( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 - INTRODUÇÃO À RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES. Introdução.
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- Milton de Almada Fagundes
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1 INTRODUÇÃO À RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES. Itrodução. No processo de resolução de um problema prático é reqüete a ecessidade de se obter a solução de um sistema de equações ão lieares. Dada uma ução ão liear (orma vetorial F: D R R F (... T o objetivo é ecotrar as soluções para: F( ou equivalete: K M K K Eemplo 3.: + 9 Figura 3. Gráico das uções do eemplo. +yy- -yy/9-
2 Este sistema ão liear admite quatro soluções que são os potos ode as curvas + e se iterceptam. 9 Eemplo 3.: ( (. + -y-. -+yy+ Figura 3. Gráico das uções do eemplo. Este sistema ão tem solução ou seja ão eistem potos ode as curvas. e se iterceptem. 3.- Notações e Deiições básicas No que segue será usada a seguite otação: M e F( M Cada ução i ( é uma ução ão liear em i : portato F( é uma ução ão liear em F: R R. No caso de sistemas lieares F( A b ode A R R. R i... e 56
3 57 Estamos supodo que F( está deiida um cojuto aberto D R e que tem derivadas cotíuas esse cojuto. Aida mais supomos que eiste pelo meos um poto * D tal que F(*. O vetor das derivadas parciais da ução i (... é deomiado vetor gradiete de i ( e será deotado por i i... : i T i i i L A matriz das derivadas parciais de F( é chamada matriz Jacobiaa e será deomiada por J(: T T T J L M L L M Eemplo 3.3: Para o sistema ão liear F( A matriz Jacobiaa correspodete será: J( Os métodos para resolução de sistemas ão lieares são iterativos isto é a partir de um poto iicial ( geram uma seqüêcia { ( } de vetores e a situação de covergêcia: * lim ode * é uma das soluções dos sistema ão liear. Em qualquer método iterativo é preciso estabelecer critérios de parada para se aceitar um poto ( como aproimação para a solução eata * ou para se detectar a divergêcia do processo.
4 Uma vez que a solução eata * temos F(* um critério de parada cosiste em veriicar se todas as compoetes de F( ( tem módulo pequeo. orma de vetores. Como F( ( é um vetor o R veriicamos se ( Em testes computacioais é comum usarmos a orma iiito: para v R F < ε ode. é uma v Outro critério de parada é veriicar se má v i i + + é escolhido como aproimação para * se por eemplo: está próimo de zero isto é + < ε ; este é deomiado de critério de erro absoluto. Pode ser utilizado também o critério de erro relativo: + + < ε ; Para se detectar a divergêcia e iterromper o processo de cálculos usamos o teste com o úmero máimo de iterações. Pode-se também iterromper o processo se para algum F or maior que uma tolerâcia por eemplo se F >. Neste caso o processo é divergete. 3.- O Método de Newto para Sistemas Não-Lieares O método mais amplamete estudado e cohecido para resolver sistemas de equação ão lieares é o Método de Newto. No caso de uma equação ão liear a uma variável o método de Newto cosiste em se tomar um modelo local liear da ução ( em toro de e este modelo é a reta tagete à ução em. Ampliado a motivação de se costruir um modelo local liear para o caso de um sistema de equações ão lieares teremos: cohecida a aproimação ( D para qualquer D eiste c i D tal que: i T ( + c i i i i... Aproimado i ( c i por ( i i... E portato o modelo local liear para F( em toro de ( ica: 58
5 F( L F ( ( + J A ova aproimação (+ será o zero do modelo local liear L(. Agora L J Se deotamos solução do sistema liear: J ( ( F ( por. s F s temos que + + s ode s é a Observe que dado o poto ( a matriz J( ( é obtida avaliado-se J( em ( e em seguida o passo de Newto s ( é obtido a partir da resolução do sistema liear acima. Portato uma iteração de Newto requer basicamete: i a avaliação da matriz Jacobiaa em ( ; ii a resolução do sistema liear J s F e por esse motivo cada iteração e cosiderada computacioalmete cara. Em relação ao item (ii pode-se empregar métodos baseados em atoração da matriz Jacobiaa. Métodos iterativos podem ser também aplicados; por serem iterativos obtêm uma aproimação para a solução eata do sistema liear e cosequetemete o passo de Newto s ( ão é calculado eatamete. Por essa razão o método de Newto com a resolução do sistema liear através de um método iterativo é deomiado método de Newto ieato Algoritmo: Dados ( ε > e ε > aça: Passo : calcule F( ( e J( ( ; Passo : se F ( < ε aça e pare; caso cotrário: Passo 3: obteha s ( solução do sistema liear: J( ( s -F( ( ; Passo 4: aça: (+ ( + s ( ; Passo 5: se + < ε aça e pare; + 59
6 caso cotrário: Passo 6: + ; volte ao passo. Eemplo 3.4: Aplicar o método de Newto à resolução do sistema ão liear F( ode F( é dada por: F cujas soluções são * e ** 9 3 +y-3 +yy-9 Figura 3.3 Gráico das uções do eemplo 5. Usado J( 4 ε ε ε. Comecemos com (. 5 Para : 6
7 F( ( 3 ; 7 ( F( 7 >> ε J( ( s s ( s e ( má{ }.65 >> ε ou e ( >> ε ; Para : F( ( ; F( ( >> ε J( ( s s s e (.533>> ε ou e.744 > ε Prosseguir as iterações até que F ( < -4 ou + < -4. A característica mais atraete do método de Newto é que sob codições adequadas evolvedo o poto iicial ( a ução F( e a matriz Jacobiaa J( a seqüêcia gerada { ( } coverge a * com taa quadrática. É importate observar que os resultados de covergêcia obtidos são locais o setido de que a aproimação iicial ( deve estar suicietemete próima de *. 6
8 3.3 Método de Newto Modiicado De maeira aáloga ao caso de uma equação ão liear a modiicação sobre o método de Newto cosiste em se tomar a cada iteração a matriz J( ( em vez de J( ( : a partir de uma aproimação iicial ( a seqüêcia { ( } é gerada através de (+ ( + s ( ode s ( é a solução do sistema liear: J( ( s - F( ( Desta orma a matriz Jacobiaa é avaliada apeas uma vez e para todo o sistema liear a ser resolvido a cada iteração terá a mesma matriz de coeicietes: J( (. Se usarmos a atoração LU para resolvê-lo os atores L e U serão calculados apeas uma vez e a partir da ª iteração será ecessário resolver apeas dois sistemas triagulares para obter o vetor s (. Eemplo 3.5: Vamos usar aqui o método de Newto Modiicado para o sistema ão liear do eemplo 5: começado com ( 5 Temos J( Assim F( ( 3 7 Etão:. e J( (. J( ( s 3 7 s + s 3 s + s 7 ( ( + s s Agora para calcular ( resolvemos 6
9 J( ( s ( F s + s s s + s Assim ( ( s Prosseguir as iterações até obter covergêcia. Deia-se como eercício escrever ormalmete um algoritmo para este método. 63
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