Cálculo de Limites. Sumário
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- Cacilda Damásio
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1 6 Cálculo de Limites Sumário 6. Limites de Sequêncis Exercícios Recomenddos Limites de Funções Exercícios Recomenddos
2 Unidde 6 Est unidde será dedicd à presentção de lguns exemplos de cálculo de ites e de propor um list de exercícios suplementres. Iniciemos com regr de substituição que utilizmos n unidde nterior qundo efetumos o seguinte cálculo: cos x = sen x x ( π 2 x ) = sen Trt-se do resultdo muito útil seguir. ( ) π 2 = cos. Proposição Regr de Substituição Sejm f e g dus funções pr s quis fz sentido formr g f. Sej um número rel tl que x f(x) = b. Suponh que y b g(y) = l e que exist um um intervlo d form ( r, + r) tl que f(x) b pr todo x n interseção do domínio de f com o conjunto ( r, + r) \ {}. Então g(f(x)) = l. x Demonstrção Sej (x n ) um sequênci qulquer de números reis distintos de no domínio de f que converge pr. Como (x n ) converge pr, existe n 0 N tl que x n ( r, + r) pr todo n n 0. Logo, sequênci (y n ) n n0, onde y n = f(x n ), tem seus elementos no domínio de g, distintos de, e converge pr b, já que x f(x) = b. Portnto, como y b g(y) = l, temos que sequênci (g(f(x n ))) converge pr l, o que mostr que x g(f(x)) = l. Exemplo A regr de substituição nos permite clculr, por exemplo, x cos(p(x)), no qul p(x) é um polinômio não constnte. De, fto consideremos o polinômio não constnte q(x) = p(x) b, onde b = p(), do qul é um riz. Como um polinômio não nulo tem um número nito de rízes, é clro que podemos encontrr um número rel r > 0 tl que q(x) não se nul em ( r, + r) \ {}, ou sej, p(x) p() = b. Como x p(x) = p() e y b cos y = cos b, temos que cos(p(x)) = cos(p()). x 2
3 Cálculo de Limites Unidde 6 6. Limites de Sequêncis Vmos nest seção estbelecer lguns resultdos mis nos sobre ites de sequêncis. Sej > 0, vmos mostrr que n =. Vmos, inicilmente, provr o resultdo pr >. Sej (d n ) sequênci denid por d n = n. Temos obvimente que d n > 0. Por outro ldo, d identidde = ( n ) ( n n + n n n ) +, Exemplo 2 obtemos que < ( n ) n = d n n. Dí, 0 < d n < n. Pel propriedde do confronto, obtemos d n = 0, o que implic que n =. O ite tmbém vle se =. Suponhmos gor que 0 < <, logo >. Portnto, pelo cso já clculdo, temos n = n = n =. O próximo resultdo trt dos ites de potêncis e é muito importnte. Sej > 0 um número rel. Tem-se que { 0, se 0 < <, n =, se > Proposição 2 3
4 Unidde 6 Limites de Sequêncis Demonstrção Vmos inicilmente mostrr o cso >. Escrevmos h =, logo = + h com h > 0. Pel desiguldde de Bernouilli (que pode ser provd sem diculdde por indução) temos que n = ( + h) n + nh. Como ( + nh) =, temos pel propriedde (c) d Seção 3, Unidde 2, que n =. Suponhmos gor que 0 < <, logo >. Do que cbmos de provr, temos que ( ) n = =, n logo d propriedde (d), Seção 3, Unidde 2, n = n = 0. No próximo exemplo clculremos um ite interessnte. Exemplo 3 Tem-se que n n =. De fto, sej n = n n, b n = 2n n e c n = b n. Sendo n, temos que 2n n, o que implic que b n = 2n n 0. Isto em prticulr nos diz que c n > 0. Pel desiguldde de Bernouilli temos 2 n = b n n = ( + c n ) n + nc n. Assim, obtemos 0 c n 2 n. n Pel propriedde do confronto, temos que c n = 0 e consequentemente, b n =. Como n = b 2 n, segue-se que ( ) 2 n = b 2 n = b n =. 4
5 Cálculo de Limites Unidde Exercícios Recomenddos. Determine o termo gerl e clcule o ite d sequênci 2, 4 3, 6 5, 8 7, Clcule [ ] ( )n. n 3. Clcule o ite d sequênci 2, 2, 3, 2, 3, 2, 37, 2, 37, 2, 377, Clcule o ite d sequênci 5, 5 5, 5 5 5,..., 5. Clcule o ite d sequênci cujo termo gerl é ) n n n n n 2. b) n n n n2 n Dig se é nito ou innito o ite d sequênci cujo termo gerl é 7. Clcule n p+ + ) ( n + n); 2p n p+ + 3p n p+ + + np n p+. b) ( 3 n + 3 n); c) ( k n + k n), onde k N. Sugestão: Pode ser útil usr identidde: ( k b = ) ( b k k b k + k b k 2 k + + k ) k. 5
6 Unidde 6 Exercícios Recomenddos n 2 cos n! 8. Clcule n Clcule n n 2. 6
7 Cálculo de Limites Unidde Limites de Funções Iniciemos com um proposição cujo conteúdo é bem intuitivo. Sej f : (d, ) R um função crescente. Suponh que exist um sequênci (x n ) de elementos em (d, ) tl que x n = e f(x n ) =. Então x f(x) =. Proposição 3 Devemos mostrr que dd um sequênci (y m ) tl que m y m =, então m f(y m ) =. Sej M um número rel positivo qulquer. Como f(x n ) =, existe n 0 tl que f(x n0 ) > M. Se (y m ) é um sequênci tl que m y m =, então existe m 0 tl que pr todo m m 0 se tenh y m > x n0. Como f é crescente, temos Demonstrção m > m 0 y m x n0 f(y m ) f(x n0 ) > M, o que prov que m f(y m ) =. A seguir enuncimos um propriedde importnte e fácil de provr, que presentmos n Unidde 2 pr sequêncis. f(x) = ± x ± x ± f(x) = 0. Vmos considerr função exponencil f : R R, f(x) = x, em que Exemplo 4 é um número rel positivo diferente de. Se >, sbendo que exponencil é um função crescente e que n =, então pel Proposição 3 temos que x x =, pr todo >. No cso em que 0 < <, temos que > e portnto, donde x x = x x x = 0. ( ) x =, 7
8 Unidde 6 Exercícios Recomenddos 6.4 Exercícios Recomenddos. Sej um número rel positivo. Mostre que { 0, se > 0, x x =, se 0 < <. 2. Prove seguinte vrinte d regr de substituição: Sejm f e g dus funções pr s quis fz sentido formr g f. Sej um número rel tl que x f(x) =. Se y g(y) = l, então g(f(x)) = l. x Mostre que se l for substituído por, o resultdo continu vlendo. Mostre tmbém vle o resultdo pr ites lteris. 3tg 5 x + 2tg 3 x Clcule o ite x π 2tg 5 x + tg 2 x Clcule x cos x 5. Clcule x 0 sen 2 x. 2 2x + 2 x 6. Clcule x 4 x + 4 x b b x 2 2, se > b. 8
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