MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA EXEMPLO

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1 MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA Vimos que o Método d Bissecção encontr um novo intervlo trvés de um médi ritmétic. Ddo o intervlo [,], o método d posição fls utiliz médi ponderd de e com pesos f( e f(, respectivmente: m = (. f( +. f( /( f( + f( Como f( e f( têm sinis opostos, m = (.f( -.f(/(f( - f( POSIÇÃO FALSA: ANÁLISE GRÁFICA =.log 1 f( [ 0, 0 ] = [2,3] m m é intersecção do eio com ret que pss por (,f( e (,f( f( 0 = -0,3979 < 0 f( 0 = 0,4314 > 0 0 = ( 0.f( 0 0.f( 0 /(f( 0 - f( 0 = 2,4798 f( 0 = -0,0219 < 0 f( m = (.f(.f(/(f(-f( Como f( 0 e f( 0 têm o mesmo sinl, 1 = 0 e 1 = 0 1 = ( 1.f( 1 1.f( 1 /(f( 1 - f( 1 = 2,5049 f( 1 = -0,0011 < 0 Como f( 1 e f( 1 têm o mesmo sinl, 2 = 1 e 2 = 1 E ssim por dinte, té que o critério de prd sej stisfeito POSIÇÃO FALSA: ANÁLISE GERAL De modo gerl, sus vntgens e desvntgens são nálogs às do método d issecção Se função é côncv ou conve em [,], então ums ds etremiddes permnecerá fi Eemplo: f( f( i i+1 Cuiddo no critério de prd: nesse cso, o intervlo nunc ficrá suficientemente pequeno... É possível modificr o método, prevendo esses csos 1

2 MÉTODO DO PONTO FIXO Dd um função contínu e não liner em [,], onde eiste um únic riz ξ, é feit seguinte trnsformção: g( = + A(., onde A( deve ser escolhid de tl modo que A( 0, [,] g( é chmd de função de iterção ou função de tulizção Desse modo, pode-se demonstrr que f(ξ = 0 g(ξ = ξ. Trnsformmos o prolem de encontrr riz em no prolem de encontrr o ponto fio de g( Prtimos de um proimção inicil 0 e germos um sequênci { i } de proimções pr ξ pel relção i+1 = g( i Um importnte cso prticulr é qundo A( = 1, chmdo de Método d Iterção Liner = Possíveis funções de iterção pr g 1 ( = 6 2, A( = -1 g 2 ( = ±(6 1/2 g 3 ( = (6/ 1 g 4 ( = 6/(+1 PONTO FIXO: ANÁLISE GRÁFICA CONVERGÊNCIA 0 g 1 ( = 6 2 g 2 ( = (6 1/2 2 1 = 0 g( g 3 ( = (6/ 1 g( = Converge! Não converge! g( g 4 ( = 6/(+1 g( = Converge! = Não converge! Teorem: Sej g( um função de iterção pr. Ddo um intervlo I, seqüênci { i }, onde 0 I, gerd pelo processo itertivo i+1 = g( i, convergirá pr o ponto fio de g( se: g( e g ( são contínus em I I centrdo n riz ξ g ( M< 1, I Além disso, qunto menor for g (, mis rápid será convergênci. Eercício: Demonstrr o eposto cim... No cso do Método de Iterção Liner, pode-se demonstrr que su convergênci é liner: lim i e i+1 /e i = K < 1, onde e i = i ξ é o erro n iterção i AINDA O MESMO Voltemos o eemplo = Semos que sus rízes são ξ 1 = -3 e ξ 2 = 2 Consideremos g 1 ( = 6-2 e 0 = 1,5: 1 = g( 0 = 6 1,5 2 = 3,75 2 = g( 1 = 6 3,75 2 = -8, = g( 2 = 6 (-8, = -59, = g( 3 = 6 (-59, = -3475,4609 A sequênci { k } diverge... g 1 ( = 6-2 g 1 ( = -2 = g 1 ( e g 1 ( são contínus em R g 1 ( < 1-2 < ½ < < ½ Pr I = [-½, ½], g 1 (I 6 ¼ I Não eiste intervlo que stisfç g( s condições do teorem AINDA O MESMO g( Consideremos g 2 ( = (6 1/2 e 0 = 1,5: 1 = g( 0 = (6 1,5 1/2 = 2, = g( 1 = (6 2, /2 = 1, = g( 2 = (6 1, /2 = 2, = g( 3 = (6 2, /2 = 2,00048 A sequênci { k } está convergindo pr ξ 2 = = g 2 ( = (6 1/2 g 2 ( = -1/(2(6-1/2 g 2 ( é contínu em R pr 6 g 2 ( é contínu em R pr < 6 g 2 ( < 1 1/(2(6-1/2 < 1 < 5,75 O intervlo I = [1,5;2,5] stisfz s condições do teorem 2

3 OUTRO Sej = 2-2, com ξ 1 = -1 e ξ 2 = 2 Sejm dus funções de iterção: g 1 ( = 2 2 g 2 ( = (2+ 1/2 g 1 ( = 2: g 1 ( < 1 -½ < < ½. Este intervlo não stisfz o teorem g 2 ( = 1/(2(2+ 1/2 : g 2 ( < 1 > -7/4. Por eemplo, o intervlo I = [0,3] stisfz o teorem Consideremos g 2 ( = (2+ 1/2, 0 = 0: 1 = g( 0 = (2+ 0 1/2 = 1, = g( 1 = (2+ 1 1/2 = 1, = g( 2 = (2+ 2 1/2 = 1, = g( 3 = (2+ 3 1/2 = 1,98036 Está convergindo pr ξ 2 = 2 PONTO FIXO: ANÁLISE GERAL Vntgens: Convergênci rápid Desvntgens: Otenção de um função de iterção Determinção de um intervlo inicil válido Difícil implementção A importânci deste método está mis no estudo dos seus conceitos que em su eficiênci computcionl MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Dd um função contínu no intervlo [,], que contém um únic riz, e um ponto inicil 0, é possível encontrr um proimção pr ess riz prtir d intersecção d ret tngente à curv em 0 com o eio ds scisss O ponto inicil 0 é escolhido em função d geometri do método e do comportmento d curv ns proimiddes d riz Cálculo ds proimções: i+1 = i - f( i /f ( i NEWTON-RAPHSON: ANÁLISE GRÁFICA CASO PARTICULAR DO PONTO FIXO iterção 3 iterção 2 iterção 1 iterção Sej o ponto ( i, f( i Trç-se ret L( tngente à curv nesse ponto: L( = f( i + f ( i ( - i No cruzmento com o eio, L( i+1 = 0: 0 = f( i + f ( i ( i+1 - i Portnto, i+1 = i - f( i /f ( i O Método de Newton-Rphson pode ser entendido como um cso prticulr do Método do Ponto Fio Vimos que, no Método do Ponto Fio, g( = + A(.. Neste cso, g( = - /f (, ou sej, A( = -1/f ( Clculndo derivd de g(: g ( = 1 (f ( 2.f (/f ( 2 =.f (/f ( 2 N riz ξ, semos que f(ξ = 0. Portnto: g (ξ = 1 - f (ξ 2 /f (ξ 2 = 0, desde que f (ξ 0 Como g (ξ = 0, grçs o teorem d convergênci do Método do Ponto Fio, o Método de Newton-Rphson converge rpidmente pr riz 3

4 CONVERGÊNCIA Teorem: Sej, f ( e f ( contínus em um intervlo I que contém um riz ξ de. Supondo f (ξ 0, eiste um intervlo Ī I contendo ess riz tl que, se 0 Ī, seqüênci { i } gerd por i+1 = i - f( i /f ( i converge pr riz Em outrs plvrs, o Método de Newton-Rphson converge desde que proimção inicil sej suficientemente próim d riz Neste cso, ess convergênci é ordem qudrátic: lim i e i+1 /e i2 = K 0. Logo, há um convergênci rápid... 0 = -1,0 = f ( = = 0 - f( 0 /f ( 0 = -1,0 2/30 = -0, = 1 - f( 1 /f ( 1 = -0, = 2 - f( 2 /f ( 2 = -0, = 3 - f( 3 /f ( 3 = -0, CASO DE LOOP INFINITO NEWTON-RAPHSON: ANÁLISE GERAL Vntgens: Convergênci rápid Desvntgens: Dificuldde pr se encontrr um proimção inicil dequd Necessidde d otenção de f (, que nem sempre é possível Risco de loop infinito 0 = 2 1 = 3 MÉTODO DA SECANTE Pr se evitr o cálculo de derivds, podemos usr um modelo liner sedo nos vlores mis recentes de Prtindo de dus proimções i-1 e i, clculmos ret que pss por ( i-1,f( i-1 e ( i,f( i. A intersecção dest ret com o eio determin proimção i+1, e o processo continu prtir de i e i+1 Cálculo ds proimções: i+1 = i ( i i-1.f( i /(f( i - f( i-1 4

5 SECANTE: ANÁLISE GRÁFICA = ξ = 2, 0 = 1,5, 1 = 1, iterção 3 iterção 2 iterção 1 iterção Sejm os pontos ( i-1,f( i-1 e ( i,f( i Trç-se ret L i+1 ( que pss por mos: L i+1 ( = f( i + ( i+1 - i.(f( i - f( i-1 /( i i-1 No cruzmento com o eio, L i+1 ( = 0: 0 = f( i + ( i+1 - i.(f( i - f( i-1 /( i i-1 Portnto, i+1 = i ( i i-1.f( i /(f( i - f( i-1 2 = 1 ( 1 0.f( 1 /(f( 1 - f( 0 2 = 1,7 (1,7-1,5.(-1,41/(-1,41+2,25 = 2, = 1, = 1,99999 CONVERGÊNCIA Como o Método d Secnte é um proimção do Método de Newton-Rphson, s condições pr convergênci são prticmente s mesms Dhquiste Bjorck demonstrou que, no Método d Secnte, lim i e i+1 /e ip = K 0, onde p = ½(1+5 1/2 1,618 Portnto, é um pouco mis lento que o Método de Newton-Rphson. No entnto, é importnte frisr que esse método pode divergir se f( i f( i-1 SECANTE: ANÁLISE GERAL Vntgens: Convergênci quse tão rápid qunto Newton-Rphson Cálculos mis simples Desvntgens: Dificuldde pr se encontrr s proimções iniciis Pode divergir se curv for quse prlel o eio ds scisss RAÍZES REAIS DE UM POLINÔMIO Regr de Descrtes: O número de rízes reis positivs de um polinômio p( com coeficientes reis nunc é mior que o número de trocs de sinl n sequênci de seus coeficientes não nulos Se for menor, então será sempre por um número pr A mesm regr pode ser plicd pr enumerção ds rízes reis negtivs de p( trvés do cálculo de p(-, pois s rízes positivs de p(- são s negtivs de p( 5

6 p( = Um troc de sinl: p( tem 1 riz positiv OUTRO p( = Qutro trocs de sinl: p( pode ter 4, 2 ou 0 rízes positivs p(- = Dus trocs de sinl: p( pode ter 2 ou 0 rízes negtivs p(- = Nenhum troc de sinl: p( não tem rízes negtivs Se p( tiver 2 rízes negtivs, não terá rízes comples; cso contrário, terá 2 rízes comples Possiiliddes: Rízes Positivs Negtivs Comples Sempre os pres Possiiliddes: Rízes Positivs Negtivs Comples OUTRO p( = Regr de Lcun: 2 = 0 e 1. 3 > 0, pois (-3.(-2 > 0 Portnto, p( tem rízes comples Possiiliddes: Rízes Positivs Negtivs Comples , 2 ou 0 positivs p(- = negtivs RAÍZES COMPLEXAS DE UM POLINÔMIO Regr de Hut: Ddo o polinômio p( de gru n, se pr lgum k, 1 k < n, tivermos ( k 2 k-1. k+1, então p( terá rízes comples Regr de Lcun: Se os coeficientes de p( forem todos reis e pr lgum k, 1 k < n, tivermos k = 0 e k-1. k+1 > 0, então p( terá rízes comples Se os coeficientes forem todos reis e eistirem dois ou mis coeficientes nulos sucessivos, então p( terá rízes comples p( = p(- = Regr de Hut: ( , pois 1 < 3.2 Portnto, p( tem rízes comples Possiiliddes: Rízes Positivs Negtivs Comples ou 0 positivs 3 ou 1 negtivs 6

7 LOCALIZAÇÃO DE RAÍZES Loclizr s rízes reis de um polinômio p( é determinr um intervlo que s contenh. Eemplos: Se f(*f(<0 há pelo menos um riz em [,] Loclizr s rízes comples é determinr os rios interno e eterno de néis que s contenhm. Eemplo: e são chmdos de cot inferior e superior, respectivmente. LOCALIZAÇÃO DE RAÍZES REAIS Teorem de Lguerre: Ddo o polinômio p( de coeficientes reis e ddo um número α, otemos p( = q(.( α + R. Se os coeficientes de q( e R forem todos positivos ou nulos, então tods s rízes reis são menores que α Cot de Lguerre-Thiult: Ddo o polinômio p( de coeficientes reis, clcule divisão de p( por -1, -2, - 3,..., -m, té que o quociente q( tenh todos os coeficientes positivos ou nulos, e resto R > 0. Esse m > 0 é um cot superior ds rízes reis de p(. Um cot inferior n < 0 pode ser clculd de modo semelhnte, multiplicndo-se p(- por -1 e seguindo o mesmo procedimento p( = é um cot superior de p( (CONTINUAÇÃO p(- = é um cot inferior de p( Tods s rízes de p( pertencem [-4, 3] LOCALIZAÇÃO DE RAÍZES COMPLEXAS Cot de Kojim: Ddo o polinômio p( = 0. n + 1. n n n-1. + n, tod riz α, rel ou comple, está em um nel de rio eterno R = q 1 + q 2, onde q 1 e q 2 são os miores vlores de i / 0 1/i, pr 1 i n Considerndo o polinômio p(1/, pode-se demonstrr que sus rízes são o inverso ds rízes de p( Podemos clculr q 1 e q 2 e ssim clculr um limite superior pr s rízes de p(1/ e logo um limite inferior (rio interno pr s rízes de p( O rio interno r pode ser clculdo de modo semelhnte: r = 1/(q 1 + q 2 p( = = 1, 1 = 1, 2 = -9, 3 = -1, 4 = 20, 5 = -12 Vlores: { 1 1 ; 9 1/2 ; 1 1/3 ; 20 1/4 ; 12 1/5 } = {1; 3; 1; 2,115; 1,644} q 1 = 3 e q 2 = 2,115 R = 5,115 Tod riz α stisfz α < 5,115 Rio interno: As rízes de p(1/ são s mesms do polinômio = -12, 1 = 20, 2 = -1, 3 = -9, 4 = 1, 5 = 1 Vlores: { (20/12 1 ; (1/12 1/2 ; (9/12 1/3 ; (1/12 1/4 ; (1/12 1/5 } = {1,667; 0,289; 0,909; 0,537; 0,608} q 1 = 1,667 e q 2 = 0,909 r = 0,388 Tod riz α stisfz α > 0,388 7

8 SEPARAÇÃO DE RAÍZES REAIS Seprr rízes de um polinômio é encontrr um sequênci de suintervlos distintos, tis que cd um contenh etmente um riz rel, e cd riz rel estej contid em um desses suintervlos Teorem de Budn: Sej p (k ( o vlor d derivd de ordem k do polinômio p( clculd pr =. Sej V o número de vrições de sinl n sequênci p(, p (, p (,..., p (n (, onde n é o gru de p(. Então, o número de rízes de p( no intervlo [,] é igul ou menor que V - V por um múltiplo de 2 p( = Pel regr de Descrtes, como há dus vrições de sinl, p( tem 2 ou 0 rízes positivs Derivds de p(: p ( = , p ( = 6-4, p ( = 6 Por Lguerre-Thiult, se-se que cot superior é 3. Portnto, tomemos [,] = [0,3]: p(0=2, p (0=-1, p (0=-4, p (0=6 p(3=8, p (3=10, p (3=14, p (3=6 V 0 = 2 e V 3 = 0: há 2 ou 0 rízes em [0,3] Dividindo-se o intervlo em [0,3/2] e [3/2,3], é possível verificr que V 3/2 = 1, e portnto podemos concluir que há um riz em cd um desses suintervlos OUTRO p( = Pel regr de Descrtes, p( tem 2 ou 0 rízes positivs e 1 riz negtiv Por Lguerre-Thiult, se-se que cot superior é 9, e inferior é -1 Análise gráfic: P( De fto, é fácil comprovr que há um riz negtiv em [-1,0] A tel prece indicr que não há rízes positivs... No entnto, p(4,5 = -0,125, ou sej, há um riz em [4;4,5] e outr em [4,5;5] É preciso ter muito cuiddo com s nálises gráfics... CONSIDERAÇÕES FINAIS Critérios de comprção entre os métodos: grnti e rpidez de convergênci e esforço computcionl Convergênci: e Fls Posição: st que função sej contínu no intervlo [,] e que f(.f( < 0 Iterção Liner, Newton-Rphson e Secnte: condições mis restritivs, ms mior rpidez Qundo não for difícil verificr s condições de convergênci, convém usr o Método de Newton- Rphson; se o cálculo de f ( for muito complicdo, tentr o Método d Secnte 8