FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DA COMPUTAÇÃO

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1 Ministério d Educção Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curitib Gerênci de Ensino e Pesquis Deprtmento Acdêmico de Mtemátic FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DA COMPUTAÇÃO Prof Pul Frncis Benevides

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3 AULA - FUNÇÕES. - Conceito mtemático de função Definição : Domínio d função é o conjunto de todos os vlores ddos pr vriável independente. Definição : Imgem d função é o conjunto de todos os vlores correspondentes d vriável dependente. Como, em gerl, trblhmos com funções numérics, o domínio e imgem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mis rigor o que é um função mtemátic utilizndo lingugem d teori dos conjuntos. Pr isso, temos que definir ntes o que é um produto crtesino e um relção entre dois conjuntos. Definição : Produto crtesino: Ddos dois conjuntos não vzios A e B, denomin-se produto crtesino (indic-se: A B ) de A por B o conjunto formdo pelos pres ordendos nos quis o primeiro elemento pertence A e o segundo pertence B. (Eq.) A B {(, )/ A e B }. Definição : Relção: Ddos dois conjuntos A e B, dá-se o nome de relção r de A em B qulquer subconjunto de A B. (Eq.) r é relção de A em B r A B. Eemplo: Sejm os conjuntos A {,,,}, B {,,,6,8,} e relção r de A em B, tl que, A e B. Escrever os elementos dess relção r. Como A : (,) A B ; (,) A B ; (,) A B ; 6 (,6) A B. Então, r {(,), (,), (,), (,6)}. A r B 6 8 [Fig.]: Representção d relção por digrm [Fig.]: Representção d relção por sistem crtesino.

4 Obs.: Podemos observr que, num relção r de A em B, o conjunto r é formdo pelos pres (, ) em que o elemento A é ssocido o elemento B medinte um lei de ssocição (no cso, ).. - Definição de função Definição : Sejm A e B dois conjuntos não vzios e f um relção de A em B. Ess relção f é um função de A em B qundo cd elemento do conjunto A está ssocido um e pens um elemento do conjunto B. Nos eercícios seguir, verifique se s relções representm função de A em B. Juntifique su respost e presente o digrm d relção. Eemplos: ) Ddos os conjuntos A {,,} e B {,,,,,}, sej relção de A em B epress pel fórmul, com A e B. A (,) A B ; (,) A B ; (,) A B. B Todos os elementos de A estão ssocidos elementos de B. A cd elemento de A está ssocido um único elemento de B. Neste cso, relção de A em B epress pel fórmul é um função de A em B. ) Ddos os conjuntos A {,,,} e B {,,,,}, sej relção de A em B epress pel fórmul, com A e B. (,) A B ; (,) A B ; (,) A B. A - B O elemento de A não está ssocido nenhum elemento de B. Neste cso, relção de A em B não é um função de A em B.

5 ) Ddos os conjuntos A {,,,} e B {,,6,9}, sej relção de A em B epress pel fórmul, com A e B. 9 (,9) A B ; (,) A B ; (,) A B ; 9 (,9) A B. A - - Todos os elementos de A estão ssocidos elementos de B. A cd elemento de A está ssocido um único elemento de B. Neste cso, relção de A em B epress pel fórmul é um função de A em B. 6 9 B ) Ddos os conjuntos A {6,8} e B {,,}, sej relção de A em B epress pel fórmul, com A e B. A B 6 ou (6,) e (6,) A B ; 8 (8,) A B. Todos os elementos de A estão ssocidos elementos de B. O elemento 6 do conjunto A está ssocido dois elementos do conjunto B. Neste cso, relção de A em B não é um função de A em B.. Notção de Função Qundo temos um função de A em B, podemos representá-l d seguinte form: f : A B (lê-se: função de A em B ) (lê-se: cd vlor de A ssoci-se um só vlor B ) A letr f, em gerl, dá o nome às funções, ms podemos ter tmbém função g, h, etc. Num função g : R R, dd pel fórmul 8, podemos tmbém escrever g ( ) 8. Neste cso, g ( ) signific o vlor de qundo, ou g ( )6.

6 . - Domínio, contrdomínio e imgem de um função Um função f com domínio A e imgens em B será denotd por: f : A B (função que ssoci vlores do conjunto A vlores do conjunto B ) f ( ) ( cd elemento A corresponde um único B ) O conjunto A é denomindo domínio d função, que indicremos por D. O domínio d função tmbém chmdo cmpo de definição ou cmpo de eistênci d função, serve pr definir em que conjunto estmos trblhndo, isto é, os vlores possíveis pr vriável. O conjunto B é denomindo contrdomínio d função, que indicremos por CD. É no contrdomínio que estão os elementos que podem corresponder os elementos do domínio. Cd elemento do domínio tem um correspondente no contrdomínio. A esse vlor de dmos o nome de imgem de pel função f. O conjunto de todos os vlores de que são imgens de vlores de form o conjunto imgem d função, que indicremos por Im. Note que o conjunto imgem d função é um subconjunto do contrdomínio d mesm. f : A B f ( ) D A, CD B, Im { CD / é correspondente de lgum vlor de }. Eemplos: ) Ddos os conjuntos A {,,,} e B {,,,,,}, determinr o conjunto imgem d função f : A B definid por f ( ). f ()() f ()() f ()() f ()() Im {,,,} A B ) Dd função f : R R definid por f ( ) b, com,b R, clculr e b, sbendo que f () e f (). A lei de formção d função é f ( ) b ou b. f () e b (i) f () e ()b (ii) De (i) e (ii), temos: b b b e b e b f ( ).

7 . Função Compost Tome s funções f : A B, definid por f ( ), e g : B C, definid por g ( ). Note que o contrdomínio B d função f é o mesmo domínio d função g. f : A B : cd A ssoci-se um único B, tl que. g : B C : cd B ssoci-se um único z C, tl que z. Neste cso, podemos considerr um terceir função, h : A C, que fz composição entre s funções f e g : A B C g f z [Fig. ]: Função compost h : A C : cd A ssoci-se um único z C, tl que z ( ). Ess função h de A em C, dd por h ( ), é denomind função compost de g e f. De um modo gerl, pr indicr como o elemento z C é determindo de modo único pelo elemento A, escrevemos: z g ( ) g ( f ( )) Notção: A função compost de g e f será indicd por g o f (lê-se: g círculo f ) (Eq.) ( g o f )( ) g ( f ( )) Eemplos: ) Sejm s funções reis f e g definids respectivmente por f ( ) e g ( ) Determine: ) f ( g ( )). f ( g ( )) f ( ) f ( g ( )). b) g ( f ( )). g ( f ( )) g ( )( ) g ( f ( )). h ( ) c) Os vlores de pr que se tenh f ( g ( )) g ( f ( )). f ( g ( )) g ( f ( ))..

8 ) Sendo f ( ) e f ( g ( ))6 8, determine g ( ). Como f ( ), então f ( g ( )) g ( ). Como f ( g ( ))6 8, então g ( )6 8. g ( )6 8 g ( ) g ( ) g ( )..6 Função Invers Definição 6: Função bijetor: A função f é denomind BIJETORA, se stisfz s dus condições bio:. O contrdomínio de f coincide com su imgem, ou sej, todo elemento do contrdomínio é correspondente de lgum elemento do domínio.. Cd elemento do contrdomínio de f é imgem de um único elemento do domínio. Definição 7: Diz-se que um função f possui invers f se for bijetor..6. Determinção d Função Invers Cso função sej bijetor, possuindo portnto invers, é possível determinr su invers. Pr isso trocmos vriável por n lei que define função e em seguid isolmos o, obtendo lei que define função invers. É preciso pens tomr certo cuiddo com o domínio d nov função obtid. Eemplo: ) Obter lei d função invers f d função f dd por. função f. trocndo vriável por e por. isolndo. Então, é lei d função invers d função dd por. Logo: f ( ) e f ( ) ) Construir os gráficos ds funções f e coordends. f do eercício nterior, num mesmo sistem de f ( ) f ( ) Note que os gráficos ds funções f e f são simétricos em relção à ret que contém s bissetrizes do o e o qudrntes f f - 6

9 ) Determinr função invers Logo, g d função g ( ) função g. trocndo vriável por e por. ( ) isolndo. ( ). g : R R dd por, cujo domínio é D R é função invers procurd.. AULA EXERCÍCIOS ) Sej relção de A {,, } em B {,,,,, } definid por g(). Fç o digrm de g e verifique se g é um função de A em B. Em cso firmtivo escrev o conjunto imgem. ) Sej função f de D {,,,, } em R definid por f() ( )( ). Determine o seu conjunto imgem. ) Sejm f e g funções reis definids, pr todo o número rel não nulo, por: ( ) 8 ( ) g ( ) f e ( ) Se e b são números reis distintos tis que f() g() e f(b) g(b), clcule b ) Considere função f() rel, definid por f() e f( ) f(). Determine o vlor de f() ) Determine o domínio ds seguintes funções: ) f ( ) b) f ( ) c) d) f ( ) 7 6) Sendo f ( ), e g ( ), che o vlor de f ( g()) g f. 7) Se f ( ), qul o vlor de pr que f(f())? 6 8) Dd função f ( ) com. clcule: ) f - () b) f - () Resposts: ) sim, Im{, } ) Im {-,, } ) ) 9 ) ) D R b) D R {-, } c) D R D R < <, e, d) { } 6) 9 7) 6 8) ) b) 7

10 AULA - FUNÇÃO POLINOMIAL Definição 8: Função polinomil com um vriável ou simplesmente função polinomil é quel cuj formulção mtemátic é epress por um polinômio.. - Função polinomil do o gru A função polinomil do o gru é que tem su representção mtemátic por um polinômio de gru. Representção d função polinomil do o gru: f ( ) b, com,b R ( ). e b são os coeficientes e vriável independente. Eemplo: Em um função polinomil do o gru, f ( ), sbe-se que f () e f (). Escrev função f e clcule f. Se f é polinomil do o gru, então podemos escrever: b. Usndo os ddos do problem: f () e. Então, b b (i). f () e. Então, ()b b (ii). Resolvendo o sistem formdo por (i) e (ii): (i) b b (ii) b () b 6 Se, então b b 6. A função f é dd por f ( ) 6. Cálculo de f : f 667 A função é f ( ) 6 e f Função liner Sej função polinomil do o gru f ( ) b. No cso de b, temos f ( ), e el recebe o nome especil de função liner. Obs.: Se, em um função liner tivermos, teremos f ( ) ou, que se dá o nome de função identidde. 8

11 .. Gráfico de um função polinomil do o gru Pr construir o gráfico de um função polinomil do o domínio à vriável e clculmos s respectivs imgens. gru, tribuímos vlores do Eemplo: Construir o gráfico d função rel f dd por. Pr ordendo (,) (,) (,) (,) (,) (,) Definição 9: O gráfico d função liner ( ) é sempre um ret que pss pel origem do sistem crtesino. Definição : O gráfico d função polinomil do o gru b ( ) intercept o eio ds ordends no ponto (,b )... Determinção de um função prtir do gráfico Nos eercícios bio, determine lei de formção d função f ( ) b. Eemplo: ) Determine lei de formção d função f, cujo gráfico crtesino é:

12 Sbendo-se que b, do gráfico, temos que: e ()b b (i). e ()b b (ii). (i) b (ii) b b Se b, então b Logo: A função é f ( ). b ) Determine lei de formção d função f, cujo gráfico crtesino é: Sbendo-se que b, do gráfico, temos que: e ()b b (i). e ()b b (ii). (i) b () b (ii) b b Se, então b b Logo: A função é f ( )... - Crescimento e decrescimento de um função polinomil do o gru Sej f função polinomil do o gru definid por f ( ) b. Podemos determinr que: i) A função f é crescente se o coeficiente >; ii) A função f é decrescente se o coeficiente <. Eemplo: Construir os gráficos ds funções f e g do o gru seguir: i) f ( ) ii) g ( )

13 i) Aumentndo os vlores tribuídos, umentm tmbém os vlores correspondentes d imgem f ( ). ii) Aumentndo os vlores tribuídos, diminuem os vlores correspondentes d imgem g ( )... - Estudo do sinl d função polinomil do o gru Definição : Estudr o sinl de um função f signific determinr pr que vlores de temos f ( )>, f ( )< ou f ( ) Zero de um função polinomil do o gru Definição : Denomin-se zero ou riz d função f ( ) b o vlor de que nul função, isto é, torn f ( ). Definição : Geometricmente, o zero d função polinomil do o gru f ( ) b,, é bsciss do ponto em que ret cort o eio. Eemplo: Dd lei de formção d função, construir o gráfico e determinr os vlores reis de pr os quis: ) ; b) > e c) < Podemos notr que função é decrescente, pois <. O zero d função é:. Logo, ret intercept o eio no ponto de bsciss. A solução do problem é: ) f ( ) { R ; }; b) f ( )> { R ; <}; c) f ( )< { R ; >}.

14 ... Qudro de sinis d função polinomil do o gru f ( ) b, Zero d função: b b > < b b f( )< b f( )> f( )> b f( )< f ( ) b f ( ) b f ( )> > b f ( )> < b f ( )< < b f ( )< > b. Inequções do o gru Definição : Denomin-se inequção do o gru n vriável tod desiguldde que pode ser reduzid um ds forms: b ; b >; b ; b <. com, b R e. Eemplo: Verificr se ( ) ( ) é um inequção do o gru. ( ) ( ) Logo, é um polinômio do o gru, então ( ) ( ) é um inequção do o gru... - Resolução de inequções do o gru Definição : Pr se resolver um inequção do o gru, são utilizds s proprieddes ds desigulddes, presentndo-se o conjunto verdde d inequção (conjunto solução S).

15 Eemplos: ) Resolver inequção seguinte: ( ) ( ). Represente solução n ret rel. ( ) ( ) S{ R ; } ) Resolver inequção seguinte: ( ) ( ) > 6 Reduzindo os dois membros o menor denomindor comum: > Simplificndo: > > >6 Multiplicndo por (): <6 6 < 6 S{ R ; < } >. Represente solução n ret rel Sistems de inequções do o gru Definição 6: O conjunto solução S de um sistem de inequções é determindo pel intersecção dos conjuntos soluções de cd inequção do sistem. Eemplo: Resolver inequção <. Apresente o conjunto solução S e represente n ret rel. N verdde, resolver ess inequção simultâne é equivlente resolver o sistem: (i) < (i) > (ii) (ii) (i) (ii) S{ R ; < } (i) (ii)

16 .. - Inequção-produto e inequção-quociente Um inequção do o gru do tipo 8 pode ser epress por um produto de inequções do o gru, ftorndo o o membro d desiguldde: 8 ( ) ( ). Definição 7: RESOLUÇÃO: Pr resolver um inequção-produto ou um inequçãoquociente, fzemos o estudo dos sinis ds funções polinomiis do o gru envolvids. A seguir, determinmos o sinl do produto ou quociente desss funções, lembrndo s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis. Eemplos: ) Resolver inequção ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f() f() > g() g() > h() h() < f ( ) g( ) h( ) f( ) g( ) h( ) - S{ R ; ou } ) Resolver inequção. f() f() / < g() g() < f ( ) g( ) f ( ) g( ) S{ R ; <}

17 ) Resolver inequção 9. 9 ( ) ( ) f() f() > g() g() > h() h() > f ( ) g( ) h( ) f( ) g( ) h( ) - S{ R ; ou < } ) Determine o domínio d função. ( ) ( ) f() f() > g() g() > h() h() > f ( ) g( ) h( ) f( ) g( ) h( ) - D{ R ; ou >}

18 AULA EXERCÍCIOS ) Dd função f(), determine: ) f() b) o vlor de pr que f() ) Em um função polinomil do o gru, f(), sbe-se que f() e f(-). Escrev função f e clcule f ) Um vendedor recebe menslmente um slário composto de dus prtes: um prte fi, no vlor de R$9, e um vriável, que corresponde um comissão de 8% do totl de vends que ele fez durnte o mês. ) Epressr lei d função que represent seu slário mensl b) Clculr o slário do vendedor que durnte um mês ele vendeu R$., em produtos ) Num determindo pís, o gsto governmentl com educção, por luno em escol públic, foi de. dólres no no de 98, e de.6 dólres em 99. Admitindo que o gráfico do gsto por luno em função do tempo sej constituído de pontos de um ret: ) Obtenh lei que descreve o gsto por luno () em função do tempo (), considerndo pr o no de 98, pr o no de 986, pr o no de 987 e ssim por dinte. b) Em que no o gsto por luno será o dobro do que er em 98? ) Considere s funções f e g definids em R por f() 8 e g() ) Ache s rízes ds funções f e g b) Sbendo que os gráficos de f e g são rets concorrentes, clcule s coordends do ponto de intersecção. 6) Resolver inequção ( ) 7) Determinr o conjunto verdde d ( ) inequção: > 6 8) Resolver o sistem < 9) João possui um terreno de m, no qul pretende construir um cs. Ao engenheiro responsável pel plnt, ele impõe s seguintes condições: áre destind o lzer (piscin, churrsqueir, etc) deve ter m, e áre intern d cs mis áre de lzer devem ultrpssr % d áre totl do terreno; lém disso, o custo pr construir cs deverá ser de, no máimo, R$.,. Sbendo que o metro qudrdo construído ness região cust R$,, qul é áre intern d cs que o engenheiro poderá projetr? ) Determinr o domínio d função Resposts: ) ) 8 b) / ) f() - 6 e f(-/) 7 ) ) 9,8 b) R$ 9, ) ) 7 b) ) ) 8 e b) (, 6) 6) S R 6 7) S R < S R 8) { } 9) entre m e m ) D { R < } 6

19 AULA. - Função polinomil do o gru Definição 8: A função f : R R dd por f ( ) b c, com, b e c reis e, denomin-se função polinomil do o gru ou função qudrátic. Os números representdos por, b e c são os coeficientes d função. Note que se temos um função do o gru ou um função constnte. Eemplo: Considere função f do o gru, em que f (), f () e f (). Escrev lei de formção dess função e clcule f (). Resolução Tome f ( ) b c, com. f () () b () c c c f () () b () c b i) f () () b () c b ii) Resolvendo o sistem formdo por (i) e (ii): (i) b (ii) b (i)(ii) 6 b A lei de formção d função será f ( ) f ()() () f () Gráfico de um função qudrátic O gráfico de um função polinomil do o gru ou qudrátic é um curv bert chmd prábol. Pr evitr determinção de um número muito grnde de pontos e obter um bo representção gráfic, vmos destcr três importntes crcterístics do gráfico d função qudrátic: (i) Concvidde (ii) Zeros ou rízes (iii) Vértice.. - Concvidde A concvidde de um prábol que represent um função qudrátic f ( ) b c do o gru depende do sinl do coeficiente : 7

20 >: concvidde pr CIMA <: concvidde pr BAIXO [Fig.]: Concvidde de um função qudrátic... - Zeros de um função qudrátic Definição 9: Os zeros ou rízes d função qudrátic f ( ) b c são s rízes d equção do o gru b c, ou sej: b ± b c Rízes:. Considerndo b c, pode-se ocorrer três situções: b i) > s dus rízes são reis e diferentes: b e. b ii) s dus rízes são reis e iguis (riz dupl):. iii) < não há rízes reis. Obs.: Em um equção do o gru b c, som ds rízes é S e o produto é P tl b c que: S e P. Definição : Geometricmente, os zeros ou rízes de um função polinomil do o gru são s bsciss dos pontos em que prábol intercept o eio... - Vértice d prábol Considere s prábols bio e observe o vértice V ( V, V ) em cd um: Eio de simetri V(, ) V V V(, ) [Fig.]: Vértice de prábols ( > pr s dus). V V 8

21 Um form de se obter o vértice V ( V, V ) é: V, já que o vértice encontr-se no eio de simetri d prábol; V V b V c, já que o V foi obtido cim., Outr form de se obter o vértice V ( V b V e V. V ) é plicndo s fórmuls:.. - Gráfico de um prábol Com o conhecimento ds principis crcterístics de um prábol, podemos esboçr com mis fcilidde o gráfico de um função qudrátic. Eemplos: ) Construir o gráfico d função, determinndo su imgem. > concvidde voltd pr cim. Zeros d função: Ponto onde prábol cort o eio : ( ) e. (,) Vértice d prábol: b V V V (,) V Imgem: pr todo Rel Im { R ; } ) Construir o gráfico d função, determinndo su imgem. < concvidde voltd pr bio. Zeros d função:. / zeros reis. Ponto onde prábol cort o eio : (,) Vértice d prábol: V V b V (,) V Imgem: pr todo Rel Im { R ; } 9

22 ..6 - Estudo do sinl d função qudrátic Os vlores reis de que tornm função qudrátic positiv, negtiv ou nul, podem ser ddos considerndo-se os csos, relciondos n tbel bio. f ( ) b c com (, b e c R e ) > < f ( )> pr < ou > f ( )< pr < ou > f ( )< pr < < f ( )> pr < < f ( ) pr ou f ( ) pr ou f ( )> pr f ( )< pr f ( )< / rel f ( )> / rel f ( ) pr f ( ) pr f ( )> rel f ( )< / rel f ( ) / rel f ( )< rel f ( )> / rel f ( ) / rel. - Inequções do o gru Definição : Denomin-se inequção do o gru n vriável tod desiguldde que pode ser reduzid um ds forms: b c ; b c >; b c ; b c <. com, b, c R e.

23 .. - Resolução de inequções do o gru Definição : Pr se resolver um inequção do o gru, são utilizds s proprieddes ds desigulddes, presentndo-se o conjunto verdde d inequção (conjunto solução S). Eemplo: ) Resolver inequção >. Resolução Estudr vrição do sinl d função f ( ). > Concvidde pr cim. > Dus rízes reis diferentes. ± S{ R ; < ou >}. Obs: somente vlores positivos. ) Resolver inequção Resolução. Estudr vrição do sinl d função f ( ). > Concvidde pr cim. Riz dupl (únic). S R. Obs: Todos os vlores são positivos ou iguis zero. ) Resolver inequção 6. Resolução Estudr vrição do sinl d função f ( ) 6. < 6 < Concvidde pr bio. Não possui zeros reis. / rel S. Obs: Nunc se tem vlores positivos ou iguis zero.

24 .. - Sistems de inequções do o gru Definição : O conjunto solução S de um sistem de inequções é determindo pel intersecção dos conjuntos soluções de cd inequção do sistem. Eemplo: ) Resolver o sistem de inequções 8 < Resolução (i) (ii) < Resolução de (i): Estudr vrição do sinl d função f ( ) 6 8. > Concvidde pr cim. 6 8 > Dus rízes reis diferentes. 6 ± S(i){ R ; ou }. Ret rel: Resolução de (ii): < <. S(ii){ R ; }. Ret rel: Intersecção entre (i) e (ii) (i) (ii): (i) (ii) - (i) (ii) - S{ R ; }. ) Resolver inequção <. Resolução (i) < < () >. (ii) 6. Resolução de (i): Estudr vrição do sinl d função f ( ). > Concvidde pr cim. ( ) Zeros{,}. > Dus rízes reis diferentes. ± S(i){ R ; < ou >}. Ret rel:

25 Resolução de (ii): Estudr vrição do sinl d função g ( ) 6. > Concvidde pr cim. 6 > Dus rízes reis diferentes. ± - S(ii){ R ; }. Ret rel: Intersecção entre (i) e (ii) (i) (ii): (i) - (ii) - (i) (ii) - S{ R ; < ou < }... - Inequção-produto e inequção-quociente Definição : RESOLUÇÃO: Pr resolver um inequção-produto ou um inequçãoquociente, fzemos o estudo dos sinis ds funções polinomiis envolvids. A seguir, determinmos o sinl do produto ou quociente desss funções, lembrndo s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis. Eemplos: ) Resolver inequção ( ) ( )>. Resolução f() > 6 > - e g() < > f() e g()

26 f ( ) g( ) f( ) g( ) - - S{ R ; < < ou < <}. 6 ) Resolver inequção. 6 Resolução f() 6 > > e g() 6 > 6 > e f() g() - - f ( ) g( ) f ( ) g( ) - S{ R ; < ou ou >}. ) Determine o domínio d função f ( ) Resolução 6. f só represent um número rel se. 6 f() > 9 > e g() 6 > g() 6 f() g() - 6-6

27 f ( ) g( ) f ( ) g( ) - 6 D { R ; ou >6}. AULA EXERCÍCIOS ) Considere função f do gru, onde f(), f() e f(-). Escrev lei de formção dess função e clcule f(). ) Determine o vlor de m pr que prábol que represent grficmente função m psse pelo ponto (, 6) ) Determinr os zeros d função ) Sej função f() k. Sbendo que ess função possui dois zeros reis iguis, determine o vlor rel de k. ) A função f() k 6 possui dus rízes reis, m e n, de modo que. Determine o vlor de f(-) m n ness função 6) Determinr s coordends do vértice V d prábol que represent função f() -. 7) Determinr e b de modo que o gráfico d função definid por b 9 tenh o vértice no ponto (, - ) 8) Determinr o conjunto imgem d função f() 9) A função f() 6 dmite vlor máimo ou vlor mínimo? Qul é esse vlor? ) Considerr todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igul 8 cm. Dentre esses retângulos, determinr quele que terá áre máim. Qul será ess áre? ) Determinr p de modo que função f() p (p ) p ssum vlores positivos pr todo rel. ) Resolver inequção ) Determinr o conjunto solução d inequção ) Resolver inequção < ) Resolver inequção < Resposts ) f() - f() - 6 ) ) e - ) / ) 6) V, 7) e b - 8 8) Im R / 9) O vlor mínimo d função é - / ) O retângulo que terá mior áre será o de ldos cm e cm, e áre máim será de cm. ) p R / p > ) S { R, ou, } ) S R ) S { R < ou < } ) S { R < - ou -< <}

28 AULA FUNÇÃO EXPONENCIAL. Revisão de Potencição.. - Potêncis com epoente nturl Sendo um número rel e n um número nturl, com n, definimos: (Eq.) (Eq.) (Eq.6) n K. n ftores Pr n e n são definidos:. ( )... - Potêncis com epoente inteiro Se é um número rel não-nulo ( ) e n um número inteiro e positivo, definimos: (Eq.7) n n... - Potêncis com epoente rcionl definimos: Se é um número rel positivo e n m um número rcionl, com n inteiro positivo, (Eq.8) m n n m... -Potêncis com epoente rel Podemos considerr que s potêncis com epoente rel têm significdo no conjunto dos números reis. Temos, por eemplo:, Proprieddes Pr s potêncis com epoente rel são válids s seguintes proprieddes opertóris: m n m n. m n m n : ( ). m n m n ( ). n b) ( n n b. n b n b n (b ). 6

29 Eemplos ) Dê o resultdo mis simples de ( 6 ):. Resolução Usndo s proprieddes, temos: ( 6 6 ): ( ): 9 9 :. ) Clcule o vlor d epressão 6. Resolução ) Simplifique. Resolução ( ) 8. ) Clcule 8. Resolução Primeir resolução: Segund resolução: 8 ( ) 6. 7 ) Determine o vlor de 8, : 8,. Resolução 7 8, : 8,, 7, 8 8,, ( ) 9. ) Qul o vlor de ( ) :(, )? Resolução ( ) :(, ) :( ) : ( ) Equções eponenciis Definição : Chm-se equção eponencil tod equção que contém incógnit no epoente. Eemplo:

30 Resolução de equções eponenciis Pr resolver um equção eponencil, devemos trnsformá-l de modo obter potêncis de mesm bse no primeiro e no segundo membros d equção utilizndo s definições e proprieddes d potencição. Além disso, usremos o seguinte fto: Definição 6: Se >, e é incógnit, solução d equção Eemplos: ) Resolver equção Resolução. p é p. Usndo s proprieddes ds potêncis, vmos trnsformr o o e o membros d equção em potêncis de mesm bse: ( ) S. ) Um empres produziu, num certo no, 8 uniddes de determindo produto. Projetndo um umento nul de produção de %, pergunt-se: ) Qul produção P dess empres t nos depois? b) Após quntos nos produção nul d empres será de uniddes? Resolução ) Obs: %, Um no depois: 8, 88 (,)8, Dois nos depois: (8,),8 (, ) Três nos depois: (8 (, ) ),8 (, ) t Produção P, t nos depois: P8 (, ) b) Fzendo P, n fórmul nterior, obtemos equção: t 8 (, ) Resolvendo equção: t 8 (, ) t (, ). Obs:,. 8 t 8 6 t t t. Desse modo, produção nul d empres será de uniddes pós nos. 8

31 ) Determine o conjunto solução d equção Resolução Sbendo que 8, temos: S{}. 8 no universo dos números reis... - Resolução de equções eponenciis com o uso de rtifícios Pr se resolver determinds equções eponenciis, são necessáris lgums trnsformções e rtifícios. Eemplos:. ) Resolver equção Resolução Usndo s proprieddes d potencição, vmos fzer um trnsformção n equção dd: ( ) ( ). Fzendo, temos equção do o gru em : ± 6 e. Voltndo à iguldde : : : S{,}... ) Determine o conjunto solução d equção Resolução Preprndo equção, temos: Fzendo, temos: Voltndo à iguldde : : S{}. :.. Est equção não tem riz em R, pois. - Função eponencil. >, pr todo rel. Definição 7: A função f : R R dd por f ( ) (com > e ) é denomind função eponencil de bse. 9

32 .. - Gráfico d função eponencil no plno crtesino Dd função f : R R, definid por f ( ) (com > e ), temos dois csos pr trçr seu gráfico: (i) > e (ii) < <. (i) >. ) Trçr o gráfico de f ( ). f ( ) OBS.: Qunto mior o epoente, mior é potênci é crescente. f ( ), ou sej, se > função (ii) < <. ) Trçr o gráfico de f ( ). f ( )

33 Obs.: Qunto mior o epoente, menor é potênci, ou sej, se < < função f ( ) é decrescente. Com bse no gráfico, podem-se tirr lgums considerções:.. - Crcterístics d função eponencil Sej f : R R, definid por f ( ) (com > e ). Domínio d função f são todos os números reis D R. Imgem d função f são os números reis positivos Im R. A curv d função pss pelo ponto (,). A função é crescente pr bse >. A função é decrescente pr bse < <.. - Inequções eponenciis Definição 8: São inequções eponenciis quels que precem incógnits no epoente... - Resolução de inequções eponenciis Pr resolver inequções eponenciis, devemos observr dois pssos importntes: ) Redução dos dois membros d inequção potêncis de mesm bse; ) Verificr bse d eponencil, > ou < <, plicndo s proprieddes bio. Cso (i): > Cso (ii): < < Eemplos: m > n m > n As desigulddes têm mesmo sentido ) Resolv inequção >. Resolução Como, inequção pode ser escrit: > Cso (i): >. >. S{ R ; >}. m > n m < n As desigulddes têm sentidos diferentes ) Resolv inequção ( ). Resolução ( ) Tome f ( ) ( ) f ( ) ( ) Cso (i): >. S{ R ; / ou }.

34 ) Resolv inequção < 7 Resolução 7 < Cso (ii): < <. > 7 > () <. S{ R ; <}.. AULA EXERCÍCIOS ) Um cultur inicil de bctéris, reproduz-se em condições ideis. Supondo que, por divisão celulr, cd bctéri dess cultur dê origem dus outrs bctéris idêntics por hor. ) Qul populção dess cultur pós hors do instnte inicil? b) Depois de qunts hors populção dess cultur será de. bctéris? ) Resolv s equções: ) 8 7 b) 8 ) Determine o conjunto solução ds seguintes equções: ) 8. 7 b) c). 6 6 ) Se f() e g(), determine pr que f(g()). ) Cd golpe de um bomb etri % de óleo de um tnque. A cpcidde do tnque é de m e, inicilmente, est cheio. ) Após o o golpe, qul o vlor mis próimo pr o volume de óleo que permnece no tnque? b) Qul é lei d função que represent o volume de óleo que permnece no tnque pós n golpes? 6) Resolv s inequções: ) ( ) ( ) b) < C) X,7 < 7) Determine o domínio d função Resposts: ) ) 8 bctéris b) 9 hors ) ) / b) ) ) {, } b) {, } c) {, } ) ) ),9m b) f(n). (,9) n 6) ) { R /, ou, } b) { R / > } c) { R / < } 7) { R / }

35 AULA FUNÇÃO LOGARÍTMICA. Definição de Logritmo Definição 9: Ddos dois números reis positivos, e b, com, eiste um único número rel de modo que b. Este número é chmdo de logritmo de b n bse e indicse log b. Podemos então, escrever: (Eq.9) b log b ( > e b >). N iguldde log b, temos: é bse do logritmo; b é o logritmndo ou ntilogritmo; é o logritmo. Eemplos: Clculr o vlor de nos eercícios seguintes: ) log. ) log ) log ) log 8. 8 ) log... OBS. : bse é. log b signific log b. Qundo não se indic bse, fic subentendido que. - Conseqüêncis d definição Tome >, b > e m um número rel qulquer. D definição de logritmos, pode-se verificr que:

36 ) O logritmo de em qulquer bse é igul zero. log, pois. ) O logritmo d própri bse é igul. log, pois. ) O logritmo de um potênci d bse é igul o epoente. log m m, pois m m. ) O logritmo de b n bse é o epoente o qul devemos elevr pr obter b. b log b, pois b log b.. - Proprieddes dos logritmos ) Logritmo de produto log ( ) log log ( >, > e >). ) Logritmo de quociente log log log ( >, > e >). ) Logritmo de potênci log m m log ( >, > e m R ).. - Cologritmo Cologritmo de um número positivo b num bse ( >) é o logritmo do inverso desse número b n bse. (Eq.) Eemplo: colog b log colog b log b ( > e b >). b Sbendo que log e log b, clcule os logritmos bio, em função de e b. ) log log log ( ) log log b. b) log 67 log 67 log ( ) log log log log b. c) log log log log log b.. - Mudnç de bse As proprieddes logrítmics são válids pr logritmos num mesm bse, por isso, em muitos csos, é conveniente fzer conversão de logritmos de bses diferentes pr um únic bse. A seguir, será presentd fórmul de mudnç de bse. Sej:

37 log b b. Aplicndo o logritmo n bse c em mbos os membros, obtemos: log c log c b log log c log c b log Então: (Eq.) log log b log c c b c c b ( >, c > e b >). Eemplos: ) Sendo log, e log,, clcule log 6., ms log b. log 6 log 6 log( ) log log,,, 7 7. log log log,, ) Resolv equção log log log 6 7. A condição de eistênci é >. Trnsformndo pr bse : log log log 6 7 log log log 7 log log6 log log log 7 log log log 8 7 log 8 log 6 6 stisfz condição de eistênci. Logo, o conjunto solução é: S{6}. ) Resolv equção log ( ) log ( ). Condições de eistênci são: > e > > e >. Então: >. log ( ) log ( ) log [( ) ( )] ( ) ( ) 6 ±6 6 não stisfz condição de eistênci ms, 6 stisfz. Logo, o conjunto solução é: S{6}.

38 .6 - Função logrítmic A função eponencil g : R R definid por g ( ) (com >) é bijetor. Nesse cso, podemos determinr su função invers. É função logrítmic definid bio. Definição : A função f : R R definid por f ( ) log (com >) é chmd função logrítmic de bse Gráfico d função logrítmic no plno crtesino Como os gráficos de funções inverss são simétricos em relção à bissetriz dos qudrntes ímpres, o gráfico d função logrítmic é de imedit construção, um vez que já vimos o gráfico d função eponencil. Sej f : R R, tl que log e f : R R, tl que. Os gráficos de f e f serão plotdos no mesmo plno crtesino ortogonl. (i) > log Gráfico d função logrítmic e eponencil ( >). (ii) < < log Gráfico d função logrítmic e eponencil (< <). 6

39 .7 - Inequções logrítmics Chmmos de inequção logrítmic tod inequção que envolve logritmos com incógnit precendo no logritmndo, n bse ou em mbos. Eemplos: ) Resolv inequção log ( ) log. Condição de eistênci: > > (i). Bse: (< <). Como bse é um número entre e, função logrítmic é decrescente e o sentido d desiguldde se inverte pr os logritmndos. (ii). A solução d inequção deve stisfzer s dus condições: (i) (ii) 7 S{ R ; < 7}. (i) (ii) 7 ) Resolv inequção log ( ) log ( ). Condição de eistênci: > < ou > (i). Condição de eistênci: > > (ii). Bse: ( >). ou (iii). A solução d inequção deve stisfzer s três condições: (i) (ii) (i) (ii) (iii) (iii) S{ R ; < ou }

40 ) Suponh que o preço de um crro sofr um desvlorizção de % o no. Depois de qunto tempo, proimdmente, seu preço cirá pr cerc d metde do preço de um crro novo? (Use log,) p p (,) t p p (,8) t p p p Procur-se p, logo: 8 t t p 8 p ( p ) t Aplicndo log em mbos os membros, temos: log t t log ( ) t t log log ( ) log t t log log log t log t log,t,t,,9t t,,t t O preço do crro cirá pr metde do preço do crro novo depois de nos t t AULA EXERCÍCIOS ) Resolv s seguintes equções: ) log ( ) b) log ( ) c) (log ) log 6 d) log (log ) ) Sbendo que log, e log,77, clcule: ) log 6 b) log c) log, d) log ) Qul o conjunto solução d equção ) log ( ) log ( ) b) log log ) Determine o cmpo de eistênci d função f ( ) log ( ) log ( ) ) Resolv s inequções: ) log ( ) > log b) log ( ) > c) log ( ) log ( ) Resposts: ) ) b) ½ c) {/9, 7} d) ) ),778 b),699 c),98 d),8 ) ) b) ) { R / <, ou, >, e, } ) ) S { R / > } b) S { R / > 6} c) S R / } { < 8

41 AULA 6 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. - Seno e cosseno de um rco: Tome o rco α ddo n figur bio: N O P α M A [Fig.] Arco α pr o conceito de seno e cosseno. Seno de um rco é ordend do ponto P. (Eq.) sen αon MP. Cosseno de um rco é bsciss do ponto P. (Eq.) cos αom NP... Conseqüêncis: Pr qulquer ponto d circunferênci, ordend e bsciss nunc são menores que nem miores que. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre e, o que nos permite concluir: (Eq.) sen α e cos α.. - Função seno e função cosseno Função seno é função que ssoci cd rco R o número sen R, ou sen. Função cosseno é função que ssoci cd rco R o número cos R, ou cos... - Gráfico ds funções seno e cosseno Pr estudr função seno ( sen ) e função cosseno ( cos ) vmos vrir no intervlo [,π] Função seno: sen O A O π π π π 6 π π π [Fig.6]Gráfico d função seno. 9

42 ... - Conclusões O domínio d função sen é o conjunto dos números reis, isto é, D R. A imgem d função sen é o intervlo [,], isto é, sen. Tod vez que sommos π um determindo vlor de, função seno ssume o mesmo vlor. Como π é o menor número positivo pr o qul isso contece, o período d função sen é p π. Ess conclusão pode ser obtid, tmbém, prtir do ciclo trigonométrico onde mrcmos o rco. Qundo dicionmos k π o rco, obtemos sempre o mesmo vlor pr o seno, pois função seno é periódic de período π. (Eq.) sen sen ( k π), k Z (Inteiros) Seno é função ímpr No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes os números e têm imgens simétrics em relção o eio ds bscisss. Dí result que s ordends desses pontos têm o mesmo vlor bsoluto, porém, sinis opostos. Então, sen ( )sen. Qundo um função f é tl que f ( ) f ( ), pr todo do seu domínio, dizemos que f é um função ímpr. Como sen ( )sen, pr todo rel, podemos firmr que função seno é ímpr Função cosseno cos O A O π π π π 6 π π π [Fig. ]: Gráfico d função cosseno Conclusões O domínio d função cos é o conjunto dos números reis, isto é, D R. A imgem d função cos é o intervlo [,], isto é, cos. O período d função cos é p π. Ess conclusão pode ser obtid, tmbém, prtir do ciclo trigonométrico onde mrcmos o rco. Qundo dicionmos k π o rco, obtemos sempre o mesmo vlor pr o cosseno, pois função cosseno é periódic de período π. (Eq.6) cos cos ( k π), k Z (Inteiros) Cosseno é função pr No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes os números e têm imgens simétrics em relção o eio ds bscisss. Dí result que esses pontos têm mesm bsciss. Então, cos ( )cos. Qundo um função f é tl que f ( ) f ( ), pr todo do seu domínio, dizemos que f é um função pr.

43 Como cos ( )cos, pr todo rel, podemos firmr que função cosseno é pr. Eemplos: ) Constru o gráfico d função sen, dndo o domínio, imgem e o período. sen sen π π π () O π π π π π Observndo o gráfico, temos: D R, Im [,], e p π. ) Constru o gráfico d função cos, dndo o domínio, imgem e o período. cos π π π π π π π π Observndo o gráfico, temos: D R, Im [,], e p π. O π π π π. - Tngente de um rco Tome o rco α ddo n figur bio: eio ds tngentes N O α P M T A [Fig. ]: Arco α pr o conceito de tngente.

44 Tngente de um rco é ordend do ponto T (segmento AT). (Eq.7) tn α AT... - Conseqüêncis O eio verticl, suporte de AT, é chmdo eio ds tngentes. π Podemos dizer que tn α só é definid se α R e α k π ( k Z )... - Função tngente π Função tngente é função que ssoci cd rco R, com k π (k Z ), o número tn R, ou tn... - Gráfico d função tngente Pr estudr função tngente ( tn ) vmos vrir no intervlo [,π].,7,8 O A O π π π π 6 π π,8,7 π [Fig. ]: Gráfico d função tngente... - Conclusões O domínio d função tn é o conjunto dos números reis R, com π k π ( k Z ), isto é, D { R / π k π, k Z }. A imgem d função tn é o conjunto dos números reis. Tod vez que sommos k π um determindo vlor de, função tngente ssume o mesmo vlor. Como π é o menor número positivo pr o qul isso contece, o período d função tn é p π. (Eq.8) tn ( k π) tn, k Z... - Tngente é um função ímpr Como tn ( ) tn, pr todo rel, com π k π (k Z ), podemos firmr que função tngente é ímpr.

45 . - Cotngente de um rco Tome o rco α ddo n figur bio: N O B α P M A C eio ds cotngentes [Fig. ]: Arco α pr o conceito de cotngente. Cotngente de um rco é bsciss do ponto C (segmento BC). (Eq.9) cot α BC... - Conseqüêncis O eio horizontl, suporte de BC, é chmdo eio ds cotngentes. Podemos dizer que cot α só é definid se α R e α k π ( k Z )... - Função cotngente Função cotngente é função que ssoci cd rco R, com k π (k Z ), o número cot R, ou cot... - Gráfico d função cotngente Pr estudr função cotngente ( cot ) vmos vrir no intervlo [,π].,7,8 O A O π π π 6 π π π π,8,7 [Fig. 6]: Gráfico d função cotngente... - Conclusões O domínio d função cot é o conjunto dos números reis R, com k π (k Z ), isto é, D { R / k π, k Z }. A imgem d função cot é o conjunto dos números reis. Tod vez que sommos k π um determindo vlor de, função cotngente ssume o mesmo vlor. Como π é o menor número positivo pr o qul isso contece, o período d função cot é p π. (Eq.) cot ( k π)cot, k Z.

46 .. - Cotngente é um função ímpr Como cot ( )cot, pr todo rel, com k π (k Z ), podemos firmr que função cotngente é ímpr.. - Secnte e cossecnte de um rco Tome o rco α ddo n figur bio: D N O α P M A S [Fig. 7]: Arco α pr o conceito de secnte e cossecnte. Trçndo um ret tngente à circunferênci pelo ponto P, interceptmos o eio ds bscisss no ponto S e o eio ds ordends no ponto D. (Eq.) sec αos. (Eq.) cossec αod... - Função secnte e cossecnte Função secnte é função que ssoci cd rco R, com π k π (k Z ), o número sec R, ou sec Função cossecnte é função que ssoci cd rco R, com k π (k Z ), o número cossec R, ou cossec... - Gráfico d função secnte Pr estudr função secnte ( sec ) vmos vrir no intervlo [,π].,, O A O π π π 6 π π π π,, [Fig. 8]: Gráfico d função secnte.

47 .. - Conclusões O domínio d função sec é o conjunto dos números reis R, com π k π ( k Z ), isto é, D { R / π k π, k Z }. A imgem d função sec é o conjunto dos números reis miores ou iguis ou menores ou iguis, isto é, Im { R / ou }. Tod vez que sommos k π um determindo vlor de, função secnte ssume o mesmo vlor. Como π é o menor número positivo pr o qul isso contece, o período d função sec é p π. (Eq.) sec ( k π)sec, k Z... - Gráfico d função cossecnte Pr estudr função cossecnte ( cossec,, ) vmos vrir no intervlo [,π]. O A O π π π π 6 π π π,, [Fig. 9]: Gráfico d função cossecnte... - Conclusões O domínio d função cossec é o conjunto dos números reis R, com k π ( k Z ), isto é, D { R / k π, k Z }. A imgem d função cossec é o conjunto dos números reis miores ou iguis ou menores ou iguis, isto é, Im { R / ou }. Tod vez que sommos k π um determindo vlor de, função cossecnte ssume o mesmo vlor. Como π é o menor número positivo pr o qul isso contece, o período d função cossec é p π. (Eq.) cos sec ( k π) cossec, k Z.. - Relções trigonométrics Será feito o estudo ds relções que eistem entre s funções trigonométrics, pois els têm muits plicções n trigonometri e for del. Pr s deduções ds relções, tomremos como bse o ciclo trigonométrico e um ângulo α ddo.

48 D eio ds tngentes B N O α P T MA S C eio ds cotngentes [Fig. ]: Funções trigonométrics no ciclo. Podemos identificr s funções trigonométrics no ciclo, em relção o ângulo α: sen αon ; cos αom ; tn α AT ; cot α BC ; sec αos e cossec αod. Anlisndo s funções no ciclo e findo inicilmente o ângulo α, podemos fzer s seguintes mudnçs, pr fcilitr o entendimento ds relções trigonométrics: O unidde cossecα F BD senα tnα α A C E cosα secα cotα [Fig. ]: Funções dptds no ciclo. Com s novs dptções, temos s seguintes funções: sen α AB ; cos αoa ; tn αcd ; cot αoe ; sec αod e Dí tirm-se três triângulos semelhntes: cossec αof. OAB OCD OEF. O α cosα B A senα O D α tnα C O secα α cossecα cotα [Fig. ]: Triângulos semelhntes. F E.. - Usndo o teorem de Pitágors sen αcos α; tn αsec α; cot α cossec α... - Usndo semelhnç entre triângulos Com bse n figur cim, tome s seguintes proporções, dds s rzões entre os triângulos: 6

49 Rzões do triângulo pr : Rzões do triângulo pr : Rzões do triângulo pr : secα cosα tn α senα cosα cossecα senα cotα cosα senα cossecα secα tnα cotα tnα sec α tn α ; cosα sen α. cosα cossec α ; senα cosα cot α. senα secα cossec α ; tnα cot α. tnα Eemplos: Com bse nos três triângulos semelhntes d figur nterior, resolv os eercícios que seguem bio: ) Determine s rzões que se pede bio, do triângulo pr. tn α sen α ; secα cos α. secα ) Determine s rzões que se pede bio, do triângulo pr. sen α cos α cossecα cotα cossecα ;. ) Determine s rzões que se pede bio, do triângulo pr. cossecα sec α ; cot α tn α. cotα.. - Identiddes trigonométrics A iguldde sen αcos α é verddeir pr qulquer α pertencente os domínios ds funções seno e cosseno. Logo, el é um identidde trigonométric. Qundo temos um iguldde, só podemos ceitá-l como identidde pós um prov, ou sej, pós um demonstrção. Pr fzer um demonstrção desse tipo, podemos nos vler de qulquer ds relções dds cim, que são identiddes Processo pr demonstrr identiddes 7

50 Considerndo iguldde, levremos tods s funções envolvids pr um rzão equivlente em um dos três triângulos. Depois é só operr mbos os membros e chegr um mesm epressão. Eemplos: Nos eercícios seguintes, demonstre que s igulddes são identiddes: ) tn α sen α tn αsen α O α cosα Levr do triângulo pr : tn α sen α tn αsen α B A senα O D α tnα C O secα α cossecα cotα sen α sen α sen α sen α cos α cos α sen α sen α sen αcos α cos α cos α sen α sen α(sen α) cos α cos α sen α sen α C.Q.D. (como querímos demonstrr). cos α cos α F E ) (cot α) (cot α) cossec α O α cosα B A senα O D α tnα C O secα α cossecα cotα F E Tods s funções já se encontrm no triângulo, bst desenvolver: (cot α) (cot α) cossec α (cot α) (cot α) cossec α cot αcot αcot αcot α cossec α cot α cossec α (cot α) cossec α cossec α cossec α C.Q.D. ) sec α cossec αsec α cossec O α cosα B A α senα Levr do triângulo pr : sec α cossec αsec α cossec O D α tnα C O secα α cossecα cotα α F E 8

51 sec α sec α sec α sec α tn α tn α sec αtn α sec α sec α tn α tn α sec α (tn α ) sec α tn α tn α sec α (sec α) sec α tn α tn α sec α sec α C.Q.D. tn α tn α ) senα cosα cossecα secα O α cosα B A senα O D α tnα C O secα α cossecα cotα F E Levr dos triângulos e pr : senα cosα cossecα secα senα cosα senα cosα sen αcos α sen αsen α C.Q.D. ) cossecα senα cot α secα cosα O α cosα B A senα O D α tnα C O secα α cossecα cotα F E Levr dos triângulos e pr : cossecα senα cot α secα cosα cossecα cossecα cot α cossecα cotα cotα cossecα 9

52 cossec α cossecα cot α Obs: cossec αcot α cossec α cot α cotαcossecα cot α cotαcossecα cot α cossecα cossec α cot α cot αcossecα cot α cossecα cot α cot α cot α cot α cot αcot α C.Q.D. AULA 6 - EXERCÍCIOS ) Ddo sen /, com << π /, clculr cos. ) Pr que vlores de temos, simultnemente, sen e cos? π ) Ddo cos, com < < π, clcule tg. tgα cot gα ) Simplifique epressão. secα cot gα ) Demonstre s seguintes identiddes: ) ( cotg )( cos ) b) tg cotg tg. Cossec sen cos c) tg cos cos Resposts: 7 ) cos ) ou - ) tg ) sec α

53 AULA 7 6 POLINÔMIOS 6. Função Polinomil: Definição: Ddos os números reis n, n,...,,,, chmmos de polinômio n vriável tod epressão d form: n n n P )..., n N ( onde n n, n- n-,...,, e são os termos e n, n-,...,, e são os coeficientes do polinômio. Observções: Se n, o epoente máimo n é dito gru do polinômio e indicmos gr(p) n Se P(), não se define o gru do polinômio. Eemplos: ) Assinle s epressões que representm polinômios? ( ) ( ) - ( ) ( ) 7 ( ) ) Em função ds vriáveis k, m ou, determinr os grus dos seguintes polinômio:. P() k 7 b. P() k m 6 c. P() ( ) ( )

54 6. Polinômio Idêntico Zero ou Identicmente Nulo: n n n É qulquer polinômio P( )... em que todos os coeficientes são nulos. P( ) n, n,..., e Notção: P ) ( 6. Polinômios Idênticos: n n n Ddos os polinômios P ( )... e n n n P ( ) b b... b b b, dizemos que P () é idêntico P () se, e somente se, n b n, n- b n-,..., b e b. Assim: P ( ) P ( ) n bn, n bn,..., b e b Eemplos: ) Determinr e b pr que o polinômio P() ( ). ( ) b sej identicmente nulo. ) Determinr m, n e p pr que P() (m n ) (m n -) n p sej identicmente nulo. ) Clculr os vlores de m e n, de modo que (m n) (m n)

55 6. Vlor Numérico de um Polinômio: O vlor numérico do polinômio... ) ( P n n n, pr igul um número qulquer α é:... ) ( P n n n n α α α α α. N prátic, pr obter ) (α P, bst substituir por α em P(). Observções: Qundo P(α ) α é riz de P(). Eemplo: Verifique se os números e são rízes de P() 6 Como () n, n N, P() é som dos coeficientes de P(). Eemplo: Se P(), então P() é som dos coeficientes de P(). P() é igul o termo independente de P() Eemplo: Sendo P() c e P() - 7, determine pr que sej riz de P(). 6. Adição e Subtrção de Polinômios: 6.. Adição: Ddos os polinômios... ) ( P n n n e... ) ( b b b b b Q n n n, som de P() com Q() é dd por: ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( ) ( b b b b Q P n n n n n n 6.. Subtrção: Ddos os polinômios... ) ( P n n n e... ) ( b b b b b Q n n n, diferenç entre P() e Q() é dd por: ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( ) ( b b b b Q P n n n n n n Observção: Os polinômios P() e Q() não precism ser necessrimente do mesmo gru.

56 Eemplos: ) Ddo os poliômios P() 7 8 e Q() 6 7, determine P()Q() ) Clssificr em verddeir (V) ou fls (F) s firmções: ( ) Se P() e Q() são polinômios de mesmo gru, então P() Q() tem sempre gru. ( ) Se P() e Q() são polinômios de mesmo gru, então P() Q() tem sempre gru ( ) Se P() tem gru e Q() tem gru, então P() Q() tem gru 6.6 Multiplicção de Polinômios: O produto dos polinômios P() e Q() é o polinômio P().Q(), obtido multiplicndo-se cd termo de P() por todos os termos de Q() e efetundo redução dos termos semelhntes. Eemplos: ) Se P() e Q(), então P().Q() ) Ddos P() e Q() b, determine e b pr que P().Q() - ) Ddos P() e Q() b, determinr e b, sendo P().Q() e Q().

57 6.7 Divisão de Polinômios: Ddos os polinômios A() e B(), não identicmente nulos, dividir A() por B() é obter os polinômios Q() e R() que stisfçm s seguintes condições: A() B(). R() Q() A() B().Q() R() e R() ou gr(r) < gr(b) Observções: A() é o dividendo B() é o divisor Q() é o quociente R() é o resto Qundo R(), dizemos que A() é divisível por B(), ou que divisão é et Temos sempre gr(q) gr(a) gr(b) Eemplo: Usndo o Método d Chve, determine o quociente e o resto d divisão de A() por B() 6.7. Método dos Coeficientes Determinr Método de Descrtes Já vimos que, n divisão A() por B(): A() B(). R() Q() A( ) B( ). Q( ) R( ) Temos: gr( Q) gr( A) gr( B) gr( R) < gr( B) Esss relções podem ser usds como recursos pr determinr os coeficientes de um polinômio em um divisão. Eemplos: ) Determinr o quociente e o resto d divisão de A() por B() Temos: O quociente é um polinômio do primeiro gru, pois: gr(q) gr(a) gr(b) Logo: Q() Como gr(r) < gr(b), sendo o divisor B(), então gr(b) e gr(r)<, isto é, o resto tem, no máimo, gru : R() Como A() B().Q() R(), podemos escrever: Comprndo mbos os membros, temos: Logo:

58 Q() e R() ) Determinr k, de modo que k sej divisível por ) Determinr k e m de modo que m k sej divisível por 6.7. Divisão de Polinômio por Binômios do o Gru: Teorem do Resto: O resto d divisão de P() por ( ) é P(): P() ( ).Q() R Fzendo, vem: P() ( ). Q() R P() R Teorem de D Alembert Um polinômio P() é divisível por ( ) se, e somente se, P() P() ( ).Q() Fzendo, vem: P() ( ). Q() o P() Eemplos: ) Determinr k, de modo que o resto d divisão de P() k por sej. 6

59 ) Clculr e b, de modo que os polinômios P() b e Q() - b sejm divisíveis por Divisão de P() por ( b), Temos: P() b R Q() Como b é de gru, R é de gru, e, portnto, um constnte. b Fzendo em P() ( b).q() R, vem: b b b P b Q R b P R Logo, o resto d divisão de P() por ( b) é b R P Eemplo: Determinr k, de modo que P() k sej divisível por 7

60 AULA 7 EXERCÍCIOS ) Clcule m R de modo que o polinômio P()(m ) (m ) 7 sej do o gru em relção. ) Determine m R, pr que o polinômio P()(m 6) (m ) sej de gru. ) Clcule os vlores de m, n e l pr os quis P()(m- ) (n -) ( l) sej identicmente nulo. ) Ddos A() ( ) (b ) c e B() b c, clcule, b e c pr que A() B() ) Determine os vlores de m, n e p, de modo que sejm idênticos os polinômios: P () (m n p) (p ) m (n p) n e P () m (p 7) m m. 6) Determine os vlores de, b, c e d pr que o polinômio ( c) b( d) sej idêntico o polinômio 6. 7) Ddo o polinômio P(), clcule: ) P ( ) P() P( ) b) P() P P() c) P 8) Ache o polinômio P() do segundo gru em, sbendo que dmite como riz e P() - e P() 9) Se P() 6-8, então P() é igul : ) Ddos os polinômios P () m n e P (), se P () é divisível por P (), então m n é igul : ) Dividindo um polinômio P() por ( ), result um resto 7 e um quociente de. Qul é P()? ) A divisão do polinômio P() por fornece quociente Q() e resto P(). Sbendo-se que P() -, o vlor de é: ) Ddos os polinômios P() (m ) m e Q() (m ) (m ) (m ), determine P().Q() de modo que gr(p Q). ) Sbendo-se que A B, clculr A e B. A B ) Se, então 6 A B é igul : 6) Efetue decomposição d frção, em som de frções com denomindores do o gru. ) b) 7) Um polinômio P() b c que stisfz s condições: P() ; P(-) P(), qulquer que sej rel. Qul o vlor de P()? 8) O resto d divisão do polinômio P() 8 7 9, por é: RESPOSTAS: ) m ) m ± ) m ; n e ) ; l b e c ) m ; n e p - 6), b, c - e d 7) ) 9 b) - c) 7 8) P() 9) ) 8 ) 7 ) 6 ) 6 ) A e B ) 7 6) ) b ) 7) P() 6 8) 6 8

61 AULA Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é utilizdo pr determinr o quociente e o resto d divisão de um polinômio P() pelo binômio ( ) Eemplos: ) Obter o quociente e o resto d divisão de P() 7 por ( ) vlor de Coeficiente de P() repetir o primeiro coeficiente R() Q() e R() ) Determinr o quociente e o resto d divisão de P() por ( ). Obs.: Qundo escrever os coeficientes de P(), não esquecer dos coeficiente nulos. Q() e R() ) Dividir P() - por ( ) Q() e R() 9

62 6.8 Equções Polinomiis: Equção polinomil ou lgébric é tod equção redutível form: n n n n... Chmmos de zero ou riz de um equção polinomil P() todo o número α, tl que P(α ) 6.8. Decomposição de um polinômio em ftores do o gru: Se P() é de gru n (n ) e tem rízes α, α,..., α n, então P() pode ser decomposto em n ftores do o gru, sendo n ( n ) o ftor em evidênci: n n... ( α)( α )...( α ) n n n n 6.8. Rízes Múltipls: As rízes de um equção lgébric podem ser tods distints ou não. Se um equção lgébric tiver dus rízes iguis, riz terá multiplicidde, isto é, será um riz dupl; se tiver três rízes iguis, riz terá multiplicidde, isto é, será um riz tripl e ssim sucessivmente. Se o número α for um só vez riz de um equção lgébric ele será chmdo riz simples ou riz de multiplicidde. Eemplos: ) Determinr multiplicidde ds rízes, e n equção ) Mostrr que é riz de multiplicidde d equção 7 6

63 6.8. Teorem ds Rízes Rcionis: Dd equção polinomil com coeficientes inteiros n n p n n... se o número rcionl (com p Z e q Z *, p e q primos q entre si), então p é diviso r de e q é divisor de n Eemplos: ) Resolver equção 6 N equção, temos: n e Se p, é divisor de, então p { } Se q, é divisor de n, então q { } Os possíveis vlores ds rízes rcionis são ddos pel rzão q p, logo: p { } q Se eistirem rízes rcionis n equção dd, els pertencem o conjunto cim. ) Resolver equção 6

64 ) Resolver equção 6 AULA 8 EXERCÍCIOS ) Ddos os polinômios A(), B(), C() e D(), determine o vlor de: [ A( ) b( ) ] D( ) C( ) ) Determine o vlor de pr que o resto d divisão do polinômio P() - por (- ) sej. ) Qul é o número rel que se deve dicionr P(), pr se obter um polinômio divisível por? ) Aplicndo o dispositivo prático de Briot- Ruffini, clcule o quociente e o resto d divisão de: ) P() por (-) b) P() por ( ) c) P() por ( ) d) P() por ( ) e) P() por ( ) f) P() por ( ) ) No esquem bio, foi plicdo o dispositivo prático de Briot-Ruffini, clcule P(): b c d e - - 6) Resolver s equções lgébrics bio: ) b) 7 8 c) d) e) f) ( ) ( ) 8 8 g) h) ) Determine tods s rízes d equção P(), sendo P() Sbe-se que é divisível por ( ). 8) Um riz d equção 6 é igul som ds outrs dus. As rízes dess equção são: 9) Determine o produto ds rízes d equção 6 6 Resposts: ) - ) ) ) ) Q() - -- e R() - b) Q() e R() c) Q() 8 e R() 6 d) Q() e R() e) Q() e R() f) Q() e R() ) P() 7 7 6) ) {-; ; } b) {-,; ; } c) {-; -; ; } d) {-; ½; } e) {/; ; } f) {-; } g) {} h) {; ; ; } 7) ; ; 8){,, -} 9) S 6 e P 6 6

65 AULA Mtrizes 7. Definição: São números dispostos em linhs (fils horizontis) e coluns (fils verticis), formndo um tbel. Mtriz mn é um tbel de m.n números reis dispostos em m linhs (fils horizontis) e n coluns (fils verticis). Gstos de um fmíli (proimdmente) - Rend Fmilir R$ Descrição Outubro Novembro Dezembro Médi Supermercdo 6 6 Súde 8 Trnsporte 8 Vestiário 6 7 Higiene Pessol Lzer 6 Poupnç Totis A tbel que você cbou de ver, podemos trnsformá-l num mtriz: onde os nomes supermercdo, súde, trnsporte, vestiário, higiene pessol, lzer e poupnç são s linhs (7) e outubro, novembro, dezembro e Médi são s coluns (). Assim você terá mtriz, de ordem 7, que form um mtriz com 8 elementos. Vej tmbém:, isso signific que está ocupndo posição n ª. Linh e ª. colun ; 7, podemos dizer que 7 está n ª. Linh e ª. Colun, etc Notção de um mtriz. Um mtriz de ordem : B. Eemplo: D é um mtriz, com 6 elementos, onde 6, -, /,,, 6. 6

66 `. Um mtriz genéric de ordem nn: A... m A mtriz A tmbém pode ser indicd por A ( ij ) Eemplo: Escrev mtriz A( ij ) tl que ij i j. mn `... m... m n n n... mn 7. - Algums mtrizes especiis Mtriz Retngulr: é mtriz onde m n. Mtriz Colun: é tod mtriz do tipo m. Eemplo: M, mtriz de ordem, isto é, linhs e um colun. Mtriz Linh: é tod mtriz do tipo n. Eemplo: C 8, mtriz de ordem, isto é, um linh e coluns. ( ) Mtriz Qudrd: Um mtriz é qudrd qundo o número de linhs é igul o número de coluns. Assim, um mtriz qudrd nn é chmd de: mtriz qudrd de ordem n Digonl Principl: sej mtriz qudrd A( ij ) de ordem n. Os elementos ij com i j, constituem digonl principl. Digonl Secundári - sej mtriz qudrd A( ij ) de ordem n. Os elementos ij em que i j n, constituem digonl secundári. 6

67 6 Eemplo:. 7 A é um mtriz qudrd de ordem ;. 8 9 B é um mtriz qudrd de ordem. Mtriz Digonl É mtriz qudrd ) ( A ij que tem os elementos ij qundo i # j, ou sej, onde os elementos for d digonl principl são nulos. Eemplos: 8 7 A ; 9 B e C Mtriz Esclr: A mtriz digonl que tem os elementos ij iguis entre si pr i j é um mtriz esclr. Mtriz Identidde: Mtriz identidde ou mtriz unidde é tod mtriz qudrd de ordem n (indicd por I n ) onde os elementos d digonl principl são iguis e os demis, iguis zero. Eemplos: I, mtriz identidde de ordem ; I, mtriz identidde de ordem ; I, mtriz identidde de ordem, e etc Mtriz Zero ou Nul: Um mtriz zero é mtriz cujos elementos ij são todos nulos. Eemplos: A e B, etc. Mtrizes Iguis Dus mtrizes A e B são iguis, se e somente se, os elementos d mesm posição são iguis, ou sej, os elementos correspondentes são iguis. Eemplo: D e E logo DE.

68 Mtrizes Oposts: Dd um mtriz A, chmmos de mtriz opost de A (indicmos por A) mtriz que é obtid invertendo-se o sinl de cd um de seus elementos. Eemplo: 7 7 A su opost é: A Mtriz Trnspost: Dd um mtriz A de ordem m n, denominmos trnspost de A (indicmos por A t ) mtriz de ordem n m obtid trocndo-se ordendmente s linhs de A pels colun de A. Eemplo: 7 t A 6 8 su trnspost é A Diz-se que um mtriz A de ordem n é mtriz simétric, se el é igul su trnspost. Mtriz Simétric ij É um mtriz qudrd [ ] nn i, i n, pr todo j, j n. Proprieddes d mtriz trnspost A t t i. ( ) A t t ii. ( ) t A B A B t iii. ( α. A ) α.a t 7. - Operções com mtrizes: Adição e Subtrção de Mtrizes A, diz-se simétric qundo ij ji pr todo A som de dus mtrizes A ( ) e B ( ) é mtriz A B ( ) mesmo tipo mn Proprieddes: i. A (B C) (A B) C ii. A A A iii. A A A A iv. A B B A ij b ij ij b ij, mbs do Produto de um mtriz por um esclr: Ddos um número rel α e um mtriz A, mn, o produto de α por A é um mtriz B, mn, obtid multiplicndo-se todos os elementos de A por α. Então: B α A onde b ij α ij, i, i {,,...,m) e j, j {i,,...,n} Proprieddes: i. (α β )A α ( β A) ii. (α β )A α A β A iii. α (A B) α A α B iv. A A 66

69 7.. - Produto de um mtriz por outr: Dd mtriz A ( ij ) mn e mtriz B (b jk ) np o produto A B é mtriz (c ik ) mp, tl que o elemento c ik é clculdo multiplicndo-se, ordendmente, os elementos d linh i de A pelos elementos d colun k de B e somndo-se os produtos ssim obtidos. Obs.: O produto de dus mtrizes será comptível se o número de coluns d primeir for igul o número de linhs d segund mtriz. N mtriz produto, o número de linhs é igul o número de linhs d primeir mtriz e o número de coluns é igul o número de coluns d segund mtriz, isto é: Se A é do tipo mn e B é do tipo np, então AB é do tipo mp Proprieddes: i. A multiplicção de mtrizes não é comuttiv. ii. A multiplicção de mtrizes é ssocitiv: (A.B).CA.(B.C) iii. A multiplicção de mtrizes é distributiv em relção à dição: A.(BC)A.BA.C iv. Multiplicção de um número rel por um mtriz: ( α. A ). B α. ( A. B) v. Multiplicção pel mtriz identidde: A. In In. A A vi. A In, se A vii. A A p p viii. A A. A, pr p N i. A P A.A.A..A, p ftores t t t. ( A. B) B. A Comuttividde de Multiplicção de dus mtrizes: Em gerl eistênci do produto AB não implic eistênci do produto BA. Eemplo: A (,) X B (,6) Mesmo qundo s multiplicções A B e B A são possíveis, os dois produtos são, em gerl, diferentes. Eistem mtrizes A e B tis que AB BA, porém ess não é regr. º Cso: A e I 7 A.I I.A A º Cso: A e B 7 7 AB BA I 67

70 A mtriz B é invers d mtriz A e indicmos A - Assim, pr sber se, dds dus mtrizes qudrds A e B, de mesm ordem, um é invers d outr, bst multiplicr um pel outr e verificr se o produto é mtriz I Mtriz Involutiv Um mtriz A qudrd é involutiv qundo A I Mtriz nti-simétric: É um mtriz qudrd A [ ij ], diz-se nti-simétric qundo nn ij ji pr todo i, i n, pr todo j, j n. Obs: Se A é simétric então nulos. A t A ; os elementos d digonl principl são todos 7. - Mtriz Invers Definição Sej A um mtriz qudrd de ordem n. A mtriz qudrd B, de ordem n, diz-se um invers de A, se e somente se: A. B B. A I. A invers de um mtriz A eiste se o det A Proprieddes A. B B A i. ( ) A A α. A. A α t ii. ( ) ( ) t iii. ( ) p iv. ( A ) ( A ) p. n Mtriz Ortogonl: Um mtriz M cuj invers coincide com trnspost é denomind mtriz ortogonl. Eemplo: M - M T, isto é, M. M T M T. M I M e T M fzendo multiplicção d mtriz M pel su trnspost, obtemos mtriz Identidde, portnto, M é um mtriz ortogonl Mtriz Tringulr Superior: A mtriz qudrd A [ ij ], que tem os elementos ij pr i j, é um mtriz tringulr superior Mtriz Tringulr Inferior: A mtriz qudrd A [ ij ], que tem os elementos ij pr i j, é um mtriz tringulr inferior. 68

71 69 Eemplos: 7 A B A é um mtriz tringulr superior e B inferior Potênci de um mtriz: Um mtriz qudrd [ ] ij A, pode ser multiplicd n vezes por si mesm. A mtriz que se result desss operções, e que represent por A n, é chmd potênci n d mtriz A Mtriz Periódic: Dd um mtriz qudrd A, diz-se que A é um mtriz periódic se A n A, sendo n. Se n é o menor inteiro pr o qul A n A, diz-se que o período de A é n Mtriz Idempotente: Dd um mtriz periódic A, tl que A A, diz-se que A é um mtriz idempotente. O período d mtriz idempotente é Mtriz Nihilpotente: Dd um mtriz qudrd A, se eistir um número p, inteiro e positivo, tl que A p, diz-se que é um mtriz nihilpotente. Se p é o menor inteiro positivo tl que A p, diz que A é um mtriz nihilpotente de índice p. Eemplos: ) Sej A A A mtriz A é idempotente. ) Sej B B B é nihilpotente de índice. ) Sej 6 C C 6 9 C C C C é nihilpotente de índice

72 7 AULA 9 - EXERCÍCIOS ) Sendo s mtrizes n m n m A e 6 8 B, chr os vlores de,, m e n pr que se tenh AB. ) Determine e, sbendo que s mtrizes 9 são iguis. ) Se b b, determine,, e b. ) Sendo s mtrizes A e B, clcule e de modo que t B A. ) Sejm s mtrizes 6 t z z A e 6 B. Se t t B A, determine,, z e t. 6) Sejm s mtrizes A e B, de mesm ordem mn. Demonstre que: ( ) t t t B A B A. 7) Dds s mtrizes 8 6 A, B e 6 C, clculr: ) C B A b) C B A 8) Determinr, e z sbendo que: z z. 9) Sejm s mtrizes A e B, o produto determine AB. ) Sejm s mtrizes A e B, clcule s mtrizes produtos: ) A.B b) B.A c) A.BB.A? ) Se A, determine mtriz X tl que. I X A. ) Sej mtriz A, determine mtriz polinomil, I A A.... ) Dds s mtrizes 9 A e 9 B, clculr e de modo que A sej igul B. ) Dds s mtrizes 7 9 A e 9 m n B clculr m e n pr que mtriz B sej invers de A. ) Um mtriz digonl, de ordem, é involutiv. Determine-. (Sugestão: Fç b A ). 6) Determine o número b R, pr que mtriz b b b A, sej simétric. 7) Sej mtriz [ ] ij A, pr qul,, j i se j i ij ii. Determine A e A t. A é simétric? 8) Sej mtriz A, qudrd de ordem n. Demonstre que AA t é simétric.

73 7 9) Determine os números reis, b, c,, e z pr que mtriz c z b A sej nti- simétric. Dds s mtrizes: A, 9 7 B e C, clcule: ) A B b) C A c) A B C ) Clculr o produto ds mtrizes: ) A e 8 B. b) 7 A e z X ) Dds s mtrizes A e B, verificr se B é invers de A. ) Clcule os vlores de m e n pr que s mtrizes A e B sejm iguis: ) 8 m n A e B b) 6 n m A e 6 B c) 8 7 A e 8 7 B ) Dds s mtrizes 6 8 A, 9 7 B e C, clculr: ) A B b) B C c) A C d) A B e) A C f) B C g) X A B C h) X B A 6C i) X C A 6B ) Dds s mtrizes: 9 7 A, B, C e D, clculr: ) AB b) (AB)D c) A(BD) d) BA e) (BA)C f) B (AC) 6) Verifique se mtriz B é invers de A.: ),,,,,, A e B b) A e,,,,, B

74 7) Determine mtriz invers d mtriz A. 8) Sej mtriz A. Determine A -, se eistir. 9) Pr cd mtriz seguir, determine A -, se eistir: B ) A b) ) Sejm s mtrizes A e A X B B. Resolv equção mtricil.. ) Sejm s mtrizes A e B 6 Y, de ordem, tis que, determine s mtrizes X e X Y A B ) Sendo A com b,.b b e < b, C () deta () B B A,, é verdde que: () deta.detb 7, então X (8) Se A.XC, então X (6) Se B.X () det(a.b) t 96 X e Resposts: ) ; ; m e n - ) /7 e /7 ),, e ) 7 e ),, z e t 6) (A-B) t (A (-B)) t A t (-).B t A t B t. 9 7) ) 8), - e 6 6 e ) ) ) ) 6 b) ) /- 7 e 8 ) m -7 e n - ),,, 6) ou 7) A simétric. 8) 9) bc; -, e z 9 ) ) 9 b) c) , sim A é um mtriz 9 8 7

75 7 ) ) 7 6, b) z z z 7 ) Sim. ) ) m -6 e n b) m /- 9 e n /- c) ) Verificr se houver dúvids. ) Verificr se houver dúvids. 6) Se A.B I, é invers, cso contrário, não é invers. 7) 6 8) Não eiste, pois mtriz é singulr. 9) A, B - não eiste. ) 6 X ) X Y ) V, F,V,V,F,V, totl:

76 AULA 8 Determinntes 8. Noção: Determinnte de um mtriz qudrd M é um número ssocido est mtriz, obtido seguindo-se regrs previmente estbelecids. 8. Notção: Represent-se o determinnte de um mtriz det ou ou ind det M. M por 8. Cálculo de um Determinnte: Neste estudo o determinnte será clculdo trvés de regr prátic. Pr o cálculo do determinnte de um mtriz M de ordem n, temos: ) Se M for de ordem, ou sej, M ( ), então det M Eemplo: M [-], então det M - - b) Se M for de ordem, ou sej, M, então det M. -, (produto dos elementos d digonl principl menos o produto dos elementos d digonl secundári) Eemplo: M det M c) Se M for de ordem, clcul-se o determinnte de terceir ordem trvés d regr de Srrus, que consiste em: ) Repetir s dus primeir coluns à direit d mtriz ou s dus primeirs linhs bio d mtriz; ) Multiplicr os elementos d digonl principl e os que precem dispostos prlelmente em grupos de ; ) Multiplicr os elementos d digonl secundári e os que precem dispostos prlelmente em grupos de ; ) Determinr diferenç d som dos produtos do item () pel som dos produtos do intem (). Então, pr: M, temos det M

77 Eemplo: Clculr o determinnte d mtriz M 6 8. Abimento d ordem de um mtriz qudrd: 8.. Menor Complementr Menor complementr de um elemento ij d mtriz M, é o determinnte que se obtém de M eliminndo linh e colun que contém o elemento ij. Represent-se por: D ij. Eemplo: Determine o Menor Complementr, D, D e D d mtriz m, sendo: M Então: D D 8 - D Complemento Algébrico ou Coftor: Complemento lgébrico ou Coftor de um elemento ij, é o número que se obtém multiplicndo-se o menor complementr pelo ftor (- ) i j C ij ( ) i j D ij Então,pr: M, o coftor C,, será: C ( ) 7

78 Eemplo: Determine o Complemento Algébrio, C, C e C d mtriz M, sendo: M Então: C (-). -( ) C (-)..( ) 7 C (-). -.(-9 -) 9 8. Regr de Lplce: O determinnte de um mtriz qudrd M é igul á som dos produtos dos elementos de qulquer linh ou colun pelos seus respectivos coftores. Eemplos: ) Desenvolv o determinnte d mtriz M, plicndo regr de Lplce à primeir colun, sendo: M Então: Det M.(-)..(-)..(-). ) Clculr o determinnte d mtriz M, plicndo regr de Lplce à segund colun, sendo: M 76

79 8.6 Proprieddes dos Determinntes: O determinnte de um mtriz A não se lter qundo se trocm s linhs pels coluns; isto é, det M det M t Eemplo: Se mtriz A possui um linh (ou colun) constituíd de elementos todos nulos, o determinnte é nulo. Se mtriz A tem dus linhs (ou dus coluns) iguis, o determinnte é nulo. Se n mtriz A dus linhs (ou coluns) tem seus elementos correspondentes proporcionis, o determinnte é nulo. O determinnte de um mtriz tringulr A (superior ou inferior), é igul o produto dos elementos d digonl principl. Eemplo: 6 7 det A 6 Trocndo-se entre si dus linhs (ou coluns) d mtriz A, o determinnte mud de sinl, isto é, fic multiplicdo por. Eemplo: det A 8 det A 8 Qundo se multiplicm por um número rel todos os elementos de um linh (ou um colun) d mtriz A, o determinnte fic multiplicdo por esse número. det A 8. Dividindo segund linh por, temos: det A 6, o resultdo do determinnte tmbém fic dividido por. det A 6 8 Um determinnte não se lter qundo se somm os elementos de um linh (colun) d mtriz A os elementos correspondentes de outr linh (colun) previmente multiplicdos por um número rel diferente de zero. Eemplo: temos: det det A A 7 7, se multiplicrmos ªL por e somr com ªL, 9, o determinnte de A continu o mesmo. 9 77

80 8.7 Regr de Chio: A Regr de Chio consiste em eliminr s fils que se interceptm no elemento ij, cso eist, e: ) Fzemos diferenç de cd elemento restnte n mtriz pelo produto dos elementos que se encontrm ns etremiddes ds perpendiculres trçds do elemento considerdo à linh e colun elimidds; b) Obteremos ssim um nov mtriz cujo determinnte, multiplicdo por (-) ij, é igul o d mtriz inicil. Eemplo: Clcule, plicndo regr de Chio, o determinnte: D 9 6 (-) Processo de Tringulção: Se M é um mtriz Tringulr, isto é, qundo todos os elementos cim ou bio d digonl principl são nulos, o seu determinnte é o produto dos elementos d digonl principl, e ds proprieddes sbemos que um determinnte não se lter qundo se somm os elementos de um linh (colun) d mtriz A os elementos correspondentes de outr linh (colun) previmente multiplicdos por um número rel diferente de zero. Então, podemos deir mtriz de form Tringulr Eemplo: ) det A 9 8 respost:

81 det A respost: - 79

82 8.9 Mtriz Invers - Complementos Mtriz Singulr: Um mtriz qudrd A [ ij ] cujo determinnte é nulo, é um mtriz singulr. A mtriz singulr não tem invers Mtriz Não-Singulr: Um mtriz qudrd A [ ij ] cujo determinnte é diferente de zero, é um mtriz não-singulr ou regulr. A mtriz não-singulr ou regulr sempre tem invers Proprieddes d Mtriz Invers: i. Se mtriz A dmite invers (det A ), est é únic. ii. Se mtriz A é não-singulr, su invers A - tmbém é. A mtriz invers de A - é A. iii. A mtriz A é não-singulr, su trnspost A t tmbém é. A mtriz invers de A t é (A - ) T. iv. Se s mtrizes A e B são não-singulres e de mesm ordem, o produto AB é um mtriz não-singulr. A mtriz invers de AB é mtriz B - A Operções elementres: i. Permutção de dus linhs (ou de dus coluns) ii. Multiplicção de todos os elementos de um linh (ou colun) por um número rel diferente de zero. iii. Substituição dos elementos de um linh (colun) pel som deles com os elementos correspondentes de outr linh (colun) previmente multiplicdos por um número rel diferente de zero. Eemplos: ) Encontrr mtriz invers A - d mtriz A. Solução: b. c b. d. c d. c. b. d resolvendo os sistems: c d e, c b d encontrmos mtriz invers A. / c. d.. c. b. d ) Determinção d mtriz invers usndo o determinnte e mtriz trnspost dos coftores: Encontrr mtriz invers A - d mtriz A. Solução: ) Cálculo do determinnte de A: deta.-.(-) b) Determinção d mtriz dos coftores d mtriz A: ( ) ( ) ( ).. ( ) ( ).. c) Dividir todos os elementos d mtriz trnspost formd pelos coftores pelo deta: / / / / d) Mtriz invers de A é: A / 8

83 ) Usndo o esclonmento: coloc-se à direit d mtriz dd, mtriz identidde; fz-se o esclonmento de modo que mtriz identidde psse ocupr posição d mtriz dd. A posição d mtriz A será ocupd pel mtriz identidde e n posição d mtriz identidde encontrremos mtriz invers. Eemplo: A 8

84 8 Aul - Eercícios ) Resolv s equções: ) 6 b) c) 8 d) 6 ) Encontrr mtriz invers d mtriz, usndo mtriz trnspost dos coftores. ) A b) 6 B ) Determinr mtriz invers ds mtrizes: (usr o esclonmento) ) 7 A b) 6 B ) Determine mtriz invers ds mtrizes: ) 7 A b) B c) C d) D Resposts: ) ) b) ou c) d) 8 ) ) A - não eiste! Det A b) 6 / / / B ) ) 66 / 66 / 66 / / 9 / / 66 9 / 66 7 / 66 6/ A b) / / 6 / / / / / B ) ) 7 A b) B c) C d) D não eiste! Just. det D.

85 AULA 9 Sistems Lineres 9. Equções Lineres: Entendemos por equção liner ns vriáveis (incógnits),,,..., n, como sendo equção d form n. n b, onde,,,... n e b são números reis ou compleos.,,,... n são denomindos coeficientes e b, termo independente. Eemplos de equções lineres: 7(vriáveis ou incógnits e, coeficientes e,e termo independente 7) (vriáveis ou incógnits e, coeficientes e, e termo independente ) z 7 (vriáveis ou incógnits, e z, coeficientes, e e termo independente 7) z - t (vriáveis ou incógnits,, z e t, e termo independente nulo) Sistems de Equções Lineres A um conjunto de equções lineres dá o nome de sistem de equções lineres:... n n b... n n b... n n b m m m... mn n b m 9. - Solução de um sistem liner: Os vlores ds vriáveis que trnsformm simultnemente s equções de um sistem liner em identidde, isto é, que stisfzem tods s equções do sistem, constituem su solução. Esses vlores são denomindos rízes do sistem de equções lineres Sistem Comptível: Um sistem de equções lineres é comptível qundo dmite solução, isto é, qundo tem rízes. 9.. Sistem Determindo: Um sistem comptível é determindo qundo dmite um únic solução. Eemplo: 8, é comptível e determindo, pois tem como rízes e. 9.. Sistem Indetermindo: Um sistem comptível é indetermindo qundo dmite mis de um solução (infinits soluções). Eemplo:, é comptível e indetermindo, pois dmite infinits soluções. 8 (,), (,), (,), (,6)... 8

86 9. - Sistem Incomptível Um sistem de equções lineres é incomptível qundo não dmite solução. Eemplo: 9, 9 é incomptível, pois epressão 9 não pode ser simultnemente igul e igul pr os mesmos vlores de e Clssificção: Determindo: dmite um únic solução. Possível ou comptível, Sistem Indetermindo: dmite mis de um solução. Incomptível ou Impossível: não dmite solução Sistems Equivlentes: Dois sistems lineres são EQUIVALENTES qundo dmitem mesm solução. Eemplo: 6 e 6 são equivlentes, pois dmitem mesm solução e Operções elementres e Sistems Equivlentes: Eiste um conjunto de operções que podemos relizr entre s equções de um sistem liner pr trnsformá-lo em um outro sistem equivlente. i. Permut de dus equções; ii. Multiplicção de um equção por um número rel diferente de zero; iii. Substituição de um equção por su som com outr equção previmente multiplicd por um número rel diferente de zero Sistem Liner Homogêneo: Qundo num sistem de equções lineres os termos independentes são todos nulos, o sistem é chmdo homogêneo. z 7 z 8 z 9 8z 8

87 Todo sistem liner homogêneo tem pelo menos um solução; ess solução denomind solução trivil, é, qulquer que sej o sistem, i, i representndo s vriáveis e i,,,..., m Solução dos sistems de equções lineres: 9.9. Regr de Crmer: Ddo o sistem:... n n b... n n b... n n b m m m... mn n b m onde m é o número de equções e n o número de incógnits. A resolução desse sistem, qundo m n, se fz trvés d regr prátic de Crmer, que consiste em: o ) Clculr o determinnte D d mtriz dos coeficientes.... D `... m `... m... m o ) Se D, o sistem é determindo dmite um únic solução, dd por: n n n... mn D D, D D, D D,..., D n D n, onde b b b n ` n n n n D b... n ; nn ` n b b b n n n n D b... n, nn ou sej, D é o determinnte que se obtém substituindo-se, n mtriz dos coeficientes, colun dos coeficientes de pelos termos independentes ds respectivs equções. o ) Se D e todos os D forem nulos, o sistem é indetermindo. o ) Se d e eistir pelo menos um D, o sistem é impossível 8

88 86 Eemplos: ) Resolv, pel regr de Crmer ) z z z

89 9.9. Resolução por esclonmento de mtrizes: Método de Guss ou Esclonmento plicção form mtricil. Ele consiste em: ) Anulr os coeficientes d incógnit comprndo equção com s demis. b) Anulr os coeficientes d incógnit comprndo equção com s restntes, eceto. c) Anulr os coeficientes d incógnit comprndo equção com s restntes, eceto e. E ssim sucessivmente. Eemplos: ) Resolv o sistem z z z 87

90 ) Resolv o sistem z z 6 z 6 88

91 ) Resolver o sistem z z 9 z 89

92 ) Resolver o sitem z z z 9

93 9 AULA EXERCÍCIOS ) 6 6 z z z ) 7 7 z z z ) t t ) z z z ) z z z z 6) 8 7) z z 8) 6 t t z t t z 9) z z z ) 6 z z z z ) z z z Resposts: ) {; ; } ) ; ; ) ; ; ) indetermindo ) impossível 6) {;} 7) {;-;} 8) {; -; ; -} 9) impossível ) {; ; } ) {; -; }

94 AULA - LIMITES. - Noção Intuitiv: Sej função f(). Vmos dr vlores que se proimem de, pel su direit (vlores miores que ) e pel su esquerd (vlores menores que ) e clculr o vlor correspondente de.,,6,,7,,9,,9,,98,,99 Notmos que medid que se proim de, se proim de, ou sej, qundo tende pr ( ), tende pr ( ), ou sej: lim ( ) De form gerl, escrevemos: lim f ( b ).. - Proprieddes:. lim [ f ( ) ± g( )] lim f ( ) lim g( ) ±. lim [ f ( ) g( )] lim f ( ) lim g( ). lim lim f ( ) g( ) f ( ) lim lim f ( ) g( ) n n lim f ( ), n N. ( ) *. lim n f ( ) n lim f ( ), n N sen( f ( )) sen lim f ( ) 6. lim ( ) Eemplos: ) lim ( ) * ) lim ( cos π ) cos ) lim 9

95 ) lim ( ) ) lim 6) lim sen( ) 7) lim ( ) 8) lim 9) lim 9 ) lim ) lim ) lim ) lim ( ) ) lim (cos sen ) 8 ) lim 9

96 h 6) lim h h t 7) limt t ( t) 6 8) limt t 9) lim ) lim ) lim 9

97 AULA - EXERCÍCIOS ) lim ( ) ( ) ( ) ) lim ) lim ) lim 7 ) lim 6) lim 7) lim 6 8) lim 6 6 9) lim ) lim ) lim ) lim ) lim ) lim ) lim 6) lim 7) lim Resposts ) 8 ) ) 6 ) - ) - 6) - 7) 8) 9) 8 ) ) ) ) ) ) 6) 7) 9

98 AULA. - LIMITES INFINITOS: Qundo os vlores ssumidos pel vriável são tis que > N, sendo N tão grnde qunto se queri, então se diz que o limite d vriável é infinito. lim ou lim.. - Igulddes Simbólics:... Tipo Som:. () ( ± ) ± b. ( ) ( ) c. - (- ) - d. - indetermindo... Tipo Produto:. ( ± ) ± b. (-) ( ± ) m c. ( )( ) d. ( )(- ) - e. ± indetermindo... Tipo Quociente: c. b. c c. d. e indetermindo... Tipo Potênci:. c (c>) b. c (<c<) c. d. c e. ( ) f. ( ) c (se c for ímpr) g. ( ) c (se c for pr) h. ( ) i. ( ± ) c j. indetermindo k. ( ± ) indetermindo ± l. indeterminddo 96

99 Obs.: O limite de um função polinomil qundo tende o infinito, é o limite do termo de mior gru. Eemplos: ) lim ( ) ) lim ) lim lim 6 ) 8 ) lim 6) lim ( ) 97

100 AULA EXERCÍCIOS ) lim ( ) ( ) ( ) ( 8) ( ) ( ) ) lim ) lim ) lim ) lim 6) lim lim lim lim lim 9 8 lim 8 7 lim 7 lim ( ) 7) 8) 9) ) ) ) ) ) lim ) lim 6) lim lim 7) 8) lim ( ) 9) lim ( ) Resposts: ) ) - ) - ) ) 6) - 7) 8) 9) ) ) ) ) ) ) - 6) 7) 8) 9) 98

101 AULA. LIMITES TRIGONOMÉTRICOS: sen lim Demonstrndo o limite fundmentl por tbel temos que: Sen,8,8,6,6,,,,,, Usndo vlores de em rdinos, obtemos vlores iguis ou muito próimos. Eemplos: lim sen ) lim cos ) lim sen sen ) sen sen lim sen sen ) sen lim sen9 ) 99

102 tg 6) lim cos lim 7) 8) lim senm senn AULA EXERCÍCIOS sen lim sen lim tg lim sen lim sen tg lim tg cos lim cos lim sen sec lim tg sen lim sen cos lim tg tg sen lim sen ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) sen sen cos cos lim sen sen sen lim sen sen( ) sen lim cos lim ) lim ) ) ) 6) Resposts: ) / ) ¼ ) / ) / ) / 6) 7) ½ 8) ½ 9) ) - ) ) ) ) ) cos 6) /

103 AULA. LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: lim e () Neste cso, e represent bse dos logritmos nturis ou neperinos. Trt-se do número irrcionl e, cujo vlor proimdo é,7888 X,,7,97,78,769,78,78 temos: Not-se que medid que, De form nálog, efetundo substituição ) lim ( e () Aind de form mis gerl, temos: e e () lim ( ) l k e kl () lim k l e kl () lim ln (6) lim Eemplos: e lim ) ) lim ( )

104 lim ) e lim sen ) lim ) 6) lim ( ) lim 7) sen lim e 8) lim e sen 9) lim sen ) lim log 6 )

105 AULA EXERCÍCIOS ) lim ) lim e ) lim e lim log lim ln lim log ) ) 6) lim 7) 8) lim lim 9) lim ) lim ) lim ) lim ) ) lim ( ) ) lim ( ) lim 6) lim 7) lim ln( ) lim 8) 9) ln( ) lim ) Resposts ) 8 ) e ) e - ) - ) ln 6) 7) e 8) e / 9) e ) e ) e ) e 6 ) e -6 ) e ) e -6 6) e - 7) e 8) e 9) ½ ) /

106 AULA 6. LIMITES LATERAIS: Considermos um função f(), d qul queremos chr os limites lteris pr tendendo, ou sej, queremos clculr: lim f ( )?? Limite lterl à direit lim f ( )?? Limite lterl à esquerd Vejmos como proceder em cd cso: Limite direit (qundo ) Fzemos seguinte troc de vriável: Eemplo: lim ( ) h, com h >, devemos ter h Limite esquerd (qundo - ) Fzemos seguinte troc de vriável: h, com h > devemos ter h Eemplo: lim ( ) O Limite de um função eiste qundo lim f ( ) lim f ( )

107 AULA 6 EXERCÍCIOS ) lim ( ) lim lim lim lim ( ) ) ) ) ) lim lim ( 6) 7) ) 8) lim ( ) lim lim 9) ) ) lim ) lim ) lim ) lim ) Constru os gráficos ds seguintes funções e clcule os limites lteris solicitdos. ) b) f ( ) lim f ( ) f ( ) - lim f ( ) se se se lim > < f (, ) se se se < > e lim f ( ), f ( ) lim c) - - se f ( ) se se lim f ( ) lim f ( Resposts: ) 9 ) ) ) 6 ) 6) 7) 8) 9) - ) ) ) ) ) ) ) e b) e - c) e e ) < >

108 AULA 7 - ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS. INTRODUÇÃO: Trçremos com fcilidde um esboço gráfico de um função se conhecermos s ssíntots horizontis e verticis do gráfico, cso els eistm. Assíntot são s linhs horizontis e verticis que no gráfico servem pr trçrmos função, onde função vi tender pr este vlor, o que encontrrmos d ssíntot, porém não "toc " est ret, pois ssintot são os limites lteris verticl e horizontl d função. ASSÍNTOTA VERTICAL Dizemos que ret é um ssíntot verticl do gráfico de f, se pelo menos um ds firmções seguintes for verddeir: i. lim f ( ii. iii. iv. lim lim lim ) f ( ) f ( ) f ( ). ASSÍNTOTA HORIZONTAL Dizemos que ret b é um ssíntot horizontl do gráfico de f, se pelo menos um ds firmções seguintes for verddeir: i. lim f ( ) b ii. lim f ( b Eemplos: ) ) Sej função eistirem. f ( ) ( ). Encontre equção ssíntots horizontis e verticis se el 6

109 ) Considere função verticis, se el eistirem. f ( ) ( ). Encontre equção ds ssíntots horizontis e 7

110 FUNÇÕES CONTÍNUAS. DEFINIÇÃO: Um função f é contínu em um ponto se são stisfeits s seguintes condições: i. f () ii. lim f ( ) iii. lim f ( ) f ( ) Eemplos: Verifique se s funções bio são contínus no ponto indicdo: ) f ( ) em ) ( ) f em 8

111 ) se < f ( ) se em se > AULA 7 EXERCÍCIOS Escrev equção ds ssíntots ds funções bio, fç um esboço do gráfico d função: ) ) ) ) ( ) ) Verifique se s funções bio são contínus nos pontos indicdos 6) se f ( ) em se 9 7) f ( ) em 8) f ( ) em 9) se f ( ) em se < Resposts ) é equção d ssíntot verticl e é ssintot horizontl ) é equção d ssíntot verticl e é ssintot horizontl ) é equção d ssíntot verticl e é ssíntot horizontl ) é equção d ssíntot verticl e é ssíntot horizontl ) é equção d ssíntot verticl e - é ssíntot horizontl 6) função não é contínu 7) função é continu 8) função é contínu 9) função não é contínu 9

112 AULA 8 DERIVADAS. INTRODUÇÃO: O Cálculo Diferencil e Integrl crido por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo de início um instrumento precioso e imprescindível pr solução de vários problems reltivos à Mtemátic e Físic. N verdde, é indispensável pr investigção nãoelementr tnto ns ciêncis nturis como humns. O formlismo mtemático do Cálculo que à primeir vist nos prece bstrto e for d relidde, está internmente relciondo com o rciocínio usdo pels pessos em gerl n resolução de problems cotidinos.. DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: Sej f um função representd no gráfico bio: f ( ) Gostrímos de encontrr inclinção d ret tngente este gráfico em um determindo ponto, vmos supor P(, f()). Sbemos que o coeficiente ngulr d ret nos dá inclinção dest. Sendo ssim, devemos encontrr o coeficiente ngulr d ret tngente o gráfico em P (, f()). f ( )

113 Sej P(, f()) e Q ( h, f( h)) dois pontos d função f onde h represent diferenç entre s bscisss de P e Q. É fácil determinr o coeficiente ngulr d ret PQ utilizndo os conceitos de trigonometri no triângulo retângulo. Sej s ret secnte o gráfico de f pelos pontos P e Q. fh ( ) Q f () s f () P R h Sbemos que o coeficiente ngulr m PQ d ret secnte é ddo pr QR mpq ms tgα PR f ( h) f ( ) m s (i) inclinção d ret secnte h Podemos tomr no gráfico pontos Q, Q, Q, Q,... Q n cd vez mis próimos de P, ret s(pq) secnte curv, tende posição de tngênci em P e o créscimo h, tende zero. fh ( ) Q f () s Q Q f () P Q R h Logo: m m t t lim lim m s f ( h) h f ( ) onde m represent o coeficiente ngulr d ret tngente. Esse limite qundo eiste é chmdo Derivd de t

114 . DEFINIÇÃO: Sej um função f: D R, e sej D o conjunto de todos os vlores tl que eist f (). Chm-se função derivd de f função f : D R tl que: f '( ) lim f ( ) f ( ) Eemplo: ) Se f() determine equção d ret tngente o gráfico f no ponto de bsciss

115 ) Sej função f: R R tl que f(). Obter função derivd de f: ) Utilizndo definição clcule derivd d função f().. Outrs notções pr função derivd: (lê-se: derivd de ) (lê-se: derivd de em relção ) d (derivd de em relção ) d Df (derivd de f)

116 . SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; A questão fundmentl d cinemátic consiste em determinr velocidde de um móvel em um instnte qulquer qundo é conhecid equção de seu movimento ou sej, epressão que nos dá o espço (posição) em função do tempo, sf(t). Quntittivmente velocidde eprime em gerl, rzão de vrição do espço em relção o tempo. Qundo est rzão é constnte, temos o movimento uniforme. Ou sej, se o móvel percorre um espço S em um intervlo de tempo t, velocidde é dd pelo S quociente v, que é um rzão constnte. t Qundo porém, temos um movimento vrido, ou sej, o móvel percorre espços diferentes em tempos iguis, é necessário e fundmentl distinguir velocidde médi d velocidde instntâne. Se um utomóvel percorre km em hors, não podemos concluir deste fto que su velocidde tenh sido de 6 km/h. Se durnte o percurso nós tivéssemos o velocímetro consttrímos que velocidde presentou vrição, or pr mis, or pr menos. Portnto velocidde de 6 km/h que obtivemos dividindo km pelo tempo de hors gstos em percorrê-los é o que chmmos de velocidde médi. A velocidde que observmos cd instnte no velocímetro do veículo denominmos velocidde instntânen. Consideremos um móvel de equção horári s f(t) que se desloc sobre um trjetóri retilíne de origem O e que em um instnte t ocupe um posição S e num instnte t ocupe um posição S. S Sbemos que o espço percorrido pelo móvel entre um posição e outr é S S S ou S f ( t ) f ( t) e que o tempo gsto pr percorrê-lo é t t t. Logo, su velocidde médi neste percurso é: S S S f ( t ) f ( t) V m t t t t t Com definição de velocidde médi e considerndo vrição do tempo tendendo zero podemos estbelecer equção d velocidde instntâne no instnte t, dd por: S f ( t ) f ( t) V lim t lim t t t Ms t t t t t t e considerndo t um instnte genérico t, temos t t t, logo: f ( t t) f ( t) V lim t t que é derivd d função f em relção su vriável independente t, ou sej: Se S f(t) então S (t) v Rciocínio semelhnte pode ser desenvolvido prtir d função velocidde do móvel, v f(t), o que nos levrá concluir que su derivd nos fornecerá celerção do móvel em um instnte qulquer, isto é: Se v f(t) então v (t) Onde é celerção instntâne do móvel.

117 . REGRAS DE DERIVAÇÃO: Est seção contém lgums regrs geris que simplificm o trblho de cálculo ds derivds. ) f() c f () ) f() n f () n. n- ) f() u.v f () u v uv ) f() u.v.w f () u vw uv w uvw ) f ( ) u v u' v uv' f '( ) v 6) f() u n f () n.u n-.u 7) f() u f () u.ln.u 8) f() e u f () e u.u 9) f() ln u ) f() log u u' f '( ) u u' f '( ) u.ln ) f() cos u f () - u.sen u ) f() sen u f () u.cos u ) f() tg u f () u.sec u ) f() cotg u f () - u.cossec u ) f() sec u f () u.sec u. tg u 6) f() cossec u f () - u.cossec u. cotg u 7) f() u v f () v.u v-.u u v.v.ln u f '( ) u v v ( v'lnu. u') u 8) f() rc sen u f '( ) u' u 9) f() rc cos u f '( ) u u ) f() rc tg u u' f '( ) u

118 .. Derivd de função Algébric: Eemplos: ) ) 7 7 ) ) ) ( )( ) 6) ( ) 7) 8) 6

119 AULA 8 EXERCÍCIOS ) X X X X ) 7-8 ) 7 ) ) 6) 7) 8) 6 9) ) 7 ) ) ) ( )( ) ) ( )( )( ) ) ( 8) 8 6) (- b) 6 7) b 8) ( ) 9) ( ) ) ) 6 ) ) ) Resposts: ) 9 ) ) ) ' ) ' 6 6) ' 7) ' 8) ' 8 9) ' 9 ) ' ( 7) ) 6 ' ( ) ) ' ( ) ) ) 8 ) ( )( ) 7 6) -b(ª-b) 7) ' b ( b ) 8) ' 9) ' ) 8 ' ) 6 ' (6 ) ) ' ( ) ) ) ' ' ( ) ( ) 7

120 AULA 9.. Derivd de Funções Eponenciis e Logrítmics: Eemplos: ) ) e ) e ) e ) e e 6) log 7) log ( ) 8) e e e e 8

121 AULA 9 EXERCÍCIOS ) ) e 8 ) e ) e ) 7 e 6) 7) ( ) 8) ( ) 9) ln ) log ) ) ln ln ) ln 9 ) ln ) e ln 6) ln 7) ln Resposts: ) ' ln ) ' e 8 7 ) ' 8. e ) ' e.( ) ) ' 7.ln 7.( ) e ( ) 6) ' 7) ' ( ) ( ) ln( ) 8) ' ( )( ) ( )..ln( ) ln 9) ' ) ' ln ) ' ( ) ) ' ( ) ) ' 9 ln ) ' ( ln ) ) ' e ln 6) ' (ln ) ln 7) ' 9

122 AULA.. Derivd de Funções Trigonométrics: Eemplos: ) sen ) cos ) tg ) sec ) tg 6) tg 7) cotg( ) 8) cos 9) sen.cos ) cos ) rccos

123 AULA EXERCÍCIOS ) cossec 7 ) sen cos ) sen ) sen ) tg 6) sen 7) cos e 8) (cos ) 9) sen cos ) e sen ) sec ) sen. e ) rcsen ) rctg ) rcsen( ) 6) rctg 7) rcsen( ) 8) rc cot g( ) 9) rcsec ) rccossec( ) ) rcsen ). rctg ) ln rccos Resposts ) -7cossec7.cotg7 ) cos-sen ) sen.cos ) sen.cos tg ) ' cos. sen cos 6) ' ( sen cos ) cos 7) ' e 8) ' (cos ) (ln cos tg) 9) ' sec ) ' e ( sen cos ) ) ' sec. tg ) e (sencossen) ) ' 9 ) ' ) ' 9 6) ' 7) ' 6 6 8) ' 9) ' 6 ) ' ( ) ) ' ) ' rctg ) ' rccos.

124 AULA.6 DERIVADAS SUCESSIVAS Sej f um função contínu em um intervlo I e derivável em um intervlo A I. Vimos que derivd de f em A denotmos por f. Se f é derivável em um intervlo B, B A, est derivd de f denotmos por f denominmos derivd segund de f. Procedendo de mneir nálog, definimos s derivds terceirs, qurt,...,enésims. Eemplo: ) Obtenh té derivd de ordem d função f() ) Dd função f(), pede-se clculr f (-) e f (6) ().7 REGRAS DE L HOSPITAL Agor presentremos um método gerl pr levntr indeterminções do tipo ou. Esse método é ddo pels regrs de L Hospitl. Regrs de L Hospitl:Sejm f e g funções deriváveis num intervlo berto I. Suponhmos que g () pr todo em I. f '( ) i). Se lim f ( ) lim g( ) e lim L então: g'( ) f ( ) f '( ) lim lim L g( g'( )

125 lim f '( ) ii). Se lim f ( ) lim g( ) e lim L então: g'( ) f ( ) f '( ) lim lim L g( ) g'( ) f '( ) Obs.: A regr de L Hospitl continu válid se lim ou g'( ) f '( ). El tmbém é válid pr os limites lteris e pr os limites no infinito. g'( ) Eemplos: Determinr ) lim e ) sen lim ) cos lim ) lim ) 6 lim

126 AULA EXERCÍCIOS ) lim ) lim ) lim e ) lim ln sen ) lim e 6) lim e e 7) lim tg 8) lim sen e e 9) lim sen ) lim senπ sen ) lim π π sen ) lim b ) lim sen ) lim π π e ) lim cos 6) Obter derivd terceir ds seguintes funções: ) f() b) f() c) f ( ) d) f() - e) f() sen f) f() e 7) Obter derivd segund ds seguintes funções: ) b) e.cos Resposts ) ) ) ) ) 6) 7) e 8) 9) ) π ) ) 6 ) ln b ) ) - 6) ) 6 b) c) d) -6 e) -7cos f) 8e 7) ) " ( ) b) -e sen

127 .8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS AULA.8. Ts de Vrição Relcionds Notemos que se dus grndezs vriáveis estão relcionds entre si trvés de um terceir grndez, então sus ts de vrição em relção est grndez d qul dependem tmbém estrão. Eemplos: Eemplo: Se depende de e depende de t, temos: ) Um qudrdo se epnde de modo que seu ldo vri rzão de cm/s. Achr t de vrição de su áre em relção o tempo no instnte em que o ldo mede cm. d dt d d d dt ) Um cubo se epnde de modo que su rest vri rzão de,cm/s. Achr t de vrição de seu volume no instnte em que su rest mede cm.

128 ) Acumul-se rei em um monte com form de um cone onde ltur é igul o rio d bse. Se o volume de rei cresce um t de m /h, que rzão ument áre d bse qundo ltur do monte é de m? 6

129 .8. Máimos e Mínimos.8.. Introdução: Suponh que o gráfico bio tenh sido feito por um instrumento registrdor usdo pr medir vrição de um quntidde físic em relção o tempo. Em tl cso, o eio dos represent o tempo e s ordends dos pontos do gráfico, os vlores d quntidde f(). Por eemplo, os vlores de podem representr medids de temperturs, pressão, corrente em um circuito elétrico, pressão sngüíne de indivíduo, quntidde de um produto químico em um solução, bctéris em um cultur, etc. Observemos que há intervlos em que função é crescente e outros nos quis el é decrescente. M P N b c d e A figur mostr que f é crescente no intervlo de ],b[, decrescente de ]b, c[, crescente ]c, d[ e decrescente de ]d, e[. Se restringirmos noss tenção o intervlo de [b, e], veremos que quntidde tingiu seu máimo (mior vlor) em d e seu mínimo em c. Observe que em outros intervlos eistem diferentes máimos e mínimos. O ponto M d curv, de bsciss b, situ-se etmente no ponto onde função pss de crescente pr decrescente. Dizemos então que função present um máimo locl em b, ou que f(b) é um máimo locl d função. Isto é, o vlor de f(b) é o mior vlor que função ssume pr vlores de, próimos de b. Convém observr que o ponto M não é o ponto mis lto do gráfico. M é o ponto mis lto dos que lhe são próimos. Por isso o djetivo locl. Vejmos gor que função é decrescente no intervlo de ]b, c[ e crescente de ]c, d[. O ponto N d curv, situ-se etmente no ponto em que função pss de decrescente pr crescente e su bsciss é c. Observmos que N é o mis bio ponto entre os que lhe são próimos. Dizemos que função present i um mínimo locl, ou que f(c) é um mínimo locl de f. O vlor de f(c) é o menor vlor que função ssume pr vlores próimos de, próimos de b. Notemos que função pode presentr outros máimos e mínimos locis. Definição : Sej f um função definid em um intervlo l e c um número em l, então: i). f() é máimo de f em l se f() f(c) pr todo em l ii). f() é mínimo em f em l se f() f(c) pr todo em l Definição : Sej c um vlor do domínio de um função f i). f(c) é máimo locl de f se eiste um intervlo (,b), contendo c, tl que f() f(c) pr todo em (,b) ii). f(c) é mínimo locl de f se eiste um intervlo (,b), contendo c, tl que f() f(c) pr todo em (,b) Teorem: Se um função f tem etremo locl pr um vlor c, então f (c) ou f (c) não eiste. 7

130 Suponh que um função f sej derivável, neste cso o seu gráfico dmite tngente em cd ponto, conforme o gráfico bio. B A No ponto B, de máimo locl, e A de mínimo locl, tngente o gráfico é um ret horizontl, prlel o eio. Logo f () f (b) pois o coeficiente ngulr d ret tngente é derivd d função no ponto. Se f é um função derivável e o ponto tl que f ( o ) ou não eist, dizemos que é um ponto crítico d função f. Portnto d firmção nterior, concluímos que os máimos e mínimos locis de um função ocorrem em pontos críticos d função. A condição f () é necessári pr que hj máimo ou mínimo locl no ponto, ms não é suficiente. Sej por eemplo função f(). Derivndo temos: f (), logo f () e o ponto de bsciss não é nem máimo locl nem mínimo locl d função. Definição : Um ponto (número) c do domínio de um função f é ponto crítico de f se, ou f (c) ou f (c) não eist. Eemplo: Determine os pontos críticos d função f() 8

131 .8.. Determinção dos Máimos e Mínimos locis: º) Clculr derivd primeir d função f e resolver equção f (), cujs rízes são s bscisss dos pontos críticos de f. º) Eminmos cd ponto crítico encontrdo fim de verificr se trt-se de etremo ou não. Pr isso, utilizremos o teste d derivd primeir ou o teste d derivd segund..8.. Crescimento e Decrescimento de funções: Teorem: Sej f um função contínu em um intervlo fechdo [, b] e derivável no intervlo berto (, b). i). Se f () > pr todo em (, b) então f é crescente em [, b] ii). Se f () < pr todo em (, b) então f é decrescente em [, b].8.. Teste d Derivd Primeir: Suponhmos que pr função f tenh um ponto crítico e sejm e b muito próimos de tis que < <b, então: i). Se tivermos que f () > e f (b) <, então, nesse cso função pss de crescente decrescente e podemos firm que f( ) é um máimo locl d função. ii). Se tivermos que f () < e f (b) >, então, nesse cso função pss de decrescente crescente e podemos firmr que f( ) é um mínimo locl d função. Eemplos: ) Sej função f() -. Determine os pontos de máimo, de mínimo e de infleão se eistirem. 9

132 ) Sej função f() - 8. Determine os pontos de máimo, de mínimo e de infleão se eistirem..8.. Concvidde e Teste d Derivd Segund: Teste d Concvidde: Se um função f é diferenciável em um intervlo berto contendo c, então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é: i). Côncvo pr cim se f (c) > ii). Côncvo pr bio se f (c) < Teste d Derivd Segund: Sej f diferenciável em um intervlo berto contendo c e f (c). i). Se f (c) <, então f tem máimo locl em c ii). Se f (c) >, então f tem mínimo locl em c Se função f dmite derivd segund nos pontos críticos, e supondo que est sej contínu no domínio considerdo, podemos empregá-l pr eminr cd ponto crítico e clssificá-lo. Sej bsciss de um ponto crítico, se f ( ) >, o gráfico de f côncvo pr cim pr próimo de, isto é, f tem i concvidde voltd pr cim e então f( ) é um mínimo locl de f.

133 Se f ( ) <, o gráfico de f é côncvo pr bio pr próimo de, isto é, f tem concvidde voltd pr bio, e nesse cso, f( ) é um máimo locl de f. Resumindo: f '( Mínimo Locl: f "( ) ) > f '( Máimo Locl: f "( ) ) < Eemplo: Determinr os pontos máimos ou mínimos d função f() - 9, se eistirem usndo o teste d DERIVADA SEGUNDA.

134 AULA EXERCÍCIOS ) Ao quecer um disco circulr de metl, seu diâmetro vri à rzão de, cm/min. Qundo o diâmetro est com metros, que t est vrindo áre de um fce? ) Um tnque em form de cone com vértice pr bio mede m de ltur e tem no topo um diâmetro de m. Bombei-se águ à t de m /min. Ache t com que o nível d águ sobe: ) qundo águ tem m de profundidde. b) qundo águ tem 8 m de profundidde. ) Um pedr lnçd em um lgo provoc um série de ondulções concêntrics. Se o rio r d ond eterior cresce uniformemente à t de,8 m/s, determine t com que áre de águ perturbd está crescendo: ) qundo r m b) qundo r 6m ) Determine s bscisss dos pontos críticos ds funções bio: ) s(t) t t t b) f() 7 c) g(w) w w ) Determine os pontos de máimo, de mínimo e de infleão ds seguintes funções se eistires, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA. ) 6 - b) f ( ) c) f() - 9 6) Determine s bscisss dos pontos máimos ou mínimos ds seguintes funções, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA. ) f() b) 8-9 c) ) Imgine que trjetóri de um pedr lnçd o r sej um trecho d prábol dd por ( e em metros), determine o ponto máimo d função. Resposts: π ) cm / min ) m / min π ) b) m / min π ),8πm / s ) b),6π m / s ) t e ) b) e 7 c) w ) ) má - e min / b) má 7 c) má 7/9 6) ) má e min b) má -/ e min c) má e min - 9 7) P(,- )

135 AULA INTEGRAIS. INTRODUÇÃO: Até o momento, nosso problem er; dd função obter su derivd. A prtir de gor, trblhremos com pergunt invers: dd função de quem el é derivd? A operção contrári diferencição (ou derivção) é chmd de ntidiferencição ou nti-derivd. Definição: Um função F é chmd de nti-derivd de um função f em um intervlo l se F () f() pr todo em l Eemplo: Sej f(). F() é nti-derivd d função f, pois F ( f(). Ms não eiste um únic integrl, note por eemplo que: G() tmbém é um nti-derivd de f pois G () f9 N verdde,qulquer função definid por H() c onde é um constnte qulquer, será um integrl de f... NOTAÇÃO: A nti-diferencição é um processo pelo qul se obtém nti-derivd, mis gerl de um função encontrd. O símbolo denot operção de integrl, e escrevemos: f ( ) d F( ) C onde F '( ) f ( ) A epressão cim é chmd de Integrl Indefinid de f. Em lugr de usrmos epressão ntiderivção pr o processo de determinção de F, utilizremos gor, epressão Integrção Indefinid. Pr fcilitr o nosso processo de obtenção d nti-derivd de um função, temos lgums regrs, que veremos seguir.. INTEGRAIS IMEDIATAS n n d c n ) d d ) d )

136 ) ( ) d ) d ( ) 6) d 7) ( ). d n n v v dv c n 8) b. d dv ln v c v d 9) ( )

137 d ) v v v v dv c ln e dv e c e ) d ) e d ) ( b ) d b tgv. dv lncosv c ou tgv. dv lnsecv c ) tg d cos secvdv ln(cossecv cot gv) c ) cos sec d

138 sec vdv tgv c 6) sec d sec vdv ln(secv tgv) c d 7) sec sec. tg. d sec c sen 8) d cos cossec d cot g c d 9) cos 6

139 dv v v rcsen c ou dv v v rccos c d ) 6 9 dv v dv v rctg c ou rc c v cot v d ) 9 v v dv rcsec v c ou v v dv rccossec v c d ) 9 dv v ln v v c d ) 9 7

140 Lembrndo que: b ( ) b - b ( ) b - b ( b) - - b ( b) dv v ln c v v dv ln( v v ± ) c v ± d ) 7 d ) b 8

141 Aul - Eercícios 8 ) d ( ) ( ) ) d ( 6) ) d ( ln ) ) d ( ) ) d 6) ( e ). e d 7) sen.cos. d sec 8) d tg 9) d b c d ).ln ) tg. d d ) ( e ) sen cos ) d cos cot g ) d sen ) (sec ) d sec. tg 6) d bsec cos 7) d sen 8) tg. d 9) ( tg sec) d ) ( tg cot g) d ) d b dt ) 9t cosθ. dθ ) sen θ d ) rccos ) d 6) d 6 d 7) ( ) rctg d 8) e e sec. tg 9) d 9 sec d ) d ) d ) ( ) rccos ) d ) d 7 d ) 7 6 d 6) 7) d 9 8) d 9 8 sen 9) d sen e d ) e d ) ln d ) sen cos ). d 9

142 Resposts: ( ) ) c ) ( 6) c ( ) ) c 6 ( ln ) ) c ) c e ( ) (cos) 6 tg ln( b c c 6) c 7) c 8) c 9) ) c ) ln(ln) c ) ln(sec ) c e ln(sec ) ) c ) c l (cot g) tg ln(sec tg) ln( bsec ) b sen sen tg tg tg sec cot g tg ) c ) c 6) c 7) c 8) c 9) c ) c b b t ln t ) rctg c ) c senθ ln senθ rc sec rccos ln 6 ln( rctg ) ) c ) c ) c 6) c 7) c 8) rctge c sec rctg 6 ) rctg c ) rcsen ( ) c ( ) ) rc sec c rccos 9) c ) c ) ln( 7) ln c ) 7 ( ) 7 6 rcsen 6 c ln( ) 9 ln( 9) 6) c 7) c 8) ln(9 9 8). rctg c 9 9) sen c e ) rctg c ln rcsen rctg tg 6 7 ( ) 6 ) c ) c ) ( )

143 AULA. - INTEGRAIS POR PARTES ). e d u. dv u. v v. du ).ln. d ) d

144 ) ln( d ) e sen sen d

145 AULA EXERCÍCIOS ) rcsend ) sen d ) sec d ). sen. d ). e. d 6). e. d 7). rctg. d 8) d rcsen. ( ) 9) tg.sec. d ). rctg d ln. d ) ( ) ) rcsen d Resposts: ). rcsen c sen ) c ) sec. tg ln(sec tg) c ).cos sen cos c ) e ( ) c 6) e.. c 8 7) rctg ( ) c rcsen 8) ln c 9) sec tg sec tg ln(sec tg) c 8 8 ) rctg c ln ) ln c ( ) ) rcsen rctg c

146 AULA. INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS As identiddes seguintes são empregds no cálculo ds integris trigonométrics do presente cpítulo: i). sen cos ii). tg sec iii). cot g cos sec iv). sen ( cos ) v). cos ( cos ) vi). sen cos sen sen cos sen( ) sen( ) sen sen cos( ) cos( ) cos cos cos( ) cos( ) ). cos sen i). cos cos ii). ± sen ± cos π vii). [ ] viii). [ ] i). [ ] Eemplos: ) sen d ) cos d

147 ) sen d 6 ) cos d ) sen cos d

148 6) sen. send 7) sen.cos. d 8) cos.cos. d cos. d 9) ( ) 6

149 ) cos d d ) sen ) tg. d ) cot g d 7

150 AULA EXERCÍCIOS ) cos d ) sen d ) cos. sen. d ) sen.cos d ) sen. cos d sen 6) d cos 7) tg d 8) sec d 9) sec. tg d ) tg.sec d ) tg. sec d ) cot g d Resposts: ) sen sen sen C ) sen sen C 8 ) 7 cos cos C ) 8 cos cos 6 C 8 sen8 ) sen C 8 8 6) cos cos C tg tg 7) ln sec C 8) tg tg C tg tg sec sec 9) C ou C 6 6 ) sec sec C 6 7 tg tg ) C 7 ) cot g cot g C 9 8

151 AULA 6. INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Est técnic é usd pr integrr funções rcionis própris, isto é, funções d form p( ) R ( ), onde p e q são polinomiis e o gru de p() é menor que o gru de q(). A ídéi q( ) é desdobrr o integrndo R() em um som de funções rcionis mis simples, que podem ser integrds. É fácil verificr que: A epressão à direit é o que se chm um decomposição em frções prciis de. Pode-se usr est decomposição pr clculr integrl indefinid de. Bst integrrmos cd um ds frções d decomposição, obtendo: d d d O desdobrmento do integrndo pode ser feito de cordo com os csos seguintes: CASO : O denomindor de R() pode ser decomposto em ftores distintos do o gru. Neste * cso, cd ftor d form ( b), R e, b R, que prece no denomindor, A corresponde um frção d form. ( b) Eemplos: ( ) ( )( ) A B C ( ) ( ) ( ) 9 Clcule d 9

152 CASO : O denomindor de R() pode ser decomposto em ftores repetidos do o gru. A cd ftor d form ( b) que prece n vezes no denomindor, corresponde um som de n frções d form: n n b A b A b A ) (... ) ( Eemplos: ] ) )[( )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A A A A A Clcule d ) )( ( 9 8

153 CASO : O denomindor é constituído por ftores qudráticos distintos e irredutíveis d form q() b c com e não pode portnto ser decomposto em ftores do o gru. A A B cd ftor q() que prece no denomindor, corresponde um frção d form q() Eemplo: A B A B ( )( ) ( ) ( ) Clcule d 8

154 CASO : O denomindor é constituído por ftores qudráticos repetidos e irredutíveis d form q() b c com e não pode portnto ser decomposto em ftores do o gru. A cd ftor de q() que prece repetido no denomindor, corresponde um som de A B A B An Bn frções d form... n q( ) [ q( )] [ q( )] 7 Clcule d ( )

155 AULA 6 EXERCÍCIOS ) d ( ) 7 ) d ( )( )( ) 6 ) d ( ) 6 ) d 8 8 ) d 6) d ( ) ( ) Resposts: ) ln ln C ) ln ln ln C ) 6 ln C ) ln ln C ) ln ln ln C 6) ln ln C

156 AULA 7.6 INTEGRAL DEFINIDA: Teorem fundmentl do Cálculo: Sej f um função contínu em [, b] e g um função tl b que g () f() pr todo [, b]. Então f ( ) d g( b) g( ). A epressão b f ( ) d é chmd de Integrl Definid de f de té b. Em lingugem simples, este teorem nos diz que se g é um nti-derivd de f, então integrl definid de té b de f é dd pel diferenç g(b) g(). Os vlores de e b são chmdos de limites de integrção. Eemplos: ) Clcule d ) Clcule d ) Clcule 7 d

157 .6. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: Vmos gor interpretr geometricmente os eemplos e. ) Sej f() (eemplo ). Tomemos região delimitd por (), o eio e s rets e. X X Temos um retângulo de bse e ltur, cuj áre é dd por: A b.h u. (como no eemplo ) ) Sej f() (eemplo ). Tomremos região delimitd pelo eio, função f() e s rets e 7. 7 f() Temos um triângulo de bse 7 e ltur 7, cuj áre é dd por A u.. Os ftos observdos nestes eemplos não são mer coincidênci. N verdde, se f()> pr [,b], então b o eio. f ( ) d nos fornece áre limitd por f() pels rets e b e

158 ) Tomemos gor um eemplo em que f() < em [, b] ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) A região delimitd por (), pelo eio e s rets - e - é presentd bio: é dd por Note que A é um triângulo de bse e ltur, ssim, A u.. Assim, vemos que f ) A ( d. Em gerl se f()< em [, b] áre delimitd por f(), o eio e s rets e b A f ( ) d. b.6. PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS. Se um função f é integrável no intervlo fechdo [, b], e se k é um constnte qulquer, então: Eemplo: b k. f ( ) d k f ( ) d Clcule o vlor d integrl d b 6

159 . Se s funções f e g são integráveis no mesmo intervlo fechdo [,b] então f g é integrável em [, b] e: b [ ( ) g( )] d f ( ) d b f g( ) d Eemplo: Clcule o vlor d integrl d b. Se função f é integrável nos intervlos fechdos [, b], [, c] e [c, b] então: Eemplo: b ( ) d f ( ) d c f f ( ) d Clcule o vlor d integrl d c b AULA 7 EXERCÍCIOS Encontre o vlor ds integris definids bio: ) d ) d ) ( ) d ) ( ) d ) d 6) ( ) d d 7) 6 8) ( t t) dt d 9) 9 ) d 7 ) 8 d Resposts: ) 8 ) ) 66 ) 6 ) 7 6) 7 8) 7 9) 8 ) ) 7) [ 7 ] 7

160 AULA 8.6. APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA.6.. CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA Se f é um função contínu em um intervlo fechdo [, b] e se f() pr todo em [, b], então temos que o número que epress áre d região limitd pel curv f(), o eio e s rets e b é dd por, em uniddes qudrds: A f ( ) d b Por conveniênci, referimo-nos à região R como região sob o gráfico f de té b. Áre R b Eemplos: ) Encontre áre limitd pel curv, o eio e s rets - e. 8

161 ) Encontre áre limitd pel curv, o eio e s rets - e - - ) Clcule áre limitd pels curvs, - - e s rets - e. A - A - 9

162 ) Clcule áre d região definid pel curv, o eio e s rets - e A A 6

163 .6... ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES: Nest seção, considerremos região que est entre os gráficos de dus funções. Se f e g são contínus em f() g() pr todo em [, b], então áre A d região R, limitd pelos gráficos de f, g, e b, pode ser clculd subtrindo-se áre d região sob o gráfico de g (fronteir inferior de R) d áre d região sob o gráfico de f (fronteir superior de R): b A f ( ) d g( ) d ou b b [ f ( ) g( )] d Suponh que desejmos clculr áre A delimitd por dus curvs f() e g() e s rets e b, como ilustr figur bio: f() g() b Note que áre pode ser obtid pel diferenç ds áres A A f() g() b b Sendo f ( d e A ) b A g( ) d b A A A A b f ( ) d b g ( ) d A [ f ( ) g( )] d b Assim verificmos que é válido o teorem seguir: 6