Árvores de Decisão Matemática Discreta

Transcrição

1 Bruno Duarte Eduardo Germano Isolino Ferreira Vagner Gon Árvores de Decisão Matemática Discreta 28/04/2011 Serra IFES

2 Definição de Árvores de Decisão: Arvore de Decisão é uma árvore em que seus nós internos são definidos como ações; suas ligações representam o resultado de uma ação e as folhas os resultados finais. Como diz seu nome essa árvore ajuda nas decisões de uma ação qualquer. Pode ser utilizada para representar atividades de um algorítmo, não sendo necessáriamente uma estrutura de dados onde os nós da árvore têm valores de dados associados. Algumas aplicações deárvores de decisão Um problema grande, complexo é difícil de ser resolvido. Para isso podemos quebrar em problemas menores. Esta técnica é conhecida por Resolve toconquest, ou resolver para conquistar. Uma arvore de decisão pode ser útil para resolver um problema, encontrar padrões, simplificar. Tome como exemplo uma pesquisa de Marketing para um produto. Levantam-se dados dela sobre o tipo de pessoa que mais consume o produto. Temos um amontoado de dados. Se dividirmos por idade, e consequentemente usar subárvorespara cada idade especificando o tipo de estado civil, por exemplo, profissão, etc. Podemos facilmente inferir o público que mais consome o determinado produto. Exemplo de árvore de decisão utilizada numa pesquisa de marketing

3 Estas árvores também são utilizadas em Mineração de dados. Digamos que em um banco de dados de grandes proporções precisamos encontrar um valor. Em cada nó temos selecionamos os ramos que nos leva direto á informação. Dispensando uma busca geral por todas as folhas. Árvore Binária de Busca Para construir uma árvore binária de busca a partir de uma lista de dados, colocase o primeiro dado como raiz da árvore. Dados sucessivos são colocados comparando-os com os nós já existentes, a começar pela raiz. Se um dado é menor que um nó, o próximo nó a ser testado é o filho esquerdo, caso contrário é o filho direito. Quando o nó não tem filho, ou seja, quando o dado é uma folha, o novo dado torna-se um filho. Se a ordenação dos dados está completa pode-se utilizar o algoritmo de buscaem árvore binária, uma vez que o mesmo necessita que a árvore esteja ordenada, assim, cada nó da árvore binária de busca será maior que todos os valores em sua subárvore esquerda e menor que todos os valores em sua sub-árvore direita, desse modo, para saber se um dado x pertence a lista, compara-se o x com uma sucessão de nós, iniciando na raiz da árvore. Se x é igual ao valor do nó, então o algoritmo termina; se x for menor que o nó, compara-se com o filho da esquerda; se x é maior compara-se com o filho da direita. Se o nó comparado não tiver filhos, e não for o desejado, logo o algoritmo chegou ao final da árvore e não encontrou o x, então ele não pertence a lista. Pode-se observar então que a árvore binária de busca, exceto pelas folhas, torna-se a árvore de decisão para o algoritmo de busca em árvore binária, e o número de comparações no melhor caso é igual a 1 e no pior caso é igual à altura da árvore mais 1(pelas folhas que faltam).

4 Exercício proposto pelo Grupo: 1. Construa a árvore binária de busca para a frase: faço sozinho mas faço melhor do que vocês. Depois calcule o número médio de comparações feitas para se procurar um item que se sabe que está na lista usando busca em árvore binária.

5 Resposta: Para achar o número médio de comparações que algoritmo gastará, primeiro calcula-se o número de comparações para cada nó da árvore, que será respectivamente 1- faço,2-sozinho,3-mas,4-do,4-melhor,5-que,6-vocês e depois divide a soma desses valores pelo número de nós, resultando assim em comparações.

6 Ordenação Ordenar uma lista, seja do que for, não é tão difícil. Uma vez aprendido a lógica da coisa, torna-se uma tarefa mecânica. Porém, se a lista for grande isso torna o processo muito demorado. Então surge a necessidade decriar um algoritmo que possa trabalhar de forma mais eficiente. Um método bastante utilizado é utilizar algoritmos que trabalham com árvores de decisões, que funcionam da seguinte maneira: Assim como no método tradicional (seqüencial), o recurso utilizado é a comparação entre dois objetos desta lista, entretanto o arranjo da árvore impede que as comparações obsoletas sejam feitas; Cada vértice da árvore recebe o rótulo de L(i):L(j); Se L(i) >L(j), então o algoritmo segue pelo filho da direita; Se L(i) >=L(j) então o algoritmo segue pelo filho da esquerda; Exemplo: A baixo vê-se uma árvore de ordenação para uma lista com 3 elementos [L(1),L(2),L(3)]. Repare que as combinações marcadas são repetidas, alguns algoritmos eliminam essas folhas e tonam a árvore mais enxuta.

7 Teorema Sobre o Limite Inferior de Uma Ordenação: Diz que todo algoritmo que realiza ordenação por árvore tem que fazer pelo menos log n! comparações. Sabemos que p é o numero de folhas e que n é o numero de elementos. Temos também que n! é a quantidades de combinações que pode ser feita. Portanto p >= n!. A árvore tem altura h, e p =< 2. Aplicando logaritmo dos dois lados da inequação p =< 2, temos: log p = h, sendo h um numero inteiro, então: h = log p >= log n!,o que prove o teorema em questão.

8 Exercício proposto pelo Grupo: 2. Explique porque o numero de folhas possíveis numa árvore de ordenação é maior igual ao numero de combinações possíveis? Explique com um exemplo. Resposta: Isso ocorre porque a quantidade de combinações é o fatorial do numero de elementos da lista (n!) ao passo que a maior quantidade de folhas possivel é 2 h. Para uma árvore de dois elementos, teremos 2! combinações, duas formas de organizar a lista diferentes por sinal ( [L1,L2] e [L2,L1] ), neste caso o numero p de folhas é 2 também e o numero Maximo de folhas é 2¹. Neste caso o número de folhas existentes é o mesmo do de folhas possíveis que também é o mesmo do de permutações, 3. Considere um algoritmo que busque um elemento ponta-aponta. Do último, vai para o primeiro, penúltimo para o segundo. Faça a arvore de decisão para uma lista de 6 elementos, e responda quantas operações são realizadas no pior caso. É uma algoritimo ótimo? Resolução São realizadas no pior caso 6 operações, não sendo um algoritmo ótimo, que realiza 3 operações no pior caso.

9 Referencias: Caraciolo, Pinheiro M. Introdução a Árvores de decisão para classificação e mineração de dados. Acessado: 22/04/2011 CORMEN, T. et. al., Algoritmos, Ed. Campus. 2002, Capítulo 12. GERSTING, J. L., Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação, Ed. LTC, 5ª Ed. 2008, Capítulo 5.3.