INF 1010 Estruturas de Dados Avançadas. Indexação em Espaços Multidimensionais DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas 2012.

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1 INF 1010 Estruturas de Dados Avançadas Indexação em Espaços Multidimensionais

2 Tópicos Motivação Indexação de pontos em espaços multidimensionais Curvas de preenchimento Hash Particionado Grade Regular Grade K-D Tree Quad Tree / OcTree Bitmap Indexação de regiões em espaços multidimensionais Árvore-R e variantes 2

3 Motivação Sistema de Informação Geográfica (GIS) armazena objetos geo-referenciados (no espaço 2D ou 2,5D) implementa consulta e análise espaciais Sistema para Suporte a Decisão armazena dados multi-dimensionais implementa operações de análise frequentemente envolvendo estatísticas sobre agregações dos dados 3

4 Motivação Consultas típicas consulta exata especifica valores para todos os atributos consulta parcial especifica valores para alguns atributos consulta por intervalo especifica intervalos de valores para alguns atributos consulta por proximidade procura o ponto mais próximo de um dado ponto 4

5 Curva de Preenchimento Definição Uma curva de preenchimento para um espaço n-dimensional E D 1... D n em um conjunto F é uma função bijetiva de D 1... D n em F Exemplos (ver próximo slide) Peano-Hilbert Morton (z-order) Giuseppe Peano David Hilbert 5

6 Peano-Hilbert Morton 6

7 Morton em 3D 7

8 Curva de Preenchimento Curva de Morton, denotada por M, para espaço n-dimensional Sejam k 1,...,k n números binários. Então, M(k 1,...,k n ) = intercalação dos bits de k 1,...,k n Exemplo (ver próximo slide) 8

9 Curva de Preenchimento Exemplo de Curva de Morton para 2D M( 0101, 0011 ) = M( 0000, 0000 ) = = 0 M( 0000, 0001 ) = = 1 M( 0001, 0000 ) = = 2 M( 0001, 0001 ) = = M( 0000, 0010 ) = =

10 Hash Particionado Organização Indexa pontos em espaços n-dimensionais Utiliza uma lista h 1,...,h n de funções de hash, uma para cada dimensão Utiliza uma tabela de hash organizada da forma usual Mapeia um ponto p=(p 1,...,p n ) na entrada da tabela dada por h(p) = c(h 1 (p 1 ),...,h n (p n )) onde c é uma curva de preenchimento Avaliação hash particionado só é útil para consultas exatas 10

11 Grade Regular Organização Indexa pontos em espaços n-dimensionais Divide o espaço em uma grade regular ortogonal grade divide o espaço em células n-dimensionais iguais Mapeia um ponto p=(p 1,...,p n ) na célula c que contém p Associa cada célula a um bucket Problema buckets mantidos em memória secundária buckets podem ser ordenados por uma curva de preenchimento Distribuição dos pontos pode não ser uniforme 11

12 Grade Organização Indexa pontos em espaços n-dimensionais Divide o espaço através de uma grade ortogonal grade possui espaçamento não-regular e mesma dimensão que os dados pontos de corte da grade indicados por estrutura auxiliar, mantida em memória principal Associa cada célula a um bucket buckets mantidos em memória secundária buckets podem ser ordenados com a ajuda de uma curva de preenchimento Exemplo 2D (próximo slide) 12

13 13

14 Grade Pesquisa localize a célula onde poderá ocorrer o ponto p=(a,b) procure o ponto no bucket associado à célula Exemplo 2D pesquisa do ponto p=(a,b) (próximo slide) 14

15 a b 15

16 Grade Inserção localize a célula onde o ponto p=(a,b) deve ser inserido se não houver espaço, acrescente novo bucket ou reparticione o grid ou mova as linhas do grid Exemplo 2D insere o ponto p=(a,b) (próximo slide) 16

17 a p p b 17

18 Grade Análise consulta exata, parcial ou por intervalo: pesquisa o ponto na grade acessa o bucket (determina desempenho) consulta por proximidade: pesquisa o ponto central na grade visita as células vizinhas acessa os buckets Exemplo de consulta por proximidade em 2D pesquisa os pontos a uma distância d de um ponto p=(a,b) (próximo slide) 18

19 p d 19

20 K-D Tree Principais características Árvore de busca binária em espaços k dimensionais cada chave (de busca) é formada por k atributos cada nó interno armazena um registro e possui dois descendentes, não importando a dimensionalidade k do espaço Definida por Bentley em

21 K-D Tree Exemplo de uso "encontrar todos os empregados nascidos entre 1950 e 1955 que recebem entre R$3.000,00 e R$5.000,00" pesquisa em duas dimensões data de nascimento e salário como componentes do espaço 21

22 K-D Tree k = número de dimensões C = chave formada por k atributos C i = o valor do i-ésimo componente de C j = discriminador um valor entre 0 e k-1 representa a dimensão ao longo da qual o espaço será subdividido 22

23 K-D Tree Definição de K-D Tree para k dimensões Cada nó armazena uma chave e um discriminador A árvore possui camadas associadas ao mesmo discriminador Os nós de um mesmo nível possuem o mesmo valor de discriminador A raiz está associado ao discriminador 0 Até o k-ésimo nível, os nós de nível j estão associados ao discriminador j, A partir do nível k+1, repete-se o ciclo, sendo associado o discriminador 0 a este nível A árvore implementa uma busca binária Seja P um nó, j o discriminador de P e C j o j-ésimo componente da chave de P Qualquer nó da sub-árvore esquerda de P possui uma chave cujo j-ésimo componente é menor do que C j Qualquer nó da sub-árvore direita de P possui uma chave cujo j-ésim componente é maior do que C j 23

24 K-D Tree Exemplo de 2-D Tree Armazena sedes de municípios, identificada pelas coord. geográficas (x,y) Decompõe o espaço ao longo das dimensões x e y Compara os valores de x nos níveis pares e de y nos níveis ímpares (raiz = 0) Exemplo de espaço geográfico 24

25 K-D Tree Exemplo de 2-D Tree (cont.) Ordem de inserção das cidades Araguari: ocupará a raiz Araporã: x menor do que o de Araguari -> inserida à esquerda Nova Ponte: x maior do que o de Araguari -> inserida à direita Cachoeira Dourada x menor do que Araguari (comparação em um nível par) e y menor do que Araporã (comparação no nível ímpar 1) -> inserida à esquerda de Araporã... 25

26 K-D Tree Exemplo de 2-D Tree (cont.) X 0 Y 1 X 2 Y 3 X 4 Y 5 26

27 K-D Tree Exemplo de 2-D Tree (cont.) - Partição do espaço 27

28 K-D Tree Problema com K-D Tree Desbalanceamento: estrutura depende da ordem em que os nós são inseridos Estratégia para balanceamento escolher o elemento que ocupa a posição média ao longo da componente em divisão 28

29 K-D Tree Exemplo de 2-D Tree Nova árvore gerada aplicando-se a estratégia para balanceamento X 0 Y 1 X 2 Y 3 29

30 K-D Tree Exemplo de 2-D Tree Nova partição do espaço gerada aplicando-se a estratégia para balanceamento 30

31 Quad Trees Organização divide recursivamente o espaço em quadrantes, até que cada setor possua o número de objetos permitido 31

32 OcTrees Organização divide recursivamente o espaço em octantes, da mesma forma que a quadtree, porém em 8 partes. 32

33 Bitmaps Organização banco de dados: atributo A com valores {a 1,...,a n } tabela T com tuplas { t 1,...,t m } bitmap: para cada valor a i, há um vetor de bits B[a i ] de comprimento m tal que B[a i ] (j) = 1 sse t j [A] = a i técnicas de compressão são usadas para reduzir espaço Análise permite responder consultas parciais através de operações booleanas Exemplo (ver próximo slide) 33

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35 Bitmaps Análise (cont.) árvores-b podem ser utilizadas para armazenar os bitmaps (compactados ou não) árvores-b simplificam inserção e remoção de novos valores resultantes de inserção e remoção de tuplas na tabela Exemplos: (ver próximos slides) 35

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37 Inserção de nova tupla com id=12, Idade=90 e Renda=

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