Tipos de problemas de programação inteira (PI) Programação Inteira. Abordagem para solução de problemas de PI. Programação inteira

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1 Tipos de problemas de programação inteira (PI) Programação Inteira Pesquisa Operacional I Flávio Fogliatto Puros - todas as variáveis de decisão são inteiras Mistos - algumas variáveis de decisão são inteiras Booleanos - variáveis de decisão só apresentam valores inteiros no intervalo [0, 1] 1 2 Programação inteira A todo o problema de PI existe um problema de problema de PL correspondente no qual as restrições de não-fracionariedade são removidas (ou relaxadas) Alguns resultados se seguem: Espaço de soluções viáveis do PI Espaço de soluções viáveis do PI relaxado Valor ótimo de z do PI é no máximo tão bom quanto o valor ótimo do PI relaxado Abordagem para solução de problemas de PI Resolver seus problemas correspondentes relaxados e arredondar as variáveis de decisão p/ o maior ou menor inteiro mais próximo Dois problemas podem resultar: Valores arredondados podem resultar inviáveis no PI Soluções resultantes são altamente sub-ótimas 3 4

2 Método Branch-and-Bound para solução de problemas PIs puros Considere o problema de PI: Max z = 8x 1 + 5x 2 s.a x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x 2 45 x 1, x 2 0 x 1, x 2 inteiros Branch-and-bound é operacionalizado em 5 passos Passo 1: Comece resolvendo o PI relaxado. Se a solução ótima for inteira, esta é a solução do PI Caso contrário, solução ótima do IPR (problema de programação inteira relaxado) é o limite superior da solução ótima do PI Solução ótima do IPR dado anteriormente é: z * = 165/4 x 1 = 15/4 x 2 = 9/4 5 6 Passo 2 Escolha uma variável de decisão fracionária em z * do PIR: por exemplo, x 1 = 15/4. PI admite valores de x 1 3 ou x 1 4, mas não em 3 < x 1 < 4 Crie dois subproblemas a partir de x 1 SP2: SP1 + restrição x 1 4 SP3: SP1 + Restrição x 1 3 SP = subproblema Problema designado por SP1 é o próprio problema de PI em estudo, relaxado das restrições de não-fracionariedade 7 8

3 Passo 3 Arvore hierárquica de solução do problema Escolha qualquer SP listado no passo anterior e resolva como se fosse um problema de PL: Por ex., SP2, com solução ótima z * = 41, x 1 = 4 e x 2 = 9/5 Resultados obtidos até agora podem ser apresentados na forma de uma árvore hierárquica 9 10 Passo 4 Repita o procedimento no Passo 3 usando o SP2 e a variável de decisão fracionária x 2 = 9/5 Subproblemas resultantes: SP4: SP1 + x x 2 2 ou SP2 + x 2 2 SP5: SP1 + x x 2 1 ou SP2 + x 2 1 Tem-se três problemas que podem ser resolvidos: SP3, SP4 e SP5 Escolha um para resolução Por exemplo: SP4 SP4 não apresenta soluções viáveis, não podendo, assim, gerar uma solução ótima para o problema de PI: Assim, diz-se que este nodo da árvore foi terminado Dentre os SPs não resolvidos, escolhe-se o mais recente, SP5: Solução vêm apresentada na árvore do problema, a seguir 11 12

4 Arvore hierárquica de solução do problema Repita procedimento em (3) usando SP5 e var. fracionária x 1 Subproblemas resultantes são: SP6: SP5 + x 1 5 SP7: SP5 + x 1 4 Três SPs podem ser resolvidos: SP3, SP6 e SP7. Escolhe-se, aleatoriamente, um dos mais recentes: SP7, por exemplo Solução ótima p/ SP7 vem dada na árvore a seguir SP7 gera a primeira solução candidata para PI Solução só possui valores inteiros p/ a variável de decisão: Pode ser interpretada como solução candidata ou um limite inferior no valor ótimo do problema de PI Problemas SP3 e SP6 ainda não foram resolvidos Escolhe-se SP6 (+ recente), com solução dada na árvore a seguir: Solução de SP6 é inteira e melhor do que aquela obtida para SP7 Assim, termina-se nodo da árvore em SP7 (identificase o nodo terminado por um ou escrevendo solução excluída) e atualiza-se o limite inferior da árvore; novo LI =

5 Arvore hierárquica de solução do problema Último SP a ser resolvido é SP3 Solução de SP3 é z * = 39, x 1 = x 2 = 3: Trata-se de uma solução candidata com z * < LI Assim, nodo SP3 é terminado e SP6 é identificado como a solução ótima para o problema de PI Aspectos importantes do Branch-and-bound p/ PIs puros Mais aspectos Sempre que não for necessário desdobrar um subproblema, ele deve ser terminado Critérios utilizados para terminação são: SP não possui soluções viáveis SP gera uma solução ótima contendo somente valores inteiros SP apresenta um valor de z* menor (em problemas de PI do tipo Maximização) que o limite inferior atual 19 Um SP é eliminado (passa a ser desconsiderado do problema) sempre que: SP não possui soluções viáveis LI (limite inferior) atual é pelo menos tão grande quanto o valor z * do SP em questão 20

6 Mais aspectos A regra último a entrar, primeiro a sair, que indica qual SP deve ser trabalhado dentre vários candidatos força o analista a trabalhar um mesmo da ramo da árvore de soluções até o final: Existem outras regras possíveis (ver Schrage, 1997, entre outros) Quando um SP apresenta solução ótima com duas ou mais variáveis de decisão fracionárias, trabalhe com aquela que representar maior ganho na função objetivo Método Branch-and-Bound para solução de PIs mistos Modifique o algoritmo anterior da seguinte maneira: Desdobre somente variáveis de decisão restritas a não-fracionárias Considere a solução ótima de um SP como sendo uma solução candidata à solução ótima do problema de PI quando esta atender às restrições de nãofracionariedade Exercício 1 PI puro Exercício 2 PI misto Min z = 4x 1 + 5x 2 s.a: x 1 + 4x 2 5 3x 1 + 2x 2 7 x 1, x 2 0 e inteiros Max z = 2x 1 + x 2 s.a: 5x 1 + 2x 2 8 x 1 + x 2 3 x 1, x 2 0; x 1 inteiro 23 24

7 Branch-and-Bound em problemas de sequenciamento de trabalhos em máquinas Suponha 4 trabalhos a serem processados numa mesma máquina. Tempo necessário p/ processamento de cada trabalho e datas de entrega: Apresentação do problema Atraso do trabalho é medido pelo número de dias após a data de entrega em que o trabalho é completado: Trabalhos finalizados na data de entrega ou antes têm atraso zero Determine a ordem de processamento dos trabalhos que minimize o atraso total Variáveis de decisão Aplicar mesmo raciocício p/ demais trabalhos na posição 4 Resultados na árvore de solução a seguir: Considere o último trabalho a ser processado: Qualquer que seja a sequência, ela terá x 14 = 1, x 24 = 1, x 34 = 1 ou x 44 = 1. Assim, cria-se uma árvore com quatro nodos e calcula-se o limite inferior no atraso total associado a cada nodo Cálculo do atraso para o quarto trabalho é: x 44 = 1, ou seja, o trabalho 4 seria completado com atraso total de dias. Os 23 dias foram obtidos somando ( ) Limite inferior no atraso total é D 7: ou seja, posicionando-se o trabalho 4 na quarta posição, obtemse o menor atraso total 27 28

8 Escolhe-se nodo c/ menor atraso D (nodo 4) p/ continuar o método Qualquer sequência associada ao nodo 4 deve ter x 13 = 1, x 23 = 1 ou x 33 = 1 Cálculo do limite inferior LI de atraso é similar àquele visto anteriormente: x 33 = 1, ou seja, trabalho 3 seria completado com atraso total de dias. Os 15 dias foram obtidos somando ( ). O atraso total será de pelo menos dias (D 10) Continuando a desdobrar pelo mesmo ramo Escolhe-se nodo 7 (menor valor de D) para desdobrar Qualquer sequência associada a este nodo deve ter x 12 = 1 ou x 22 = 1. Os atrasos totais são: Nodo 9: sequência Atraso total: 7(tr.4) + 3(tr.3) + (6+4-4)(tr.2) + 0(tr.1) = 16 dias Nodo 8: sequência Atraso total: 7(tr.4) + 3(tr.3) + (4+6-8)(tr.1) + 0(tr.2) = 12 dias Qualquer solução com D > 12 pode desconsiderada Árvore parcial de resultados Com isto, termina-se os nodos 1, 2, 5, 6, e 9. Arvore de resultados parciais é dada na sequência 31 32

9 Desdobra-se o nodo 3 Arvore final de resultados Qualquer sequência deve ter x 13 = 1, x 23 = 1 ou x 43 = 1. Cálculo do limite inferior de atraso é: x 13 = trabalho 1 completo no final do dia (8+4+6) = 18-8 = = 21 x 23 = trabalho 2 completo no final do dia (8+4+6) = 18-4 = = 25 x 43 = trabalho 4 completo no final do dia (8+4+6) = = = 13 Sequência ótima é Atraso total é de 12 dias 33 34