o Gru: Teorem do Resto: Teorem de D Alembert Divisão de P() por ( + b), AULA Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: EQUAÇÕES POLINOMIAIS: Decomposição de um polinômio em ftores do o gru: Rízes Múltipls: Teorem ds Rízes Rcionis:... 7 AULA MATRIZES DEFINIÇÃO: NOTAÇÃO DE UMA MATRIZ ALGUMAS MATRIZES ESPECIAIS Mtriz Retngulr: é mtriz onde m n Mtriz Colun: é tod mtriz do tipo m Mtriz Linh: é tod mtriz do tipo n Mtriz Qudrd: Mtriz Digonl Mtriz Esclr: Mtriz Identidde: Mtriz Zero ou Nul: Mtrizes Iguis... 76

5 Prof Pul Frncis Benevides 7.. Mtrizes Oposts: Mtriz Trnspost: Proprieddes d mtriz trnspost Mtriz Simétric OPERAÇÕES COM MATRIZES: Adição e Subtrção de Mtrizes Proprieddes: Produto de um mtriz por um esclr: Proprieddes: Produto de um mtriz por outr: Proprieddes: Comuttividde de Multiplicção de dus mtrizes: Mtriz Involutiv Mtriz nti-simétric: MATRIZ INVERSA Definição Proprieddes MATRIZ ORTOGONAL: MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: POTÊNCIA DE UMA MATRIZ: MATRIZ PERIÓDICA: MATRIZ IDEMPOTENTE: MATRIZ NIHILPOTENTE:... 8 AULA DETERMINANTES NOÇÃO: NOTAÇÃO: CÁLCULO DE UM DETERMINANTE: ABAIXAMENTO DA ORDEM DE UMA MATRIZ QUADRADA: Menor Complementr Complemento Algébrico ou Coftor: REGRA DE LAPLACE: PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: REGRA DE CHIO: PROCESSO DE TRIANGULAÇÃO: MATRIZ INVERSA - COMPLEMENTOS Mtriz Singulr: Mtriz Não-Singulr: Proprieddes d Mtriz Invers: Operções elementres: AULA SISTEMAS LINEARES EQUAÇÕES LINEARES: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR: SISTEMA COMPATÍVEL:... 8

6 Prof Pul Frncis Benevides 9.. Sistem Determindo: Sistem Indetermindo: SISTEMA INCOMPATÍVEL CLASSIFICAÇÃO: SISTEMAS EQUIVALENTES: Operções elementres e Sistems Equivlentes: SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO: SOLUÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: Regr de Crmer: Resolução por esclonmento de mtrizes: AULA LIMITES NOÇÃO INTUITIVA: Proprieddes:... 7 AULA LIMITES INFINITOS: Igulddes Simbólics: Tipo Som: Tipo Produto: Tipo Quociente: Tipo Potênci:... 7 AULA LIMITES TRIGONOMÉTRICOS: AULA LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS:... 8 AULA LIMITES LATERAIS:... 8 AULA ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS INTRODUÇÃO: ASSÍNTOTA VERTICAL ASSÍNTOTA HORIZONTAL FUNÇÕES CONTÍNUAS DEFINIÇÃO: AULA DERIVADAS INTRODUÇÃO: DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: DEFINIÇÃO: Outrs notções pr função derivd:

7 Prof Pul Frncis Benevides. SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; REGRAS DE DERIVAÇÃO: Derivd de função Algébric: AULA Derivd de Funções Eponenciis e Logrítmics: AULA..... Derivd de Funções Trigonométrics:... AULA....6 DERIVADAS SUCESSIVAS....7 REGRAS DE L HOSPITAL... AULA....8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS Ts de Vrição Relcionds Máimos e Mínimos Introdução:... 6 Determinção dos Máimos e Mínimos locis: Crescimento e Decrescimento de funções: Teste d Derivd Primeir:... 9 Concvidde e Teste d Derivd Segund:... 9 AULA.... INTEGRAIS.... INTRODUÇÃO:..... NOTAÇÃO:.... INTEGRAIS IMEDIATAS... AULA.... INTEGRAIS POR PARTES... AULA.... INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS... AULA INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS... 8 AULA INTEGRAL DEFINIDA: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS... AULA APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES:... AULA VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO:... 7

8 Prof Pul Frncis Benevides AULA.... VETORES.... NOÇÃO DE VETORES..... Segmento orientdo (A, A)..... Proprieddes:.... ADIÇÃO DE VETORES Regr do prlelogrmo EQUIPOLÊNCIA: Proprieddes: VETORES OPOSTOS VETORES NO PLANO CARTESIANO MÓDULO DE UM VETOR NORMA - V OBSERVAÇÕES SOBRE ADIÇÃO DE VETORES MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR Proprieddes: SOMA DE PONTO COM VETOR Proprieddes: CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES: PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO: U. V..... Proprieddes:.... PRODUTO VETORIAL: U X V.... PARALELISMO.... ORTOGONALISMO... 8

9 Prof Pul Frncis Benevides AULA - FUNÇÕES. CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO Definição : Domínio d função é o conjunto de todos os vlores ddos pr vriável independente. Definição : Imgem d função é o conjunto de todos os vlores correspondentes d vriável dependente. Como, em gerl, trblhmos com funções numérics, o domínio e imgem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mis rigor o que é um função mtemátic utilizndo lingugem d teori dos conjuntos. Pr isso, temos que definir ntes o que é um produto crtesino e um relção entre dois conjuntos. Definição : Produto crtesino: Ddos dois conjuntos não vzios A e B, denomin-se produto crtesino (indic-se: A B ) de A por B o conjunto formdo pelos pres ordendos nos quis o primeiro elemento pertence A e o segundo pertence B. A B {(, )/ A e B }. Definição : Relção: Ddos dois conjuntos A e B, dá-se o nome de relção r de A em B qulquer subconjunto de A B. r é relção de A em B r A B. Eemplo: Sejm os conjuntos A {,,,}, B {,,,6,8,} e relção r de A em B, tl que, A e B. Escrever os elementos dess relção r. Como A : (,) A B ; (,) A B ; (,) A B ; 6 (,6) A B. Então, r {(,), (,), (,), (,6)}. A r B Representção d relção por digrm. Representção d relção por sistem crtesino. 9

10 Prof Pul Frncis Benevides Obs.: Podemos observr que, num relção r de A em B, o conjunto r é formdo pelos pres (, ) em que o elemento A é ssocido o elemento B medinte um lei de ssocição (no cso, ).. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Definição : Sejm A e B dois conjuntos não vzios e f um relção de A em B. Ess relção f é um função de A em B qundo cd elemento do conjunto A está ssocido um e pens um elemento do conjunto B. Nos eercícios seguir, verifique se s relções representm função de A em B. Juntifique su respost e presente o digrm d relção. Eemplos: ) Ddos os conjuntos A {,,} e B {,,,,,}, sej relção de A em B epress pel fórmul, com A e B. (,) A B ; (,) A B ; (,) A B. Todos os elementos de A estão ssocidos elementos de B. A cd elemento de A está ssocido um único elemento de B. A B Neste cso, relção de A em B epress pel fórmul é um função de A em B. ) Ddos os conjuntos A {,,,} e B {,,,,}, sej relção de A em B epress pel fórmul, com A e B. A B - (,) A B ; (,) A B ; (,) A B. O elemento de A não está ssocido nenhum elemento de B. Neste cso, relção de A em B não é um função de A em B.

11 Prof Pul Frncis Benevides ) Ddos os conjuntos A {,,,} e B {,,6,9}, sej relção de A em B epress pel fórmul, com A e B A (,9) A B ; (,) A B ; (,) A B ; 9 (,9) A B. Todos os elementos de A estão ssocidos elementos de B. A cd elemento de A está ssocido um único elemento de B. Neste cso, relção de A em B epress pel fórmul é um função de A em B. 6 9 B ) Ddos os conjuntos A {6,8} e B {,,}, sej relção de A em B epress pel fórmul, com A e B. A B 6 ou (6,) e (6,) A B ; 8 (8,) A B. Todos os elementos de A estão ssocidos elementos de B. O elemento 6 do conjunto A está ssocido dois elementos do conjunto B. Neste cso, relção de A em B não é um função de A em B.. NOTAÇÃO DE FUNÇÃO Qundo temos um função de A em B, podemos representá-l d seguinte form: f : A B (lê-se: função de A em B ) (lê-se: cd vlor de A ssoci-se um só vlor B ) A letr f, em gerl, dá o nome às funções, ms podemos ter tmbém função g, h, etc. Num função g : R R, dd pel fórmul 8, podemos tmbém escrever g ( ) 8. Neste cso, g ( ) signific o vlor de qundo, ou g ( )6.

12 Prof Pul Frncis Benevides. DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Um função f com domínio A e imgens em B será denotd por: f : A B (função que ssoci vlores do conjunto A vlores do conjunto B ) f ( ) ( cd elemento A corresponde um único B ) O conjunto A é denomindo domínio d função, que indicremos por D. O domínio d função tmbém chmdo cmpo de definição ou cmpo de eistênci d função, serve pr definir em que conjunto estmos trblhndo, isto é, os vlores possíveis pr vriável. O conjunto B é denomindo contrdomínio d função, que indicremos por CD. É no contrdomínio que estão os elementos que podem corresponder os elementos do domínio. Cd elemento do domínio tem um correspondente no contrdomínio. A esse vlor de dmos o nome de imgem de pel função f. O conjunto de todos os vlores de que são imgens de vlores de form o conjunto imgem d função, que indicremos por Im. Note que o conjunto imgem d função é um subconjunto do contrdomínio d mesm. f : A B f ( ) D A, CD B, Im { CD / é correspondente de lgum vlor de }. Eemplos: ) Ddos os conjuntos A {,,,} e B {,,,,,}, determinr o conjunto imgem d função f : A B definid por f ( ). f ()() f ()() f ()() f ()() Im {,,,} A - - ) Dd função f : R R definid por f ( ) b, com,b R, clculr e b, sbendo que f () e f (). - A lei de formção d função é f ( ) b ou b. f () e b (i) f () e ()b (ii) De (i) e (ii), temos: b b b b e e b f ( ). B

13 Prof Pul Frncis Benevides. FUNÇÃO COMPOSTA Tome s funções f : A B, definid por f ( ), e g : B C, definid por g ( ). Note que o contrdomínio B d função f é o mesmo domínio d função g. f : A B : cd A ssoci-se um único B, tl que. g : B C : cd B ssoci-se um único z C, tl que z. Neste cso, podemos considerr um terceir função, h : A C, que fz composição entre s funções f e g : A B C g f z h h : A C : cd A ssoci-se um único z C, tl que z ( ). Ess função h de A em C, dd por h ( ), é denomind função compost de g e f. De um modo gerl, pr indicr como o elemento z C é determindo de modo único pelo elemento A, escrevemos: z g ( ) g ( f ( )) Notção: A função compost de g e f será indicd por g f (lê-se: g círculo f ) ( g f )( ) g ( f ( )) Eemplos: ) Sejm s funções reis f e g definids respectivmente por f ( ) e g ( ). Determine: ) f ( g ( )). f ( g ( )) f ( ) f ( g ( )). b) g ( f ( )). g ( f ( )) g ( )( ) g ( f ( )). ( ) c) Os vlores de pr que se tenh f ( g ( )) g ( f ( )). f ( g ( )) g ( f ( )) = =.

14 Prof Pul Frncis Benevides ) Sendo f ( ) e f ( g ( ))6 8, determine g ( ). Como f ( ), então f ( g ( )) g ( ). Como f ( g ( )) 6 8, então g ( )6 8. g ( ) 6 8 g ( ) g ( ) g ( )..6 FUNÇÃO INVERSA Definição 6: Função bijetor: A função f é denomind BIJETORA, se stisfz s dus condições bio: O contrdomínio de f coincide com su imgem, ou sej, todo elemento do contrdomínio é correspondente de lgum elemento do domínio. Cd elemento do contrdomínio de f é imgem de um único elemento do domínio. Definição 7: Diz-se que um função f possui invers.6. DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO INVERSA f se for bijetor. Cso função sej bijetor, possuindo portnto invers, é possível determinr su invers. Pr isso trocmos vriável por n lei que define função e em seguid isolmos o, obtendo lei que define função invers. É preciso pens tomr certo cuiddo com o domínio d nov função obtid. Eemplo: ) Obter lei d função invers f d função f dd por. função f. trocndo vriável por e por. isolndo. Então, é lei d função invers d função dd por. Logo: f ( ) e f ( ) ) Construir os gráficos ds funções f e coordends. f do eercício nterior, num mesmo sistem de f ( ) f ( ) Note que os gráficos ds funções f e f são simétricos em relção à ret que contém s bissetrizes do o e o qudrntes f f -

15 Prof Pul Frncis Benevides ) Determinr função invers g d função g ( ), cujo domínio é D R. função g. trocndo vriável por e por. ( ) isolndo. ( ). Logo, g : R R dd por é função invers procurd. AULA - EXERCÍCIOS ) Sej relção de A = {,, } em B = {,,,,, } definid por g() = +. Fç o digrm de g e verifique se g é um função de A em B. Em cso firmtivo escrev o conjunto imgem. ) Sej função f de D = {,,,, } em R definid por f() = ( )( ). Determine o seu conjunto imgem. ) Sejm f e g funções reis definids, pr todo o número rel não nulo, por: f ( ) 8 e g ( ) Se e b são números reis distintos tis que f() = g() e f(b) = g(b), clcule + b ) Considere função f() rel, definid por f() = e f( + ) = f(). Determine o vlor de f() ) Determine o domínio ds seguintes funções: ) f ( ) b) f ( ) c) 7 d) f ( ) 6) Sendo f ( ), e g ( ), che o vlor de f ( g()) g f. 7) Se f ( ), qul o vlor de pr que f(f()) =? 6 8) Dd função f ( ) com. clcule: ) f - () b) f - () Resposts: ) sim, Im{, } ) Im = {-,, } ) ) 9 ) ) D = R b) D = R {-, } c) D R D R, e, d) 6) 9 7) 6 8) ) b)

16 Prof Pul Frncis Benevides AULA. FUNÇÃO POLINOMIAL Definição 8: Função polinomil com um vriável ou simplesmente função polinomil é quel cuj formulção mtemátic é epress por um polinômio.. FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU A função polinomil do o gru é que tem su representção mtemátic por um polinômio de gru. Representção d função polinomil do o gru: f ( ) b, com,b R ( ). e b são os coeficientes e vriável independente. Eemplo: Em um função polinomil do o gru, f ( ), sbe-se que f () e f (). Escrev função f e clcule f. Se f é polinomil do o gru, então podemos escrever: b. Usndo os ddos do problem: f () e. Então, b b (i). f () e. Então, ()b b (ii). Resolvendo o sistem formdo por (i) e (ii): (i) b b (ii) b () b 6 Se, então b b 6. A função f é dd por f ( ) 6. Cálculo de f : f A função é f ( ) 6 e f 7... FUNÇÃO LINEAR Sej função polinomil do o gru f ( ) b. No cso de b, temos f ( ), e el recebe o nome especil de função liner. 6

17 Prof Pul Frncis Benevides Obs.: Se, em um função liner tivermos, teremos f ( ) ou, que se dá o nome de função identidde... GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU Pr construir o gráfico de um função polinomil do o gru, tribuímos vlores do domínio à vriável e clculmos s respectivs imgens. Eemplo: Construir o gráfico d função rel f dd por. Pr ordendo (,) (,) (,) (,) (,) (,) Definição 9: O gráfico d função liner ( ) é sempre um ret que pss pel origem do sistem crtesino. Definição : O gráfico d função polinomil do o gru b ( ) intercept o eio ds ordends no ponto (,b )... DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO A PARTIR DO GRÁFICO Nos eercícios bio, determine lei de formção d função f ( ) b. Eemplo: ) Determine lei de formção d função f, cujo gráfico crtesino é:

18 Prof Pul Frncis Benevides Sbendo-se que b, do gráfico, temos que: e ()b b (i). e ()b b (ii). (i) b (ii) b b b Se b, então b Logo: A função é f ( ). ) Determine lei de formção d função f, cujo gráfico crtesino é: Sbendo-se que b, do gráfico, temos que: e ()b b (i). e ()b b (ii). (i) b () b (ii) b b Se, então b b Logo: A função é f ( )... CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU Sej f função polinomil do o gru definid por f ( ) b. Podemos determinr que: i) A função f é crescente se o coeficiente ; ii) A função f é decrescente se o coeficiente. Eemplo: 8

19 Prof Pul Frncis Benevides Construir os gráficos ds funções f e g do o gru seguir: i) f ( ) ii) g ( ) i) Aumentndo os vlores tribuídos, umentm tmbém os vlores correspondentes d imgem f ( ). ii) Aumentndo os vlores tribuídos, diminuem os vlores correspondentes d imgem g ( )... ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU Definição : Estudr o sinl de um função f signific determinr pr que vlores de temos f ( ), f ( ) ou f ( ).... Zero de um função polinomil do o gru Definição : Denomin-se zero ou riz d função f ( ) b o vlor de que nul função, isto é, torn f ( ). Definição : Geometricmente, o zero d função polinomil do o gru f ( ) b,, é bsciss do ponto em que ret cort o eio. Eemplo: Dd lei de formção d função, construir o gráfico e determinr os vlores reis de pr os quis: ) ; b) e c) Podemos notr que função é decrescente, pois. O zero d função é:. Logo, ret intercept o eio no ponto de bsciss. A solução do problem é: ) f ( ) { R ; }; b) f ( ) { R ; }; c) f ( ) { R ; }. 9

20 Prof Pul Frncis Benevides... Qudro de sinis d função polinomil do o gru f ( ) b, Zero d função: b b b b f( )< f( )> b b f ( ) f( )> f( )< b b f ( ) f ( ) b f ( ) b f ( ) b f ( ) b. INEQUAÇÕES DO O GRAU Definição : Denomin-se inequção do o gru n vriável tod desiguldde que pode ser reduzid um ds forms: b ; b ; b ; b. com, b R e. Eemplo: Verificr se ( ) ( ) é um inequção do o gru. ( ) ( ) Logo, é um polinômio do o gru, então ( ) ( ) é um inequção do o gru.

21 Prof Pul Frncis Benevides.. RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO O GRAU Definição : Pr se resolver um inequção do o gru, são utilizds s proprieddes ds desigulddes, presentndo-se o conjunto verdde d inequção (conjunto solução S). Eemplos: ) Resolver inequção seguinte: ( ) ( ). Represente solução n ret rel. ( ) ( ) S{ R ; } ( ) ) Resolver inequção seguinte:. Represente solução n ret rel. 6 ( ) 6 Reduzindo os dois membros o menor denomindor comum: Simplificndo: 6 Multiplicndo por (): S{ R ; } 6.. SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO O GRAU Definição 6: O conjunto solução S de um sistem de inequções é determindo pel intersecção dos conjuntos soluções de cd inequção do sistem. Eemplo: Resolver inequção. Apresente o conjunto solução S e represente n ret rel. N verdde, resolver ess inequção simultâne é equivlente resolver o sistem: (i) (i) (ii) (ii)

22 Prof Pul Frncis Benevides (i) (ii) S{ R ; } (i) (ii).. INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE Um inequção do o gru do tipo 8 pode ser epress por um produto de inequções do o gru, ftorndo o o membro d desiguldde: 8 ( )( ). Definição 7: RESOLUÇÃO: Pr resolver um inequção-produto ou um inequção-quociente, fzemos o estudo dos sinis ds funções polinomiis do o gru envolvids. A seguir, determinmos o sinl do produto ou quociente desss funções, lembrndo s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis. Eemplos: ) Resolver inequção ( )( ). ( )( ) ( )( )( ) f() f() g() g() h() h() f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h( ) - S{ R ; ou } ) Resolver inequção. f() f() / < g() g() <

23 Prof Pul Frncis Benevides f ( ) g( ) f ( ) g( ) S{ R ; } ) Resolver inequção 9. 9 ( ) ( ) f() f() g() g() h() h() f ( ) g( ) h( ) S{ R ; ou } f ( ) g( ) h( ) - ) Determine o domínio d função. ( ) ( ) f() f() g() g() h() h() f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h( ) - D{ R ; ou }

24 Prof Pul Frncis Benevides ) Dd função f() =, determine: ) f() b) o vlor de pr que f() = ) Em um função polinomil do o gru, = f(), sbe-se que f() = e f(-) =. Escrev função f e clcule f ) Um vendedor recebe menslmente um slário composto de dus prtes: um prte fi, no vlor de R$9, e um vriável, que corresponde um comissão de 8% do totl de vends que ele fez durnte o mês. ) Epressr lei d função que represent seu slário mensl b) Clculr o slário do vendedor que durnte um mês ele vendeu R$., em produtos ) Num determindo pís, o gsto governmentl com educção, por luno em escol públic, foi de. dólres no no de 98, e de.6 dólres em 99. Admitindo que o gráfico do gsto por luno em função do tempo sej constituído de pontos de um ret: ) Obtenh lei que descreve o gsto por luno () em função do tempo (), considerndo = pr o no de 98, = pr o no de 986, = pr o no de 987 e ssim por dinte. b) Em que no o gsto por luno será o dobro do que er em 98? ) Considere s funções f e g definids em R por f() = 8 e g() = ) Ache s rízes ds funções f e g b) Sbendo que os gráficos de f e g são rets concorrentes, clcule s coordends do ponto de intersecção. 6) Resolver inequção ( ) 7) Determinr o conjunto verdde d ( ) inequção: 6 8) Resolver o sistem 9) João possui um terreno de m, no qul pretende construir um cs. Ao engenheiro responsável pel plnt, ele impõe s seguintes condições: áre destind o lzer AULA EXERCÍCIOS (piscin, churrsqueir, etc) deve ter m, e áre intern d cs mis áre de lzer devem ultrpssr % d áre totl do terreno; lém disso, o custo pr construir cs deverá ser de, no máimo, R$.,. Sbendo que o metro qudrdo construído ness região cust R$,, qul é áre intern d cs que o engenheiro poderá projetr? ) Determinr o domínio d função Resposts: ) ) 8 b) / ) f() = e f(-/) = 7 ) ) = 9 +,8 b) R$ 9, ) ) = 7 + b) ) ) 8 e b) (, 6) 6) S R 6 7) S R S R 8) 9) entre m e m ) D R

25 Prof Pul Frncis Benevides AULA. FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU Definição 8: A função f : R R dd por f ( ) b c, com, b e c reis e, denomin-se função polinomil do o gru ou função qudrátic. Os números representdos por, b e c são os coeficientes d função. Note que se temos um função do o gru ou um função constnte. Eemplo: Considere função f do o gru, em que f (), f () e f (). Escrev lei de formção dess função e clcule f (). Resolução Tome f ( ) b c, com. f () () b () c c c f () () b () c b ( i) f () () b () c b ( ii) Resolvendo o sistem formdo por (i) e (ii): (i) b (ii) b (i)(ii) 6 b A lei de formção d função será f ( ) f ()() () f ()6... GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA O gráfico de um função polinomil do o gru ou qudrátic é um curv bert chmd prábol. Pr evitr determinção de um número muito grnde de pontos e obter um bo representção gráfic, vmos destcr três importntes crcterístics do gráfico d função qudrátic: (i) Concvidde (ii) Zeros ou rízes (iii) Vértice.. CONCAVIDADE A concvidde de um prábol que represent um função qudrátic f ( ) b c do o gru depende do sinl do coeficiente :

26 Prof Pul Frncis Benevides : concvidde pr CIMA : concvidde pr BAIXO CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA.. ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Definição 9: Os zeros ou rízes d função qudrátic f ( ) b c são s rízes d equção do o gru b c, ou sej: b b c Rízes:. Considerndo b c, pode-se ocorrer três situções: b i) s dus rízes são reis e diferentes: e b ii) s dus rízes são reis e iguis (riz dupl):. iii) não há rízes reis. b. Obs.: Em um equção do o gru b c, som ds rízes é S e o produto é P tl b c que: S e P. Definição : Geometricmente, os zeros ou rízes de um função polinomil do o gru são s bsciss dos pontos em que prábol intercept o eio... VÉRTICE DA PARÁBOLA Considere s prábols bio e observe o vértice V ( V, V ) em cd um: Eio de simetri V(, ) V V V(, ) V V VÉRTICE DE PARÁBOLAS ( PARA AS DUAS). 6

27 Prof Pul Frncis Benevides Um form de se obter o vértice V ( V, V ) é: V, já que o vértice encontr-se no eio de simetri d prábol; V V b V c, já que o V foi obtido cim. Outr form de se obter o vértice V ( V, V ) é plicndo s fórmuls: b V e V... GRÁFICO DE UMA PARÁBOLA Com o conhecimento ds principis crcterístics de um prábol, podemos esboçr com mis fcilidde o gráfico de um função qudrátic. Eemplos: ) Construir o gráfico d função, determinndo su imgem. concvidde voltd pr cim. Zeros d função: ( ) e. Ponto onde prábol cort o eio : (,) Vértice d prábol: b V V (,) V Imgem: pr todo Rel Im { R ; } V ) Construir o gráfico d função, determinndo su imgem. concvidde voltd pr bio. Zeros d função:. zeros reis. Ponto onde prábol cort o eio : (,) Vértice d prábol: V V b V (,) Imgem: pr todo Rel Im { R ; } V

28 Prof Pul Frncis Benevides..6 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Os vlores reis de que tornm função qudrátic positiv, negtiv ou nul, podem ser ddos considerndo-se os csos, relciondos n tbel bio. f ( ) b c com (, b e c R e ) f ( ) pr ou f ( ) pr ou f ( ) pr f ( ) pr f ( ) pr ou f ( ) pr ou f ( ) pr f ( ) pr f ( ) rel f ( ) rel f ( ) pr f ( ) pr f ( ) rel f ( ) rel f ( ) rel f ( ) rel f ( ) rel f ( ) rel. INEQUAÇÕES DO O GRAU Definição : Denomin-se inequção do o gru n vriável tod desiguldde que pode ser reduzid um ds forms: b c ; b c ; 8

29 Prof Pul Frncis Benevides b c ; b c. com, b, c R e... RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO O GRAU Definição : Pr se resolver um inequção do o gru, são utilizds s proprieddes ds desigulddes, presentndo-se o conjunto verdde d inequção (conjunto solução S). Eemplo: ) Resolver inequção. Resolução Estudr vrição do sinl d função f ( ). Concvidde pr cim. Dus rízes reis diferentes. S{ R ; ou }. Obs: somente vlores positivos. ) Resolver inequção. Resolução Estudr vrição do sinl d função f ( ). Concvidde pr cim. Riz dupl (únic). S R. Obs: Todos os vlores são positivos ou iguis zero. ) Resolver inequção 6. Resolução Estudr vrição do sinl d função f ( ) 6. 6 rel Concvidde pr bio. Não possui zeros reis. S. Obs: Nunc se tem vlores positivos ou iguis zero. 9

30 Prof Pul Frncis Benevides.. SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO O GRAU Definição : O conjunto solução S de um sistem de inequções é determindo pel intersecção dos conjuntos soluções de cd inequção do sistem. Eemplo: 8 6 ) Resolver o sistem de inequções. Resolução (i) (ii). Resolução de (i): Estudr vrição do sinl d função f ( ) Concvidde pr cim. Dus rízes reis diferentes. - - S(i){ R ; ou }. Ret rel: - - Resolução de (ii):. S(ii){ R ; }. Ret rel: - Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii): (i) - - (ii) - (i) (ii) - S{ R ; }. ) Resolver inequção. Resolução (i) (). (ii) 6. Resolução de (i): Estudr vrição do sinl d função f ( ). Concvidde pr cim. ( ) Zeros{,}. Dus rízes reis diferentes. S(i){ R ; ou }. Ret rel:

31 Prof Pul Frncis Benevides Resolução de (ii): Estudr vrição do sinl d função g ( ) 6. Concvidde pr cim. 6 Dus rízes reis diferentes. - S(ii){ R ; }. Ret rel: Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii): (i) - (ii) - (i) (ii) - S{ R ; ou }... INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE Definição : RESOLUÇÃO: Pr resolver um inequção-produto ou um inequção-quociente, fzemos o estudo dos sinis ds funções polinomiis envolvids. A seguir, determinmos o sinl do produto ou quociente desss funções, lembrndo s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis. Eemplos: ) Resolver inequção ( )( ). Resolução f() 6 e = g() e = f() g() f ( ) g( ) f ( ) g( ) - - S{ R ; ou }.

32 Prof Pul Frncis Benevides ) Resolver inequção Resolução 6. 6 f() 6 e g() 6 6 e f() g() - - f ( ) g( ) f ( ) g( ) - S{ R ; ou ou }. ) Determine o domínio d função f ( ) Resolução 6. f só represent um número rel se. 6 f() 9 e g() 6 g() = 6 f() g() f ( ) g( ) f ( ) g( ) - 6 D { R ; ou 6}. AULA EXERCÍCIOS

33 Prof Pul Frncis Benevides ) Considere função f do gru, onde f() =, f() = e f(-) =. Escrev lei de formção dess função e clcule f(). ) Determine o vlor de m pr que prábol que represent grficmente função = + m psse pelo ponto (, 6). ) Determinr os zeros d função =. ) Sej função f() = + k. Sbendo que ess função possui dois zeros reis iguis, determine o vlor rel de k. ) A função f() = + k + 6 possui dus rízes reis, m e n, de modo que. Determine o vlor de f(-) m n ness função. 6) Determinr s coordends do vértice V d prábol que represent função f ( ). 7) Determinr e b de modo que o gráfico d função definid por = + b 9 tenh o vértice no ponto (, - ). 8) Determinr o conjunto imgem d função f() = +. 9) A função f() = 6 dmite vlor máimo ou vlor mínimo? Qul é esse vlor? ) Considerr todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igul 8 cm. Dentre esses retângulos, determinr quele que terá áre máim. Qul será ess áre? ) Determinr p de modo que função f()= p + (p ) + p ssum vlores positivos pr todo rel. ) Resolver inequção +. ) Determinr o conjunto solução d inequção +. ) Resolver inequção < +. ) Resolver inequção ) f() = f() = - 6 ) ) e - ) / ) 6) V, 7) = e b = - 8 8) Im R / 9) O vlor mínimo d função é = - / ) O retângulo que terá mior áre será o de ldos cm e cm, e áre máim será de cm. ) p R / p ) S R, ou, ) S = R ) S R ou } ) S = { R < - ou -< <} Resposts

34 Prof Pul Frncis Benevides. FUNÇÃO EXPONENCIAL. REVISÃO DE POTENCIAÇÃO AULA.. POTÊNCIAS COM EXPOENTE NATURAL Sendo um número rel e n um número nturl, com n, definimos: n. n ftores Pr n e n são definidos:. ( )... POTÊNCIAS COM EXPOENTE INTEIRO Se é um número rel não-nulo ( ) e n um número inteiro e positivo, definimos: n n... POTÊNCIAS COM EXPOENTE RACIONAL definimos: Se é um número rel positivo e m n n m... POTÊNCIAS COM EXPOENTE REAL m n um número rcionl, com n inteiro positivo, Podemos considerr que s potêncis com epoente rel têm significdo no conjunto dos números reis. Temos, por eemplo:... Proprieddes, Pr s potêncis com epoente rel são válids s seguintes proprieddes opertóris: m m n m n. n m n m n m n ( ). n ( b) n n b. ( ). b n n b n ( b ).

35 Prof Pul Frncis Benevides Eemplos ) Dê o resultdo mis simples de ( 6 ). Resolução Usndo s proprieddes, temos: 6 ) ( ) 9. ( ) Clcule o vlor d epressão Resolução ) Simplifique Resolução. ( ) 8. ) Clcule 8. Resolução Primeir resolução: Segund resolução: 8 ( ) 6. 7 ) Determine o vlor de 8, 8. Resolução 7 8, 8, 7, 8 8, ( ) 9. 6) Qul o vlor de Resolução ( ) (, )? ( ) (, ) ( ). EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ( ) 7. Definição : Chm-se equção eponencil tod equção que contém incógnit no epoente. Eemplo:

36 Prof Pul Frncis Benevides.. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Pr resolver um equção eponencil, devemos trnsformá-l de modo obter potêncis de mesm bse no primeiro e no segundo membros d equção utilizndo s definições e proprieddes d potencição. Além disso, usremos o seguinte fto: Definição 6: Se, e é incógnit, solução d equção p é p. Eemplos: ) Resolver equção. Resolução Usndo s proprieddes ds potêncis, vmos trnsformr o o e o membros d equção em potêncis de mesm bse: ( ) S. ) Um empres produziu, num certo no, 8 uniddes de determindo produto. Projetndo um umento nul de produção de %, pergunt-se: )Qul produção P dess empres t nos depois? b)após quntos nos produção nul d empres será de uniddes? Resolução ) Obs: %, Um no depois: 8,88(,)8, Dois nos depois: (8,),8 (, ) Três nos depois: (8 (, ) ),8 (, ) Produção P, t nos depois: P8 (, ) b)fzendo P, n fórmul nterior, obtemos equção: t 8(, ) Resolvendo equção: t 8(, ) t (, ). Obs:, t t t t. Desse modo, produção nul d empres será de uniddes pós nos. ) Determine o conjunto solução d equção 8 no universo dos números reis. Resolução Sbendo que 8, temos: S{}. t 6

37 Prof Pul Frncis Benevides.. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS COM O USO DE ARTIFÍCIOS Pr se resolver determinds equções eponenciis, são necessáris lgums trnsformções e rtifícios. Eemplos: ) Resolver equção. Resolução Usndo s proprieddes d potencição, vmos fzer um trnsformção n equção dd: ( ) ( ). Fzendo, temos equção do o gru em : 6 Voltndo à iguldde : : : S{,}... e. ) Determine o conjunto solução d equção. Resolução Preprndo equção, temos:. Fzendo, temos: Voltndo à iguldde : : S{}. :. Est equção não tem riz em R, pois. FUNÇÃO EXPONENCIAL, pr todo rel. Definição 7: A função f : R R dd por f ( ) (com e ) é denomind função eponencil de bse... GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NO PLANO CARTESIANO Dd função f : R R, definid por f ( ) (com e ), temos dois csos pr trçr seu gráfico: (i) e (ii). (i). 7

38 Prof Pul Frncis Benevides ) Trçr o gráfico de f ( ). f ( ) Obs.: Qunto mior o epoente, mior é potênci f ( s) é crescente., ou sej, se função (ii). ) Trçr o gráfico de f ( ). f ( ) Obs.: Qunto mior o epoente, menor é potênci, ou sej, se função f ( ) é decrescente. Com bse no gráfico, podem-se tirr lgums considerções:.. CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Sej f : R R, definid por f ( ) (com e ). Domínio d função f são todos os números reis D R. Imgem d função f são os números reis positivos Im R. A curv d função pss pelo ponto (,). 8

39 Prof Pul Frncis Benevides A função é crescente pr bse. A função é decrescente pr bse.. INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Definição 8: São inequções eponenciis quels que precem incógnits no epoente... RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Pr resolver inequções eponenciis, devemos observr dois pssos importntes: Redução dos dois membros d inequção potêncis de mesm bse; Verificr bse d eponencil, ou, plicndo s proprieddes bio. Cso (i): m n m n As desigulddes têm mesmo sentido Eemplos: ) Resolv inequção. Resolução Como, inequção pode ser escrit: Cso (i):.. S{ R ; }. ) Resolv inequção ( ). Resolução ( ) ( ) ( ) Cso (i):. Tome f ( ) f ( ) Cso (ii): m n m n As desigulddes têm sentidos diferentes S{ R ; / ou }. ) Resolv inequção Resolução 7 7 Cso (ii):. 7 (). S{ R ; }.. 9

40 Prof Pul Frncis Benevides AULA - EXERCÍCIOS ) Um cultur inicil de bctéris, reproduz-se em condições ideis. Supondo que, por divisão celulr, cd bctéri dess cultur dê origem dus outrs bctéris idêntics por hor. ) Qul populção dess cultur pós hors do instnte inicil? b) Depois de qunts hors populção dess cultur será de. bctéris? ) Resolv s equções: ) 8 7 b) 8 ) Determine o conjunto solução ds seguintes equções: ) 8. 7 b). 6 6 c) ) Se f() = + e g() =, determine pr que f(g()) =. ) Cd golpe de um bomb etri % de óleo de um tnque. A cpcidde do tnque é de m e, inicilmente, est cheio. ) Após o o golpe, qul o vlor mis próimo pr o volume de óleo que permnece no tnque? b) Qul é lei d função que represent o volume de óleo que permnece no tnque pós n golpes? 6) Resolv s inequções: ) b) X c),7 7) Determine o domínio d função Resposts: ) ) 8 bctéris b) 9 hors ) ) / b) ) ) {, } b) {, } c) {, } ) = ) ),9m b) f(n) =. (,9) n 6) ) { R /, ou, } b) { R / } c) { R / } 7) { R / }

41 Prof Pul Frncis Benevides. FUNÇÃO LOGARÍTMICA. DEFINIÇÃO DE LOGARITMO AULA Definição 9: Ddos dois números reis positivos, e b, com, eiste um único número rel de modo que b. Este número é chmdo de logritmo de b n bse e indic-se log b. Podemos então, escrever: b log ( e b ). b N iguldde log b, temos: é bse do logritmo; b é o logritmndo ou ntilogritmo; é o logritmo. Eemplos: Clculr o vlor de nos eercícios seguintes: ) log. ) log 6. 6 ) log ) log 8. 8 ) log. Obs.:.... log b signific log b. Qundo não se indic bse, fic subentendido que bse é.. CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Tome, b e m um número rel qulquer. D definição de logritmos, pode-se verificr que: O logritmo de em qulquer bse é igul zero. log, pois. O logritmo d própri bse é igul. log, pois.

42 Prof Pul Frncis Benevides O logritmo de um potênci d bse é igul o epoente. m log m, pois m. m O logritmo de b n bse é o epoente o qul devemos elevr pr obter b. b b, pois b log. log b. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS Logritmo de produto log ( ) log log (, e ). Logritmo de quociente log log log (, e ). Logritmo de potênci log m log (, e m R ). m. COLOGARITMO Cologritmo de um número positivo b num bse ( ) é o logritmo do inverso desse número b n bse. co log b log co log b log b ( e b ). b Eemplo: Sbendo que log e log b, clcule os logritmos bio, em função de e b. log log log () log log b. log 67 log 67 log ( ) log log log log b. log log log log log b.. MUDANÇA DE BASE As proprieddes logrítmics são válids pr logritmos num mesm bse, por isso, em muitos csos, é conveniente fzer conversão de logritmos de bses diferentes pr um únic bse. A seguir, será presentd fórmul de mudnç de bse. Sej: log b b. Aplicndo o logritmo n bse c em mbos os membros, obtemos: log log c log c b log c log c b log Então: c c b, ms log b.

43 Prof Pul Frncis Benevides logc b log b (, c e b ). logc Eemplos: ) Sendo log, e log,, clcule log 6. log 6 log( ) log 6 log log ) Resolv equção log log log6 7. A condição de eistênci é. Trnsformndo pr bse : log log log 7 log log log 7 log log6 log log log 7 log log log 8 7 log 8 log 6 log log,,, 7 7. log,, 6 6 stisfz condição de eistênci. Logo, o conjunto solução é:s{6}. ) Resolv equção log ( ) log ( ). Condições de eistênci são: e e. Então:. log ( ) log ( ) log [( )( )] ( )( ) não stisfz condição de eistênci ms, 6 stisfz. Logo, o conjunto solução é: S{6}.

44 Prof Pul Frncis Benevides.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função eponencil g : R R definid por g ( ) (com ) é bijetor. Nesse cso, podemos determinr su função invers. É função logrítmic definid bio. Definição : A função f : R R definid por f ( )log (com ) é chmd função logrítmic de bse..6. GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA NO PLANO CARTESIANO Como os gráficos de funções inverss são simétricos em relção à bissetriz dos qudrntes ímpres, o gráfico d função logrítmic é de imedit construção, um vez que já vimos o gráfico d função eponencil. Sej f : R R, tl que log e f : R R, tl que. Os gráficos de f e serão plotdos no mesmo plno crtesino ortogonl. (i) = = log f = GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL ( ). (ii). = = = log GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL ( ).

45 Prof Pul Frncis Benevides.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chmmos de inequção logrítmic tod inequção que envolve logritmos com incógnit precendo no logritmndo, n bse ou em mbos. Eemplos: ) Resolv inequção log ( ) log. Condição de eistênci: (i). Bse: ( ). Como bse é um número entre e, função logrítmic é decrescente e o sentido d desiguldde se inverte pr os logritmndos. (ii). A solução d inequção deve stisfzer s dus condições: (i) (ii) 7 (i) (ii) S{ R ; 7}. 7 ) Resolv inequção log ( ) log ( ). Condição de eistênci: ou (i). Condição de eistênci: (ii). Bse: ( ). A solução d inequção deve stisfzer s três condições: (i) (ii) - (iii) - (i) (ii) (iii) - - S{ R ; ou }. ou (iii). ) Suponh que o preço de um crro sofr um desvlorizção de % o no. Depois de qunto tempo, proimdmente, seu preço cirá pr cerc d metde do preço de um crro novo? (Use log,). p p (,) t p p (,8) t p p p Procur-se p, logo: 8 t

46 Prof Pul Frncis Benevides t p 8 p ( p ) t t Aplicndo log em mbos os membros, temos: log t t log ( ) log t t log ( ) log t t log log log t log t log, t,t,,9 t t,, t t O preço do crro cirá pr metde do preço do crro novo depois de nos. t AULA EXERCÍCIOS ) Resolv s seguintes equções: ) log ( ) = b) log ( ) = c) (log ) log 6 = d) log (log ) = ) Sbendo que log =, e log =,77, clcule: ) log 6 b) log c) log, d) log ) Qul o conjunto solução d equção ) log ( ) log ( ) b) log log Resposts: ) ) b) ½ c) {/9, 7} d) ) ),778 b),699 c),98 d),8 ) ) b) ) { R /, ou,, e, } ) ) S { R / } b) S { R / 6} c) S { R / } ) Determine o cmpo de eistênci d função f ( ) log ( ) log ( ) ) Resolv s inequções: ) log ( ) > log b) log ( ) > c) log ( ) + log ( ) 6

47 Prof Pul Frncis Benevides AULA 6. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. SENO E COSSENO DE UM ARCO: Tome o rco ddo n figur bio: N O P M A Seno de um rco é ordend do ponto P. sen ON MP. Cosseno de um rco é bsciss do ponto P. cos OM NP... CONSEQÜÊNCIAS: Arco pr o conceito de seno e cosseno. Pr qulquer ponto d circunferênci, ordend e bsciss nunc são menores que nem miores que. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre e, o que nos permite concluir: sen e cos.. FUNÇÃO SENO E FUNÇÃO COSSENO Função seno é função que ssoci cd rco R o número sen R, ou sen. Função cosseno é função que ssoci cd rco R o número cos R, ou cos... GRÁFICO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO Pr estudr função seno ( sen ) e função cosseno ( cos ) vmos vrir no intervlo [,].... Função seno: sen O A O 6 GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO. 7

48 Prof Pul Frncis Benevides... Conclusões O domínio d função sen é o conjunto dos números reis, isto é, D R. A imgem d função sen é o intervlo [,], isto é, sen. Tod vez que sommos um determindo vlor de, função seno ssume o mesmo vlor. Como é o menor número positivo pr o qul isso contece, o período d função sen é p. Ess conclusão pode ser obtid, tmbém, prtir do ciclo trigonométrico onde mrcmos o rco. Qundo dicionmos k o rco, obtemos sempre o mesmo vlor pr o seno, pois função seno é periódic de período. sen sen( k ), k Z (Inteiros).... Seno é função ímpr No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes os números e têm imgens simétrics em relção o eio ds bscisss. Dí result que s ordends desses pontos têm o mesmo vlor bsoluto, porém, sinis opostos. Então, sen( )sen. Qundo um função f é tl que f ( ) f ( ), pr todo do seu domínio, dizemos que f é um função ímpr. Como sen( ) sen, pr todo rel, podemos firmr que função seno é ímpr.... Função cosseno cos O A O 6 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO.... Conclusões O domínio d função cos é o conjunto dos números reis, isto é, D R. A imgem d função cos é o intervlo [,], isto é, cos. O período d função cos é p. Ess conclusão pode ser obtid, tmbém, prtir do ciclo trigonométrico onde mrcmos o rco. Qundo dicionmos k o rco, obtemos sempre o mesmo vlor pr o cosseno, pois função cosseno é periódic de período. cos cos ( k ), k Z (Inteiros). 8

49 Prof Pul Frncis Benevides...6 Cosseno é função pr No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes os números e têm imgens simétrics em relção o eio ds bscisss. Dí result que esses pontos têm mesm bsciss. Então, cos ( ) cos. Qundo um função f é tl que f ( ) f ( ), pr todo do seu domínio, dizemos que f é um função pr. Como cos ( ) cos, pr todo rel, podemos firmr que função cosseno é pr. Eemplos: ) Constru o gráfico d função sen, dndo o domínio, imgem e o período. sen sen () O Observndo o gráfico, temos: D R, Im [,], e p. ) Constru o gráfico d função cos, dndo o domínio, imgem e o período. cos Observndo o gráfico, temos: D R, Im [,], e p. O. TANGENTE DE UM ARCO Tome o rco ddo n figur bio: 9

50 Prof Pul Frncis Benevides eio ds tngentes N O P M T A ARCO PARA O CONCEITO DE TANGENTE. Tngente de um rco é ordend do ponto T (segmento AT). tn AT... CONSEQÜÊNCIAS O eio verticl, suporte de AT, é chmdo eio ds tngentes. Podemos dizer que tn só é definid se R e k ( k Z )... FUNÇÃO TANGENTE Função tngente é função que ssoci cd rco R, com k ( k Z ), o número tn R, ou tn... GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE Pr estudr função tngente ( tn ) vmos vrir no intervlo [,].,7,8 O A O 6,8,7.. CONCLUSÕES Gráfico d função tngente. O domínio d função tn é o conjunto dos números reis R, com k ( k Z ), isto é, D { R / k, k Z }. A imgem d função tn é o conjunto dos números reis.

51 Prof Pul Frncis Benevides Tod vez que sommos k um determindo vlor de, função tngente ssume o mesmo vlor. Como é o menor número positivo pr o qul isso contece, o período d função tn é p. tn ( k ) tn, k Z... TANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR Como função tngente é ímpr. tn( ) tn, pr todo rel, com k ( k Z ), podemos firmr que. COTANGENTE DE UM ARCO Tome o rco ddo n figur bio: N O B P M A C eio ds cotngentes Arco pr o conceito de cotngente. Cotngente de um rco é bsciss do ponto C (segmento BC). cot BC... CONSEQÜÊNCIAS O eio horizontl, suporte de BC, é chmdo eio ds cotngentes. Podemos dizer que cot só é definid se R e k ( k Z )... FUNÇÃO COTANGENTE Função cotngente é função que ssoci cd rco R, com k ( k Z ), o número cot R, ou cot.

52 Prof Pul Frncis Benevides.. GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE Pr estudr função cotngente ( cot ) vmos vrir no intervlo [,].,7,8 O A O 6,8,7.. CONCLUSÕES GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE. O domínio d função cot é o conjunto dos números reis R, com k ( k Z ), isto é, D { R / k, k Z }. A imgem d função cot é o conjunto dos números reis. Tod vez que sommos k um determindo vlor de, função cotngente ssume o mesmo vlor. Como é o menor número positivo pr o qul isso contece, o período d função cot é p. cot ( k ) cot, k Z... COTANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR Como cot( ) cot, pr todo rel, com k ( k Z ), podemos firmr que função cotngente é ímpr.. SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO Tome o rco ddo n figur bio: D N O P M A S Arco pr o conceito de secnte e cossecnte.

53 Prof Pul Frncis Benevides Trçndo um ret tngente à circunferênci pelo ponto P, interceptmos o eio ds bscisss no ponto S e o eio ds ordends no ponto D. sec OS. cos sec OD... FUNÇÃO SECANTE E COSSECANTE Função secnte é função que ssoci cd rco R, com k ( k Z ), o número sec R, ou sec Função cossecnte é função que ssoci cd rco R, com k ( k Z ), o número cos sec R, ou cos sec... GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE Pr estudr função secnte ( sec ) vmos vrir no intervlo [,].,, O A O 6,, Gráfico d função secnte... CONCLUSÕES O domínio d função sec é o conjunto dos números reis R, com k ( k Z), isto é, D { R / k, k Z }. A imgem d função sec é o conjunto dos números reis miores ou iguis ou menores ou iguis, isto é, Im { R / ou }. Tod vez que sommos k um determindo vlor de, função secnte ssume o mesmo vlor. Como é o menor número positivo pr o qul isso contece, o período d função sec é p. sec ( k ) sec, k Z.

54 Prof Pul Frncis Benevides.. GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE Pr estudr função cossecnte ( cos sec ) vmos vrir no intervlo [,].,, O A O 6,,.. CONCLUSÕES GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE. O domínio d função cos sec é o conjunto dos números reis R, com k ( k Z ), isto é, D { R / k, k Z }. A imgem d função cos sec é o conjunto dos números reis miores ou iguis ou menores ou iguis, isto é, Im { R / ou }. Tod vez que sommos k um determindo vlor de, função cossecnte ssume o mesmo vlor. Como é o menor número positivo pr o qul isso contece, o período d função cos sec é p. cos sec ( k ) cos sec, k Z.. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Será feito o estudo ds relções que eistem entre s funções trigonométrics, pois els têm muits plicções n trigonometri e for del. Pr s deduções ds relções, tomremos como bse o ciclo trigonométrico e um ângulo ddo. D eio ds tngentes B C eio ds cotngentes N O P T M A S Funções trigonométrics no ciclo. Podemos identificr s funções trigonométrics no ciclo, em relção o ângulo :

55 Prof Pul Frncis Benevides sen ON ; cos OM ; tn AT ; cot BC ; sec OS e cos sec OD. Anlisndo s funções no ciclo e findo inicilmente o ângulo, podemos fzer s seguintes mudnçs, pr fcilitr o entendimento ds relções trigonométrics: O unidde cossec sec BD sen tn A C cos cot F E Funções dptds no ciclo. Com s novs dptções, temos s seguintes funções: sen AB ; cos OA; tn CD ; cot OE ; sec OD e Dí tirm-se três triângulos semelhntes: OAB OCD OEF. cos sec OF. O cos B A sen O tn C O sec D Triângulos semelhntes. cossec cot F E.. USANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS sen cos ; tn sec ; cot cos sec... USANDO SEMELHANÇA ENTRE TRIÂNGULOS Com bse n figur cim, tome s seguintes proporções, dds s rzões entre os triângulos: Rzões do triângulo pr : sec sec ; cos cos tn sen sen tn. cos cos

56 Prof Pul Frncis Benevides Rzões do triângulo pr : cos sec cos sec ; sen sen cot cos cos cot. sen sen Rzões do triângulo pr : cos sec sec tn cot cot tn cos sec. tn sec ; tn Eemplos: Com bse nos três triângulos semelhntes d figur nterior, resolv os eercícios que seguem bio: ) Determine s rzões que se pede bio, do triângulo pr. tn sen ; sec cos. sec ) Determine s rzões que se pede bio, do triângulo pr. sen ; cossec cot cos. cos sec ) Determine s rzões que se pede bio, do triângulo pr. cos sec sec ; cot tn. cot.. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS A iguldde sen cos é verddeir pr qulquer pertencente os domínios ds funções seno e cosseno. Logo, el é um identidde trigonométric. Qundo temos um iguldde, só podemos ceitá-l como identidde pós um prov, ou sej, pós um demonstrção. Pr fzer um demonstrção desse tipo, podemos nos vler de qulquer ds relções dds cim, que são identiddes. 6

57 Prof Pul Frncis Benevides... Processo pr demonstrr identiddes Considerndo iguldde, levremos tods s funções envolvids pr um rzão equivlente em um dos três triângulos. Depois é só operr mbos os membros e chegr um mesm epressão. Eemplos: Nos eercícios seguintes, demonstre que s igulddes são identiddes: ) tn sen tn sen Levr do triângulo pr : tn sen tn sen sen sen sen sen cos cos sen sen sen cos cos cos sen sen (sen ) cos cos sen sen C.Q.D. (como querímos demonstrr). cos cos ) ( cot ) ( cot ) cos sec O cos B A sen O D tn C O sec cossec cot F E O cos B A sen O D tn C O sec cossec cot F E Tods s funções já se encontrm no triângulo ( cot ) ( cot ) cos sec ( cot ) ( cot ) cos sec cot cot cot cot cos sec cot cos sec (cot ) cos sec cos sec cos sec C.Q.D., bst desenvolver: 7

58 Prof Pul Frncis Benevides ) sec cos sec sec cos sec O cos B A sen O D tn C O sec cossec cot F E Levr do triângulo pr : sec cos sec sec cos sec sec sec sec sec tn tn sec tn sec sec tn tn sec (tn ) sec tn tn sec (sec ) sec tn tn sec sec C.Q.D. tn tn ) sen cos cos sec sec O cos B A sen O D tn C O sec cossec cot F E Levr dos triângulos e pr : sen cos cos sec sec sen cos sen cos sen cos sen sen C.Q.D. 8

59 Prof Pul Frncis Benevides ) cos sec sen cot sec cos O cos B A sen O D tn C O sec cossec cot F E Levr dos triângulos e pr : cos sec sen cot sec cos cos sec cos sec cot cos sec cot cot cos sec cos sec cos sec cot Obs: cos sec cot cos sec cot cot cos sec cot cot cos sec cot cos sec cos sec cot cot cos sec cot cos sec cot cot cot cot cot cot C.Q.D. AULA 6 EXERCÍCIOS ) Ddo sen = /, com << /, clculr cos. ) Pr que vlores de temos, simultnemente, sen= + e cos =? ) Ddo cos, com, clcule tg. ) Simplifique epressão tg cot g. sec cot g ) Demonstre s seguintes identiddes: ) ( + cotg )( cos ) = b) tg + cotg = tg. Cossec sen cos c) tg cos cos Resposts: 7 ) cos ) = ou = - ) tg ) sec 9

60 Prof Pul Frncis Benevides AULA 7 6. POLINÔMIOS 6. FUNÇÃO POLINOMIAL: Definição: Ddos os números reis n, n,...,,,, chmmos de polinômio n vriável tod epressão d form: n n n P( )..., n N onde n n, n- n-,...,, e são os termos e n, n-,...,, e são os coeficientes do polinômio. Observções: Se n, o epoente máimo n é dito gru do polinômio e indicmos gr(p) = n Se P() =, não se define o gru do polinômio. Eemplos: ) Assinle s epressões que representm polinômios? ( ) + + ( ) ( ) ( ) + 7 ( ) ) Em função ds vriáveis k, m ou, determinr os grus dos seguintes polinômio:. P() = k b. P() = k + m c. P() = ( ) + ( ) + 6

61 Prof Pul Frncis Benevides 6. POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO: n n n É qulquer polinômio P( )... coeficientes são nulos. em que todos os Notção: P ( ) P ) n,,..., e ( n 6. POLINÔMIOS IDÊNTICOS: n n n Ddos os polinômios P ( )... e n n n P ( ) b b... b b b, dizemos que P () é idêntico P () se, e somente se, n = b n, n- = b n-,..., = b e = b. Assim: P ( ) P ( ) b, b,..., b n n n n e b Eemplos: ) Determinr e b pr que o polinômio P() = ( ). + ( ) + b sej identicmente nulo. ) Determinr m, n e p pr que P() = (m + n ) + (m n -) + n p sej identicmente nulo. ) Clculr os vlores de m e n, de modo que + (m n) + (m + n) 6

62 Prof Pul Frncis Benevides 6 6. VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO: O vlor numérico do polinômio... ) ( P n n n, pr igul um número qulquer é:... ) ( P n n n n. N prátic, pr obter ) ( P, bst substituir por em P(). Observções: Qundo P( ) = é riz de P(). Eemplo: Verifique se os números e são rízes de P() = + 6 Como () n =, n N, P() é som dos coeficientes de P(). Eemplo: Se P() = + +, então P() = é som dos coeficientes de P(). P() é igul o termo independente de P() Eemplo: Sendo P() = c e P() = - 7, determine pr que sej riz de P(). 6. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS: 6.. ADIÇÃO: Ddos os polinômios... ) ( P n n n e... ) ( b b b b b Q n n n, som de P() com Q() é dd por: ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( ) ( b b b b Q P n n n n n n

63 Prof Pul Frncis Benevides 6.. SUBTRAÇÃO: n n n Ddos os polinômios P( )... n n n Q( ) b b... b b b, diferenç entre P() e Q() é dd por: e n n P( ) Q( ) ( n bn ) ( n bn )... ( b ) ( b ) Observção: Os polinômios P() e Q() não precism ser necessrimente do mesmo gru. Eemplos: ) Ddo os poliômios P() = e Q() = + 6 7, determine P()+Q() ) Clssificr em verddeir (V) ou fls (F) s firmções: ( ) Se P() e Q() são polinômios de mesmo gru, então P() + Q() tem sempre gru. ( ) Se P() e Q() são polinômios de mesmo gru, então P() Q() tem sempre gru ( ) Se P() tem gru e Q() tem gru, então P() + Q() tem gru 6.6 MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS: O produto dos polinômios P() e Q() é o polinômio P().Q(), obtido multiplicndo-se cd termo de P() por todos os termos de Q() e efetundo redução dos termos semelhntes. Eemplos: ) Se P() = e Q() =, então P().Q() = ) Ddos P()= + e Q() = + b, determine e b pr que P().Q()

64 Prof Pul Frncis Benevides ) Ddos P() = e Q() = + b, determinr e b, sendo P().Q() = e Q() =. 6.7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS: Ddos os polinômios A() e B(), não identicmente nulos, dividir A() por B() é obter os polinômios Q() e R() que stisfçm s seguintes condições: A() B(). R() Q() A() B().Q() + R() e R() ou gr(r) < gr(b) Observções: A() é o dividendo B() é o divisor Q() é o quociente R() é o resto Qundo R() =, dizemos que A() é divisível por B(), ou que divisão é et Temos sempre gr(q) = gr(a) gr(b) Eemplo: Usndo o Método d Chve, determine o quociente e o resto d divisão de A( ) por B ( ) 6.7. MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR MÉTODO DE DESCARTES Já vimos que, n divisão A() por B(): A() B(). R() Q() A( ) B( ). Q( ) R( ) Temos: gr( Q) gr( A) gr( B) gr( R) gr( B) Esss relções podem ser usds como recursos pr determinr os coeficientes de um polinômio em um divisão. 6

65 Prof Pul Frncis Benevides Eemplos: ) Determinr o quociente e o resto d divisão de A()= + + por B()= + + Temos: O quociente é um polinômio do primeiro gru, pois: gr(q) = gr(a) gr(b) = Logo: Q() = Como gr(r) < gr(b), sendo o divisor B() = + +, então gr(b) = e gr(r)<, isto é, o resto tem, no máimo, gru : R() = Como A() B().Q() + R(), podemos escrever. Comprndo mbos os membros, temos: Logo: Q() = e R() = ) Determinr k, de modo que + k + sej divisível por ) Determinr k e m de modo que + + m + + k sej divisível por + 6

66 Prof Pul Frncis Benevides 6.7. DIVISÃO DE POLINÔMIO POR BINÔMIOS DO O GRAU: Teorem do Resto: O resto d divisão de P() por ( ) é P(): P() = ( ).Q() + R Fzendo =, vem: P() = ( ). Q() + R P() R Teorem de D Alembert Um polinômio P() é divisível por ( ) se, e somente se, P() = P() = ( ).Q() + Fzendo =, vem: P() = ( ). Q() + o P() = Eemplos: ) Determinr k, de modo que o resto d divisão de P() = + k + por sej. ) Clculr e b, de modo que os polinômios P() = + b e Q() = - + b sejm divisíveis por 66

67 Prof Pul Frncis Benevides Divisão de P() por ( + b), Temos: P() + b R Q() Como + b é de gru, R é de gru, e, portnto, um constnte. b Fzendo em P() ( + b).q() + R, vem: b b b P b Q R b P R Logo, o resto d divisão de P() por ( + b) é b R P Eemplo: Determinr k, de modo que P() = + + k sej divisível por + 67

68 Prof Pul Frncis Benevides AULA 7 EXERCÍCIOS ) Clcule m R de modo que o polinômio P()=(m ) + (m ) + 7 sej do o gru em relção. ) Determine m R, pr que o polinômio P()=(m 6) + (m + ) + sej de gru. ) Clcule os vlores de m, n e l pr os quis P()=(m- ) (n -) + ( l) sej identicmente nulo. ) Ddos A() = ( + ) + (b ) + c e B() = + b c, clcule, b e c pr que A() + B() ) Determine os vlores de m, n e p, de modo que sejm idênticos os polinômios: P () = (m + n + p) (p + ) + m + (n p) + n e P () = m + (p + 7) + m + m. 6) Determine os vlores de, b, c e d pr que o polinômio ( c) + b( + d) sej idêntico o polinômio ) Ddo o polinômio P()= +, clcule: ) P ( ) P() P( ) b) P() P P() c) P 8) Ache o polinômio P() do segundo gru em, sbendo que dmite como riz e P() = - e P() = 9) Se P() = , então P() é igul : ) Ddos os polinômios P () = + m + n + e P () = +, se P () é divisível por P (), então m n é igul : ) Dividindo um polinômio P() por ( ), result um resto 7 e um quociente de. Qul é P()? ) A divisão do polinômio P() por fornece quociente Q() = e resto P() =. Sbendo-se que P() = -, o vlor de é: ) Ddos os polinômios P() = (m ) + m e Q() = (m ) + (m ) + (m ), determine P().Q() de modo que gr(p + Q) =. A B ) Sbendo-se que, clculr A e B. A B ) Se, então A 6 + B é igul : 6) Efetue decomposição d frção, em som de frções com denomindores do o gru. ) b) 7) Um polinômio P() = + + b + c que stisfz s condições: P() = ; P(-) + P() =, qulquer que sej rel. Qul o vlor de P()? 8) O resto d divisão do polinômio P() = , por é: RESPOSTAS: ) m = ) m ) m ; n e l ) ; b e c = ) m = ; n = e p = - 6) =, b =, c = - e d = 7) ) 9 b) - c) 7 8) P() = 9) ) 8 ) 7 + ) 6 ) ) A = e B = ) 7 6) ) b ) 7) P() = 6 8) 6 68

69 Prof Pul Frncis Benevides Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: AULA 8 O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é utilizdo pr determinr o quociente e o resto d divisão de um polinômio P() pelo binômio ( ) Eemplos: ) Obter o quociente e o resto d divisão de P() = por ( ) vlor de Coeficiente de P() R() Repetir o primeiro coeficiente Q()= e R()= ) Determinr o quociente e o resto d divisão de P() = + por ( + ). Obs.: Qundo escrever os coeficientes de P(), não esquecer dos coeficiente nulos. Q() = e R() = ) Dividir P() = - + por ( ) Q() = e R() = 69

70 Prof Pul Frncis Benevides 6.8 EQUAÇÕES POLINOMIAIS: Equção polinomil ou lgébric é tod equção redutível form: n n... n n P( )= Chmmos de zero ou riz de um equção polinomil P() = todo o número, tl que 6.8. DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO EM FATORES DO O GRAU: Se P() = é de gru n (n ) e tem rízes,,..., n, então P() pode ser decomposto em n ftores do o gru, sendo n ( n ) o ftor em evidênci: n n 6.8. RAÍZES MÚLTIPLAS:... n( )( )...( ) n n n As rízes de um equção lgébric podem ser tods distints ou não. Se um equção lgébric tiver dus rízes iguis, riz terá multiplicidde, isto é, será um riz dupl; se tiver três rízes iguis, riz terá multiplicidde, isto é, será um riz tripl e ssim sucessivmente. Se o número for um só vez riz de um equção lgébric ele será chmdo riz simples ou riz de multiplicidde. Eemplos: ) Determinr multiplicidde ds rízes, e n equção 6 9 ) Mostrr que é riz de multiplicidde d equção = 7

71 Prof Pul Frncis Benevides 6.8. TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS: Dd equção polinomil com coeficientes inteiros n n p n n... se o número rcionl (com p Z e q Z *, p e q primos q entre si), então p é diviso r de e q é divisor de n Eemplos: ) Resolver equção = N equção, temos: n = e = Se p, é divisor de, então p { } Se q, é divisor de n, então q { } Os possíveis vlores ds rízes rcionis são ddos pel rzão q p, logo: p { } q Se eistirem rízes rcionis n equção dd, els pertencem o conjunto cim. ) Resolver equção. 7

72 Prof Pul Frncis Benevides ) Resolver equção + 6 = AULA 8 EXERCÍCIOS ) Ddos os polinômios A() = + +, B() = +, C() = e D() =, determine o vlor de: A( ) b( ) D( ) C( ) ) Determine o vlor de pr que o resto d divisão do polinômio P()= -+ por (- ) sej. ) Qul é o número rel que se deve dicionr P()= +, pr se obter um polinômio divisível por? ) Aplicndo o dispositivo prático de Briot- Ruffini, clcule o quociente e o resto d divisão de: ) P()= + + por (-) b) P() = por ( ) c) P() = + por ( + ) d) P() = + por ( ) e) P() = + + por ( ) f) P() = + por ( ) ) No esquem bio, foi plicdo o dispositivo prático de Briot-Ruffini, clcule P(): b c d e - - 6) Resolver s equções lgébrics bio: ) + + = b) = c) + = d) + = e) + = f) ( ) + ( ) 8 = 8 g) h) = 7) Determine tods s rízes d equção P ( ), sendo P() = Sbe-se que é divisível por ( ). 8) Um riz d equção = é igul som ds outrs dus. As rízes dess equção são: 9) Determine o produto ds rízes d equção = Resposts: ) - ) ) ) ) Q()= - -- e R()= - b) Q()= + + e R() = c) Q()= 8 e R() = 6 d) Q()= e R() = e) Q()= e R() = f) Q() = e R() = ) P() = ) ) {-; ; } b) {-,; ; } c) {-; -; ; } d) {-; ½; } e) {/; ; } f) {-; } g) {} h) {; ; ; } 7) ; ; 8){,, -} 9) S = 6 e P = 6 7

73 Prof Pul Frncis Benevides AULA 9 7. MATRIZES 7. DEFINIÇÃO: São números dispostos em linhs (fils horizontis) e coluns (fils verticis), formndo um tbel. Mtriz mn é um tbel de m.n números reis dispostos em m linhs (fils horizontis) e n coluns (fils verticis). Gstos de um fmíli (proimdmente) - Rend Fmilir R$ Descrição Outubro Novembro Dezembro Médi Supermercdo 6 6 Súde 8 Trnsporte 8 Vestiário 6 7 Higiene Pessol Lzer 6 Poupnç Totis A tbel que você cbou de ver, podemos trnsformá-l num mtriz: onde os nomes supermercdo, súde, trnsporte, vestiário, higiene pessol, lzer e poupnç são s linhs (7) e outubro, novembro, dezembro e Médi são s coluns (). Assim você terá mtriz, de ordem 7, que form um mtriz com 8 elementos. Vej tmbém: =, isso signific que está ocupndo posição n ª. Linh e ª. colun ; =7, podemos dizer que 7 está n ª. Linh e ª. Colun, etc. 7. NOTAÇÃO DE UMA MATRIZ. Um mtriz de ordem : B. Eemplo: D é um mtriz, com 6 elementos, onde 6 =, =-, =/, =, =, =6. 7

74 Prof Pul Frncis Benevides. Um mtriz genéric de ordem nn: A mtriz A tmbém pode ser indicd por Eemplo: Escrev mtriz A( ij ) tl que ij = i + j. A `... m A ( ij ) mn `... m... m n n n... mn 7. ALGUMAS MATRIZES ESPECIAIS 7.. MATRIZ RETANGULAR: É A MATRIZ ONDE M N. 7.. MATRIZ COLUNA: É TODA MATRIZ DO TIPO MX. Eemplo: M, mtriz de ordem, isto é, linhs e um colun. 7.. MATRIZ LINHA: É TODA MATRIZ DO TIPO XN. Eemplo: C 8, mtriz de ordem, isto é, um linh e coluns. 7.. MATRIZ QUADRADA: Um mtriz é qudrd qundo o número de linhs é igul o número de coluns. Assim, um mtriz qudrd nn é chmd de: mtriz qudrd de ordem n Digonl Principl: sej mtriz qudrd A( ij ) de ordem n. Os elementos ij com i = j, constituem digonl principl. Digonl Secundári - sej mtriz qudrd A( ij ) de ordem n. Os elementos ij em que i + j = n +, constituem digonl secundári. 7

75 Prof Pul Frncis Benevides 7 Eemplo:. 7 A é um mtriz qudrd de ordem ;. 8 9 B é um mtriz qudrd de ordem. 7.. MATRIZ DIAGONAL É mtriz qudrd ) ( A ij que tem os elementos ij = qundo i # j, ou sej, onde os elementos for d digonl principl são nulos. Eemplos: 8 7 A ; 9 B e C 7..6 MATRIZ ESCALAR: A mtriz digonl que tem os elementos ij iguis entre si pr i = j é um mtriz esclr MATRIZ IDENTIDADE: Mtriz identidde ou mtriz unidde é tod mtriz qudrd de ordem n (indicd por I n ) onde os elementos d digonl principl são iguis e os demis, iguis zero. Eemplos: I, mtriz identidde de ordem ; I, mtriz identidde de ordem ; I, mtriz identidde de ordem, e etc

76 Prof Pul Frncis Benevides 7..8 MATRIZ ZERO OU NULA: Um mtriz zero é mtriz cujos elementos ij são todos nulos. Eemplos: A e B, etc MATRIZES IGUAIS Dus mtrizes A e B são iguis, se e somente se, os elementos d mesm posição são iguis, ou sej, os elementos correspondentes são iguis. Eemplo: D e E logo D=E. 7.. MATRIZES OPOSTAS: Dd um mtriz A, chmmos de mtriz opost de A (indicmos por obtid invertendo-se o sinl de cd um de seus elementos. Eemplo: 7 7 A su opost é: A A) mtriz que é 7.. MATRIZ TRANSPOSTA: Dd um mtriz A de ordem m n, denominmos trnspost de A (indicmos por A t ) mtriz de ordem n m obtid trocndo-se ordendmente s linhs de A pels colun de A. Eemplo: 7 t A 6 8 su trnspost é A Diz-se que um mtriz A de ordem n é mtriz simétric, se el é igul su trnspost Proprieddes d mtriz trnspost A t t i. A A B t t ii. iii. t t. A.A t A B 7.. MATRIZ SIMÉTRICA É um mtriz qudrd ij nn pr todo j, j n. A, diz-se simétric qundo ij ji pr todo i, i n, 76

77 Prof Pul Frncis Benevides 7. OPERAÇÕES COM MATRIZES: 7.. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES mesmo tipo mn. A som de dus mtrizes A ij e B b ij é mtriz A B 7... Proprieddes: i. A + (B + C) = (A + B) + C ii. A + = + A = A iii. A + A = A A = iv. A + B = B + A 7.. PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR: ij b ij, mbs do Ddos um número rel e um mtriz A, mn, o produto de por A é um mtriz B, mn, obtid multiplicndo-se todos os elementos de A por. Então: B = A onde b ij = ij, i, i{,,...,m) e j, j {i,,...,n} 7... Proprieddes: i. ( )A = ( A) ii. ( + )A = A + A iii. (A + B) = A + B iv. A = A 7.. PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA: Dd mtriz A = ( ij ) mn e mtriz B = (b jk ) np o produto A B é mtriz (c ik ) mp, tl que o elemento c ik é clculdo multiplicndo-se, ordendmente, os elementos d linh i de A pelos elementos d colun k de B e somndo-se os produtos ssim obtidos. Obs.: O produto de dus mtrizes será comptível se o número de coluns d primeir for igul o número de linhs d segund mtriz. N mtriz produto, o número de linhs é igul o número de linhs d primeir mtriz e o número de coluns é igul o número de coluns d segund mtriz, isto é: Se A é do tipo mn e B é do tipo np, então AB é do tipo mp Proprieddes: i. A multiplicção de mtrizes não é comuttiv. ii. A multiplicção de mtrizes é ssocitiv: (A.B).C=A.(B.C) iii. A multiplicção de mtrizes é distributiv em relção à dição: A.(B+C)=A.B+A.C iv. Multiplicção de um número rel por um mtriz:. A. B. A. B v. Multiplicção pel mtriz identidde: A. I I. A A vi. A In, se A vii. A =A p p viii. A A. A, pr pn i. A P =A.A.A..A, p ftores t t A. B B. A. t n n 77

78 Prof Pul Frncis Benevides 7... Comuttividde de Multiplicção de dus mtrizes: Em gerl eistênci do produto AB não implic eistênci do produto BA. Eemplo: A (,) X B (,6) Mesmo qundo s multiplicções A B e B A são possíveis, os dois produtos são, em gerl, diferentes. Eistem mtrizes A e B tis que AB = BA, porém ess não é regr. º Cso: A 7 e I A.I = I.A = A º Cso: A 7 e B 7 AB = BA = I A mtriz B é invers d mtriz A e indicmos A - Assim, pr sber se, dds dus mtrizes qudrds A e B, de mesm ordem, um é invers d outr, bst multiplicr um pel outr e verificr se o produto é mtriz I Mtriz Involutiv Um mtriz A qudrd é involutiv qundo A I 7... Mtriz nti-simétric: É um mtriz qudrd ij nn i n, pr todo j, j n. A, diz-se nti-simétric qundo ij ji pr todo i, nulos. Obs: Se A é simétric então t A A ; os elementos d digonl principl são todos 78

79 Prof Pul Frncis Benevides 7. MATRIZ INVERSA 7.. DEFINIÇÃO Sej A um mtriz qudrd de ordem n. A mtriz qudrd B, de ordem n, diz-se um invers de A, se e somente se: A. B B. A I. A invers de um mtriz A eiste se o det A. 7.. PROPRIEDADES B. A i. A. B t ii. t A A. A. A iii. p iv. p A A n 7.6 MATRIZ ORTOGONAL: Um mtriz M cuj invers coincide com trnspost é denomind mtriz ortogonl. M - = M T, isto é, M. M T = M T. M = I Eemplo: T M e M fzendo multiplicção d mtriz M pel su trnspost, obtemos mtriz Identidde, portnto, M é um mtriz ortogonl. 7.7 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: superior. A mtriz qudrd A ij, que tem os elementos ij = pr i j, é um mtriz tringulr 7.8 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: A mtriz qudrd A ij, que tem os elementos ij = pr i j, é um mtriz tringulr inferior. Eemplos: A 7 B A é um mtriz tringulr superior e B inferior. 79

80 Prof Pul Frncis Benevides POTÊNCIA DE UMA MATRIZ: Um mtriz qudrd ij A, pode ser multiplicd n vezes por si mesm. A mtriz que se result desss operções, e que represent por A n, é chmd potênci n d mtriz A. 7. MATRIZ PERIÓDICA: Dd um mtriz qudrd A, diz-se que A é um mtriz periódic se A n = A, sendo n. Se n é o menor inteiro pr o qul A n = A, diz-se que o período de A é n. 7. MATRIZ IDEMPOTENTE: Dd um mtriz periódic A, tl que A = A, diz-se que A é um mtriz idempotente. O período d mtriz idempotente é =. 7. MATRIZ NIHILPOTENTE: Dd um mtriz qudrd A, se eistir um número p, inteiro e positivo, tl que A p =, diz-se que é um mtriz nihilpotente. Se p é o menor inteiro positivo tl que A p =, diz que A é um mtriz nihilpotente de índice p. Eemplos: ) Sej A A A mtriz A é idempotente. ) Sej B B B é nihilpotente de índice. ) Sej 6 C C

81 Prof Pul Frncis Benevides C C C C é nihilpotente de índice AULA 9 EXERCÍCIOS ) Sendo s mtrizes n m n m A e 6 8 B, chr os vlores de,, m e n pr que se tenh A=B. ) Determine e, sbendo que s mtrizes = 9 são iguis. ) Se b b =, determine,, e b. ) Sendo s mtrizes A e B, clcule e de modo que t B A. ) Sejm s mtrizes 6 t z z A e 6 B. Se t t B A, determine,, z e t. 6) Sejm s mtrizes A e B, de mesm ordem mn. Demonstre que: t t t B A B A. 7) Dds s mtrizes 8 6 A, B e 6 C, clculr: ) C B A b) C B A 8) Determinr, e z sbendo que: + z = z. 9) Sejm s mtrizes A e B, o produto determine AB. ) Sejm s mtrizes A e B, clcule s mtrizes produtos: ) A.B b) B.A c) A.B=B.A? ) Se A, determine mtriz X tl que. I X A. ) Sej mtriz A, determine mtriz polinomil, I A A....

82 ) Dds s mtrizes A e 9 B 9, clculr e de modo que A sej igul B. 9 ) Dds s mtrizes A e 7 n B m 9 clculr m e n pr que mtriz B sej invers de A. ) Um mtriz digonl, de ordem, é involutiv. Determine-. (Sugestão: Fç A ). b 6) Determine o número br, pr que b mtriz A, sej simétric. b b A, pr qul ij 7) Sej mtriz ii. Determine A e ij i j, se i, j A t. A é simétric? 8) Sej mtriz A, qudrd de ordem n. Demonstre que A+A t é simétric. 9) Determine os números reis, b, c,, e z pr que mtriz A b z c sej ntisimétric. 8 Dds s mtrizes: A 9 6, B e C, 9 9 clcule: ) A + B b) C A c) A B + C ) Clculr o produto ds mtrizes: Prof Pul Frncis Benevides 8 6 ) A e 7 b) B. 8 A e X 7 z ) Dds s mtrizes A e B, verificr se B é invers de A. ) Clcule os vlores de m e n pr que s mtrizes A e B sejm iguis: 8 n 8 7 ) A e B m 6 m n b) A e 6 B 6 c) A 7 8 e 7 8 B 8 ) Dds s mtrizes A, B e C, 6 clculr: ) A + B b) B + C c) A + C d) A B e) A C f) B C g) X = A B + C h) X = B A 6C i) X = C + A 6B 7

83 Prof Pul Frncis Benevides 7 ) Dds s mtrizes: 9 7 A, B, C e D, clculr: ) AB b) (AB)D c) A(BD) d) BA e) (BA)C f) B (AC) 6) Verifique se mtriz B é invers de A.: ),,,,,, A e B b) A e,,,,, B 7) Determine mtriz invers d mtriz A. 8) Sej mtriz A. Determine A -, se eistir. 9) Pr cd mtriz seguir, determine A -, se eistir: ) A b) B ) Sejm s mtrizes A e B. Resolv equção mtricil B X A.. ) Sejm s mtrizes A e 6 B, determine s mtrizes X e Y, de ordem, tis que B A Y X ) Sendo b A com +b=,.b= e b, A B, X e C, é verdde que: () deta= () B= () deta.detb= (8) Se A.X=C, então 7 X (6) Se B.X=, então X () det(a+.b) t =96

84 Prof Pul Frncis Benevides 7 Resposts: ) =; =; m= e n= - ) /7 e /7 ),, e ) 7 e ) =, =, z= e t= 6) (A-B) t = (A + (-B)) t = A t + (-).B t = A t B t. 7) ) 9 b) 6 8), - e 9) 6 6 ) e ) ) ) = +/- 7 e = 8 ) m = -7 e n = - ),,, 6) ou 7) A, sim A é um mtriz simétric. 8) 9) =b=c=; =-, = e z= ) ) b) c) ) ) 7 6, b) z z z 7 ) Sim. ) ) m = -6 e n = b) m = +/- 9 e n = +/- c) = ) Verificr se houver dúvids. ) Verificr se houver dúvids. 6) Se A.B = I, é invers, cso contrário, não é invers. 7) 6 8) Não eiste, pois mtriz é singulr. 9) A, B - não eiste. ) 6 X ) X Y ) V, F,V,V,F,V, totl:

85 Prof Pul Frncis Benevides AULA 8. DETERMINANTES 8. NOÇÃO: Determinnte de um mtriz qudrd M é um número ssocido est mtriz, obtido seguindo-se regrs previmente estbelecids. 8. NOTAÇÃO: ou Represent-se o determinnte de um mtriz ou ind det M. M por det 8. CÁLCULO DE UM DETERMINANTE: Neste estudo o determinnte será clculdo trvés de regr prátic. Pr o cálculo do determinnte de um mtriz M de ordem n, temos: ) Se M for de ordem, ou sej, M = ( ), então det M = = Eemplo: M = [-], então det M = - = - b) Se M for de ordem, ou sej, M, então det M =. -, (produto dos elementos d digonl principl menos o produto dos elementos d digonl secundári) Eemplo: M det M c) Se M for de ordem, clcul-se o determinnte de terceir ordem trvés d regr de Srrus, que consiste em: ) Repetir s dus primeir coluns à direit d mtriz ou s dus primeirs linhs bio d mtriz; ) Multiplicr os elementos d digonl principl e os que precem dispostos prlelmente em grupos de ; ) Multiplicr os elementos d digonl secundári e os que precem dispostos prlelmente em grupos de ; ) Determinr diferenç d som dos produtos do item () pel som dos produtos do intem (). 7

86 Prof Pul Frncis Benevides Então, pr: M, temos det M = = = Eemplo: Clculr o determinnte d mtriz M 6 8. ABAIXAMENTO DA ORDEM DE UMA MATRIZ QUADRADA: 8.. MENOR COMPLEMENTAR Menor complementr de um elemento ij d mtriz M, é o determinnte que se obtém de M eliminndo linh e colun que contém o elemento ij. Represent-se por: D ij. Eemplo: Determine o Menor Complementr, D, D e D d mtriz m, sendo: M Então: D = + = D = 8 = - D = 8 = 7 7

87 Prof Pul Frncis Benevides 8.. COMPLEMENTO ALGÉBRICO OU COFATOR: Complemento lgébrico ou Coftor de um elemento ij, é o número que se obtém multiplicndo-se o menor complementr pelo ftor (- ) i + j C ij ( ) i j D ij Então,pr: M, o coftor C,, será: C ( ) Eemplo: Determine o Complemento Algébrio, C, C e C d mtriz M, sendo: M Então: C = (-) +. -( ) = C = (-) +..( + ) = 7 C = (-) +. -.(-9 -) = 9 8. REGRA DE LAPLACE: O determinnte de um mtriz qudrd M é igul á som dos produtos dos elementos de qulquer linh ou colun pelos seus respectivos coftores. Eemplos: ) Desenvolv o determinnte d mtriz M, plicndo regr de Lplce à primeir colun, sendo: M Então: Det M =.(-) +. +.(-) +. +.(-) +. 7

88 Prof Pul Frncis Benevides ) Clculr o determinnte d mtriz M, plicndo regr de Lplce à segund colun, sendo: M 8.6 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: O determinnte de um mtriz A não se lter qundo se trocm s linhs pels coluns; isto é, det M = det M t Eemplo: Se mtriz A possui um linh (ou colun) constituíd de elementos todos nulos, o determinnte é nulo. Se mtriz A tem dus linhs (ou dus coluns) iguis, o determinnte é nulo. Se n mtriz A dus linhs (ou coluns) tem seus elementos correspondentes proporcionis, o determinnte é nulo. O determinnte de um mtriz tringulr A (superior ou inferior), é igul o produto dos elementos d digonl principl. Eemplo: 6 7 det A 6 Trocndo-se entre si dus linhs (ou coluns) d mtriz A, o determinnte mud de sinl, isto é, fic multiplicdo por. Eemplo: det A 8 det A 8 7

89 Prof Pul Frncis Benevides Qundo se multiplicm por um número rel todos os elementos de um linh (ou um colun) d mtriz A, o determinnte fic multiplicdo por esse número. det A 8. Dividindo segund linh por, temos: det A 6, o resultdo do determinnte tmbém fic dividido por. det A 6 8 Um determinnte não se lter qundo se somm os elementos de um linh (colun) d mtriz A os elementos correspondentes de outr linh (colun) previmente multiplicdos por um número rel diferente de zero. Eemplo: det A se multiplicrmos ªL por e somr com ªL, temos: 7 9 det A o determinnte de A continu o mesmo. 8.7 REGRA DE CHIO: 7 9 A Regr de Chio consiste em eliminr s fils que se interceptm no elemento ij =, cso eist, e: ) Fzemos diferenç de cd elemento restnte n mtriz pelo produto dos elementos que se encontrm ns etremiddes ds perpendiculres trçds do elemento considerdo à linh e colun elimidds; b) Obteremos ssim um nov mtriz cujo determinnte, multiplicdo por (-) i+j, é igul o d mtriz inicil. Eemplo: Clcule, plicndo regr de Chio, o determinnte: D = 9 6 = (-) + 6 = 8.8 PROCESSO DE TRIANGULAÇÃO: Se M é um mtriz Tringulr, isto é, qundo todos os elementos cim ou bio d digonl principl são nulos, o seu determinnte é o produto dos elementos d digonl principl, e 7

90 Prof Pul Frncis Benevides ds proprieddes sbemos que um determinnte não se lter qundo se somm os elementos de um linh (colun) d mtriz A os elementos correspondentes de outr linh (colun) previmente multiplicdos por um número rel diferente de zero. Então, podemos deir mtriz de form Tringulr Eemplo: ) det A 9 8 respost: ) det A respost: - 76

91 Prof Pul Frncis Benevides 8.9 MATRIZ INVERSA - COMPLEMENTOS 8.9. MATRIZ SINGULAR: Um mtriz qudrd A = [ ij ] cujo determinnte é nulo, é um mtriz singulr. A mtriz singulr não tem invers MATRIZ NÃO-SINGULAR: Um mtriz qudrd A = [ ij ] cujo determinnte é diferente de zero, é um mtriz nãosingulr ou regulr. A mtriz não-singulr ou regulr sempre tem invers PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA: i. Se mtriz A dmite invers (det A ), est é únic. ii. Se mtriz A é não-singulr, su invers A - tmbém é. A mtriz invers de A - é A. iii. A mtriz A é não-singulr, su trnspost A t tmbém é. A mtriz invers de A t é (A - ) T. iv. Se s mtrizes A e B são não-singulres e de mesm ordem, o produto AB é um mtriz não-singulr. A mtriz invers de AB é mtriz B - A OPERAÇÕES ELEMENTARES: i. Permutção de dus linhs (ou de dus coluns) ii. Multiplicção de todos os elementos de um linh (ou colun) por um número rel diferente de zero. iii. Substituição dos elementos de um linh (colun) pel som deles com os elementos correspondentes de outr linh (colun) previmente multiplicdos por um número rel diferente de zero. Eemplos: ) Encontrr mtriz invers A - d mtriz A. Solução: b. c d. c b. d. c. b. d c. d.. c. b. d resolvendo os sistems: c d e c b d encontrmos mtriz invers A. /, 77

92 Prof Pul Frncis Benevides ) Determinção d mtriz invers usndo o determinnte e mtriz trnspost dos coftores: Encontrr mtriz invers A - d mtriz A. Solução: Cálculo do determinnte de A: deta=.-.(-)= Determinção d mtriz dos coftores d mtriz A:.... Dividir todos os elementos d mtriz trnspost formd pelos coftores pelo deta: / / Mtriz invers de A é: A / / / ) Usndo o esclonmento: coloc-se à direit d mtriz dd, mtriz identidde; fz-se o esclonmento de modo que mtriz identidde psse ocupr posição d mtriz dd. A posição d mtriz A será ocupd pel mtriz identidde e n posição d mtriz identidde encontrremos mtriz invers. Eemplo: A 78

93 Prof Pul Frncis Benevides 79 AULA EXERCÍCIOS ) Resolv s equções: ) 6 b) c) 8 d) 6 ) Encontrr mtriz invers d mtriz, usndo mtriz trnspost dos coftores. ) A b) 6 B ) Determinr mtriz invers ds mtrizes: (usr o esclonmento) ) 7 A b) 6 B ) Determine mtriz invers ds mtrizes: 7 A B C d) D Resposts: ) ) = b) = ou c) = d) = 8 ) ) A - não eiste! Det A = b) 6 / / / B ) ) 66 / 66 / 66 / / 9/ / 66 9/ 7 / / A b) / / 6 / / / / / B ) ) 7 A b) B c) C d) D não eiste! Just. det D =.

94 Prof Pul F. Benevides AULA 9. SISTEMAS LINEARES 9. EQUAÇÕES LINEARES: Entendemos por equção liner ns vriáveis (incógnits),,,..., n, como sendo equção d form n. n = b, onde,,,... n e b são números reis ou compleos.,,,... n são denomindos coeficientes e b, termo independente. Eemplos de equções lineres: + =7(vriáveis ou incógnits e, coeficientes e,e termo independente 7) + = (vriáveis ou incógnits e, coeficientes e, e termo independente ) + + z = 7 (vriáveis ou incógnits, e z, coeficientes, e e termo independente 7) + + z - t = (vriáveis ou incógnits,, z e t, e termo independente nulo). 9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES A um conjunto de equções lineres dá o nome de sistem de equções lineres:... n n b... n n b... n n b m m m... mn n b m 9. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR: Os vlores ds vriáveis que trnsformm simultnemente s equções de um sistem liner em identidde, isto é, que stisfzem tods s equções do sistem, constituem su solução. Esses vlores são denomindos rízes do sistem de equções lineres. 9. SISTEMA COMPATÍVEL: rízes. Um sistem de equções lineres é comptível qundo dmite solução, isto é, qundo tem 9.. SISTEMA DETERMINADO: Um sistem comptível é determindo qundo dmite um únic solução. Eemplo: 8, é comptível e determindo, pois tem como rízes = e =. 8

95 Prof Pul F. Benevides 9.. SISTEMA INDETERMINADO: Um sistem comptível é indetermindo qundo dmite mis de um solução (infinits soluções). Eemplo:, é comptível e indetermindo, pois dmite infinits soluções. 8 (,), (,), (,), (,6) SISTEMA INCOMPATÍVEL Um sistem de equções lineres é incomptível qundo não dmite solução. Eemplo: 9, é incomptível, pois epressão + 9 não pode ser simultnemente 9 igul e igul pr os mesmos vlores de e. 9.6 CLASSIFICAÇÃO: Determindo: dmite um únic solução. Possível ou comptível, dmite solução: Sistem Indetermindo: dmite mis de um solução. = Incomptível ou Impossível: não dmite solução 9.7 SISTEMAS EQUIVALENTES: Dois sistems lineres são EQUIVALENTES qundo dmitem mesm solução. Eemplo: 6 e 6 são equivlentes, pois dmitem mesm solução = e = 8

96 Prof Pul F. Benevides 9.7. OPERAÇÕES ELEMENTARES E SISTEMAS EQUIVALENTES: Eiste um conjunto de operções que podemos relizr entre s equções de um sistem liner pr trnsformá-lo em um outro sistem equivlente. i. Permut de dus equções; ii. Multiplicção de um equção por um número rel diferente de zero; iii. Substituição de um equção por su som com outr equção previmente multiplicd por um número rel diferente de zero. 9.8 SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO: Qundo num sistem de equções lineres os termos independentes são todos nulos, o sistem é chmdo homogêneo. z 7 z 8 z 9 8z Todo sistem liner homogêneo tem pelo menos um solução; ess solução denomind solução trivil, é, qulquer que sej o sistem, i =, i representndo s vriáveis e i =,,,..., m. 9.9 SOLUÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: 9.9. REGRA DE CRAMER: Ddo o sistem:... n n b... n n b... n n b m m m... mn n b m onde m é o número de equções e n o número de incógnits. A resolução desse sistem, qundo m = n, se fz trvés d regr prátic de Crmer, que consiste em: o ) Clculr o determinnte D d mtriz dos coeficientes.... D `... m `... m... m o ) Se D, o sistem é determindo dmite um únic solução, dd por: n n n... mn 8

97 Prof Pul F. Benevides D D, D D, D D,..., D n D n, onde b b b n ` n n n n D b... n ; nn ` n b b b n n n n D b... n, nn ou sej, D é o determinnte que se obtém substituindo-se, n mtriz dos coeficientes, colun dos coeficientes de pelos termos independentes ds respectivs equções. o ) Se D = e todos os D forem nulos, o sistem é indetermindo. o ) Se d = e eistir pelo menos um D, o sistem é impossível Eemplos: ) Resolv, pel regr de Crmer ) z z z 86

98 Prof Pul F. Benevides 9.9. RESOLUÇÃO POR ESCALONAMENTO DE MATRIZES: Método de Guss ou Esclonmento plicção form mtricil. Ele consiste em: ) Anulr os coeficientes d incógnit comprndo equção com s demis. b) Anulr os coeficientes d incógnit comprndo equção com s restntes, eceto. c) Anulr os coeficientes d incógnit comprndo equção com s restntes, eceto e. E ssim sucessivmente. Eemplos: ) Resolv o sistem z z z 87

99 Prof Pul F. Benevides ) Resolv o sistem z z 6 z 6 88

100 Prof Pul F. Benevides ) Resolver o sistem z z 9 z 89

101 Prof Pul F. Benevides ) Resolver o sitem z z z 9

102 Prof Pul F. Benevides 9 AULA EXERCÍCIOS ) 6 6 z z z ) 7 7 z z z ) t t ) z z z ) z z z z 6) 8 7) z z 8) 6 t t z t t z 9) z z z ) 6 z z z z ) z z z Resposts: ) {; ; } ) ; ; ) ; ; ) indetermindo ) impossível 6) {;} 7) {;-;} 8) {; -; ; -} 9) impossível ) {; ; } ) {; -; }

103 Prof Pul F. Benevides AULA. LIMITES. NOÇÃO INTUITIVA: Sej função f()= +. Vmos dr vlores que se proimem de, pel su direit (vlores miores que ) e pel su esquerd (vlores menores que ) e clculr o vlor correspondente de. = + = +,,6,,7,,9,,9,,98,,99 Notmos que medid que se proim de, se proim de, ou sej, qundo tende pr ( ), tende pr ( ), ou sej: lim ( ) De form gerl, escrevemos: lim f ( b ).. PROPRIEDADES:. lim [ f ( ) g( )] lim f ( ) lim g( ). lim [ f ( ) g( )] lim f ( ) lim g( ). lim lim f ( ) g( ) f ( ) lim lim lim f ( ) g( ) n f ( ), n N n *.. lim Eemplos: n f ( ) n lim f ( ), n N 6. lim sen( f ( )) senlim f ( ) ) lim ( ) * ) lim ( cos ) 7

104 Prof Pul F. Benevides cos ) lim ) lim ( ) ) lim 6) lim sen( ) 7) lim ( ) 8) lim 9) lim 9 ) lim ) lim ) lim ) lim ( ) 7

105 Prof Pul F. Benevides ) lim (cos sen ) 8 ) lim h 6) lim h h t 7) lim t t ( t) 6 8) lim t t 9) lim ) lim ) lim 7

106 Prof Pul F. Benevides AULA EXERCÍCIOS ) lim ( ) ( ) ( ) ) lim ) lim ) lim 7 ) lim 6) lim 7) lim 6 8) lim 6 6 9) lim ) lim ) lim ) lim ) lim ) lim ) lim 6) lim 7) lim Resposts ) 8 ) ) 6 ) - ) - 6) - 7) 8) 9) 8 ) ) ) ) ) ) 6) 7) 7

107 Prof Pul F. Benevides AULA. LIMITES INFINITOS: Qundo os vlores ssumidos pel vriável são tis que > N, sendo N tão grnde qunto se queri, então se diz que o limite d vriável é infinito. lim ou lim.. IGUALDADES SIMBÓLICAS:... Tipo Som:. () + ( ) = b. (+ ) + (+ ) = + c. - + (- ) = - d. - = indetermindo... Tipo Produto:. ( ) = b. (-) ( ) = c. (+ )(+ ) = + d. (+ )(- ) = - e. = indetermindo... Tipo Quociente: c. b. c c. d. e indetermindo... Tipo Potênci:. c (c>) b. c (<c<) c. d. c e. ( ) f. ( ) c (se c for ímpr) 7

108 Prof Pul F. Benevides g. ( ) c (se c for pr) h. ( ) i. ( ) c j. = indetermindo k. ( ) indetermindo l. indeterminddo Obs.: O limite de um função polinomil qundo tende o infinito, é o limite do termo de mior gru. Eemplos: ) lim ( ) ) lim ) lim ) lim 6 8 ) lim 6) lim ( ) 76

109 Prof Pul F. Benevides AULA EXERCÍCIOS ) lim ( ) ( ) ( ) ( 8) ( ) ( ) ) lim ) lim ) lim ) lim 6) lim 7) lim 8) lim 9) lim ) lim 9 8 ) lim 8 7 ) lim 7 ) lim ( ) ) lim ) lim 6) lim 7) lim 8) lim ( ) 9) lim ( ) Resposts: ) + ) - ) - ) + ) + 6) - 7) + 8) 9) ) ) ) + ) ) ) - 6) 7) 8) 9) + 77

110 Prof Pul F. Benevides. LIMITES TRIGONOMÉTRICOS: AULA sen lim Demonstrndo o limite fundmentl por tbel temos que: Usndo vlores de em rdinos, obtemos vlores iguis ou muito próimos. Eemplos: Sen,8,8,6,6,,,,,, sen ) lim cos ) lim sen ) lim sen sen sen ) lim sen sen 78

111 Prof Pul F. Benevides sen ) lim sen9 tg 6) lim cos 7) lim sen( m) 8) lim sen( n) 79

112 Prof Pul F. Benevides sen ) lim sen ) lim tg ) lim sen ) lim sen tg ) lim tg cos 6) lim sen sec 7) lim tg sen 8) lim sen cos 9) lim tg tg sen ) lim sen sen ) lim sen cos cos ) lim sen sen sen ) lim sen sen( ) sen ) lim cos ) lim AULA EXERCÍCIOS Resposts: ) / ) ¼ ) / ) / ) / 6) ½ 7) ½ 8) 9) - ) ) ) ) ) cos ) / 8

113 Prof Pul F. Benevides AULA. LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: lim e () Neste cso, e represent bse dos logritmos nturis ou neperinos. Trt-se do número irrcionl e, cujo vlor proimdo é,7888 X,,7,97,78,769,78,78 Not-se que medid que, De form nálog, efetundo substituição temos: ) e lim ( e () e Aind de form mis gerl, temos: () l lim ( k) e kl () lim k l e kl () lim ln e (6) lim Eemplos: ) lim 8

114 Prof Pul F. Benevides ) lim ( ) ) lim e ) lim sen ) lim lim 6) 7) lim sen 8) lim e e 9) lim sen ) lim sen ) lim log 6 8

115 Prof Pul F. Benevides AULA - EXERCÍCIOS ) lim ) lim e ) lim e ) lim log ) lim ln 6) lim log 7) lim 8) lim 9) lim ) lim ) lim ) lim ) lim ) lim ( ) ) lim ( ) 6) lim 7) lim 8) lim ln( ) 9) lim ln( ) ) lim Resposts ) 8 ) e ) e - ) - ) ln 6) 7) e 8) e / 9) e ) e ) e ) e 6 ) e -6 ) e ) e -6 6) e - 7) e 8) e 9) ½ ) / 8

116 . LIMITES LATERAIS: AULA 6 Prof Pul F. Benevides Considermos um função = f(), d qul queremos chr os limites lteris pr tendendo, ou sej, queremos clculr: lim f ( )? Limite lterl à direit lim f ( )? Limite lterl à esquerd Vejmos como proceder em cd cso: Limite direit (qundo + ) Fzemos seguinte troc de vriável: = + h, com h >, devemos ter h Eemplo: lim ( ) Limite esquerd (qundo - ) Fzemos seguinte troc de vriável: = h, com h > devemos ter h Eemplo: lim ( ) O Limite de um função eiste qundo lim f ( ) lim f ( ) 8

117 AULA 6 - EXERCÍCIOS Prof Pul F. Benevides ) lim ( ) ) lim ) lim ) lim ) lim ( ) 6) lim 7) lim ( ) 8) lim ( ) 9) lim ) lim ) lim ) lim ) lim ) lim ) Clcule os limites lteris solicitdos. se ) f ( ) se se lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ) - - se c) f ( ) se se lim Resposts: ) 9 ) ) ) 6 ) 6) 7) 8) 9) - ) + ) ) + ) ) ) ) e b) e - c) e f ( ) e lim f ( ) b) f ( ) - lim se se se f ( ) e lim f ( ) 8

118 Prof Pul F. Benevides AULA 7. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS. INTRODUÇÃO: Trçremos com fcilidde um esboço gráfico de um função se conhecermos s ssíntots horizontis e verticis do gráfico, cso els eistm. Assíntot são s linhs horizontis e verticis que no gráfico servem pr trçrmos função, onde função vi tender pr este vlor, o que encontrrmos d ssíntot, porém não "toc " est ret, pois ssintot são os limites lteris verticl e horizontl d função. ASSÍNTOTA VERTICAL Dizemos que ret = é um ssíntot verticl do gráfico de f, se pelo menos um ds firmções seguintes for verddeir: i. lim f ( ii. iii. iv. lim lim lim ) f ( ) f ( ) f ( ). ASSÍNTOTA HORIZONTAL Dizemos que ret = b é um ssíntot horizontl do gráfico de f, se pelo menos um ds firmções seguintes for verddeir: i. lim f ( b ) f ( ) ii. lim b Eemplos: ) Sej função f ( ). Encontre equção ssíntots horizontis e verticis se el eistirem. ( ) 86

119 ) Considere função f ( ) ( ) el eistirem. Prof Pul F. Benevides. Encontre equção ds ssíntots horizontis e verticis, se. FUNÇÕES CONTÍNUAS. DEFINIÇÃO: Um função f é contínu em um ponto se são stisfeits s seguintes condições: i. f () ii. lim f ( ) lim f ( ) f ( iii. ) Eemplos: Verifique se s funções bio são contínus no ponto indicdo: ) f ( ) em = 87

120 Prof Pul F. Benevides ) f ( ) em = ) se f ( ) se em = se 88

121 AULA 7 - EXERCÍCIOS Prof Pul F. Benevides Escrev equção ds ssíntots ds funções bio, fç um esboço do gráfico d função: ) ) ) ) ) ( ) Verifique se s funções bio são contínus nos pontos indicdos 6) 7) ( ) se se f em = 9 ( ) ( ) f em = 8) f em = se 9) f ( ) em = se Resposts ) = é equção d ssíntot verticl e = é ssintot horizontl ) = é equção d ssíntot verticl e = é ssintot horizontl ) = é equção d ssíntot verticl e = é ssíntot horizontl ) = é equção d ssíntot verticl e = é ssíntot horizontl ) = é equção d ssíntot verticl e = - é ssíntot horizontl 6) função não é contínu 7) função é continu 8) função é contínu 9) função não é contínu 89

122 AULA 8 Prof Pul F. Benevides. DERIVADAS. INTRODUÇÃO: O Cálculo Diferencil e Integrl crido por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo de início um instrumento precioso e imprescindível pr solução de vários problems reltivos à Mtemátic e Físic. N verdde, é indispensável pr investigção não-elementr tnto ns ciêncis nturis como humns. O formlismo mtemático do Cálculo que à primeir vist nos prece bstrto e for d relidde, está internmente relciondo com o rciocínio usdo pels pessos em gerl n resolução de problems cotidinos.. DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: Sej f um função representd no gráfico bio: f ( ) Gostrímos de encontrr inclinção d ret tngente este gráfico em um determindo ponto, vmos supor P(, f()). Sbemos que o coeficiente ngulr d ret nos dá inclinção dest. Sendo ssim, devemos encontrr o coeficiente ngulr d ret tngente o gráfico em P (, f()). f ( ) 9

123 Prof Pul F. Benevides Sej P(, f()) e Q ( + h, f( +h)) dois pontos d função f onde h represent diferenç entre s bscisss de P e Q. É fácil determinr o coeficiente ngulr d ret PQ utilizndo os conceitos de trigonometri no triângulo retângulo. Sej s ret secnte o gráfico de f pelos pontos P e Q. f( +h) Q f () s f () P R + h Sbemos que o coeficiente ngulr m PQ d ret secnte é ddo pr QR mpq ms tg PR f ( h) f ( ) m s (i) inclinção d ret secnte h Podemos tomr no gráfico pontos Q, Q, Q, Q,... Q n cd vez mis próimos de P, ret s(pq) secnte curv, tende posição de tngênci em P e o créscimo h, tende zero. f( +h) Q f () s Q Q f () P Q R + h Logo: m m t t lim lim m s f ( h) h f ( ) onde m represent o coeficiente ngulr d ret tngente. Esse limite qundo eiste é chmdo Derivd de t 9

124 Prof Pul F. Benevides. DEFINIÇÃO: Sej um função f: D R, e sej D o conjunto de todos os vlores tl que eist f (). Chm-se função derivd de f função f : D R tl que: f '( ) lim f ( ) f ( ) Eemplo: ) Se f() = determine equção d ret tngente o gráfico f no ponto de bsciss = ) Sej função f: R R tl que f() =. Obter função derivd de f: ) Utilizndo definição clcule derivd d função f()= 9

125 Prof Pul F. Benevides.. OUTRAS NOTAÇÕES PARA A FUNÇÃO DERIVADA: (lê-se: derivd de ) (lê-se: derivd de em relção ) d (derivd de em relção ) d Df (derivd de f). SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; A questão fundmentl d cinemátic consiste em determinr velocidde de um móvel em um instnte qulquer qundo é conhecid equção de seu movimento ou sej, epressão que nos dá o espço (posição) em função do tempo, s=f(t). Quntittivmente velocidde eprime em gerl, rzão de vrição do espço em relção o tempo. Qundo est rzão é constnte, temos o movimento uniforme. Ou sej, se o móvel percorre um S espço S em um intervlo de tempo t, velocidde é dd pelo quociente v, que é um t rzão constnte. Qundo porém, temos um movimento vrido, ou sej, o móvel percorre espços diferentes em tempos iguis, é necessário e fundmentl distinguir velocidde médi d velocidde instntâne. Se um utomóvel percorre km em hors, não podemos concluir deste fto que su velocidde tenh sido de 6 km/h. Se durnte o percurso nós tivéssemos o velocímetro consttrímos que velocidde presentou vrição, or pr mis, or pr menos. Portnto velocidde de 6 km/h que obtivemos dividindo km pelo tempo de hors gstos em percorrê-los é o que chmmos de velocidde médi. A velocidde que observmos cd instnte no velocímetro do veículo denominmos velocidde instntâne. Consideremos um móvel de equção horári s = f(t) que se desloc sobre um trjetóri retilíne de origem O e que em um instnte t ocupe um posição S e num instnte t ocupe um posição S. 9

126 Prof Pul F. Benevides Sbemos que o espço percorrido pelo móvel entre um posição e outr é S S S ou S f ( t) f ( t) e que o tempo gsto pr percorrê-lo é t t t. Logo, su velocidde médi neste percurso é: S S S f ( t ) f ( t) V m t t t t t Com definição de velocidde médi e considerndo vrição do tempo tendendo zero podemos estbelecer equção d velocidde instntâne no instnte t, dd por: V lim t S t lim f ( t ) f ( t t t ) logo: Ms t t t t t t e considerndo t um instnte genérico t, temos t t t, V lim t f ( t t) t f ( t) que é derivd d função f em relção su vriável independente t, ou sej: Se S = f(t) então S (t) = v Rciocínio semelhnte pode ser desenvolvido prtir d função velocidde do móvel, v= f(t), o que nos levrá concluir que su derivd nos fornecerá celerção do móvel em um instnte qulquer, isto é: Se v = f(t) então v (t) = Onde é celerção instntâne do móvel. 9

127 Prof Pul F. Benevides. REGRAS DE DERIVAÇÃO: Est seção contém lgums regrs geris que simplificm o trblho de cálculo ds derivds. ) f() = c f () = ) f() = n f () = n. n- ) f() = u.v f () = u v + uv ) f() = u.v.w f () = u vw + uv w + uvw ) f ( ) u v u' v uv' f '( ) v 6) f() = u n f () = n.u n-.u 7) f() = u f () = u.ln.u 8) f() = e u f () = e u.u 9) f() = ln u ) f() = log u u' f '( ) u u' f '( ) u.ln ) f() = cos u f () = - u.sen u ) f() = sen u f () = u.cos u ) f() = tg u f () = u.sec u ) f() = cotg u f () = - u.cossec u ) f() = sec u f () = u.sec u. tg u 6) f() = cossec u f () = - u.cossec u. cotg u 7) f() = u v f () = v.u v-.u + u v.v.ln u f '( ) u v v ( v'ln u. u') u 8) f() = rc sen u 9) f() = rc cos u f '( ) f '( ) u' u u u ) f() = rc tg u u' f '( ) u 9

128 .. DERIVADA DE FUNÇÃO ALGÉBRICA: Prof Pul F. Benevides Eemplos: ) = ) 7 7 ) ) ) ( )( ) 6) ( ) 7) 8) 96

129 AULA 8 - EXERCÍCIOS Prof Pul F. Benevides ) = X X + X + X + ) = ) 7 ) ) 6) 7) 8) 6 9) ) 7 ) ) ) = ( + )( + ) ) = ( )( )( ) ) = ( + 8) 8 6) = (- b) 6 7) b 8) ( ) 9) ( ) ) ) 6 ) ) ) Resposts: ) = ) = ) = + ) ' ) ' 6 6) ' 7) ' 8) ' 8 9) ' 9 ) ' ( 7) 6 ) ' ( ) ) ' ( ) ) = + + ) = ) = ( )( + ) 7 6) = -b(ª-b) b 7) ' ( b ) 8) ' 9) ' 8 ) ' 6 ) ' (6 ) ) ' ( ) ) ) ' ' ( ) ( ) 97

130 AULA 9 Prof Pul F. Benevides.. DERIVADA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS: Eemplos: ) ) e ) e ) e ) e e 6) log 7) log ( ) e e 8) e e 98

131 ) = ) = e ) ) ) 6) 7) 8) 8 e e 7 e ( ) ( ) 9) ln ) log ) ln ) ln ) ln 9 ) ln ) e ln 6) 7) ln ln AULA 9 - EXERCÍCIOS Resposts: ) ' ln ) ) ' e ' 8. e 7 ) ' e.( ) ) ' 7.ln 7.( ) 8 Prof Pul F. Benevides e ( ) 6) ' 7) ' ( ) ( ) ln( ) 8) ' ( )( ) ( )..ln( ) ln 9) ' ) ' ln ) ' ( ) ) ' ( ) ) ' 9 ln ) ' ( ln ) ) ' e ln 6) ' (ln ) ln 7) ' 99

132 Prof Pul F. Benevides AULA.. DERIVADA DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: Eemplos: ) = sen ) = cos ) = tg ) = sec ) = tg 6) = tg 7) = cotg( ) 8) = cos 9) = sen.cos ) cos ) rccos

133 AULA - EXERCÍCIOS Prof Pul F. Benevides ) = cossec 7 ) = sen + cos ) = sen ) = sen ) tg 6) sen 7) cos e 8) (cos ) 9) sen cos ) e sen ) sec ) sen. e ) rcsen ) rctg ) rcsen( ) 6) rctg 7) rcsen( ) 8) rccot g( ) 9) rcsec ) rccos sec( ) ) rcsen ). rctg ) ln rccos Resposts ) = -7cossec7.cotg7 ) = cos-sen ) = sen.cos ) = sen.cos tg ) ' cos. sen cos 6) ' ( sen cos ) cos 7) ' e 8) ' (cos ) (ln cos tg ) 9) ' sec ) ' e ( sen cos ) ) ' sec. tg ) = e (sen+cos+sen) ) ' 9 ) ' ) ' 9 6) ' 6 7) ' 6 8) ' 9) ' 6 ) ' ( ) ) ' ) ' rctg ) ' rccos.

134 .6 DERIVADAS SUCESSIVAS AULA Prof Pul F. Benevides Sej f um função contínu em um intervlo I e derivável em um intervlo A I. Vimos que derivd de f em A denotmos por f. Se f é derivável em um intervlo B, B A, est derivd de f denotmos por f denominmos derivd segund de f. Procedendo de mneir nálog, definimos s derivds terceirs, qurt,...,enésims. Eemplo: ) Obtenh té derivd de ordem d função f() = ) Dd função f() = +, pede-se clculr f (-) e f (6) ().7 REGRAS DE L HOSPITAL Agor presentremos um método gerl pr levntr indeterminções do tipo ou. Esse método é ddo pels regrs de L Hospitl. Regrs de L Hospitl:Sejm f e g funções deriváveis num intervlo berto I. Suponhmos que g () pr todo em I. f '( ) i). Se lim f ( ) lim g( ) e lim L então: g'( ) f ( ) f '( ) lim lim L g( g'( )

135 Prof Pul F. Benevides f '( ) ii). Se lim f ( ) lim g( ) e lim L então: g'( ) f ( ) f '( ) lim lim L g( ) g'( ) f '( ) f '( ) Obs.: A regr de L Hospitl continu válid se lim ou lim g'( ) g'( ) El tmbém é válid pr os limites lteris e pr os limites no infinito. Eemplos: Determinr ) lim e. ) sen lim ) cos lim ) lim ) 6 lim

136 Prof Pul F. Benevides AULA EXERCÍCIOS ) lim ) lim ) lim e ) lim ln sen ) lim e 6) lim e e 7) lim tg 8) lim sen e e 9) lim sen ) lim sen sen ) lim sen ) lim b ) lim sen ) lim e ) lim cos 6) Obter derivd terceir ds seguintes funções: ) f() = + + b) f() = + c) f ( ) d) f() = - e) f() = sen f) f() = e Resposts ) b) = e.cos ) ) ) ) ) 6) 7) e 8) 9) ) ) ) 6 ) ln b ) ) - 6) ) 6 b) c) d) - -6 e) -7cos f) 8e 7) ) " ( ) b) = -e sen 7) Obter derivd segund ds seguintes funções:

137 Prof Pul F. Benevides.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS AULA.8. TAXAS DE VARIAÇÃO RELACIONADAS Notemos que se dus grndezs vriáveis estão relcionds entre si trvés de um terceir grndez, então sus ts de vrição em relção est grndez d qul dependem tmbém estrão. Eemplo: Se depende de e depende de t, temos: Eemplos: ) Um qudrdo se epnde de modo que seu ldo vri rzão de cm/s. Achr t de vrição de su áre em relção o tempo no instnte em que o ldo mede cm. d dt d d d dt ) Um cubo se epnde de modo que su rest vri rzão de,cm/s. Achr t de vrição de seu volume no instnte em que su rest mede cm.

138 Prof Pul F. Benevides ) Acumul-se rei em um monte com form de um cone onde ltur é igul o rio d bse. Se o volume de rei cresce um t de m /h, que rzão ument áre d bse qundo ltur do monte é de m?.8. MÁXIMOS E MÍNIMOS.8.. Introdução: Suponh que o gráfico bio tenh sido feito por um instrumento registrdor usdo pr medir vrição de um quntidde físic em relção o tempo. Em tl cso, o eio dos represent o tempo e s ordends dos pontos do gráfico, os vlores d quntidde f(). Por eemplo, os vlores de podem representr medids de temperturs, pressão, corrente em um circuito elétrico, pressão sngüíne de indivíduo, quntidde de um produto químico em um solução, bctéris em um cultur, etc. Observemos que há intervlos em que função é crescente e outros nos quis el é decrescente. M P N b c d e A figur mostr que f é crescente no intervlo de ],b[, decrescente de ]b, c[, crescente ]c, d[ e decrescente de ]d, e[. 6

139 Prof Pul F. Benevides Se restringirmos noss tenção o intervlo de [b, e], veremos que quntidde tingiu seu máimo (mior vlor) em d e seu mínimo em c. Observe que em outros intervlos eistem diferentes máimos e mínimos. O ponto M d curv, de bsciss = b, situ-se etmente no ponto onde função pss de crescente pr decrescente. Dizemos então que função present um máimo locl em = b, ou que f(b) é um máimo locl d função. Isto é, o vlor de f(b) é o mior vlor que função ssume pr vlores de, próimos de b. Convém observr que o ponto M não é o ponto mis lto do gráfico. M é o ponto mis lto dos que lhe são próimos. Por isso o djetivo locl. Vejmos gor que função é decrescente no intervlo de ]b, c[ e crescente de ]c, d[. O ponto N d curv situ-se etmente no ponto em que função pss de decrescente pr crescente e su bsciss é = c. Observmos que N é o mis bio ponto entre os que lhe são próimos. Dizemos que função present i um mínimo locl, ou que f(c) é um mínimo locl de f. O vlor de f(c) é o menor vlor que função ssume pr vlores próimos de, próimos de b. Notemos que função pode presentr outros máimos e mínimos locis. Definição : Sej f um função definid em um intervlo l e c um número em l, então: i). f() é máimo de f em l se f() f(c) pr todo em l ii). f() é mínimo em f em l se f() f(c) pr todo em l Definição : Sej c um vlor do domínio de um função f i). f(c) é máimo locl de f se eiste um intervlo (,b), contendo c, tl que f() f(c) pr todo em (,b) ii). f(c) é mínimo locl de f se eiste um intervlo (,b), contendo c, tl que f() f(c) pr todo em (,b) Teorem: Se um função f tem etremo locl pr um vlor c, então f (c) = ou f (c) não eiste. Suponh que um função f sej derivável, neste cso o seu gráfico dmite tngente em cd ponto, conforme o gráfico bio. No ponto B, de máimo locl, e A de mínimo locl, tngente o gráfico é um ret horizontl, prlel o eio. Logo f () = f (b) = pois o coeficiente ngulr d ret tngente é derivd d função no ponto. Se f é um função derivável e o ponto tl que f ( o ) = ou não eist, dizemos que é um ponto crítico d função f. Portnto d firmção nterior, concluímos que os máimos e mínimos locis de um função ocorrem em pontos críticos d função. A condição f () = é necessári pr que hj máimo ou mínimo locl no ponto, ms não é suficiente. 7

140 Prof Pul F. Benevides Sej por eemplo função f() =. Derivndo temos: f () =, logo f () = e o ponto de bsciss = não é nem máimo locl nem mínimo locl d função. Definição : Um ponto (número) c do domínio de um função f é ponto crítico de f se, ou f (c)= ou f (c) não eist. Eemplo: Determine os pontos críticos d função f() = Determinção dos Máimos e Mínimos locis: o ) Clculr derivd primeir d função f e resolver equção f ()=, cujs rízes são s bscisss dos pontos críticos de f. o ) Eminmos cd ponto crítico encontrdo fim de verificr se trt-se de etremo ou não. Pr isso, utilizremos o teste d derivd primeir ou o teste d derivd segund..8.. Crescimento e Decrescimento de funções: Teorem: Sej f um função contínu em um intervlo fechdo [, b] e derivável no intervlo berto (, b). i). Se f () > pr todo em (, b) então f é crescente em [, b] ii). Se f () < pr todo em (, b) então f é decrescente em [, b] 8

141 Prof Pul F. Benevides.8.. Teste d Derivd Primeir: Suponhmos que pr = função f tenh um ponto crítico e sejm e b muito próimos de tis que < <b, então: i). Se tivermos que f () > e f (b) <, então, nesse cso função pss de crescente decrescente e podemos firm que f( ) é um máimo locl d função. ii). Se tivermos que f () < e f (b) >, então, nesse cso função pss de decrescente crescente e podemos firmr que f( ) é um mínimo locl d função. Eemplos: ) Sej função f() = -. Determine os pontos de máimo, de mínimo e de infleão se eistirem. ) Sej função f() = Determine os pontos de máimo, de mínimo e de infleão se eistirem..8.. Concvidde e Teste d Derivd Segund: 9

142 Prof Pul F. Benevides Teste d Concvidde: Se um função f é diferenciável em um intervlo berto contendo c, então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é: i). Côncvo pr cim se f (c) > ii). Côncvo pr bio se f (c) < Teste d Derivd Segund: Sej f diferenciável em um intervlo berto contendo c e f (c)=. i). Se f (c) <, então f tem máimo locl em c ii). Se f (c) >, então f tem mínimo locl em c Se função f dmite derivd segund nos pontos críticos, e supondo que est sej contínu no domínio considerdo, podemos empregá-l pr eminr cd ponto crítico e clssificá-lo. Sej bsciss de um ponto crítico, se f ( ) >, o gráfico de f côncvo pr cim pr próimo de, isto é, f tem i concvidde voltd pr cim e então f( ) é um mínimo locl de f. Se f ( ) <, o gráfico de f é côncvo pr bio pr próimo de, isto é, f tem concvidde voltd pr bio, e nesse cso, f( ) é um máimo locl de f. Resumindo: f '( Mínimo Locl: f "( ) ) f '( ) Máimo Locl: f "( ) Eemplo: Determinr os pontos máimos ou mínimos d função f() = - + 9, se eistirem usndo o teste d DERIVADA SEGUNDA.

143 Prof Pul F. Benevides AULA - EXERCÍCIOS ) Ao quecer um disco circulr de metl, seu diâmetro vri à rzão de, cm/min. Qundo o diâmetro est com metros, que t est vrindo áre de um fce? ) Um tnque em form de cone com vértice pr bio mede m de ltur e tem no topo um diâmetro de m. Bombei-se águ à t de m /min. Ache t com que o nível d águ sobe: ) qundo águ tem m de profundidde. b) qundo águ tem 8 m de profundidde. ) Um pedr lnçd em um lgo provoc um série de ondulções concêntrics. Se o rio r d ond eterior cresce uniformemente à t de,8 m/s, determine t com que áre de águ perturbd está crescendo: ) qundo r = m b) qundo r = 6m ) Determine s bscisss dos pontos críticos ds funções bio: ) s(t) = t + t t + b) f() = + 7 c) g(w) = w w ) Determine os pontos de máimo, de mínimo e de infleão ds seguintes funções se eistires, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA. ) = b) f ( ) c) f() = ) Imgine que trjetóri de um pedr lnçd o r sej um trecho d prábol dd por = ( e em metros), determine o ponto máimo d função. Resposts: ) cm / min ) m / min ) b) m / min ),8m / s ) b),6 m / s ) t e ) b) e 7 c) w ) ) má = - e min = / b) má = 7 c) má = 7/9 6) ) má = e min = b) má = -/ e min = c) má = e min = - 9 7) P(,- ) 6) Determine s bscisss dos pontos máimos ou mínimos ds seguintes funções, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA. ) f() = + + b) = c) =

144 Prof Pul F. Benevides AULA. INTEGRAIS. INTRODUÇÃO: Até o momento, nosso problem er; dd função obter su derivd. A prtir de gor, trblhremos com pergunt invers: dd função de quem el é derivd? A operção contrári diferencição (ou derivção) é chmd de ntidiferencição ou nti-derivd. Definição: Um função F é chmd de nti-derivd de um função f em um intervlo l se F () = f() pr todo em l Eemplo: Sej f() = + +. F() = + + é nti-derivd d função f, pois F ( = f(). Ms não eiste um únic integrl, note por eemplo que: G() = tmbém é um nti-derivd de f pois G () = f9 N verdde,qulquer função definid por H() = c onde é um constnte qulquer, será um integrl de f... NOTAÇÃO: A nti-diferencição é um processo pelo qul se obtém nti-derivd, mis gerl de um função encontrd. O símbolo denot operção de integrl, e escrevemos: f ( ) d F( ) C onde F' ( ) f ( ) A epressão cim é chmd de Integrl Indefinid de f. Em lugr de usrmos epressão ntiderivção pr o processo de determinção de F, utilizremos gor, epressão Integrção Indefinid. Pr fcilitr o nosso processo de obtenção d nti-derivd de um função, temos lgums regrs, que veremos seguir.. INTEGRAIS IMEDIATAS n d n c n ) d d )

145 Prof Pul F. Benevides d ) ) ( ) d ) d ( ) 6) d n n v v dv c n 7) ( ). d 8) b. d dv v d 9) ( ) ln v c

146 Prof Pul F. Benevides d ) v dv v v v c ln e dv e c e ) d ) e d ) b b d

147 Prof Pul F. Benevides tgv. dv ln cos v c ou tgv. dv ln secv c ) tg d cos secvdv ln(cos secv cot gv) c ) cos sec d sec vdv 6) sec d tgv c sec vdv ln(sec v tgv) c d 7) sec sen 8) d cos sec. tg. d sec c cossec d cot g c

148 Prof Pul F. Benevides d 9) cos dv v v rcsen c ou dv v v rccos c d ) 6 9 d ) 9 dv v dv v rctg c ou rc c v cot v v v dv v rcsec c ou v v dv v rccos sec c d ) 9 dv v ln v v c 6

149 Prof Pul F. Benevides d ) 9 dv v dv ln c v v ln( v v ) c v d ) 7 7

150 8 ) d ( ) ( ) ) d ( 6) ) d ( ln ) ) d ( ) ) d 6) ( e ). e d 7) sen.cos. d sec 8) d tg 9) d b c d ).ln ) tg. d d ) ( e ) sen cos ) d cos cot g ) d sen ) (sec ) d sec. tg 6) d bsec cos 7) d sen 8) tg. d 9) ( tg sec) d ) ( tg cot g) d ) d b dt ) 9t cos. d ) sen d ) AULA - EXERCÍCIOS rccos ) d 6) d 6 d 7) ( ) rctg d 8) e e sec. tg 9) d 9 sec d ) d ) d ) ( ) rccos ) d ) d 7 d ) 7 6 d 6) 7) d 9 8) d 9 8 sen 9) d sen e d ) e d ) ln d ) sen cos ). d Resposts: ( ) ) c Prof Pul F. Benevides 8

151 ) ( 6) + c ( ) ) c 6 ( ln ) ) c ) c e ( ) (cos ) 6 tg ln( b c c 6) c 7) c 8) c 9) ) c ) ln(ln) + c ln(sec ) e ln(sec ) ) c ) c ) c l (cot g) tg ln(sec tg) ln( bsec ) b sen sen tg tg tg sec cot g tg ) c ) c 6) c 7) c 8) c 9) c ) c b b t ln t sen ln sen rcsec ) rctg c ) c ) c ) c rccos ln 6 ln( rctg ) ) c 6) c 7) c 8) rctge c Prof Pul F. Benevides sec rctg 6 rctg rcsen( ) rcsec c rccos ln( 7) ln 7 9) c ) c ) c ) ) c ) c ) 7 6 rcsen c 6 ln( ) 9 ln( 9) ln(9 8). rctg 9 9 6) c 7) c 8) c sen e rctg ln rcsen rctg tg 6 7 ( ) 6 9) c ) c ) c ) c ) 9

152 Prof Pul F. Benevides AULA. INTEGRAIS POR PARTES u. dv u. v v. du ). e d ).ln. d ) d

153 Prof Pul F. Benevides ) ln( ) d ) e sen sen d

154 Prof Pul F. Benevides AULA - EXERCICIOS ) rcsend ) sen d ) sec d ). sen. d ). e. d 6). e. d 7). rctg. d 8) rcsen. d 9) tg.sec. d ). rctg d ln. d ) ( ) ) rcsen d Resposts: ). rcsen c sen ) c ) sec. tg ln(sec tg) c ).cos sen cos c ) e ( ) c 6) e.. c 8 7) rctg ( ) c rcsen 8) ln c 9) sec tg sec tg ln(sec tg) c 8 8 ) rctg c ln ) ln c ( ) ) rcsen rctg c

155 Prof Pul F. Benevides AULA. INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS As identiddes seguintes são empregds no cálculo ds integris trigonométrics do presente cpítulo: i). sen cos ii). tg sec iii). cot g cos sec iv). sen ( cos ) v). cos ( cos ) vi). sen cos sen sen cos sen( ) sen( ) sen sen cos( ) cos( ) cos cos cos( ) cos( ) ). cos sen i). cos cos ii). sen cos vii). viii). i). Eemplos: ) sen d ) cos d

156 Prof Pul F. Benevides ) sen d 6 ) cos d ) sen cos d

157 Prof Pul F. Benevides 6) sen. send 7) sen.cos. d 8) cos.cos. d 9) cos. d

158 Prof Pul F. Benevides ) cos d d ) sen ) tg. d ) cot g d 6

159 Prof Pul F. Benevides AULA - EXERCÍCIOS ) cos d ) sen d ) cos. sen. d ) sen.cos d ) sen. cos d sen 6) d cos 7) tg d 8) sec d 9) sec. tg d ) tg.sec d ) tg. sec d ) cot g d Resposts: ) sen sen sen C ) sen sen C 8 ) 7 cos cos C ) 8 cos cos 6 C 8 sen8 ) sen C 8 8 6) cos cos C tg tg 7) ln sec C 8) tg tg C tg tg sec sec 9) C ou C 6 6 ) sec sec C 6 7 tg tg ) C 7 ) cot g cot g C 9 7

160 Prof Pul F. Benevides AULA 6. INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Est técnic é usd pr integrr funções rcionis própris, isto é, funções d form p( ) R( ), onde p e q são polinomiis e o gru de p() é menor que o gru de q(). A ídéi é q( ) desdobrr o integrndo R() em um som de funções rcionis mis simples, que podem ser integrds. É fácil verificr que: A epressão à direit é o que se chm um decomposição em frções prciis de Pode-se usr est decomposição pr clculr integrl indefinid de. Bst integrrmos cd um ds frções d decomposição, obtendo: d d d. O desdobrmento do integrndo pode ser feito de cordo com os csos seguintes: CASO : O denomindor de R() pode ser decomposto em ftores distintos do o gru. * Neste cso, cd ftor d form ( + b), e, b, que prece no denomindor, A corresponde um frção d form. ( b) Eemplos: ( ) ( )( ) A B C ( ) ( ) ( ) 9 Clcule d 8

161 Prof Pul F. Benevides 9 CASO : O denomindor de R() pode ser decomposto em ftores repetidos do o gru. A cd ftor d form ( + b) que prece n vezes no denomindor, corresponde um som de n frções d form: n n b A b A b A ) (... ) ( Eemplos: ] ) )[( )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A A A A A Clcule d ) )( ( 9 8

162 Prof Pul F. Benevides CASO : O denomindor é constituído por ftores qudráticos distintos e irredutíveis d form q() = +b + c com e não pode portnto ser decomposto em ftores do o gru. A A B cd ftor q() que prece no denomindor, corresponde um frção d form q() Eemplo: A B A B ( )( ) ( ) ( ) Clcule d 8

163 Prof Pul F. Benevides CASO : O denomindor é constituído por ftores qudráticos repetidos e irredutíveis d form q() = + b + c com e não pode portnto ser decomposto em ftores do o gru. A cd ftor de q() que prece repetido no denomindor, corresponde um som de frções d A B A B An Bn form... n q( ) [ q( )] [ q( )] Clcule 7 d ( )

164 Prof Pul F. Benevides ) d ( ) 7 ) d ( )( )( ) 6 ) d ( ) 6 ) d 8 8 ) d 6) d ( ) ( ) AULA 6 - EXERCICIOS Resposts: ) ln ln C ) ln ln ln C ) 6 ln C ) ln ln C ) ln ln ln C 6) ln ln C

165 Prof Pul F. Benevides AULA 7.6 INTEGRAL DEFINIDA: Teorem fundmentl do Cálculo: Sej f um função contínu em [, b] e g um função tl b que g () = f() pr todo [, b]. Então f ( ) d g( b) g( ). A epressão b f ( ) d é chmd de Integrl Definid de f de té b. Em lingugem simples, este teorem nos diz que se g é um nti-derivd de f, então integrl definid de té b de f é dd pel diferenç g(b) g(). Os vlores de e b são chmdos de limites de integrção. Eemplos: ) Clcule d ) Clcule d ) Clcule 7 d

166 Prof Pul F. Benevides.6. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: Vmos gor interpretr geometricmente os eemplos e. ) Sej f() = (eemplo ). Tomemos região delimitd por (), o eio e s rets = e =. = = Temos um retângulo de bse e ltur, cuj áre é dd por: A = b.h = = u. (como no eemplo ) ) Sej f() = (eemplo ). Tomremos região delimitd pelo eio, função f() = e s rets = e = 7. 7 f()= Temos um triângulo de bse 7 e ltur 7, cuj áre é dd por A u.. Os ftos observdos nestes eemplos não são mer coincidênci. N verdde, se f()> pr [,b], então b. f ( ) d nos fornece áre limitd por f() pels rets = e = b e o eio

167 Prof Pul F. Benevides ) Tomemos gor um eemplo em que f() < em [, b] ( ) d ( ) ( ) bio: A região delimitd por = (+), pelo eio e s rets = - e = - é presentd dd por Note que A é um triângulo de bse e ltur, ssim, A u.. Assim, vemos que f ) A ( d. Em gerl se f()< em [, b] áre delimitd por f(), o eio e s rets = e =b é b A f ( ) d..6. PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS então:. Se um função f é integrável no intervlo fechdo [, b], e se k é um constnte qulquer, b k. f ( ) d k f ( ) d b Eemplo: Clcule o vlor d integrl d

168 Prof Pul F. Benevides. Se s funções f e g são integráveis no mesmo intervlo fechdo [,b] então f + g é integrável em [, b] e: Eemplo: b [ ( ) g( )] d f ( ) d b f g( ) d Clcule o vlor d integrl b d. Se função f é integrável nos intervlos fechdos [, b], [, c] e [c, b] então: b ( ) d f ( ) d Eemplo: c f f ( ) d Clcule o vlor d integrl d c b AULA 7 - Eercícios Encontre o vlor ds integris definids Resposts: bio: 8 ) ) d ) ) d ) 66 ) ( ) d ) 6 ) ( ) d ) 7 ) d 6) ( ) d d 7) 6 8) ( t t) dt d 9) 9 ) d 7 ) 8 d 6) 7 8) 7 9) 8 ) ) 7) 7 6

169 Prof Pul F. Benevides AULA 8.6. APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA.6.. CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA Se f é um função contínu em um intervlo fechdo [, b] e se f() pr todo em [, b], então temos que o número que epress áre d região limitd pel curv = f(), o eio e s rets = e = b é dd por, em uniddes qudrds: A f ( ) d Por conveniênci, referimo-nos à região R como região sob o gráfico f de té b. Áre = R b b Eemplos: ) Encontre áre limitd pel curv =, o eio e s rets = - e =. = = 7

170 Prof Pul F. Benevides ) Encontre áre limitd pel curv =, o eio e s rets = - e = - ) Clcule áre limitd pels curvs = +, = - - e s rets = - e =. A - A - 8

171 Prof Pul F. Benevides ) Clcule áre d região definid pel curv =, o eio e s rets = - e = A - - A 9

172 Prof Pul F. Benevides.6.. ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES: Nest seção, considerremos região que est entre os gráficos de dus funções. Se f e g são contínus em f() g() pr todo em [, b], então áre A d região R, limitd pelos gráficos de f, g, = e = b, pode ser clculd subtrindo-se áre d região sob o gráfico de g (fronteir inferior de R) d áre d região sob o gráfico de f (fronteir superior de R): ou A f ( ) d g( ) d b b [ f ( ) g( )] d b Suponh que desejmos clculr áre A delimitd por dus curvs f() e g() e s rets = e = b, como ilustr figur bio: f() g() b Note que áre pode ser obtid pel diferenç ds áres A A f() g() b b Sendo f ( d e A ) b A = A A A f ( ) d b b g ( ) d A [ f ( ) g( )] d b A g( ) d b Assim verificmos que é válido o teorem seguir: