LÓGICA FORMAL Tabelas Verdade

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1 LÓGICA FORMAL Tabelas Verdade Prof. Evanivaldo C. Silva Jr. Seção 1

2 Expressões: exclamações, interrogações, afirmações... Aquele aluno deve ser inteligente. Você já almoçou hoje? Um elefante é maior do que um gato. Proposição ou sentença (p): pode ser somente verdadeira (V ou 1) ou falsa (F ou 0) EXEMPLOS: Dez é menor que sete A distância entre a terra e a lua é maior do que a distância entre a terra e o sol. 2

3 Negação de uma proposição (~p): podemos negar uma sentença de modo a inverter o seu valor verdade Exemplo: Seja p a sentença: 5 é menor que 3 (*). Então ~p pode ser escrita como 5 não é menor que 3 ou 5 é maior ou igual a 3 (**) OBS: (*) p possui valor (F ou 0) e ~p possui valor (V ou 1) (**) Devemos observar a tricotomia nos números reais, isto é, a>b, a<b ou a=b 3

4 Conectivos e valores verdade Conectivos são elementos utilizados para associar sentenças produzindo outras mais complexas EXEMPLOS: 2 < 3 e 10 7, temos o conectivo e (Conjunção) 3 2 R ou > 2 2, temos o conectivo ou (Disjunção) 4

5 Conjunção (^) O conectivo de conjunção p ^ q associa as sentenças p e q resultando valor verdade somente quando ambas p e q são verdadeiras. Correspondem ao e lógico A chamada tabela verdade desse conectivo é obtida fazendo-se todas as combinações possíveis que as sentenças p e q podem assumir. Assim temos: p q p ^ q

6 EXEMPLOS (Conectivo de conjunção): (1) Qual o valor da sentença p: 5 > 12 e q: 9 4? (2) Analise a frase Pessoas com mais de 18 anos podem possuir carteira nacional de habilitação (CNH) e com mais de 60 anos possuem atendimento especial a filas e serviços. (3) Considerando p: 2 < 1, q: ( 2) 2 < ( 1) 2 determinar o valor de p ^ q 6

7 RESPOSTAS (1) Temos que 5 > 12 (0) e 9 4 (1). Então pela tabela verdade p ^ q resulta em (0) (2) Para p: Pessoas com mais de 18 anos podem possuir carteira nacional de habilitação (CNH) é (1) e q: pessoas com mais de 60 anos possuem atendimento especial a filas e serviços. é (1), logo p ^ q resulta em (1) (3) Temos que p é (1) e q (0), logo p ^ q resulta em (0) 7

8 Disjunção (v) O conectivo de disjunção p v q associa as sentenças p e q resultando valor falso somente quando ambas p e q são falsas. Corresponde ao ou lógico A tabela verdade desse conectivo é obtida fazendo-se todas as combinações possíveis que as sentenças p e q podem assumir. Assim temos: p q p v q

9 EXEMPLOS (Conectivo de disjunção): (1) Qual o valor da sentença p:5 > 12 ou q:9 4? (2) Analise a frase Pessoas com mais de 18 anos podem possuir carteira nacional de habilitação (CNH) ou com mais de 60 anos possuem atendimento especial a filas e serviços. (3) Considerando p: 2 < 1, q: ( 2) 2 < ( 1) 2 determinar o valor de p v q (4) Considerando p: 98 < 57, q: (7) 2 < (5) 2 determinar o valor de p v q 9

10 RESPOSTAS (1) Temos que 5 > 12 (0) e 9 4 (1). Então pela tabela verdade p resulta em (1) (2) Para p: Pessoas com mais de 18 anos podem possuir carteira nacional de habilitação (CNH) é (1) e q: pessoas com mais de 60 anos possuem atendimento especial a filas e serviços. é (1), logo p v q resulta em (1) (3) Temos que p é (1) e q (0), logo p v q resulta em (1) (4) p: 98 < 57 é (0) e q: (7) 2 < (5) 2 é (0). Portanto o valor de p v q é (0) 10

11 Condicionais Expressam, como o próprio nome diz, condição(ões) para uma dada sentença a partir de outra Podem ser de implicação ( ) ou de equivalência ( ) Também geram tabelas verdades 11

12 Condicional de implicação ( ) Se p e q são proposições dadas então denotamos o condicional por p q o qual pode ser lido como se p, então q ou p é condição necessária para q ou ainda q é suficiente para p O condicional p q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa, ou seja, uma verdade não pode implicar em algo falso Tabela verdade: p q p q

13 EXEMPLOS: (1) Avalie a sentença: Se peixes nadam então cães voam (2) Considerando p: 2 11, q: π R determinar o valor de p q (3) Considerando p: 9,99 > 9,9, q: -2< (5) 2 determinar o valor de p q (4) Avalie a sentença: Se peixes latem então a maça é uma fruta 13

14 RESPOSTAS: (1) Considerando p: peixes nadam e q: cães voam temos que p é (1) e q é (0) e p q (0) (2) p: 2 11 é (0) e q: π R (0) então p q (1) (3) p: 9,99 > 9,9 é (1) e q: -2< (5) 2 é (1) então p q (1) (4) Considerando p: peixes latem e q: maça é uma fruta temos que p é (0) e q é (1) e p q (1) 14

15 Condicional de equivalência ( ) Se p e q são proposições dadas então denotamos o condicional por p q o qual pode ser lido como p se, e somente se, q ou p é condição necessária e suficiente para q O condicional p q é verdadeiro somente quando p e q são ambas falsas ou verdadeiras Tabela verdade: p q p q Por que? 15

16 EXEMPLOS: (1) Avalie a sentença: Peixes nadam se, e somente se, cães latem (2) Considerando p: 4 5, q: 1+2i R determinar o valor de p q (3) Considerando p: 9,99 > 9,9, q: (-5) 2 < -(5 2 ) determinar o valor de p q (4) Avalie a sentença: Peixes latem se, e somente se, maça é um derivado do leite 16

17 RESPOSTAS: (1) Considerando p: Peixes nadam e q: cães latem, então p qé (1) (2) Temos que p é (0) e q é (1) assim p qé (0) (3) Temos que p é (1) e q é (0) assim p qé (0) (4) Considerando p: Peixes latem e q: maça é um derivado do leite então p qé (1) 17

18 Tautologias: uma proposição é chamada de tautologia ou proposição logicamente verdadeira quando sempre resulta no valor lógico (1) independente dos conetivos e condicionais envolvidos EXEMPLO: Consideremos a proposição (p ^ ~ p) (q v p) 18

19 Resolução: P q ~p p ^ ~p q v p (p ^ ~ p) (q v p)

20 Contradição: uma proposição é chamada de contradição ou proposição logicamente falsa quando sempre resulta no valor lógico (0) independente dos conetivos e condicionais envolvidos EXEMPLO: Consideremos a proposição (p v ~ q) (~p ^ q) 20

21 Resolução: p q ~p ~q p v ~q ~p ^ q (p v ~ q) (~p ^ q)

22 Aplicações: (1) Um circuito eletrônico basicamente é um dispositivo eletrônico formado por um conjunto de chaves chamadas de portas lógicas que podem ser representadas conforme diagrama abaixo: Porta aberta significa ausência de sinal com valor lógico 0 (ou F) Porta fechada significa presença de sinal com valor lógico 1 (ou V) OBS: As portas podem ser ligadas em série (uma seguida da outra) ou em paralelo. 22

23 Nesse contexto um sinal significa uma corrente elétrica, por exemplo Simbolicamente os conectivos lógicos são representados por: 23

24 Assim, uma placa mãe de computador, por exemplo, é formada por componentes eletrônicos mais sofisticados mas que fundamentalmente trabalham com essas portas lógicas. Suponhamos que um sistema de segurança primário de uma usina termoelétrica seja formado pelos seguintes subsistemas monitorados por sensores tabelados a seguir: 24

25 Rótulo Subsistemas (Pontos Críticos) Limiares A Pressão da caldeira Abaixo do valor crítico (0), acima (1) B Temperatura da caldeira Abaixo de 150 graus (0), acima (1) C Sistema de resfriamento do rotor Funcionando (0), com défict (1) Dados fictícios elaborados pelo autor,

26 Seja uma rede lógica que determina a análise do sistema dada por: Se (A v B) ^ C assumir valor 1 então bloquear funcionamento da caldeira Em quais condições o sistema de funcionamento da caldeira será bloqueado? OBS: A rede lógica é determinada a partir de fatores de segurança e programada de acordo com as entradas (sinal) fornecidas pelos sensores. 26

27 Analisando a tabela verdade da proposição temos: A B C A v B (A v B) ^C (*) (*) (*)

28 A caldeira será bloqueada quando o valor lógico de saída for 1. Assim, o sistema será acionado quando a saída for 1 (*) o que significa: Os três subsistemas falharem simultaneamente; Os subsistemas A (Pressão da caldeira) e C (Resfriamento do rotor) falharem; ou Os subsistemas B (Temperatura da caldeira) e C (Resfriamento do rotor) falharem 28

29 Relação de Equivalência ( ) Dizemos que a sentença p é equivalente a sentença q, quando as tabelas verdade de p e q resultam nos mesmos valores lógicos, ou seja, possuem tabelas verdade iguais. Denotamos por p q EXEMPLO: (p q) (~q ~p) 29

30 p q p q ~q ~p ~q ~p mesmos valores lógicos 30

31 Negação de Proposições Negação da conjunção: ~(p ^ q) (~p v ~q) p q p ^ q ~(p ^ q) p q ~p ~q (~p v ~q)

32 Negação de Proposições Negação da disjunção: ~(p v q) (~p ^ ~q) p q p v q ~(p v q) p q ~p ~q (~p ^ ~q)

33 Negação de Proposições Negação de um condicional: ~(p q) (p ^ ~q) p q p q ~(p q) p q ~q (p ^ ~q)

34 Propriedades p ^ q = q ^ p e p v q = q v p (propriedade comutativa) (p ^ q) ^ z = p ^ (q ^ z) e (p v q) v z = p v (q v z) (propriedade associativa) p ^ (1) = p e p v (0) = p (Elemento identidade) ~(~p)=p p ^ p = p e p v p = p p ^ (q v z) = (p ^ q) v (p ^ z) e p v (q ^ z) = (p v q) ^ (p v z) (Propriedades distributivas) p ^ (~p) = (0) e p v (~p) = (1) 34

35 Leis de DeMorgan ~(p ^ q) = ~p v ~q ~(p v q) = ~p ^ ~q 35

36 Observações 1. Na análise de proposições mais complexas devemos considerar a seguinte ordem dos operadores lógicos: a) ( ), [ ], { } b) ~ c) ^, v d), 2. Os valores lógicos V e F podem ser representados pelos números 1 e 0, respectivamente. 36

37 Referências Bibliográficas [1] Iezzi, G. e Murakami, C., Fundamentos de matemática Elementar, vol. 1, ed. Atual, [2] Scheinerman, E. R., Matemática Discreta: Uma introdução, ed. Thomson, [3] Gersting, J.L., Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação., ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos,