Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Conjuntos. Subconjunto. Aula 12 Conjuntos. Intervalos. Inequações. Francisco A. M. Gomes.
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- Roberto Estrela Candal
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1 Roteiro da aula MA091 Matemática básica Aula 1... Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Março de Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de 016 / 8 Subconjunto Exemplos de conjuntos: A = {1,, 3, 4, 5} (cinco primeiros números naturais). B = {1, 3, 5, 7, 9,...} (números ímpares). C = {1,, 4, 8, 16,...} (potências de maiores ou iguais a 1). D = {1,, 3, 4, 6, 1} (divisores naturais de 1). Notação: 4 A (4 pertence a A). 7 / A (7 não pertence a A). Subconjunto Um conjunto B é um subconjunto de um conjunto A se todo elemento de B for elemento de A: B A ou A B. Também, dizemos que B está contido em A, ou que A contém B. A = {x N x 5} (subconjunto de N) F = {x R 0 x 0.000} (subconjunto de R) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8
2 Subconjuntos União e interseção de conjuntos Notação: União de conjuntos A união de dois conjuntos, A e B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Notação: A B. Interseção de conjuntos A interseção de dois conjuntos, A e B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem, ao mesmo tempo, a A e a B. Notação: A B. Conjunto vazio Um conjunto que não possui elementos é chamado conjunto vazio (ou ). Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Exemplo abertos e fechados União e interseção de conjuntos Dados os conjuntos A = {1,, 3, 4, 9}, B = {, 4, 6, 8} e C = {1, 3, 5, 7, 10}, determine A B, A C, B C, A B, A C e B C. A B = {1,, 3, 4, 6, 8, 9} A C = {1,, 3, 4, 5, 7, 9, 10} B C = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} A B = {, 4} A C = {1, 3} B C = Intervalo aberto Dados dois números reais a e b, tais que a < b, definimos o intervalo aberto (a, b) como (a, b) = {x R a < x < b}. O intervalo (, 5): Intervalo fechado Dados dois números reais a e b, tais que a b, definimos o intervalo fechado [a, b] como [a, b] = {x R a x b}. O intervalo [ 3, 3]: Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8
3 mistos ilimitados mistos (a, b] = {x R a < x b} e [a, b) = {x R a x < b}. Os intervalos ( 1, 5; ] e [ 1, 5; ): ilimitados Dado o número real a, definimos (, a) = {x R x < a}, (a, ) = {x R x > a}, (, a] = {x R x a}, [a, ) = {x R x a}. Também usamos (, ) para representar o conjunto R. ( 1, ), [ 1, ), (, ), (, ] e (, ): Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 União de intervalos Interseção de intervalos (, 1) [3, 5] : ( 3, 1) (0, ) : (, ] (0, 4] : ( ; 3, 75) ( 1; 3, 75] : União: (, 1) [3, 5] {x R <x<1 ou 3 x 5} União: ( 3, ) {x R 3 < x < } Interseção: (0, ] {x R 0 < x } Interseção: ( 1; 3, 75) {x R 1 < x < 3, 75} Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8
4 Exemplo de inequação Propriedades das inequações Uma inequação 4x 1 x = 5 é solução: 4 ( 5) 1 Substituindo x por Ok! A desigualdade foi satisfeita. x = 6 não é solução: Substituindo x por Falso! A desigualdade não foi satisfeita. Propriedades 1. Se A B, então B A Se 5 x, então x 5. Se A B e B C, então A C Se x y e y 64, então x Se A B, então A + C B + C Se x 3 7, então x Se A B, então A C B C Se x + 8 0, então x Se A B e C D, então A+C B+D Se x 8 e y 5, então x + y Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Propriedades das inequações lineares Propriedades 6. Se C > 0 e A B, então CA CB Se x x 1, então 1 7. Se C < 0 e A B, então CA CB Se x 3, então ( 3) ( x 3 ) ( 3) 8. Se C > 0 e A B, então A C B C Se x 8, então x 8 Inequação linear Uma inequação é linear ou de primeiro grau se é equivalente a ax b ou ax < b ou ax > b ou ax b, em que a e b são constantes reais, com a 0. Exemplos: a) 5x 1 0 b) 7 3x < Se C < 0 e A B, então A C B C Se 3x 9, então 3x c) x x d) x > x Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de 016 / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8
5 5x 1 0 Inequação original. 5x Propriedade 3. 5x 1 Inequação simplificada. 5x Propriedade x < 10 Equação original x < 10 7 Propriedade 3. 3x < 3 Inequação simplificada. 3x 3 > 3 3 Propriedade 5. x 1 5 Solução da inequação. x > 1 Solução da inequação. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / x 11x 9 Equação original x 11x 9 16 Propriedade 3. 4x 11x 45 Inequação simplificada. 4x 11x 11x 11x 45 Propriedade 3. x 45 Inequação simplificada. x 45 Propriedade 5. x 3 Solução da inequação. x x Equação original. x 3 x x 5 x Propriedade 3. 10x 3x Subtração de frações Inequação simplificada Propriedade 3. ( 7 3 Inequação simplificada. ) ( ) ( ) 7 3 Propriedade 4. x 45 7 Solução da inequação. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8
6 Exemplo de desigualdade dupla 11 x 5 9 Inequação original x Somando 5 a todos os termos. 6 x 14 Inequação simplificada. 6 x 14 Dividindo os termos por. 3 x 7 Solução da inequação. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Exercício 1 Considerando os conjuntos A={x R x 1}, B ={x R x < }, C ={x R < x 4}, associe (I) B C (1) R (II) A B () {x R 1 x 4} (III) A C (3) {x R x 4} A) (I) (1); (II) (); (III) (3) B) (II) (1); (I) (); (III) (3) C) (III) (1); (I) (); (II) (3) D) (I) (1); (III) (); (II) (3) E) (II) (1); (III) (); (I) (3) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de 016 / 8 Exercício Exercício 3 Inequação Resolva a inequação: 1 (x 1) < Inequação Resolva a inequação: x 3 x + 1 < 1 x 4 A) x < 1/ B) x > 1/ C) x < 1/ D) x < E) x > A) x < 3 B) x > 3 C) x < 9 D) x > 9 E) x < 3 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8
7 Exercício 4 Exercício 5 Inequação dupla Resolva a inequação dupla: 1 4 3x Problema Com a venda de n artigos, uma loja obtém um faturamento de, 5n reais. Por outro lado, o custo de produção desses artigos é dado por , 7n. Nessas condições, para evitar prejuízo, o número de artigos a serem vendidos deve ser A) 3 4 x 5 B) 3 1 x 5 C) 3 1 x 1 6 D) 1 6 x 3 1 E) 1 6 x 3 4 A) n 00 B) n 00 C) n 180 D) n 180 E) n 40 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Exercício 6 Exercício 7 Problema Três planos de telefonia celular são apresentados abaixo. Plano Custo Custo mensal fixo por min. A R$ 35,00 R$ 0,50 B R$ 0,00 R$ 0,80 C R$ 1,0 Para quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois? A) A partir de 30 minutos. B) No máximo 30 minutos. C) A partir de 45 minutos. D) No máximo 45 minutos. E) A partir de 50 minutos. Problema Depois de encontrar uma iguana ferida, um biólogo faz o possível para mantê-la viva. Consultando um livro em inglês, o biólogo descobriu que a iguana deve ser mantida entre 79 F e 95 F. Para converter uma temperatura f, em graus Fahrenheit, para c, em graus Celsius, usamos a relação f = 9 5 c + 3. Nesse caso, a temperatura correta para a iguana é A) 1 C c 5 C B) 4, 5 C c 3 C C) 5 C c 3 C D) 6, 1 C c 35 C E) 61, 6 C c 70, 5 C Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 8
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