20/07/15. Matemática Aplicada à Economia LES 201

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1 Mtemátic Aplicd à Economi LES 201 Auls 3 e 4 17 e 18/08/2015 Análise de Equilíbrio Sistems Lineres e Álgebr Mtricil Márci A.F. Dis de Mores Análise de Equilíbrio em Economi (Ching, cp 3) O significdo do equilíbrio: Equilíbrio: situção em que inexistem tendêncis à mudnçs: Equilíbrio: tende perpertur-se se não houver mudnçs em forçs externs Mtemticmente: Os prâmetros e s vriáveis exógens são Δ ftores externos: define-se um As e os e são novmente definidos Equilíbrio Equilíbrio não implic um situção idel: Equilíbrio de rend ncionl com desemprego Equilíbrio com nível de preços exgerdmente lto Nesse cpítulo discussão refere-se o equilíbrio resultnte de um processo impessol de interção e justmento de forçs econômics Ex. equilíbrio de mercdo sobre condições dds de ofert e procur Equilíbrio d rend ncionl sob certs condições Outrs situções: met de equilíbrio = equilíbrio desejável, ou idel (otimizção) 1. Equilíbrio Prcil de Mercdo Equilíbrio prcil de mercdo: pens Assume-se que s outrs vriáveis permnecem constntes determinção de um vriável em um mercdo isoldo Problem ser resolvido: chr os vlores ds n condição de equilíbrio do modelo (= identificr o ponto de equilíbrio) Equilíbrio prcil: Vntgens: fcilit o processo de modelgem Desvntgens: Erros: pode estr desprezndo interções entre s vriáveis relevntes pr solução do modelo 1. Equilíbrio Prcil de Mercdo 1.1) Modelo liner - 1 mercdori Construção do modelo: Psso 1: Escolh ds Vriáveis (3 vriáveis) Q D = Q S = P = Psso 2: Pressupostos básicos do modelo 1. Equilíbrio Prcil de Mercdo Psso 3: Especificção ds equções de ofert e demnd Como demnd e ofert se comportm? Q D : função liner decrescente de P ( P, Q) Qd = - b P (, b > 0) Q S : função liner crescente de P ( P, Q) Qs = - c - d P (c, d > 0) Questão: por que c < 0? 1

2 1. Equilíbrio Prcil de Mercdo Q Q s = -c + d P 1. Equilíbrio Prcil de Mercdo Resolver o modelo: chr os vlores ds vriáveis endógens: que devem stisfzer simultnemente s três equções do modelo Qd = Qs = Q (P, Q) Resolução de um sistem de equções Qd=-bP c P 1 P P 1. Equilíbrio Prcil de Mercdo Solução em fç dos prâmetros - b P = - c + d P ( + c) = P (d + b) 1. Equilíbrio Prcil de Mercdo Exemplo Numérico: Ache P* e Q* (equilíbrio) Qd = 18 2P Qs = P Equilíbrio: Qd = Qs Substituindo o vlor de P em Q D (ou Q S ) Solução em fç dos prâmetros Q D = Q _! + c $ = - b # & = " d + b % (d + b) b ( + c) = = d + b d + b d + b - b - bc = = d + b Substituindo em qulquer um ds equções: 1. Equilíbrio Prcil de Mercdo Exemplo Modelo não liner Qd = 4 P 2 Qs = 4p 1 Resolvendo: Equilíbrio: Qd = Qs 1. Equilíbrio Prcil de Mercdo 1.2 Modelo não liner - Grficmente: 2

3 Equilíbrio Mercdo pós Cobrnç Imposto Qundo governo plic imposto, há 2 preços de interesse: - preço demndnte pg - preço ofertnte recebe Diferenç entre eles é o vlor do imposto Ex: Cobrnç de Imposto Equilíbrio: import quem pg? Imposição Imposto Deslocmento curvs cobrnç imposto Ex: As equções de demnd e ofert de certo produto são s seguintes: Demnd: p = 100 0,5 x Ofert: p = ,5x ) Qul o equilíbrio de mercdo? b) Governo coloc imposto de R$3,00. Clcule o novo equilíbrio considerndo: b.1: que o governo cobr dos consumidores b.2: que o governo cobr dos produtores Exercícios Deslocmento curvs cobrnç imposto EX: As equções de demnd e custo de certo produto são: P = 100 2x C = x. ) Obtenh o preço que mximiz o lucro b) Se o governo cobrr um imposto igul R$2,00 por unidde vendid, qul o novo preço que mximiz o lucro? 2. Equilíbrio Gerl de Mercdo Modelos prciis: Q D e Q S são funções somente de seu próprio preço Não é o que ocorre no mundo rel Pr cd mercdori, existem n bens (substitutos e complementres) Equilíbrio Gerl: consider-se que os preços dos outros produtos podem tmbém influencir demnd e ofert do bem i Estrutur do modelo precis ser mplid e dos outros bens tmbém são o modelo 3

4 2. Modelo de Equilíbrio Gerl de Mercdo n mercdoris Condição de equilíbrio: n equções de equilíbrio n equções de Ofert n equções de Demnd Solução: conjunto de preços Pi e de correspondentes quntiddes Qi, tl que s n equções de equilíbrio sejm stisfeits simultânemente. 2. Equilíbrio Gerl de Mercdo Ex: Cso de 2 mercdoris n=2 N o de vriáveis : N o equções de demnd: N o equções de ofert: N o equções de equilíbrio: Cso de 3 mercdoris : N o de vriáveis : N o equções de demnd: N o equções de ofert: N o equções de equilíbrio: Ex: 2. Equilíbrio Gerl de Mercdo - Mercdo com 2 mercdoris: soj e milho - Equções de demnd e ofert lineres Descrição do modelo em termos prmétricos Soj Q d1 = Q s1 (equilíbrio mercdo soj) Q d1 = P P 2 Q s1 = b 0 + b 1 P 1 + b 2 P 2 Milho Q d2 = Q s2 (equilíbrio mercdo milho Q d2 = α 0 +α 1 P 1 +α 2 P 2 Q s2 = β 0 + β 1 P 1 + β 2 P 2 Ex: Mercdo com dus mercdoris Vriáveis endógens: P, Q D1, Q S1,P 2, Q D2 Q S2 Prâmetros: 0, 1, 2, b 0,b 1,b 2 α 0, α 1, α 2 β 0, β 1, β 2 Ex: Mercdo com dus mercdoris Resolvendo o modelo: (substituição de vriáveis) Equilíbrio mercdo soj: P P 2 = b 0 + b 1 P 1 + b 2 P b 0 +P 1 ( 1 - b 1 ) + P 2 ( 2 - b 2 ) = 0 (equção 1) Equilíbrio MercdoMilho: α 0 +α 1 P 1 +α 2 P 2 = β 0 + β 1 P 1 + β 2 P 2 α 0 - β 0 +P 1 (α 1 - β 1 ) + P 2 (α 2 - β 2 ) = 0 (equção 2) Ex: Mercdo com dus mercdoris 12 prâmetros: mnipulções lgébrics complicds Simplificndo notção, define-se: c i = i b i γ i = α i - β i c 0 = 0 b 0 c 1 = 1 b 1 c 2 = 2 - b 2 γ 0 = α 0 β 0 γ 1 = α 1 β 1 γ 2 = α 2 - β 2 Substituindo os prâmetros ns equções 1 e 2: c 0 + P 1 c 1 + P 2 c 2 = 0 (3) γ 0 + P 1 γ 1 + P 2 γ 2 = 0 (4) 4

5 De (3): Ex: Mercdo com dus mercdoris P 2 = - (c 0 + c 1 P 1 ) c 2 (5) Ex: Mercdo com dus mercdoris Substituindo (6) em (5) γ - c 0 - c 2 c 0 - γ 0 c 2 1 ( γ 1 c 2 - γ 2 c 1 ) c 2 Substituindo (5) em (4) γ 1 P 1 + γ 2 (- c 0 - c 1 P 1 ) = - γ 0 c 2 γ 2 c 0 - γ 0 c 2 P 1 = γ 1 c 2 - γ 2 c 1 (6) P 2 = - Substitue-se os vlores de P 1 e P 2 ns equções de Ofert/Demnd e ch-se os vlores de Q 1 e Q 2 - Volt-se os prâmetros iniciis c i = i b i γ i = α i - β i - c 0 γ 1 + c 1 γ 0 γ 1 c 2 - γ 2 c 1 Ex. Numérico: Mercdo com dus mercdoris Suponh que os prâmetros sejm os seguintes: Produto 1 Qd 1 = 10-2P 1 + P 2 Qs 1 = P 1 Produto 2 Qd 2 = 15 + P 1 - P 2 Qs 2 = P 2 Ex numérico Mercdo com dus mercdoris Resolução - Ache os vlores de P i e Q i que equilibr os 2 mercdos simultnemente 2. Equilíbrio Gerl de Mercdo O cso de n mercdoris Qundo inclui-se tods s mercdoris: Modelo Equilíbrio Gerl Wlrsino Excesso de demnd pr cd mercdori é considerd função do preço de tods s mercdoris Modelo cso n mercdoris: (I) Q di = Q di (P 1, P 2,, P n ) (i = 1,2, n) (II) Q si = Q si (P 1, P 2,, P n ) (i = 1,2, n) (III) Q di = Q si (i = 1,2, n) 2. Equilíbrio Gerl de Mercdo: o cso de n mercdoris Sistem com: 3n equções 3n incógnits Substituindo (I) e (II) em (III), temos: Q di (P 1, P 2,, P n ) = Q si (P 1, P 2,, P n ) (i = 1,2, n) Sistem reduzido n equções Resolvids simultnemente, ests n equções determinm os n preços de equilíbrio P i As soluções pr Q i são derivds pels substituições de P i ns funções de demnd e de ofert 5

6 2. Equilíbrio Gerl de Mercdo O cso de n mercdoris Qunto mis mercdoris (> n), mis equções e mis dificulddes pr mnipulá-ls Método dequdo: álgebr mtricil (Sistems Lineres) Pr o sistem ter solução ) n o equções = n o incógnits b) Não pode hver dependênci funcionl entre s vriáveis (equções linermente independentes) ) Equções devem ser consistentes Testes pr checr soluções únics (determinntes) Modelos Lineres e Álgebr Mtricil Álgebr Mtricil 1. Fornece modo compcto de se escrever sistem de equções (inclusive grndes) 2. Ger método de testr existênci de solução pelo cálculo do determinnte 3. Fornece método pr chr solução únic (se existir) Aplicável somente à SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Modelos Lineres e Álgebr Mtricil Questão: quão relisticmente s equções lineres podem descrever relções econômics concrets? Muitos csos: um relção liner pode gerr proximção suficiente à relidde não liner Modelos Lineres e Álgebr Mtricil Melhorr extidão d proximção ) Divide-se relção não liner em segmentos lineres (divide-se o domínio em n regiões) Obtem linh ret que proxim-se d curv em cd região Outros: pode-se melhorr extidão d proximção Modelos Lineres e Álgebr Mtricil Melhorr extidão d proximção b) Trnsformções ds vriáveis pr se obter relção liner Ex: y = x b Aplicndo-se logritmo de mbos os ldos: log y = log + b log x z = k + b. v É liner ns vriáveis log y e log x Modelos Lineres e Álgebr Mtricil 3 Componentes Básicos Coeficientes: ij A Vriáveis: x 1,, x n X Constntes: d 1,, d n d i = 1,2,, m linhs j = 1,2,, n coluns Ddo o sistem de equções lineres: 6 x 1 + 3x 2 + x 3 = 22 x 1 + 4x 2-2x 3 = 12 4 x 1-1x 2 +5 x 3 = 10 Podemos escrevê-lo em form mtricil: 6

7 Modelos Lineres e Álgebr Mtricil AX = d, onde: Qd = Qs Qd = - b P Equilíbrio Prcil de Mercdo Qs = - c + dp Elementos d Mtriz: ij, xij, dij A posição de cd elemento é indicd pelo subscrito ij A = Equilíbrio Prcil de Mercdo! $ # & # 1 0 b & # " 0 1 -d & % Mtriz dos Coeficientes AX = d Como resolver? X =! Q $ # d & # Q s & # & "# P %& Vetor Vriáveis d =! 0 $ # & # & # " -c & % Vetor Constntes Equilíbrio Gerl de Mercdo (I) Q di = Q di (P 1, P 2,, P n ) (i = 1,2, n) (II) Q si = Q si (P 1, P 2,, P n ) (i = 1,2, n) (III) Q di = Q si ou Q di - Q si = 0 (i = 1,2, n) Pr n = 2 Produto 1 Q d1 = Q s1 Q d1 = P P 2 Q s1 = b 0 + b 1 P 1 + b 2 P 2 Produto 2 Q d2 = Q s2 Q d2 = α 0 +α 1 P 1 +α 2 P 2 Q s2 = β 0 + β 1 P 1 + β 2 P 2 Sistems Lineres e Álgebr Mtricil Escrever o sistem n form AX = d Sistems Lineres Ddo um sistem genérico de equções lineres: 11 x x n x n = b 1 21 x x n x n = b 2 m1 x 1 + m2 x mn x n = b m Como expressá-lo n form mtricil AX = b 7

8 8 Sistems Lineres e Álgebr Mtricil = n n mn m3 m2 m1 3n n n b b b b x x x x.