Introdução ao Cálculo

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1 MATEMÁTICA Graduação Introdução ao Cálculo Jorge Andrés Julca Avila Maria Teresa Menezes Freitas

2 Jorge Andrés Julca Avila Maria Teresa Menezes Freitas Introdução ao Cálculo 2011

3 A958i Avila, Jorge Andrés Julca Introdução ao Cálculo / Jorge Andrés Julca Avila ; Maria Teresa Menezes Freitas. São João del-rei, MG : UFSJ, p. Graduação em Matemática. 1. Cálculo I. Freitas, Maria Teresa Menezes II. Título. CDU: 517 Reitor Helvécio Luiz Reis Coordenador UAB/NEAD/UFSJ Heitor Antônio Gonçalves Comissão Editorial: Fábio Alexandre de Matos Flávia Cristina Figueiredo Coura Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva José do Carmo Toledo José Luiz de Oliveira Leonardo Cristian Rocha Maria Amélia Cesari Quaglia Maria do Carmo Santos Neta Maria Jaqueline de Grammont Machado de Araújo Maria Rita Rocha do Carmo (Presidenta) Marise Maria Santana da Rocha Rosângela Branca do Carmo Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal Terezinha Lombello Ferreira Edição Núcleo de Educação a Distância Comissão Editorial - NEAD-UFSJ Capa Eduardo Henrique de Oliveira Gaio Diagramação Luciano Alexandre Pinto

4 SUMÁRIO PRA COMEÇO DE CONVERSA UNIDADE 1 NOÇÕES DE LÓGICA Lógica: Compreendendo o Significado Proposições Conectivos e Quantificadores Operações Lógicas Construção de Tabelas Verdades Tautologias, Contradições e Contingências Implicação Lógica Equivalência Lógica Proposições Associadas a Uma Condicional A Negação Conjunta de Duas Proposições A Negação Disjunta de Duas Proposições Álgebra das Proposições Compreendendo o Processo Lógico Classificação das Proposições Tipos de Demonstração UNIDADE 2 CONJUNTOS Conceitos Primitivos e Básicos Operações com Conjuntos Propriedades das Operações com Conjuntos Conjunto das Partes UNIDADE 3 RELAÇÕES Introdução Par Ordenado e Produto Cartesiano Relação Binária

5 UNIDADE 4 CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROS INTEIROS História dos Números Conjunto dos Números Naturais Conjunto dos Números Inteiros UNIDADE 5 CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS E NÚMEROS IRRACIONAIS Conjunto dos Números Racionais Conjunto dos Números Irracionais UNIDADE 6 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Introdução Preliminares Corpos Conjunto dos Números Reais UNIDADE VII FUNÇÕES Introdução Função Operações com Funções Função Polinomial e Função Racional Função Valor Absoluto e Função Raiz Quadrada Propriedades das Funções Função Exponencial Função Logarítmica Funções Trigonométricas PARA FINAL DE CONVERSA REFERÊNCIAS

6 PARA COMEÇO DE CONVERSA Sejam bem-vindos! Este material de Introdução ao Cálculo foi elaborado para estudantes de Matemática, seja sua participação presencial, em sala de aula, ou a distância, interagindo com o computador. O único requisito para a aprendizagem deste material é boa vontade de adquirir novos conhecimentos e persistência na solução dos exercícios. Sabemos que em todo livro de Matemática é imprescindível não colocar as demonstrações de teoremas importantes. Este material não seria diferente, por isso, não desanime ao encontrar-se com alguns deles. Muitas das vezes, as demonstrações seguem um caminho muito técnico, porém os autores têm pensado nisso e de alguma forma facilitarão o entendimento. Este material está divido em sete capítulos, que se iniciam com os conceitos de lógica, seguidos com a teoria de conjuntos, relações, sistema dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais e, finalmente, funções. Na maioria das vezes, ao finalizar uma seção, encontram-se as Atividades que consistem em exercícios propostos e é muito importante que o aluno os resolva. Os Autores 5 iii

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8 unidade 1 Unidade I Noções de Lógica Objetivos Explicitar conceitos relacionados à lógica. Utilizar adequadamente a simbologia matemática para argumentação lógica. 7

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10 unidade Lógica: Compreendendo o Significado Caro estudante! Ao iniciar este tema, penso que talvez esteja curioso para saber o que afinal significa Lógica. Poderíamos dizer que se trata de um conceito que se relaciona ao estudo do raciocínio, estudo da veracidade de uma demonstração, estudo da argumentação correta, estudo das regras para verificar se um pensamento é verdadeiro ou falso etc. Quantas vezes nos surpreendemos dizendo a expressão: É lógico! O que carrega esta expressão quando a expressamos? Vamos acompanhar um diálogo imaginário: A professora Maria pergunta à sua aluna Renata: Você pensa que irá conseguir um bom conceito este semestre? Renata responde: É lógico! Tenho estudado todos os dias, tenho realizado todas as tarefas, tenho ficado atenta às explicações e... Perceba que, quando atribuímos uma lógica a um determinado pensamento, normalmente, temos argumentos que o sustentam. Ou seja, temos razões que justificam a nossa afirmação. Assim, podemos de uma maneira simples, dizer que A Lógica trata das formas de argumentação, das maneiras de encadear nosso raciocínio para justificar, a partir de fatos básicos, nossas conclusões. A Lógica se preocupa com o que se pode ou não concluir a partir de certas informações. (MACHADO, 1994, p ) Vamos, então, compreender que a Lógica é a ciência que estuda as leis gerais do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos. 9

11 Importante saber que a Lógica fornece subsídios para melhorar a linguagem utilizada em Matemática, que formaliza e sintetiza claramente o pensamento. Para iniciar, vamos compreender alguns termos importantes para continuarmos nosso passeio pelo mundo da Lógica Proposições Denominamos proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprime um pensamento de sentido completo. As proposições afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Exemplo 1.1. (a) O triangulo é um polígono. (b) Vagner estuda e trabalha. Vale a pena saber que a lógica tem alguns princípios que foram convencionados. Esses princípios que apresentaremos, a seguir, são denominados Axiomas da Lógica. Princípio da Não Contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do Terceiro Excluído Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um desses casos, e nunca um terceiro. Em virtude do princípio do terceiro excluído, dizemos que a Lógica Matemática é uma Lógica Bivalente, ou seja, toda proposição apresenta um e apenas um dos valores lógicos V(verdadeiro), F (falso). Observação. No estudo de Lógica, restringimo-nos a uma classe de proposições que são as declarativas e que admitem um único valor lógico. Assim, excluímos aquelas proposições interrogativas e imperativas. 10

12 unidade1 Podemos distinguir dois tipos de proposições: simples e composta. Vejamos como reconhecer cada uma. Denominamos de proposição simples (ou atômica) aquela que não contém outra proposição como parte integrante de si mesma. Muitos autores convencionam designar as proposições por letras minúsculas: p, q, r, s,..., que são denominadas por letras proposicionais. Exemplo 1.2. Exemplos de proposições simples. (a) p : Renato cortou o cabelo. (b) q : Todo triângulo tem 3 lados. (c) r : O Número 144 é divisível por 2. Denominamos de proposição composta (ou molecular) aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. As proposições compostas, comumente, são designadas por letras maiúsculas: P, Q, R, S,..., que são também denominadas por letras proposicionais. Exemplo 1.3. Exemplos de proposições compostas. (a) (b) P : Marcos é careca, e Pedro é estudante. Q : Se João é campeão de natação, então, ele sabe nadar. Observação. Quando é interesse explicitar que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposições simples, p, q, r, s,..., e escreve-se: P pqrs,,,,.... Percebam que, para obtermos proposições compostas, utilizamos expressões para unir, conectar, ou seja, ligar proposições. Tais expressões se denominam conectivos Conectivos e Quantificadores Denominamos por Conectivos palavras que são utilizadas para formar novas proposições a partir de outras. Veja, a seguir, alguns conectivos: 11

13 não : negação e : conjunção ou : disjunção se... então... : condicional... se e somente se... : bicondicional É importante perceber que algumas expressões atribuem um senso de quantidade às proposições. A essas expressões, denominamos por Quantificadores. Conheçam, abaixo, alguns quantificadores: : para todo, qualquer que seja : existe, existe algum! : existe um único, existe um só Importante saber que é denominado quantificador universal. é denominado quantificador existencial. Observação. Observe um detalhe importante: frases declarativas afirmativas, com variáveis, são denominadas sentenças abertas e não podemos atribuir um único valor lógico (isto é, não podemos afirmar serem verdadeiras ou falsas). Exemplo 1.4. A equação x 4 7 é uma sentença aberta. Entretanto, quando quantificamos uma sentença aberta (quando utilizamos um quantificador), a mesma se transforma em uma proposição. Exemplo 1.5.! x / x4 7 (é uma proposição verdadeira) Operações Lógicas Vamos, neste item, conhecer os operadores lógicos e compreender o valor lógico da proposição quando os utilizamos. 12

14 unidade1 Assim, estaremos apresentando tabelas denominadas TABELA VERDADE. Nestas tabelas, figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta (resultante), correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes Negação Para a negação, usamos o seguinte símbolo: ~. Lê-se: não. Denominamos de negação de uma proposição p a proposição ~ p (lê-se: não p) que será falsa, quando p for verdadeira, e ~ p será verdadeira quando p for falsa. Observe a Tabela Verdade de ~ p : p V F ~ p F V Exemplo 1.6. (a) Seja p : "Maria é aluna do Curso de Matemática a distância da UFSJ". Teremos ~ p : "Maria não é aluna do Curso de Matemática a distância da UFSJ". (b) Seja p : 8 7. Note que p é verdadeira (V). Teremos que ~ p : 8 7. Note que ~ p é falsa (F). (c) Seja p : 2 x / x 0. Teremos que ~ p : 2 x / x 0. Tabela Verdade É uma tabela contendo todos os possíveis valores lógicos da proposição composta (resultante), correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes. 13

15 Conjunção Na conjunção, usamos o seguinte símbolo:. Lê-se: e. Dadas duas proposições, p e q, denominamos conjunção de p e q a proposição composta, p q (lê-se: p e q), cujo valor lógico será verdadeiro apenas quando ambas as proposições p e q forem verdadeiras. Observe a Tabela Verdade de p q: p q p q V V V V F F F V F F F F Disjunção Na disjunção, usamos o seguinte símbolo:. Lê-se: ou. Dadas duas proposições, p e q, podemos formar a proposição composta, p q (lê-se: p ou q), cujo valor lógico será verdadeiro sempre que uma das componentes o seja. Observe a Tabela Verdade de p q: p q p q V V V V F V F V V F F F Disjunção Exclusiva Na disjunção exclusiva, usamos o seguinte símbolo:. Lê-se: ou, ou. 14

16 unidade1 Denominamos disjunção exclusiva a proposição, p q, cujo valor lógico é apresentado na tabela abaixo: p q p q V V F V F V F V V F F F Note que a proposição composta com disjunção exclusiva é falsa, quando ambas as proposições envolvidas tiverem o mesmo valor lógico. Exemplo 1.7. Sejam p : Maria é filha de Carla (V) q : Maria é filha de Vânia (V) Então, p q é (F) (Não pode acontecer ao mesmo tempo) Condicional Usamos o seguinte símbolo:. Lê-se: se... então. Dadas duas proposições, p e q, podemos obter a proposição, p q (lê-se: se p então q), cujo valor lógico só não é verdadeiro, no caso em que a primeira componente for verdadeira, e a segunda for falsa. Observe a Tabela Verdade da Condicional: p q p q V V V V F F F V V F F V 15

17 Observação. No caso em que a composta p q for verdadeira, dizemos que p é condição suficiente para que ocorra q, e q é condição necessária para que ocorra p Bicondicional Usamos o seguinte símbolo:. Lê-se:... se e somente se... Dadas duas proposições, p e q, podemos obter a proposição, p q (lê-se: p se e somente se q), cujo valor lógico será verdadeiro, desde que as duas componentes tenham o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas). Observe a Tabela Verdade da Bicondicional: p q p q V V V V F F F V F F F V Observação. No caso em que a composta p q for verdadeira, dizemos que p é condição necessária e suficiente para que ocorra q, e q é condição necessária e suficiente para que ocorra p. A bicondicional também pode ser escrita como uma conjunção de duas condicionais. Ou seja, pq pq q p, onde o símbolo denota equivalência. Observe a Tabela Verdade de pq q p : 16

18 unidade1 p q p q q p pq q p V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Observem que podemos obter os valores lógicos de proposições compostas, encontrando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e atentando para o valor lógico, ao utilizar cada conectivo Construção de Tabelas Verdades Penso que, depois de tudo que já foi visto até o momento, podemos perceber que, a partir de várias proposições simples, p, q, r,..., poderemos combiná-las, por meio dos conectivos lógicos ~,,,,, e construir proposições compostas. Observe um exemplo:, ~ P pq p p q,, ~ ~ ( ~ ) R pqr p q r q p r Para conhecer o valor lógico da proposição resultante, utilizamos as Tabelas Verdades das operações lógicas, conforme realizado anteriormente. Importante O número de linhas de uma Tabela Verdade se relaciona com o número n de proposições simples envolvidas e é dado por 2 n. Por meio de convenções, é possível diminuir o número de sinais de agrupamentos (parêntesis), assim como acontece em álgebra, quando significa 17

19 Apresentamos, abaixo, a hierarquia estabelecida para os conectivos: 1. ~ : negação 2. : (e) conjunção; : (ou) disjunção 3. : condicional 4. : bicondicional Essa é a ordem de prioridades convencionada. Dessa forma, podemos compreender que p q r significa o mesmo que pq r, e não p q r, devido à convenção estabelecida. Isto é, os conectivos (e) ; (ou) têm precedência sobre (condicional) e (bicondicional). Vamos verificar se compreendemos o que foi exposto até este momento! Anime-se! Fique atento que tudo é bem tranquilo de ser compreendido. Elaboremos a Tabela Verdade da proposição abaixo:, : ~ P pq p p q p Note que a proposição P pq, tem duas proposições simples envolvidas, portanto a Tabela Verdade terá linhas. p q ~ p p ~ p q p p~ p q p V V F F V V V F F F V V F V V F V V F F V F F V 18

20 unidade1 Uma vez preenchida a Tabela Verdade podemos concluir que a proposição, : ~ P pq p p q p é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições simples p e q envolvidas. Atividade 1.1 (1) Apresente a Tabela Verdade das seguintes proposições (a) P pq, : pq ~ p q p (b) P pqr,, : p~ r q ~ r (c) P p, q, r: pq qr pr Fique atento! Antes de iniciar, pense quantas linhas serão necessárias na Tabela Verdade, observando o número de proposições simples envolvidas Tautologias, Contradições e Contingências Definição 1.1. (Tautologia) Denominamos de Tautologia a toda proposição composta cuja última coluna de sua Tabela Verdade encerra somente com a letra V (verdade). As Tautologias são também denominadas por proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras. As tautologias são, por vezes, indicadas pela letra t ou v. Exercício 1.1. Verifique se entre as Tabelas Verdades, obtidas anteriormente, existe alguma que apresente tautologia. O que isso significa? Definição 1.2. (Contradição) Denominamos por Contradição a toda proposição composta cuja última coluna da Tabela Verdade figura apenas com a letra F (Falso). As contradições são também denominadas por proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas. As contradições são, por vezes, indicadas pela letra c ou f. 19

21 Definição 1.3. (Contingência) Denominamos por Contingência (ou indeterminada) a toda proposição composta cuja última coluna da Tabela Verdade figura apenas as letras V (Verdadeira) e F (Falsa), cada uma, pelo menos, uma vez. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas Implicação Lógica Vamos compreender o significado da implicação lógica. Dizemos que uma proposição P pqrs,,,,... implica uma proposição Q pqrs,,,,... Q pqrs,,,,... é verdadeira, todas as vezes que,,,,... P pqrs for verdadeira. De uma maneira mais simples, podemos dizer que uma proposição P implica uma proposição Q, se e somente se, a condicional P Notação. P Q. Atenção! Q é uma tautologia. Observe que os símbolos e são distintos, pois o primeiro se relaciona a uma operação lógica, enquanto que o segundo refere-se a uma relação entre proposições. (Grosseiramente, podemos estabelecer uma associação com a aritmética, com os sinais e. Veja que representa um número, enquanto que 3 < 4 não representa um número)., se Propriedades da implicação lógica (a) P pqrs,,,,... Q pqrs,,,,... (Reflexiva) (b) P pqrs,,,,... Q pqrs,,,,... e Q pqrs,,,,... R pqrs,,,,...,,,,... R pqrs,,,,... P pqrs 1.8. Equivalência Lógica (Transitiva) Vamos compreender o significado da equivalência lógica.. Então, 20

22 unidade 1 Dizemos que uma proposição P pqrs,,,,... é equivalente a uma proposição Q pqrs,,,,..., se as Tabelas Verdades dessas duas proposições são idênticas. De outra maneira, podemos dizer que a proposição P pqrs,,,,... é equivalente à proposição Q pqrs,,,,..., isto é, se, e somente se, a bicondicional é tautológica. Atenção!,,,,... Q pqrs,,,,... P pqrs,,,,,... Q pqrs,,,,... P pqrs Observe que os símbolos e são distintos, pois o primeiro se relaciona a uma operação lógica, enquanto que o segundo estabelece que a bicondicional é tautológica Propriedades da equivalência lógica (a) P pqrs,,,,... Q pqrs,,,,... (Reflexiva) (b) P pqrs,,,,... Q pqrs,,,,...,,,,... R pqrs,,,,... Q pqrs, se, e somente se, (Simétrica) (c) P pqrs,,,,... Q pqrs,,,,... e Q pqrs,,,,... R pqrs,,,,...,,,,... R pqrs,,,,... P pqrs (Transitiva) 1.9. Proposições Associadas a Uma Condicional Dada uma condicional p e q :. Então, q, podemos associar as seguintes condicionais contendo p 21

23 Proposição recíproca de p q expressa por q p Proposição contrária de p q expressa por ~ p ~ q Proposição contrarrecíproca (ou contrapositiva) de p q expressa por ~ q ~ p Vejamos a Tabela Verdade dessas proposições: p q ~ p ~ q p q q p ~ p ~ q ~ q ~ p V V F F V V V V V F V V F V V F F V F F V F F V F F V V V V V V Observe que a Tabela Verdade da proposição recíproca e contrária bem como da proposição condicional e sua contrarrecíproca são idênticas. Isso nos mostra as seguintes propriedades: i. A condicional p q e sua contrarrecíproca ~ q ~ p são equivalentes, isto é, pq ~ q ~ p Observação. O método de demonstração, reconhecido por redução ao absurdo, se baseia na propriedade acima citada. ii. A recíproca q p e a contrária ~ p ~ q da condicional p q são equivalentes, isto é: pq ~ q ~ p Verifique sua compreensão...! Atividade 1.2 (1) Determine: (a) A contrarrecíproca de p ~ q 22

24 unidade1 (b) A contrarrecíproca de ~ p q (c) A contrarrecíproca da recíproca de p ~ q (d) A recíproca da contrarrecíproca de ~ p ~ q Exemplo 1.8. Vejamos alguns exemplos que esclarecem os conceitos vistos acima: 1. Seja a condicional relativa a dois ângulos, conforme expresso abaixo. Proposição p q: Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então, esses ângulos são congruentes. Recíproca desta proposição q p: Se dois ângulos são congruentes, então, esses ângulos são opostos pelo vértice. Observação. A condicional p q é verdadeira, mas sua recíproca não é verdadeira (isso nos mostra que nem sempre teremos a recíproca de uma proposição verdadeira também verdadeira). 2. Demonstre: (a) Se 2 x é ímpar, então, x é impar. Veja que, muitas vezes, devemos nos lembrar da equivalência que existe entre a condicional e sua contrarrecíproca para facilitar a demonstração. Lembre-se de que, quando existe a equivalência, significa que os valores lógicos são idênticos. pq ~ q ~ p Assim, a contrarrecíproca da condicional: Se Se x é par, então, 2 x é ímpar, então, x é ímpar seria: 2 x é par. Vejamos se conseguimos demonstrar com facilidade a contrarrecíproca. Seja x um número par. Então, para um número n, x 2n. 2 Logo, x 2n 2. 23

25 Vale lembrar que 2n 2 4n 2 22 n Assim, x 22 n Portanto,. 2 x é par.. Dessa forma, consideramos a implicação demonstrada por redução ao absurdo que se baseia na demonstração do contrarrecíproco A Negação Conjunta de Duas Proposições Denomina-se negação conjunta de duas proposições p e q à proposição não p e não q, isto é, ~ p ~ q. A negação conjunta, envolvendo as proposições p e q, é indicada por p q. Assim, pq ~ p ~ q Veja a Tabela Verdade da proposição p q: p q p q V V F V F F F V F F F V A Negação Disjunta de Duas Proposições Denomina-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição não p ou não q, isto é, ~ p ~ q. A negação disjunta envolvendo as proposições p e q, tem sido convencionalmente indicada por p q. Assim, pq ~ p ~ q 24

26 unidade1 Observe a Tabela Verdade da proposição p q: p q p q V V F V F V F V V F F V Observação. Os símbolos e são conhecidos por conectivos de scheffer. Agora é com você! Selecionamos alguns exercícios para você verificar sua aprendizagem. Lembre-se de que você poderá sempre contar com o esclarecimento do seu tutor. Atividade 1.3 (1) Demonstre, por Tabela Verdade, que os três conectivos ~, e exprimem-se em função do conectivo de Scheffer, conforme abaixo: (a) ~ p p p (b) pq pq p q (c) pq p p q q Sugestão: Para isso, você deverá construir a tabela verdade exibindo a equivalência, isso significa mostrar que a bicondicional é tautológica. (2) Demonstre, por Tabela Verdade que os três conectivos ~, e exprimem-se em função do conectivo de Scheffer, conforme abaixo: (d) ~ p p q (e) pq p p q q (f) pq pq q p 25

27 Sugestão: Lembre-se, novamente, de que você deverá construir a Tabela Verdade exibindo a equivalência, isso significa mostrar que a bicondicional é tautológica Álgebra das Proposições Perceba que os conectivos apresentam algumas propriedades de importância fundamental para melhor compreensão da lógica inerente aos processos de demonstração da matemática. Podemos facilmente verificar e constatar a veracidade das propriedades que serão apresentadas, por meio de Tabelas Verdades. Por convenção, as propriedades recebem nomes especiais que devemos conhecer, para que seja possível fazer referência às mesmas sem a necessidade de detalhar repetidas vezes. Percebam que a denominação é bem semelhante a outras já conhecidas, quando abordamos os conjuntos numéricos Propriedades i. Propriedades da conjunção (a) Idempotente: p p p (b) Comutativa: pq q p (c) Associativa: pq r pq r (d) Identidade: pt p ( t é uma tautologia) p c c ( c é uma contradição), onde t é considerado o elemento neutro da conjunção, e c o elemento absorvente da conjunção. Observação. Mais uma vez, lembramos que ser equivalente significa que os valores lógicos são os mesmos. 26

28 unidade1 ii. Propriedades da disjunção (a) Idempotente: p p p (b) Comutativa: pq q p (c) Associativa: pqr pq r (d) Identidade: p t t ( t é uma tautologia) pc p ( c é uma contradição), onde t é considerado o elemento absorvente da disjunção, e c o elemento neutro da disjunção. Observação. Novamente, alertamos que ser equivalente significa que os valores lógicos são os mesmos. iii. Propriedades da conjunção e da disjunção (a) (b) (c) Distributiva pqr pq p r pqr pq p r Absorção p pq p p pq p Regra de De Morgan ~ pq ~ p ~ q ~ pq ~ p ~ q Observação. Note que, pelas regras de De Morgan, a negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção. 27

29 iv. Propriedades da condicional e sua negação A propriedade é dada por pq ~ p q Verifiquemos, por meio da Tabela Verdade, a equivalência acima: p q p q ~ p ~ p q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V Observação. (a) Nas colunas em destaque, observa-se que os valores lógicos são idênticos, isso significa que as proposições são equivalentes. (b) Podemos, então, utilizar das equivalências conhecidas para compreendermos outras. Exemplo 1.9. Considere a negação da condicional p Assim, ~ pq ~ ~ pq p ~ q ~ pq p ~ q v. Propriedades da bicondicional e sua negação A propriedade é dada por pq pq q p q, então, 28

30 unidade1 Sugestão. Faça a tabela verdade e verifique a equivalência das propriedades. Lembre-se de que devemos compreender que ser equivalente significa ter o mesmo valor lógico. vi. Negação da proposição com Quantificador Importante relembrar que expressões atribuem um senso de quantidade às proposições que recorrem aos Quantificadores, como visto na Seção 1.3. Observe a negação de Proposições: Toda pessoa fala francês. Nem toda pessoa fala francês (Negação de 1). Alguém foi ao parque. Ninguém foi ao parque (Negação de 2). Alguém foi à diretoria. Ninguém foi à diretoria (Negação de 3). Temos, então, as equivalências: xa px xa px xa px xa px ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) Observação. Observe como é simples, pois a negação transforma o quantificador universal em quantificador existencial, seguido de negação e vice-versa. Essa equivalência é conhecida como Segunda Regra de De Morgan. Exemplo (a) ~ n, n7 12 n / n7 12 (b) ~ x / tg x0 x, tg x 0 29

31 Exercício 1.2. Verifique, por Tabela Verdade, as equivalências: (a) p~ q (b) p~ p c t Lembre-se de que t e c são proposições com valores lógicos, (V) e (F), ou seja, t (tautologia) e c (contradição) Compreendendo o Processo Lógico Penso que vale ressaltar, neste momento, que Processo Lógico pode ser compreendido como método de raciocínio no qual, a partir da verdade de uma ou mais proposições (denominadas hipóteses), obtemos a verdade de outra, ou outras proposições (denominadas teses). O Processo Lógico de raciocínio pode ser classificado em indutivo, ou dedutivo. Método indutivo Parte de hipóteses particulares para chegar a teses mais gerais, ou seja, partindo do específico, chega-se ao geral. Vale atentar que, embora este método muitas vezes tenha sido considerado de muito valor para as ciências experimentais, o mesmo não é recomendável ou validado para a Matemática. Ou seja, não basta verificar que certa afirmação é valida, para um caso particular, para se considerar verdadeira. Por exemplo: Saber que Maria e Pedro foram reprovados em Geografia não será suficiente para afirmar que todos da turma foram reprovados em Geografia. Método Dedutivo Parte de hipóteses em que, pelo menos, uma é geral para se chegar a teses particulares. Por exemplo: Sabendo-se que todos os supermercados aumentaram o preço do café, é suficiente para afirmar que o Carrefour aumentou o preço do café. 30

32 unidade Classificação das Proposições Importante!! Para provarmos a verdade de uma proposição denominada tese, pelo processo lógico dedutivo, existe a necessidade de conhecermos proposições verdadeiras para considerarmos como hipóteses. As proposições podem ser assim classificadas: 1. Definições. São proposições nas quais são convencionados significados de elementos ou termos. 2. Postulados (ou Axioma). São proposições nas quais são convencionadas propriedades de elementos ou termos definidos. Geralmente, são propriedades óbvias e, portanto, a verdade dos postulados, assim como as definições, é aceita sem demonstração. 3. Teorema. São proposições que estabelecem propriedades dos elementos ou termos, e as verdades exigem demonstrações. 4. Corolário. Apresenta-se como um teorema advindo de uma consequência imediata de outro teorema. 5. Lema. Apresenta-se como um teorema que precede um teorema de alto grau de importância e que lhe servirá para sua demonstração. Note que, até este ponto, temos verificado as implicações e equivalências, por meio de elaboração de Tabelas Verdades. Passaremos a demonstrar as implicações e equivalências das proposições, valendo-nos do método dedutivo, a partir da álgebra das proposições. Para tal, será importante estarmos atentos às propriedades apresentadas anteriormente e que reapresentamos, a seguir. 31

33 Propriedades da Conjunção, (a) Idempotente : p p p (b) Comutativa : pq q p (c) Associativa : pq r pq r (d) Identidade : pt p ( t é uma tautologia) p c c ( c é uma contradição) Propriedades da Disjunção, (a) Idempotente : p p p (b) Comutativa : pq q p (c) Associativa : pqr pq r (d) Identidade : p t t ( t é uma tautologia) pc p ( c é uma contradição) Propriedades da Conjunção e da Disjunção (a) Distributiva : pqr pq pr pqr pq pr (b) Absorção : p pq p p pq p (c) Leis de De Morgan : (a) pq ~ p q (b) ~ pq ~ p ~ q ~ pq ~ p ~ q Equivalências notáveis da Condicional e sua negação ~ pq p ~ q Equivalências notáveis da Bicondicional e sua negação (a) pq pq q p ~ pq ~ q p (b) ~ pq ~ pq~ q p p~ qq~ p (a) p ~ p c (b) p~ p t Equivalências notáveis complementares 32

34 unidade1 Exercício 1.3. Vamos testar a compreensão? Com apoio da álgebra das proposições, demonstremos, pelo método dedutivo, as implicações que se seguem, observando que muitas recebem nomes especiais que servem de referência. (a) i. c p Perceba que, partindo de propriedades e equivalências conhecidas, devemos demonstrar a validade da implicação c p. Para tanto, devemos mostrar que a condicional c p é tautológica. Assim, teremos: c p ~ c p t p t ii. p t Perceba que, partindo de propriedades e equivalências conhecidas, devemos demonstrar a validade da implicação p t. Para tanto, devemos mostrar que a condicional p t é tautológica. Assim, teremos: (b) pq p (Simplificação) pt ~ pt t O que é necessário para se demonstrar uma implicação? Claro! Devemos demonstrar que a condicional é tautológica. Assim, teremos: pq p ~ pq p ~ p ~ q p ~ q~ p p ~ q t t De maneira semelhante, podemos demonstrar que pq q (c) p p q (Adição) Novamente, lembre que será necessário provar que a condicional p p q é tautológica. Assim, teremos: 33

35 (d) pq p q (Modus ponens) ~ ~ p p q p pq p pq t q t Perceba que é importante lembrar o que significa demonstrar uma implicação lógica. Isso mesmo... Significa que devemos demonstrar que a condicional associada é tautológica. Lembre que uma proposição P implica uma proposição Q, se, e somente se, a condicional P Q é uma tautologia. Assim, ~ ~ c ~ ~ ~ t pq pq pq p q p p q p q q p q q p q q p q q p q ~ q q ~ p ~ p (e) pq ~ q ~ p (Modus tollens) Novamente, será importante pensar, antes de iniciar a demonstração, o que devemos fazer. O que significa demonstrar uma implicação lógica? Isso mesmo... Significa que devemos mostrar que a condicional associada é tautológica e, para isso, vamos utilizar as propriedades conhecidas anteriormente. Vamos começar? c ~ pq ~ q~ p ~ pq ~ q ~ p ~ p~ q q~ q ~ p ~ p~ q ~ p ~ p~ q ~ p ~ ~ p~ q ~ p pq ~ p p p q t q t t 34

36 unidade1 Exercício 1.4. Continuando a verificar a nossa compreensão, com apoio da álgebra das proposições, vamos demonstrar as equivalências que se seguem: (a) pq p ~ qc Lembremos que duas proposições são equivalentes, quando possuem o mesmo valor lógico. Assim, para demonstrar as equivalências, devemos partir de uma delas e com equivalências válidas e conhecidas chegar à outra. Uma dica que penso ser interessante divulgar é que sempre parece facilitar a demonstração, quando partimos das maiores. Vejamos, então: p ~ qc ~ p~ q c ~ p~ q ~ pq pq Vale a pena tentar identificar a propriedade ou equivalência notável que garantiu cada passagem da demonstração. Faça isso... Você passará a compreender ainda mais... (b) pq pq q Novamente, vamos pensar: O que devemos fazer para demonstrar uma equivalência lógica? Isso mesmo... Devemos mostrar que as proposições possuem o mesmo valor lógico. Portanto, partindo de uma delas, e lançando mão de equivalências conhecidas (por serem propriedades ou já demonstradas), chegamos à outra. Comecemos por ~ ~ ~ ~ ~ ~ p q t ~ p q p q pqq pq q p q q pq qq Tente identificar a propriedade ou equivalência notável que garantiu cada passagem. 35

37 (c) pq p~ q ~ p Devemos mostrar que as proposições possuem o mesmo valor lógico. Portanto, partindo de uma delas, e lançando mão de equivalências conhecidas (por serem propriedades ou já demonstradas), chegamos à outra. pq p~ q ~ pq ~ p~ q ~ p q~ q ~ pc ~ p (d) pq r pq r Por onde começar? Devemos mostrar que as proposições possuem o mesmo valor lógico. ~ ~ ~ ~ ~ ~ pq r pq r p qr p qr p qr p q r (e) ~ p p p Com efeito, p p~ p~ p ~ p Nem tudo que parece complicado o é... Não acha? Sempre que preciso, recorra às propriedades e equivalências notáveis apresentadas anteriormente Tipos de Demonstração Vamos conversar um pouco sobre os tipos de demonstração. Como já devem ter observado, e citamos anteriormente neste texto, a Matemática exige que suas proposições sejam demonstradas, exceto aquelas denominadas definições ou postulados. Assim, vamos apresentar, ou talvez apenas recordar, os Tipos de Demonstrações mais utilizadas: 36

38 unidade1 Demonstração pelo método dito DIRETO : Partindo de uma ou mais afirmações verdadeiras denominadas hipóteses por meio de uma sequência de afirmações verdadeiras (por serem definições ou teoremas já demonstrados), chega- se ao que se deseja demonstrar, que é denominado de tese. Demonstração pelo método dito INDIRETO ou, também, denominado Por Absurdo. Esta demonstração se apoia na equivalência entre uma condicional e sua contrarrecíproca. Assim, partindo da negação da tese, por meio de uma sequência de afirmações verdadeiras, chega-se à negação da hipótese. Como a hipótese é o que temos de verdade, diz-se que é um ABSURDO! CONTRAEXEMPLO Utilizamos um contraexemplo, quando queremos mostrar que uma proposição é falsa. Ou seja, a apresentação de um caso que contempla nossa proposição não é suficiente para garantir a validade da mesma. Porém, se conseguimos exibir um contraexemplo é suficiente para dizer que a proposição é falsa. Vejamos alguma situação que ilustre este fato, ou seja, vamos demonstrar a falsidade das proposições, exibindo um contraexemplo: Exemplo (a) x x 0 Ora, sabemos que a afirmação acima é falsa, pois nem todos os números reais têm módulo diferente de zero. Temos que 0 0 é um contraexemplo. 2 4 (b) 2 2 x x x 37

39 Ora, sabemos que a afirmação é falsa e para demonstrar basta exibir um contraexemplo. O número 2 seria um contraexemplo, pois (c) x x 2 x 1/3 seria um contraexemplo, pois 1/3 2 1/9 1/3. Agora, é hora de exercitar e tentar compreender toda a lógica por trás da Matemática. 38

40 unidade 2 Unidade II Conjuntos Objetivos Estabelecer relações de igualdade, pertinência e inclusão entre conjuntos. Reconhecer os conjuntos unitários e vazios. Realizar as operações entre conjuntos. Aplicar as propriedades de operações entre conjuntos. 39

41

42 unidade Conceitos Primitivos e Básicos A teoria de conjunto é a base da análise matemática, tal como a conhecemos atualmente, e existe todo um campo que se ocupa de fundamentá-la. Por isso, não insistiremos muito em formalizar o conceito de conjunto, e, sim, as operações que neles poderiam realizar-se. Acredita-se que a teoria moderna dos conjuntos foi criada pelo matemático Georg Cantor ( ), que notou a necessidade de tal teoria, quando estudava séries trigonométricas. Georg Cantor Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são considerados conceitos primitivos, isto é, não precisa preocupar-se com a definição de cada um deles. A construção da teoria de conjuntos tem como ponto de partida: os conceitos primitivos, as definições de inclusão e igualdade de conjuntos Conjunto Um conjunto é uma coleção de objetos definidos de forma precisa. Exemplo 2.1. (a) O conjunto de pessoas que assistem a um clássico de futebol no estádio Maracanã. (b) O conjunto de frutas da fruteira de minha casa. (c) O conjunto de planetas de nosso sistema planetário solar. (d) O conjunto dos Números Naturais ( ). (e) O conjunto dos Números Inteiros ( ). (f) O conjunto dos Números Racionais ( ). (g) O conjunto dos Números Reais ( ). (h) O conjunto dos Números Complexos ( ). (i) A coleção de todos os bons jogadores de futebol de salão do CEPEUSP. Não é um exemplo de conjunto, pois, não está definida a palavra: bons. 41

43 Observação. Costuma-se usar letras maiúsculas para designar um conjunto Elemento Cada objeto de uma coleção que determina um conjunto é chamado de elemento de um conjunto. Exemplo 2.2. (a) Seja A laranja, pera, banana, uva, maçã, o conjunto de algumas frutas. Os elementos deste conjunto são: laranja, pera, banana, uva e maçã. (b) Seja o conjunto dos números naturais. Os elementos deste conjunto são: 0,1, 2,3, Pertinência Um elemento x de um conjunto A é denotado por x A (1) e lê-se: x pertence a A. Quando x não é um elemento de A, denotamos x A. Observação. Quando os elementos x de A satisfazem certa propriedade, Px, ( ) expressamos o conjunto A, como A x: Px ( ) (2) Lê-se: O conjunto A está formado por todos os elementos x, tal que x satisfaz Px. ( ) Exemplo Então, 1 A, 3 A, 5 A e 6 A. (a) Seja A n : n 2k 1, k (b) O conjunto de todos os planetas do Sistema Planetário Solar. Este conjunto pode ser expresso do modo seguinte: T x: x é um planeta do Sistema Planetário Solar Seja x 1 = terra, x 2 = saturno, x 3 = júpiter. Então, x1, x2, x3 T. 42

44 unidade Diagrama de Venn-Euler Em algumas ocasiões, é muito útil representar conjuntos mediante diagramas, chamados diagramas de Venn-Euler. Estes são curvas fechadas não entrelaçadas como, por exemplo, circunferências, quadrados, retângulos etc. Na Figura 2.1, representamos os conjuntos A, B, e C, nos diagramas de Venn-Euler. Figura 2.1. Diagramas de Venn-Euler. Definição 2.1. (Conjunto Vazio) Um conjunto que não tem elementos é chamado de Conjunto Vazio e se denota pelo símbolo. Exemplo 2.4. O conjunto de números racionais cujo quadrado seja 2, isto é, r : 2 2 : r 2 Definição 2.2. (Conjunto Unitário) Um conjunto com um único elemento é chamado Conjunto Unitário. Exemplo 2.5. O conjunto das soluções reais não negativas que satisfazem a equação x é unitário. Com efeito, de 4 4 x 2 2, temos que 4 4 x ou, equivalentemente, x x x x x x Assim, x 0, x 4, x2 2i e x2 2i. Se denotarmos por 43

45 4 4 o conjunto em questão, teríamos que A 0 A x : x 2 2, x 0, o qual é unitário. Definição 2.3. (Conjuntos Disjuntos) Dois conjuntos A e B se dizem disjuntos, se não têm elementos em comum. Em diagrama de Venn-Euler (Figura 2.2), é apresentada a disjunção de dois conjuntos A e B. Figura 2.2. Conjuntos disjuntos. Exemplo 2.6. Se A é o conjunto de salários de um representante da câmara de deputados do Congresso Nacional do Brasil durante um ano, e B é o conjunto de salários mínimos de um trabalhador do Brasil durante um ano, estes conjuntos são disjuntos. Definição 2.4. (Inclusão de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que B está contido em A (ou B é subconjunto de A ), se todo elemento de B é elemento de A. Em notação simbólica B A x, xb x A (3) A inclusão B A, em diagrama de Venn-Euler, é apresentada na Figura 2.3. Figura 2.3. Inclusão de conjuntos: B A. 44

46 unidade2 Observação. 1. Em vez de escrever B A, podemos escrever A B (lê-se: A contém a B ). 2. Quando um conjunto B não está contido em A, podemos escrever, simbolicamente, por B A. Mais precisamente, B A x, xb x A (4) 3. Se A é um conjunto, então, o conjunto A, isto é, o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Mais formalmente, será demonstrado na Proposição 2.1a. 4. A relação A A expressa que todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Para mais detalhes, veja Proposição 2.1b. 5. Conjunto Universal. O conjunto universal denotado por U é o maior conjunto Exemplo 2.7. que contém todos os outros conjuntos que participam em um determinado problema sobre conjuntos. (a) Seja A 2, 4,6,8,10 e 4,6 B. Então, B A. (b) Seja Ax : x 3 2x 2 3x 0. Verifique que B x : x 2 1, x 0 é um subconjunto de A. Com efeito, de equação 3 2 x x x , temos que xx 2x3 0, ou equivalentemente, xx3x1 0. De aqui, A 3, 0,1 B, temos que x 1 e 0 x. Assim, 1 B. Desse modo, B A. (c). De fato, existe o 1, tal que 1 e 1.. Por outro lado, de Definição 2.5. (Igualdade de Conjuntos) Dois conjuntos A e B são iguais, se todo elemento de A é elemento de B, e todo elemento de B é elemento de A. Em notação simbólica AB x, xa x B (5) 45

47 Observação. Como consequência dessa definição, pode-se definir quando dois conjuntos A e B são diferentes, denotando-lhes por A B, e dados por Exemplo 2.8. (a) Seja,, AB x xa xb x xb x A (6) 1 Ax : x0, x0 x e 1,1 B. Então, A B. (b) Seja C x: x é vogal da palavra coração e A x: x é vogal da palavra amor Então, A C. (c) Seja Ax : x 2 x2 0 e B x : x 2 x 2 0 fato, A 1, 2 e 1, 2 B... Logo, A B. De Definição 2.6. (Subconjunto Próprio) Dizemos que B é um subconjunto próprio de A, se B A e B A. Exemplo 2.9. Num trem da CPTM de São Paulo, considere o conjunto B como sendo os passageiros que viajam num vagão do trem, e A o conjunto de pessoas no trem. Então, B é um subconjunto próprio de A. Proposição 2.1. (Propriedades da Inclusão) Sejam ABC,, conjuntos arbitrários. Então, (a) A (b) A A (Reflexividade) (c) AB B A A B (Antissimetria) (d) B A AC B A (Transitividade) Prova. (a) Suponha que A, então, pela Eq. (4) x, x x A. Como o conjunto não tem elementos, então, x, o qual é uma contradição. Portanto, (b) (d) deixa-se para o aluno. A. 46

48 unidade2 Observação. Muitas das vezes, quando queremos demonstrar a igualdade de dois conjuntos, usamos a Proposição 2.1c, em vez da Definição 2.5. Atividade 2.1 (1) Sejam Ax : x 4 10x 3 35x 2 50x24 0 e B x : x 2 6x 8 0 Classifique as seguintes expressões como sendo verdadeira ou falsa: (a) B A (b) B A (c) A (d) B (e) : 2, 1, 2 (g) (i) 0 A x x n n B (f) A. (h) 1, 2 1, 2,3 e 1, 2 A (j) então, 1, 2,3 A 2, 4 B 1, 2,3 A, (2) Sejam A B C,, alfa, beta, gama x: x são as primeiras três letras do alfabeto grego Quais das seguintes expressões são verdadeiras ou falsas. (a) A B C (b) B C e B A (c) A C e B C (d) A (3) Determine quais conjuntos são unitários ou vazios. (b) x: x são deuses do Cristianismo 2 (a) x : x 1 0 (c) n : n1 0 (d) x: x são galáxias de nosso sistema planetário solar 47

49 (4) Explicar e citar um exemplo da seguinte expressão: Todos os conjuntos disjuntos são diferentes, porém existem conjuntos diferentes que não são disjuntos Operações com Conjuntos As operações básicas, em Teoria de Conjuntos, são: a reunião, interseção e diferença de conjuntos. Definição 2.7. (Reunião de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. Define-se a reunião de A e B (denote-se A B e lê-se A reunião B ) a todos os elementos que pertencem a A ou a B. Simbolicamente, AB x: xa x B (7) A reunião de conjuntos aparece nos seguintes casos: conjuntos disjuntos, inclusão de conjuntos, e elementos comuns entre conjuntos. Na Figura 2.4, apresentamos esses casos com diagramas de Venn-Euler. (a) (b) (c) Figura 2.4. Reunião de conjuntos. (a) Disjuntos. (b) Inclusão. (c) Elementos comuns. Notação. A reunião infinita de conjuntos denota-se por A n : A 1 A 2 A 3..., veja BARTLE (2000). Exemplo (a) Seja A 1, 0,1 e B 2, 2, 4. Então, A B 2, 1,0,1, 2, 4 n. 48

50 unidade2 (b) Seja A p : p 0 e B p : p 0 : 0. Então, AB. (c) Seja A p : 5 p 10 e B p : 10 p 5 A B p : 10 p 10. : Então, Definição 2.8. (Interseção de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. Define-se a interseção de A e B (denote-se A B e lê-se A interseção B ) a todos os elementos que pertencem a A e a B. Simbolicamente, AB x: xa x B (8) A interseção de conjuntos aparece nos seguintes casos: conjuntos disjuntos, inclusão de conjuntos, e elementos comuns entre conjuntos. Na Figura 2.5, apresentamos esses casos com diagramas de Venn-Euler. (a) (b) (c) Figura 2.5. Interseção de conjuntos. (a) Disjuntos. (b) Inclusão. (c) Elementos comuns. Observe que, na Figura 2.5(a), a interseção é vazia. Notação. A interseção infinita de conjuntos denota-se por A n : A 1 A 2 A 3... Exemplo (a) Seja A p : p 2 n, n e B p : p 2 n 1, n AB. n : 2 1,. Então, 49

51 (b) Seja A e B. Então, AB. (c) A,,,, B,,,,. Então, A B,. Definição 2.9. (Diferença de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. A diferença entre A e B, denota-se A B ou A\ B, é o conjunto formado por todos os elementos de A que não pertencem a B. Simbolicamente, AB x: xa x B (9) A diferença entre conjuntos aparece nos seguintes casos: conjuntos disjuntos, inclusão de conjuntos, e elementos comuns entre conjuntos. Na Figura 2.6, apresentamos esses casos com diagramas de Venn-Euler. (a) (b) (c) Figura 2.6. Diferença de conjuntos. (a) Disjuntos. (b) Inclusão. (c) Elementos comuns. Definição (Complementar de um Conjunto) Sejam complementar de B em relação a A, denote-se Simbolicamente, c B, é o conjunto A xb x AB xa x B. Então, c Observação. A e B conjuntos. O B. c B A B (10) c xb x B (11) 50

52 unidade2 Definição (Diferença Simétrica) Sejam A e B conjuntos. A diferença simétrica de A e B, denota-se A B, é o conjunto formado por elementos que pertencem ou A ou a B, mas não pertencem a ambos os conjuntos, simultaneamente. Simbolicamente, AB ABB A (12) ou, ainda, AB AB A B (13) Figura 2.7. Diferença simétrica de A e B Propriedades das Operações com Conjuntos Teorema 2.1 (Propriedades de Reunião e Interseção) Sejam A, B, C subconjuntos próprios de U. Então, (a) (b) (c) Elemento Neutro A A AU A Idempotência AA A AA A Comutatividade ABB A ABB A 51

53 (d) (e) Associatividade ABC AB C ABC AB C Distributividade ABC AB A C ABC AB A C Prova. (a). Com efeito, x A i. A A x A x. Como o conjunto vazio não possui elementos, então, temos unicamente x A.. Com efeito, se x A U ii. A U A, então, x A e x U. Por outro lado, se x A e, por hipótese, temos que A U, então, x U. Assim, xa U. (b) (e) Deixa-se para o aluno. (f) i. ABC AB A C. Com efeito,,, xa xb xc, xa xb xa xc, x AB x AC, x AB AC xa BC xa x BC Desse modo, ABC AB A C. ii. ABC AB A C. Deixa-se para o leitor. 52

54 unidade2 Teorema 2.2 (Teorema de De Morgan) Sejam A e B conjuntos. Então, Prova. (a) c c c AB A B (b) c c c AB A B (a) De Eq. (11), Logo, c c c AB A B. c, x AB x AB, xa xb, c xa x B, x c c A B c (b) Deixa-se para o aluno. Teorema 2.3 (Propriedades do Complementar) Sejam A, B e U conjuntos. Então, c (a) A c A (b) (c) c U c U c AA U AA c (d) Prova. c c AB B A c (a) c c c x A xa x A. Então, A c A. (b) (i) K c U. Com efeito, U. Assim, x U. x c x. Então, x K para algum conjunto K, (ii) c U. Segue imediatamente depois de aplicar o complementar na parte (i). (c) e (d) Deixa-se para o leitor. 53

55 2.4. Conjunto das Partes O conjunto das partes de um conjunto é aquele cujos elementos são conjuntos. Esse conjunto é também chamado de Conjunto Potência. Definição (Conjunto das Partes) Seja A um conjunto. O conjunto das partes de A, denotado por P A, é aquele formado por todos os subconjuntos de A. Simbolicamente, A X : X A P (14) Observação. Os elementos de P A são conjuntos. Para dizer que um elemento X está em P A, usamos X P A, e não X A P. Note que os conjuntos e A são elementos de P A. Exemplo Seja A a, a, a Então, A, A,{ a},{ a },{ a },{ a, a },{ a, a },{ a, a } P No exemplo anterior, podemos escrever, por exemplo, { a, a } A { a, a } P A. Assim, como também:,{ a},{ a, a } A 1 2,{ a},{ a, a } A P P ou P ou Definição (Cardinal de um Conjunto) Seja A um conjunto finito 1. O cardinal de A, denotado por A, é o número de elementos de A. 1 Informalmente um conjunto é finito quando se podem contar seus elementos. 54

56 unidade2 Exemplo Verifique que A B A B A B. Com efeito, seja A a a a 1, 2,..., n e B b1, b2,..., bm. Suponha que b a, k j1,..., j l, onde l n j e 1k n m. Assim, e k AB a,..., a, b,..., b k 1 n 1 a,..., a, b,..., a,..., a,..., b 1 n 1 j1 jl m a,..., a, b,..., b, b,..., b 1 n 1 j j l 1 m m AB a,..., j1 a Logo, AB nm l, AB l, A n, B m. Desse modo, AB A B A B. jl Teorema 2.4 Se A n, então, P A 2 n, onde n é um número natural não nulo. Prova. Uma ideia da prova deste teorema pode ser encontrada no Capítulo 3, Atividade 3.2(3). 2 Exemplo Seja A x : x A 2. Assim, A 2 4. Então P A 4. De fato, A 1,1 P, onde A, A,{ 1},{1} P., então, Atividade 2.2 (1) Encontre c c S V W T, onde o conjunto universal U e S 2,4,5, T 3,5,7, V 2,3,4,5,7, W 1,2,3,4,6. 1,2,3,4,5,6,7, (2) Demonstre que AB ABA B 55

57 (3) Mostre que se A, B e C são conjuntos, então, ABC A B C AB AC BC AB C (4) Defina-se o seguinte conjunto: C n1 m: m, para cada n. Determine n (a) C1 C2 (b) Cn n (c) n C n (5) Prove que ABC AB A C (6) Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. Demonstre, caso seja possível, (a) P A PB P AB (b) P A PB P AB (7) Um intervalo fechado é definido por ab, x : a x b (8) Prove, para quaisquer conjuntos R, S e T, RST RSR T. Encontre n 1 0, n. 56

58 unidade 3 Unidade III Relações Objetivos Descrever relações e possibilidades de associação entre grandezas, advindas de diferentes contextos. 57

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60 unidade Introdução Na Matemática, bem como em outras ciências, muitas vezes, estabelecemos relações entre conjuntos. Comumente, estamos estabelecendo relações entre grandezas variáveis. Vale lembrar que a relação ocorre quando emparelhamos elementos entre dois conjuntos. Por exemplo, poderíamos pensar na relação que associa o conjunto de funcionários de uma universidade pública e o conjunto dos diferentes salários do funcionalismo público. Ou, ainda, poderíamos estabelecer uma relação entre os funcionários, que ocupam cargos de chefia de uma dada empresa, e o número de reuniões agendadas para um determinado mês. Perceba que cada funcionário que ocupa cargo de chefia poderia ter participado em mais de uma reunião agendada para um determinado mês, ou, quem sabe, não ter participado de reunião alguma. No primeiro exemplo, temos que, em geral, a cada funcionário público, relacionamos um único e determinado salário. Veremos, mais adiante, que relações com esta particularidade são especiais e recebem denominação especial. Para facilitar a visualização, as relações podem ser expressas em tabelas ou gráficos. Como exemplo de uma relação, a Tabela 1 mostra as tarifas praticadas pelo correio brasileiro para o envio de carta não comercial e cartão postal. Tabela 1. Tarifas de envio para carta não comercial e cartão postal. 59

61 Note que a tabela, com clareza, nos apresenta uma relação entre o peso da correspondência a ser enviada e o valor a pagar. Observando a tabela, podemos responder a perguntas como as relacionadas, a seguir: a) Qual o valor a ser pago por uma carta que pesa 73 g? b) Qual o peso máximo de uma carta para que sua tarifa não ultrapasse R$ 1,00? c) É possível que duas cartas com tarifas diferentes tenham o mesmo peso? Vale notar que, nessa relação, o peso da carta é a variável independente, e a tarifa, a variável dependente. Você pode notar que a cada peso de carta a ser enviada corresponde uma única tarifa. A tarifa depende do peso da carta. Como outra situação que caracteriza uma relação, poderíamos estabelecer uma associação entre os pontos de uma reta e os números reais, de tal modo que, a cada ponto da reta, associamos exatamente um número real. Os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais, ou seja: i. A cada ponto da reta corresponde exatamente um número real. ii. A cada número real corresponde exatamente um ponto da reta. Interessante observar que a distância entre dois pontos quaisquer da reta poderá ser encontrada pelo valor absoluto da diferença dos números reais a eles associados. Comumente, essa afirmação tem sido denominada de Postulado da Régua e, assim, o postulado da Régua nos fornece uma régua infinita (imaginária) que pode ser colocada em qualquer reta e que pode ser utilizada para medir a distância entre dois pontos quaisquer. Para definir um sistema de coordenadas na reta, escolhe-se um dos seus pontos como a origem do sistema. A esse ponto, geralmente denominado pela letra 0, associamos o número zero, que será a sua coordenada. Então, fixa-se uma unidade de medida, por exemplo, centímetros, e a coordenada de cada ponto p da reta será determinada pela medida do segmento 0 p, ou seja, desde a origem até o ponto: x1 0p centímetros. 60

62 unidade3 Se, conforme a Figura 1, o ponto d está à direita da origem, sua coordenada será 0d e, portanto, positiva. Por outro lado, se o ponto e será dada por 0e, sendo negativa. está à esquerda de 0, sua coordenada Figura 1. Pontos na reta. Para representarmos a localização de um ponto no plano, temos a necessidade de duas referências, ou seja, um par de números. Vale lembrar que o plano tem duas dimensões. Assim, criou-se um sistema que possibilitasse a localização de pontos no plano, utilizando duas retas numeradas como referência. Esse sistema é denominado de Sistema de Coordenadas Cartesianas, veja Figura 2, em homenagem ao matemático e filósofo francês, René Descartes. Trata-se de um sistema que utiliza retas numeradas que se interceptam perpendicularmente na origem de cada uma (ou seja, no ponto associado ao zero). Assim, um par de números representaria a posição de um ponto no plano. Figura 2. Sistema de coordenadas cartesianas. 61

63 A reta horizontal, com a direção positiva para a direita, é denominada eixo x ou eixo das abscissas. A outra reta vertical, com a direção positiva para cima, é chamada eixo y, ou eixo das ordenadas. Note que o plano com o sistema de eixos fica dividido em quatro regiões, denominadas quadrantes, indicados na Figura 3, pelas letras romanas I, II, III e IV. Figura 3. Quadrantes no Sistema de coordenadas cartesianas Par Ordenado e Produto Cartesiano Primeiro, vale a pena lembrar o conceito de par ordenado Par ordenado Denominamos de par qualquer conjunto de dois elementos, e par ordenado ao conjunto de dois elementos em que a ordem dos mesmos é importante, ou seja, em geral, a ordem os diferencia. Indicamos um par ordenado utilizando parêntesis. Igualdade de pares ordenados Dois pares ordenados são iguais, se, e somente se, os seus primeiros e segundo elementos são iguais, respectivamente. Isto é,,, a b c d ac b d (3.1) 62

64 unidade3 Assim, cada ponto P do plano fica associado a um par de números xy,, que são as coordenadas desse ponto. O número x mede a distância orientada do ponto P ao eixo y e é chamado abscissa desse ponto, e o número y mede a distância orientada do ponto P ao eixo x e é a sua ordenada. Se P tem coordenadas x e y, é denotado por Pxy,, veja Figura 4. Diz-se que as coordenadas de um ponto formam um par ordenado de números reais. Figura 3. Um ponto P de coordenadas x e y. Importante lembrar que a ordem na qual as coordenadas são escritas é importante. Por exemplo, o ponto de coordenadas 1, 2 é diferente do ponto de coordenadas 2,1. Portanto, todo ponto P do plano pode ser relacionado a um par ordenado de números reais e, reciprocamente, todo par ordenado de números reais xy, se relaciona a um único ponto do plano. Então, há uma correspondência biunívoca entre os pares ordenados de números reais e os pontos do plano. Uma correspondência desse tipo se denomina sistema de coordenadas no plano. O plano, munido desse sistema de coordenadas, geralmente é chamado plano coordenado, ou plano cartesiano, é denotado pelo símbolo formado por todos os pares ordenados de números reais. 2, e trata-se do conjunto 63

65 Produto Cartesiano Denomina-se produto cartesiano de um conjunto não vazio A por um conjunto não vazio B ao conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados ab,, em que o primeiro elemento a pertence ao conjunto A, e o segundo elemento b pertence a B. Denota-se por A B e lê-se: A cartesiano B. Em símbolos, teríamos: Observação. AB ( xy, ): aa b B (3.2) (a) Se um dos conjuntos A ou B for um conjunto vazio, o produto cartesiano A B será um conjunto vazio. (b) Se A B, então, ABB A. (c) (d) Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, então, A B é um conjunto finito com mn elementos. Se A ou B for um conjunto com infinitos elementos e nenhum deles for vazio, então, A B é um conjunto com infinitos elementos. (e) A A pode ser indicado por 2 A. Notação. 2 é o produto cartesiano de com, isto é, 2. Exemplo 3.1. Sejam A 1, 4 e 1, 2, 3 Atividade 3.1 B. Então, AB {(1,1),(1,2),(1,3),(4,1),(4,2),(4,3)} (1) Considere o Exemplo 3.1, para representar no, plano cartesiano, o produto cartesiano acima, pois cada par ordenado xy, pertencente a A B pode ser associado a um ponto do plano. 64

66 unidade Relação Binária Refletindo... Será que podemos pensar em um produto cartesiano que não seja formado por pares ordenados de números reais? Vejamos uma situação hipotética: Maria está prestes a se casar e imagina a entrada dos casais que serão seus padrinhos. Na igreja, ficou estabelecido que, na entrada, o casal formado, à direita se posiciona o padrinho, e à esquerda, a madrinha. Maria decidiu que todos devem ser seus amigos. Sabendo que Maria tem doze amigas e nove amigos, imaginemos todas as possibilidades de pares de casais, independente da ordem. Esse conjunto formado de todos os pares ordenados de casais, amigos de Maria, poderia ser reconhecido como um produto cartesiano A B, em que A seria o conjunto de amigas, e B o conjunto de amigos de Maria. Entretanto, Maria teve que escolher por alguns desses pares que, de fato, entrariam na igreja no dia do seu casamento. Para relacionar os quatro casais, estabeleceu-se o critério que o padrinho e a madrinha teriam alguma afinidade. Assim, ficou estabelecida uma relação binária, formada pelos casais que entrariam na igreja no dia do seu casamento Definição de Relação Binária Dados dois conjuntos A e B, denominamos Relação binária de A em B a todo subconjunto R de A B, isto é, R é uma relação binária de A em B R AB Se em uma relação binária R, os conjuntos A e B são iguais, ou seja, R AA, dizemos que R é, simplesmente, uma relação sobre A, ou ainda, R é uma relação em A. 65

67 Propriedades das Relações Considere-se R uma relação em A. (a) Reflexiva R é reflexiva, se, e somente se, para todo x pertencente a A tem-se que x se relaciona com x em A, ou seja, xxr,. Simbolicamente: x xa xr x (3.3) (b) Simétrica R é simétrica, se, e somente se, ab, R, então, ba, R, isso significa que R é simétrica quando, estando a relacionado com b, tem-se também b relacionado com a, segundo R. Simbolicamente: ab, Aa b b a R R (3.4) (c) Antissimétrica R é antissimétrica, se, e somente se, ab, R e ba, R, então, a b. Em outras palavras, se R é antissimétrica, para a b, nunca se tem, simultaneamente, ab, R e ba, R. Simbolicamente:, aba ar b br a ba (3.5) 66

68 unidade3 (d) Transitiva R é transitiva, se, e somente se, ar b e br c, então, ar c. Isto é, se a se relaciona com b e b se relaciona com c, então, a se relaciona com c. Simbolicamente: abc,, a b b c a c R R R R (3.6) Observação. Não pense que tem alguma complicação nessas especificidades. Aos poucos e com calma, você compreenderá que tudo é muito simples, bastando ficar atento aos detalhes de cada definição. Definição 3.1. (Comparáveis) Seja R uma relação sobre um conjunto A. Dizemos que xy, Asão comparáveis mediante R, se xr y ou yr x, ou seja, tem-se na relação que todo elemento do conjunto A se relaciona de alguma forma um com ou outro. Assim, na relação, figura pelo menos um dos pares: xy, ou yx., Tipos de Relações Destacam-se dois tipos de relações sobre A que possuem características importantes: Relações de Equivalência e Relações de Ordem. Definição 3.2. (Relação de Equivalência) Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada Relação de Equivalência sobre A, se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Definição 3.3. (Relação de Ordem Parcial) Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada Relação de Ordem Parcial sobre A, se, e somente se, R é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Definição 3.4. (Relação de Ordem Total) Dizemos que uma relação de ordem parcial sobre um conjunto A é uma relação de ordem total sobre A, se quaisquer dois elementos de A forem comparáveis mediante R. 67

69 Exemplo 3.2. Seja A o conjunto de números reais, ou seja, A. Vamos avaliar se a relação abaixo pode ser caracterizada como relação de equivalência ou de ordem (parcial ou total). R 2 (, ) : xy x y Vamos pensar... o que deve ser verificado? Isso mesmo: temos que verificar se a relação apresenta características de relação reflexiva, simétrica, antissimétrica ou transitiva. Mãos à obra! Será que a relação é reflexiva? Deverá provar-se que x xa xr x, ou seja, todo número real se relaciona consigo mesmo, segundo R. Essa expressão é verdadeira, pois todo número é menor ou igual a si mesmo (veja Capítulo 6). Assim, podemos concluir que R é reflexiva. Será que a relação é simétrica? Ou seja, é verdade que sempre que x se relaciona com y, segundo R teremos y também se relacionando com x, segundo R. Um contraexemplo nos mostra não ser verdadeira essa afirmação, pois 3 4 e, portanto, 3, 4R, mas não é verdade que 4 3 R não é simétrica.. Assim, o par 4,3 R. Logo, Será que a relação é antissimétrica?, aba ar b br a ba. Em palavras, verificamos que a única maneira que os pares xy, e yx, pertencerem a R seria quando x y, pois x x é sempre verdadeiro. Dessa forma, podemos concluir que R é antissimétrica. 68

70 unidade3 Será que a relação é transitiva? x, y, zr, xr y yr z x yyz xz xr z Assim, R é transitiva. Para maior informação, revise Capítulo 6. Dessa forma, temos que R apresenta as propriedades: reflexiva, antissimétrica e transitiva, podendo ser caracterizada como uma relação de ordem parcial. Seria possível dizer que R é uma relação de ordem total sobre R? Claro que sim... Perceba que, para quaisquer dois números reais, podemos sempre afirmar x y ou y x e, portanto, quaisquer dois elementos são comparáveis. Conclusão: A relação (, xy) 2 : x y R é uma relação de ordem total. Atividade 3.2 (1) Verifique se a relação de igualdade sobre o conjunto dos números reais, R, pode ser caracterizada como uma relação de ordem ou equivalência. Ou seja, verifique as propriedades da relação (, xy) 2 : x y R. 69

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72 unidade 4 Unidade IV Conjunto dos Números Naturais e Números Inteiros Objetivos Reconhecer a simbologia que o povo antigo usou para representar os números. Usar o Princípio de Indução Infinita na demonstração de propriedades de números naturais. Aplicar as propriedades dos números naturais e inteiros. Demonstrar as propriedades do módulo de um número inteiro. 71

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74 unidade História dos Números Os fundamentos nos quais descansa toda estrutura lógica do cálculo infinitesimal e em geral, da análise, são os números. Estes nos são tão familiares que, num primeiro momento, poderíamos aceitá-los como um conceito primitivo, ao menos, para os números naturais. Isto é, como algo que não requer definição. Porém, hoje em dia, é muito difícil aceitar esse conceito, devido aos avanços da Matemática. Se desejar a continuar, você pode ver como os números apareceram em diferentes tempos da história Egípcios e Babilônicos Símbolos para os números são encontrados nos mais antigos vestígios de escrita humana. Mesmo na idade da pedra, foram encontrados na forma de entalhe em ossos ou como marcas nas paredes das cavernas. Foi a época em que o homem vivia como um caçador e, hoje, só podemos especular se o símbolo, por exemplo, foi destinado para representar o tamanho da morte. O Sistema dos Números marca o início da aritmética. Os primeiros documentos remontam às primeiras civilizações do vale do rio Nilo, Tigre e Eufrates. Hieróglifos para os números , e foram encontrados sobre o bastão do rei Narmer, da primeira dinastia egípcia (cerca 3000 ac). O Papiro de Rhind (cerca de 1650 ac) contém tabelas com decomposições da fração 2/n, em que n é um inteiro ímpar (para detalhes dos cálculos dos egípcios, veja o Papiro de Moscou, STRUWE (1930), e o Papiro de Rhind, PAPYRUS RIHND (1929). Os babilônios usavam símbolos cuneiformes em tabletes de argila. As notações foram baseadas em uma mistura de sistema decimal e sexagesimal. Por exemplo, denotou 1, 60 1, 60 2,...; enquanto que denotou 10, , ,... e assim por diante. O símbolo zero não foi sempre utilizado pelos babilônios, e nunca usaram um símbolo, o ponto, para separar a parte inteira da parte decimal. Em uma notação posicional, o papel do zero é a de um sinal representado por uma "lacuna". Um sinal desse tipo, duas marcas de cunha pequena,, já foi encontrado em um texto babilônico antigo de Susa (Text 12, 73

75 p. 4), porém unicamente em casos isolados TROPFKE (1980, p. 28). Os babilônios mostraram ter sido aritméticos de grande talento e algebristas. Eles desenvolveram tabelas sofisticadas para uso em cálculos, envolvendo multiplicação e divisão, e para resolver equações quadráticas e cúbicas Gregos O sistema de numeração dos gregos foi decádico, embora não posicional. Os primeiros sistemas usaram símbolos individuais para as etapas decádicas, que eram as letras iniciais de cada palavra correspondentes aos números. Por exemplo, usavam o símbolo χ para representar o número χιλ (mil). Os posteriores sistemas que representaram números por letras (ao redor de 450 ac) forem utilizados em textos matemáticos. O sistema foi composto de 24 letras do alfabeto grego padrão, com mais três símbolos da tradição oriental. Para maiores detalhes, veja, por exemplo, EBBINGHAUS (1991). Enquanto os egípcios e babilônios contentaram-se com o desenvolvimento altamente sofisticado de técnicas numéricas, os pitagóricos tornaram-se, em primeiro lugar, interessados no significado filosófico dos números. Em sua filosofia, o universo inteiro foi caracterizado por números e suas relações, e, assim, surgiu o problema de definir o que geralmente era um número. Assim, os gregos consideram como números, apenas os números naturais, excluindo a unidade; frações foram tratadas como razões de números, e números irracionais como as relações entre grandezas incomensuráveis na geometria Aritmética prática Indo-Arábica Entre 300 ac e 600 dc, a atual notação posicional decimal, com 0 e seus símbolos particulares de 1 até 9, nasceu na Índia, provavelmente sob influência babilônica. Assim, por exemplo, é a partir das formas primitivas -, =, que surgiram no início dos símbolos,, que, eventualmente, evoluíram para 1, 2. Os árabes, não os astrônomos, usaram a notação indiana. Os indianos tinham sinais dos números positivos e negativos, ou seja, dhana ou sva (domínio, posse) e rina ou ksaya (diminuição, débito). 74

76 unidade4 Regras da Aritmética para lidar com números positivos e negativos são encontradas nas obras de Brahmaoupta (nascido em 598), JUSHKEWITSCH (1964, p. 126). Entretanto, não há nada que indique que os números negativos eram geralmente reconhecidos como soluções de equações Tempos Modernos Aritmética prática Indo-Arábica foi divulgada em todo o mundo ocidental pelos livros didáticos de aritmética, desde o século 13 até o 16 (por exemplo, os de Leonardo de Pisa, Riese, Stifel) e possibilitou os sucessos posteriores dos matemáticos italianos da Renascença (tais como, Del Ferro, Cardan e Ferrari) na solução de equações algébricas. Stifel diz, ao falar sobre números negativos, que não são apenas "tolices sem sentido", mas, pelo contrário, que são "não sem utilidade" para fingir números antes do zero, isto é, construir números fictícios que são menos do que nada (STIFEL, 1544, p. 248). Na nova álgebra da Renascença, o zero e os números negativos adquiriram um novo enfoque, isto é, foi possível assimilar vários tipos de equações numa única categoria. Desde o tempo das equações de Descartes, tem sido escrito da seguinte forma: n n1 ax n an 1x a0 0 (embora sem sufixos nos coeficiente para o caso de Descartes), em que os coeficientes podem ser positivo, negativo ou zero. Embora os matemáticos tenham trabalhado, desde o início da ciência, com números e descoberto teoremas sobre esses, não foi até o século 19, que deram definições matematicamente aproveitáveis do conceito de número. Sua principal consideração foi, inicialmente, fornecer bases sólidas para a análise, definindo, mais precisamente, os números reais. Foi só depois de Dedekind e Cantor (e alguns outros, os quais haviam definido números reais por meio de conjuntos de números racionais) que as definições clássicas dos números naturais, em termos de lógica e teoria dos conjuntos, continuaram. A constatação de que a extensão dos números naturais, para os inteiros e 75

77 os racionais, poderia, ainda, ser considerado essencialmente como um tópico da álgebra, estava intimamente ligada com a introdução das ideias fundamentais algébricas da teoria dos anéis e da teoria de campos. Atividade 4.1 (1) Esboce os símbolos que os gregos usaram (anterior aos 450 ac) para representar os seguintes números: 1, 10, 100, e e seus intermediários: 5, 50, 500, 5 000, (2) Faça uma tabela dos símbolos (o alfabeto grego padrão e três símbolos de influência oriental) que os gregos usaram ao redor dos 450 ac, para representar os números Conjunto dos Números Naturais Podemos definir os números naturais como um conjunto de axiomas ou postulado que o caracteriza, tal como foi feito por Peano, na sua obra, Arithmetices principia nova methodo exposita (1889), e Hilbert, em Die Grundlegund der elementaren Zohlenlehre (1930) Números Naturais Quando Giuseppe Peano ( , matemático italiano) formula seus axiomas, a linguagem da lógica matemática estava nos seus inícios. A formulação original desses axiomas considera como primeiro número o 1, porém, hoje em dia, sabemos que o 0 é o elemento neutro da operação adição dos números naturais e é imprescindível sua omissão. Giuseppe Pean. Estudaremos a formulação moderna dos axiomas de Peano, o qual considera três conceitos primitivos: número natural, zero e sucessor. Denotaremos um número natural 76

78 unidade4 por n, zero por 0 e o sucessor de n por n. A relação entre esses conceitos primitivos é conhecida como os Axiomas de Peano. Axiomas de Peano A1. 0 é um número natural A2. Para qualquer número natural n, o sucessor n é um número natural. A3. 0 não é sucessor de nenhum número natural. A4. Para quaisquer números naturais n e m, se n m A5. Se S é um conjunto, tal que (i) 0 S, e (ii) se n S, então, n S, então, S contém todos os números naturais., então, n m. Observação. O axioma A5 representa o Princípio de Indução Finita. Este expressa que todo número natural pode ser obtido, a partir de 0, por meio de repetidas aplicações, tomando-se o sucessor. Esse princípio é, algumas vezes, enunciado do seguinte modo: Seja Pn uma propriedade em termos de números naturais. Suponha que (i) P 1 é verdadeira, e, (ii) se para todo k, Pk é verdadeira, então, 1 Nesse caso, Pn é verdadeira para todo número natural n. P k é verdadeira, também. Usando os axiomas de A1 até A4, podemos construir um conjunto infinito do seguinte modo: 0 é um número natural 0 é o sucessor de 0 77

79 0 é o sucessor de 0 0 é o sucessor de 0 Assim, obtemos o seguinte conjunto infinito:... 0, 0, 0, 0,... (4.1) Esses quatro primeiros axiomas, também, implicam que o conjunto dos números naturais é infinito, pois, ao menos, contém o conjunto infinito definido em Eq. (4.1). Para mostrar que todo número natural está contido neste conjunto infinito, ele deve satisfazer o axioma A5. E pela construção do mesmo, vemos que ele satisfaz o dito axioma. Para finalmente obter o conjunto dos números naturais, consideremos as seguintes notações. Denote-se o sucessor de 0 pelo símbolo 1 (um), 0:1 (4.2) Denote-se o sucessor de 1 pelo símbolo 2 (dois), Denote-se o sucessor de 2 pelo símbolo 3 (três), 0 1: 2 (4.3) 0 1 2: 3 (4.4) e, assim, sucessivamente. Substituindo Eq. (4.2) - (4.4) em Eq. (4.1), obtemos o conjunto de números naturais 0,1, 2,3,... (4.5) 78

80 unidade4 o qual, formalmente, é dado na seguinte definição. Definição 4.1. O Conjunto dos Números Naturais, denotado por, é 0,1, 2,3,... (4.6) Notação. Denota-se o conjunto dos números naturais, sem o zero, por \ Igualdade A formulação original dos axiomas de Peano continha nove axiomas. Cinco deles já foram enunciados antes, e os quatro restantes foram direcionados para a igualdade entre números naturais. Axiomas da igualdade I1. Para todo m, m m (Reflexividade) I2. Para todo mn,, m n, então, n m (Simetria) I3. Para todo mnh,,, m n e n h, então, m h (Transitividade) I4. Se m e m n, então, n (Fecho) Uma vez definido o conjunto dos números naturais e a igualdade entre seus elementos, passamos a definir as operações da aritmética Operações em As operações de adição e multiplicação de números naturais se definem de modo recursivo. Definição 4.2. (Adição) Para cada mn,, (a) m0 m (b) mn m n 79

81 Exemplo 4.1. Quem é m 1? Calculemos: 1 0. Pela Definição 4.2b, m 1 m 0 m m temos que m 1 m. Logo, m 1 é o sucessor de m., e pela Definição 4.2a, Definição 4.3. (Multiplicação) Para cada mn,, (a) m0 0 (b) m n mmn Propriedades Algébricas As propriedades algébricas dos números naturais são com respeito às operações de adição e multiplicação. Proposição 4.1. (Adição) Sejam mnh,,, (a) mn (Fecho) (b) mnh mn h (Associatividade) (c) mnn m (Comutatividade) (d) m0 m (Existência de elemento neutro) Observação. A existência do elemento neutro, no item (d), é única. Prova. Deixa-se para o leitor. Proposição 4.2. Sejam mnh,,. Se m h, então, mnh n. Prova. Usaremos o Princípio de Indução Finita. Considere-se a seguinte propriedade: 1 P n : Se m h, então, mnh n. P é verdadeira. Com efeito, pela reflexividade, m1m 1, e, como por hipótese, m h, então, m 1 h 1. Agora, suponha que P k é verdadeira, então, m h implica 80

82 unidade4. Provaremos que 1 m k h k P k é verdadeira. Com efeito, pela associatividade, 1 1, agora, pela hipótese, m k h k m k m k 1 1 e, novamente pela associatividade, temos finalmente mk1 hk 1. Portanto, P n é verdadeira. Proposição 4.3. (Multiplicação) Sejam mnh,,, (a) mn (Fecho) (b) mnh mn h (Associatividade) (c) mn nm (Comutatividade) (d) m1 m (Existência de elemento neutro) Observação. A existência do elemento neutro, no item (d), é única. Prova. Deixa-se para o leitor. Proposição 4.4. (Adição e multiplicação) Sejam mnh,,, (a) mnh mn mh (Distributividade) (b) mn 0 m0 n 0 (Sem divisor de zero) Prova. (a) Deixa-se para o aluno. (b) Se mn 0, então, mmn m 0, assim, pela Definição 4.3b, Proposição 4.3d, n 1, o qual implica que 0 nmn n 0, comutando o produto,, e pela unicidade do elemento neutro, m 1 n m n m n m, e pela n. Por outro lado, se mn 0, então, n nm n, usando a Definição 4.3(ii),. Desse modo, m 0. Exercício 4.1. mnhmh nh mnhhmn mnhmh nh mnhhm hn 81

83 Ordem nos Números Naturais A operação de adição dos números naturais permite introduzir uma relação de ordem em. Definição 4.4. Para todo mn,, m n, se, e somente se, existe h tal que mh n. Notação. A relação m n significa que m n ou m n. Proposição 4.5. Para todo mnh,,, Prova. (a) mn mhn h (b) mn mh nh (a) Se m n, então, existe k tal que m k n h. Assim, mkh n h, então, mh k n h e pela Def. 3.4, mhn h.. De aqui, temos que mk hn h, m hk n h, associando termos, (b) Deixa-se para o leitor Potenciação Definição 4.5. Seja a. Defina-se: (a) (b) 1 a a m 1 m a a a Sempre que m a esteja bem definida para m. Exemplo 4.2. Calcule as seguintes potências: (a) 2 a. Solução: Def.3.4b Def.3.4a a a aa aa. 82

84 unidade4 (b) 3 a. Solução: Def.3.4b (a) aa aaaaa. Proposição 4.6. Sejam abmn,,,, (a) m n m n a a a mn m (b) a a n (c) m m m ab a b Prova. Deixa-se para o leitor. Atividade 4.2 (1) Prove que para todo m, 1 m 1. Sugestão. Use o Princípio de Indução Infinita. (2) Defina-se o fatorial de um número natural por n! n, 0! 1. Prove n que 2 n! para n 4. Sugestão. Use o Princípio de Indução Infinita. (3) Prove que o cardinal de um conjunto A é igual ao cardinal do conjunto das partes de A, isto é, * 2 n, A n P A n (4.7) Sugestão. Use o Princípio de Indução Infinita. 83

85 4.3. Conjunto dos Números Inteiros A limitação dos números naturais em resolver, por exemplo, equações da forma mh n, onde mn, e h são números naturais e m n, motivou a comunidade matemática a ampliar os naturais a um conjunto maior. Foi nesse sentido que os números negativos fazem presença, chamando-se, formalmente, elemento oposto. Com o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números negativos, aparece o Conjunto dos Números Inteiros. Para a construção desse novo conjunto, é imprescindível definir uma relação de equivalência. Teorema 4.1 A relação sobre, definida por m, n h, k, se, e somente se, m k n h é uma relação de equivalência. Prova. Deixa-se para o leitor. Notação. Sejam pela relação. mn,. Denote-se por, mn, a classe de equivalência de mn, Definição 4.6. O Conjunto dos Números Inteiros, denotado por conjunto das classes de equivalência, mn,, pela relação., é definido como o Definido o conjunto dos números inteiros, passamos a definir sua aritmética Operações em São duas operações que podemos definir nos números inteiros, a adição e a multiplicação. Definição 4.7. (Adição) Sejam mn,, hk, e pq,, com p mn, q hk,, definimos a adição por e 84

86 unidade4 pq mhn, k Definição 4.8. (Multiplicação) Sejam mn,, hk, e pq,, com p mn, q hk,, definimos a multiplicação por Propriedades algébricas pq mh nkmk, nh Proposição 4.7. (Adição) Sejam pqr,,, e (a) pq (Fecho) (b) pqr pq r (Associatividade) (c) pqq p (Comutatividade) (d) p0 p (Existência de elemento neutro) (e) p p 0 (Existência de elemento oposto) Notação. O elemento p, que aparece no item (e), é chamado de elemento oposto de p. Observação. A existência dos elementos, neutro e oposto, nos itens (d) e (e), é única. Prova. Deixa-se ao leitor. Definição 4.9. (Subtração) Para pq,, define-se, pq: p q Proposição 4.8. (Multiplicação) Sejam pqr,,, (a) pq (Fecho) (b) pqr pq r (Associatividade) (c) pq qp (Comutatividade) 85

87 (d) p1 q (Existência de elemento neutro) Observação. A existência do elemento neutro, no item (d), é única. Prova. Deixa-se para o leitor. Proposição 4.9. (Adição e multiplicação) Sejam pqr,, (a) pqr pq pr (Distributividade) (b) pq 0 p0 q 0 (Sem divisor de zero) Prova. Deixa-se para o leitor Ordem nos Números Inteiros Definição Para pq,, definimos a relação de ordem por pq, se, e somente se, pq (4.8) Teorema 4.2 Sejam pqr,,, (a) p p (Reflexividade) (b) Se p q e q r, então, p r (Transitividade) (c) Se p q e q p, então, p q (Antissimetria) (d) p q ou q p (Totalidade) Prova. Deixa-se ao leitor Módulo O módulo ou valor absoluto de número inteiro é definido, como segue. Definição (Módulo ou valor absoluto) Seja p, definimos o módulo de p por p p p se p 0 se p 0 (4.9) 86

88 unidade4 Proposição Sejam p e q 0, Prova. (a) p p p (b) p q q p q (a) Se p 0, p p, agora, pela reflexividade, p p, então, p p. Por outro, se p 0, p p, o qual implica p p, e pela reflexividade, p p, temos p p. Assim, p p p. (b) Deixa-se para o leitor. Proposição Sejam pq,,, (a) p 0 (b) p 0 p 0 (c) pq p q (d) p p Prova. (a) Para p 0, p p, então, p 0. Para p 0, p p, como p 0, então, p 0. (b) Ida: p 0. Então, pela Def. (4.9), 0 p, se p 0 e, se p 0, 0 p. Assim, para todo p, temos que p 0. Volta: p 0. Então, p p, de aqui, p 0. (c) Pela Proposição 4.10(i), p p p e q q q. Somando membro a membro, p q pq p q, de aqui, p q pq p q, e pela Proposição 4.10(ii), pq p q. (d) Deixa-se para o aluno. 87

89 4.3.5 Imersão de em Definição (a) O Conjunto dos Números Inteiros Positivos, denotado por mn, : mn, e m n, se define por (b) O Conjunto dos Números Inteiros Negativos, denotado por mn, : mn, e m n, se define por Observação. Prova-se que o conjunto e o conjunto são isomorfos ( ). Uma prova disso pode ser encontrada em LOBEIRO (2011). Assim, podemos identificar os naturais como um subconjunto dos inteiros. Desse modo, conseguimos expressar o conjunto, 0. (4.10) E se denotamos, obtemos que o Conjunto dos Números Inteiros é dado por... n,..., 2, 1,0,1,2,..., n,..., (4.11) onde, n é a notação para o número inteiro 1, n 1. Notação. Denota-se o Conjunto dos números inteiros sem, o zero, por \ 0. Nesta apostila, não abordaremos tópicos referentes à Divisibilidade, Máximo Divisor Comum, Mínimo Múltiplo Comum, Números Primos, Congruência Módulo m, entre outros. 88

90 unidade4 Atividade 4.3 (1) Prove para todo pq, : a. p q p q b. p q p q c. p q pq pq d. p p (2) Demonstre que se pq 1, então, p 1 e q 1. (3) Demonstre que a soma dos n primeiros números ímpares é 2 n n n, ou seja, 89

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92 unidade 5 Unidade V Conjunto dos Números Racionais e Números Irracionais Objetivos Aplicar as propriedades dos números racionais e irracionais. Aplicar a propriedade da densidade e a propriedade arquimediana dos números racionais. 91

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94 unidade Conjunto dos Números Racionais A resolução de problemas, que envolvem equações da forma p q,, pq,, só tem sentido, se q é divisível por, caso contrário, não teremos solução em. Com a finalidade de construir outro conjunto maior que contenha os inteiros, dê solução a esse problema e outras dificuldades que possam aparecer em, foi introduzido o conjunto dos números racionais, construído por classes de equivalência de números inteiros. O aluno pode consultar COHEN e EHRLICH (1963) para maiores detalhes. Teorema 5.1 A relação sobre * definida por p, q r, s, se, e somente se, p s q r é uma relação de equivalência. Prova. Deixa-se para o leitor. Notação. Seja pq, relação.. Denote-se por, pq, a classe de equivalência de pq, pela Definição 5.1. O Conjunto dos Números Racionais, denotado por conjunto das classes de equivalência, pq,, pela relação., é definido como o Notação. Mais especificamente, o conjunto dos números racionais representa o conjunto quociente de, pela relação, isto é, /. Definido o conjunto dos números racionais, passamos a definir as operações de sua aritmética. 93

95 5.1.1 Operações em São duas as operações que podemos definir nos números racionais, a adição e a multiplicação. Definição 5.2. (Adição) Sejam pq,, rs, Definimos a adição por e, ab ps qrqs, Definição 5.3. (Multiplicação) Sejam pq,, rs, b rs,. Definimos a multiplicação por Propriedades algébricas ab prqs, Proposição 5.1. (Adição) Sejam abc,,, (a) ab (Fecho) (b) abc ab c (Associatividade) (c) abb a (Comutatividade) (d) a0 a (Existência de elemento neutro) (e) a a 0 (Existência de elemento oposto) ab, com a pq, e b rs, e,. ab, com a pq, e Prova. De (a) até (c), deixa-se ao aluno. (d) Sejam a pq, e 0 rs,. Esses elementos satisfazem 0,, o qual, implica ps qrqs, pq, a ps qrqs pq. De Teorema 5.1, ps qr qqs p. Assim, distribuindo ps q qr q qs p. Associando 94

96 unidade5 qs pqq rqs p o qual implica qq r 0 ). De aqui q 2 r 0 implica r 0, pois (elemento neutro aditivo em 2 q 0. Assim, o 0 0, s satisfaz a0 a. (e) Seja a pq, e a rs,, e 0 0,t, então, a a ps qrqs, 0, t. De aqui, ps qrqs, 0, t de onde temos ps qr t qs 0 ps qr t 0. Como 0 suponha que r t, então, ps qr 0 p, então, ps qp. Assim, s q, ou. Assim, ps qr. Logo, a pq, obtemos que a p, q. De qualquer modo, pq, ou p, q. Agora,. Se r p, pertencem à mesma classe, a. Se r q, aparecem restrições. Definição 5.4. (Elemento Neutro Aditivo em neutro aditivo dos números racionais por 0 0, q ). Se q, definimos o elemento Definição 5.5. (Elemento Oposto Aditivo em ). Seja a pq, elemento oposto aditivo de a, por a pq,, definimos o Observação. Os elementos, neutro e oposto, nos itens (d) e (e) da Proposição 5.1, são únicos. Definição 5.6. (Subtração) Sejam, diferença de a menos b por ab, onde a pq, e b rs, ab: ab pq, rs, ps qrqs,. Defina-se a 95

97 Observação. Os elementos, neutro e inverso, nos itens (iv) e (v) da Proposição 5.2, são únicos. Proposição 5.3. (Adição e multiplicação) Sejam abc,, (a) abc ab ac (Distributividade) (b) ab 0 a0 b 0 (Sem divisor de zero) Prova. Deixa-se para o leitor. Exercício 5.1. Prove que para todo a e 0 1 a, a 1 a. Com efeito, de Proposição 5.2e, 1 inverso, a a 1. aa 1 1. Pela Proposição 5.2c, a a 1 1, e pela unicidade do elemento Ordem nos Números Racionais A relação de ordem em inicia-se com a definição a 0 ( a é maior que 0 ). Definição 5.9. Seja a. a 0, se existe pq, a, tal que pq 0 Também, a 0, se existe pq, a, tal que pq 0 Notação. Denote-se o Conjunto dos Racionais Positivos por o Conjunto do Racionais Negativos por a : a 0, a : a 0 e o Conjunto dos Números Racionais, sem o Zero, por \ 0 96

98 unidade5 Proposição 5.4. (Lei da Tricotomia em ) Se a, então, unicamente, uma das afirmações é verdadeira: (a) a 0, ou (b) a 0, ou (c) a 0 Prova. Seja a pq,, então, pq. Pela Lei da Tricotomia em, temos: (a) pq 0, o qual implica a 0 ; ou (b) pq 0, como q, temos p 0. Assim, a 0 ; ou (c) pq 0, de aqui, temos que a 0. Teorema 5.2 Sejam, ab, onde pq, ae rs, b, então, ab ps qr Prova. ab ps qrqs, 0 implica, pela Definição 5.9, ps qrqs 0 aqui, ps qs qr qs 0, então, psqs qrqs. De implica ps qr, pois qs. Teorema 5.3 Sejam ab,, 0 a b, então, Prova. Seja a pq,, b rs, sr 0, então, 0 b a 1 1., pr, e qs,. Se b 0 então rs 0, de aqui, 1 b 1 0 ( b sr, ). Por outro lado, a b implica ps qr. Assim, sp rq implica b a 1 1. Assim, 0 b a Módulo O módulo ou valor absoluto de um número racional é definido, a seguir. Definição (Módulo ou valor absoluto) Seja a, definimos o módulo de p por 97

99 a a a se a 0 se a 0 (5.2) Observação. As propriedades do módulo de um número racional são as mesmas apresentadas para o módulo de números inteiros, na Subsecção Imersão de em A seguir, enunciaremos um teorema referente quando o conjunto dos números inteiros está imerso ( contido ), no conjunto dos números racionais. Teorema 5.4 A aplicação i : p i p p é injetora e satisfaz as seguintes propriedades: (a) i pq i p iq (b) i pq i p iq (c) pq i p iq,1 Prova. Deixa-se para o aluno. O aluno pode consultar LOBEIRO (2011, p. 88). Observação. Segundo o Teorema 5.4, a imagem da aplicação i é um subconjunto de e pode ser identificada com o conjunto dos números inteiros, isto é, Assim, i p,1 : p (5.3) p p p,1 (5.4) 98

100 unidade5 Definição (Divisão em ) Sejam ab,, b 0. A divisão de a entre b se denota por a b, ou a / b, e define-se por a ab b 1 Teorema 5.5 Se abcd,,,, bd, 0. Prove que (a) (b) a a 1 a c ad cb b d 1 Prova. (a) Pela Proposição 5.2d, a1 a. Pela Proposição 5.2e, a11 a. Pela 1 Proposição 5.2b, a1 1 a. Novamente, pela Proposição 5.2d, a 1 1 a. Finalmente, pela Definição 5.11, 1 a (b) ad cb a. ad b cb b a d d cd b ab d cbb 1 d d a d c b a c a c b d b d Notação. Quando ab,, a divisão a b é chamada fração a b e, nesse caso, a é chamado de numerador, e b, de denominador. Teorema 5.6 ( definido como fração) Seja a pq,, a 0. Então, p a a, pq, q 99

101 Prova. De Teorema 5.5a, pq pq pq q pq q a a, assim, pela Eq. (5.1), 1 pq, a. Por outro lado, p p qq, pq qq pq pqq, pqq, pqq, pqq, pqq, 1 pqq, 1 pqq, 1 pq,1 q (pela Definição 5.3) pq, q,1 p,1 qq, (pelo Teorema 5.5b) pq, p,1 p,1 a qq, q,1 q,1 (pela p Eq. (5.4)) a. q Sistema Decimal O Sistema decimal (ou Sistema de base 10) é posicional, isto é, o valor de cada algarismo depende de sua posição. Um exemplo de sistema não posicional é o Sistema de números romanos. Definição Seja p um número inteiro não negativo, então, sua Representação decimal na forma Compacta é e, na forma Expandida, p pp pm (5.5) m1 m2 0 p p110 p p m 10, (5.6) onde p, 0 9, 1i m, são chamados de algarismo inteiros. i p i Observação. Na Eq. (5.5), existem m algarismos inteiros. Exemplo 5.1. Um número inteiro, em suas duas formas de representação decimal compacta e expandida, com cinco algarismos inteiros:

102 unidade5 Teorema 5.7 (Expansão Decimal de um Número Racional) Seja a, tal que 0a 1, então, sua representação decimal na forma expandida é dada por d d d k a, (5.7) k onde d, 0 9, i 1,2,... k,... são chamados de algarismos decimais. i d i Observação. A forma expandida da representação decimal de a, em Eq. Erro! Fonte de referência não encontrada., é dada por a dd 1 2 d k 0, (5.8) Prova. Deixa-se para o leitor Exemplo 5.2. (a) 0,725. (b) 0, Teorema 5.8 Todo número a pode ser escrito da seguinte forma: a pp... p, dd... d... (5.9) 1 2 m 1 2 k onde há m algarismos inteiros e infinitos algarismos decimais. Prova. Deixa-se para o leitor. Observação. (a) Devido às equações (5.6) - (5.7), a Eq. (5.9) pode ser escrita como m1 m2 0 d1 d2 dk a p110 p pm (5.10) 1 2 k (b) O recíproco desse teorema, em geral, não é verdadeiro. Veja exemplos, na próxima Secção. (c) Vejamos duas representações da Eq. (5.9): Expansão Decimal Finita: é quando o número de algarismo é finito, ou seja, 101

103 pp... p, dd... d (5.11) 1 2 m 1 2 k Exemplo , Expansão Decimal Periódica: é quando certa quantidade de algarismos se repetem p p... p, dd... d d d... d d d... d m 1 2 j j1 j2 jn j1 j2 jn Observa-se que n é o número de algarismo que se repetem. Exemplo , apresenta três algarismos que se repetem. Teorema 5.9 A expansão decimal de todo número racional é finita ou periódica. Prova. Deixa-se para o leitor. Exemplo 5.5. (a) O seguinte número decimal periódico 0,3333 é racional. Com efeito, , (b) O Teorema 5.9 não garante a unicidade do número racional. Por exemplo, transformemos o seguinte decimal periódico 0,5999 em fração. Com efeito, ,

104 unidade5 Assim, 3 0, Como sabemos, 3 5 que os algarismos é igual a 0,6, e não 0,5999. Um estudo mais avançado nos diz d s são únicos, se existem infinitos j s para os quais d 9. k j Veja Capítulo 8, em RIBEIRO (2011). Teorema 5.10 (Propriedade da Densidade) Sejam ab,, tal que a b, então, existe um c, tal que ac b. Prova. De a b, temos que 2aa b e ab 2b. De aqui, a b a e 2 a b b, ou 2 a b a b a b. Seja c, logo, ac b. 2 2 Teorema 5.11 (Propriedade Arquimediana) Sejam ab,. Então, existe um número m, tal que Prova. Se a para todo m a mb b, então, existe m 2, tal que ba 2b. Se a b, suponha que a mb. Sejam p a e q r b, em que pqrs,,,. Logo, p m r, ou s q s sp mqr, para todo m. Em particular, para m sp 1, temos que sp mqr sp 1 qr spqr qr. Como qr, então, sp spqr, de aqui, 1 qr, uma contradição. Atividade 5.1 (1) Prove para todo ab, : a. aba b ab 103

105 b. a a c. a b ab (2) Prove que para ab,, (3) Prove que abcd,,,, bd, 0, ab b a a c ad cd b d bd 5.2. Conjunto dos Números Irracionais Podemos dizer, grosso modo, que um número é irracional, se não pode ser expresso como quociente de dois números inteiros, ou se sua expansão decimal é infinita, ou não periódica. Um número algébrico é aquele número que é a raiz de um polinômio de uma variável não nula e coeficientes racionais (ou inteiros). Os números que não são algébricos são chamados de números transcendentais. Qualquer número transcendental é irracional. Por exemplo,, e (base dos logaritmos neperianos), ln 2, sen 1, 2 2 (constante de Gelfond Schneider), e (constante de Gelfond), entre outras. Também, alguns números algébricos são irracionais, por exemplo, 2 e 3 32 são raízes dos seguintes polinômios: 2 x 2 e 3 8x 3, respectivamente, o número áureo, 1 5 1, , entre outros. 2 A respeito do irracional mais conhecido, 2, diz a lenda que o filósofo pitagórico, Hípaso de Metaponto, (naceu em torno do ano 500 a.c, em Metaponto, cidade grega da Magna Grécia, hoje é Itália), foi quem provalmente o descobriu. Supõe-se que sua demonstração, por métodos geométricos, envolvia que a hipotenusa de um triângulo isósceles, com catetos de comprimento 1, i.e., raiz quadrada de dois (constante de Pitágoras), não poderia ser expressa pela razão entre números inteiros, HIPPASUS OF METAPONTUM (ano 500 a.c). Hípaso de Metaponto. 104

106 unidade5 Definição Definimos um número irracional como qualquer número que não pode ser expresso, como o quociente de dois números inteiros, isto é, Portanto,. é um número irracional, se, e somente se, p, pq,, q 0 q p Exemplo 5.6. Prove que 2. Com efeito, suponha que 2, pq,, e q 0, o q menor possível, tal que q p 2q. Então, Agora, somando 2 pq, temos obtemos 2 pq p pq q equivalentemente, outro lado, q p 2q 2pq p 2pq 2q 2 p 2 2 q implica 2 2 p 2q, de aqui, 2 2, de aqui, 2pq p 2 2 pq q 2, pois pq q 2 q p q p 2q p q p q 0. Assim, 2. De aqui, implica 2 2q p 2 2 p q 2 2 p 2q.. Logo, p 2q p q p q, então, 2q p p q 2, ou 2. Por pq qq q. Assim, temos uma contradição, pois existe uma representação racional de 2 com denominador menor que q. Portanto, 2. Atividade 5.2 (1) Prove que a. e é irracional b. log10 2 é irracional 105

107

108 unidade 6 Unidade VI Conjunto dos Números Reais Objetivos Aplicar o Axioma do Supremo. Determinar quando um conjunto forma um Corpo ordenado completo. Aplicar a propriedade Arquimediana dos números reais. Aplicar as propriedades dos números reais. 107

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110 unidade Introdução Os números racionais satisfazem a propriedade arquimediana (Se ab,. Então, existe um número m, tal que a mb ) e a propriedade de densidade (entre dois números racionais sempre existe outro número racional, isto é, se pq, e p q, então, p( pq)2 q), porém são insuficientes para satisfazer o axioma do supremo, ou axioma da completude, ou axioma da continuidade (Todo subconjunto não vazio de um conjunto limitado superiormente, admite supremo). Nesse sentido, a comunidade matemática teve o desafio de construir um conjunto maior que satisfizesse esse axioma. O resultado foi o conjunto dos Números Reais. Existem varias técnicas de construção dos números reais, cada uma, com vantagens e desvantagens. As mais usadas são: devido a Georg Cantor 1, Classes de equivalências de sequências de Cauchy de números racionais, e devido a Richard Dedekind 2, Cortes de Dedekind (subconjunto dos números racionais com certas propriedades). Georg Cantor. Richard Dedekind. Neste capítulo, construiremos o conjunto dos Números Reais, a partir do conjunto dos Números Racionais, usando cortes de Dedekind. Iniciaremos pela definição da estrutura algébrica: corpo, denotando por K. Definiremos quando um corpo é ordenado e, quando um corpo ordenado é completo. Finalmente, mostraremos que existe um conjunto, mais especificamente, um corpo ordenado completo, o qual será chamado de conjunto dos números reais. 1 Nasceu em São Petersburgo, Rússia (3 de março de 1845 a 6 de janeiro de 1918). 2 Nasceu em Braunschweig, Alemanha (6 de outubro de1831 a 12 de fevereiro de1916). 109

111 6.2. Preliminares Definição 6.1. (Operação binária) Seja A. Uma operação binária sobre o conjunto A é uma função que aplica elementos de A A em A, isto é, Se xy, A A então xy A (6.1) Observação. Uma operação binária, é muitas vezes, chamada de, simplesmente, operação. O enunciado em Eq. (6.1) representa o fecho da operação sobre A. Exemplo 6.1. Verifique que a função, definida por : p r p r ps rq, q s q s qs, é uma operação sobre. Com efeito, p r ps rq ps rq. Como qs, 0, q s qs qs qs p r p r p r. Por hipótese,,, então, pela propriedade do fecho da adição em q s q s q s, temos p r p r. Assim, q s q s. Definição 6.2. (Ordem) Seja A um conjunto. Uma ordem em A é uma relação, denotada por, com as seguintes propriedades: (i) Para todo xy, A, ou x y ou x y ou y x (Tricotomia) (ii) Para todo xyz,, A, se x y e y z, então, x z (Transitividade) Observação. A expressão x como y x (lê-se: y é maior que x ). Notação. Denotaremos por x das duas expressões se cumpre. y (lê-se: x é menor que y ), também, pode ser escrita y para indicar que x y ou x y, sem especificar qual 110

112 unidade6 Observação. A negação de x y é x y. Definição 6.3. (Conjunto ordenado) Um conjunto ordenado é aquele no qual há definida uma ordem. Exemplo 6.2. é um conjunto ordenado com a seguinte ordem: pq q p (6.2) Provaremos que a relação é de ordem. Com efeito, Tricotomia: como q p, então, pela Proposição 4.4, temos que ou q p 0 ou q p 0, ou q p 0, ou equivalentemente, q como q p r. p ou q p ou q p. Transitividade: p q implica 0 q p, r, então, majorando, 0 q pr p. Assim, 0 r p, ou equivalentemente, Para a definição de um conjunto limitado, o aluno, pode consultar LIMA (2008). Definição 6.4. (Conjunto limitado superiormente) Seja A um conjunto e X A. Diz-se que X é um conjunto limitado superiormente, se existe um s A, tal que x s para todo x X. Observação. Cada s A, satisfazendo a Definição 6.2, chama-se de cota superior (ou majorante) de X. Definição 6.5. (Conjunto limitado inferiormente) Seja A um conjunto e X A. Diz-se que X é um conjunto limitado inferiormente, se existe um r A, tal que x r para todo x X. Observação. Cada r A, satisfazendo a Definição 6.5, chama-se de cota inferior (ou minorante) de X. Definição 6.6. (Conjunto limitado) Seja A um conjunto e X conjunto limitado, se é limitado superior e inferiormente. A. Diz-se que X é um 111

113 Definição 6.7. (Supremo) Seja X A um subconjunto limitado superiormente. Um elemento s A chama-se supremo de X, se s for a menor das cotas superiores de X. Nesse caso, podemos usar a seguinte notação: s sup X (6.3) Definição 6.8. (Ínfimo) Seja X A um subconjunto limitado inferiormente. Um elemento r A chama-se ínfimo de X, se r for a maior das cotas inferiores de X. Nesse caso, usamos a seguinte notação: r inf X (6.4) Definição 6.9. (Axioma do Supremo) Seja A um conjunto ordenado. Então, o axioma do supremo diz: Todo subconjunto não vazio de A, limitado superiormente, admite supremo. Observação. O axioma do supremo nos diz que, se X A, X e X limitado superiormente, então, existe o sup X em A. Esse axioma é também chamado de axioma da completude ou axioma da continuidade. Atividade 6.1 (1) Seja X um subconjunto não vazio de um conjunto ordenado. Suponha que r é uma cota inferior de X, e s uma cota superior de X. Prove que r s. (2) Prove que em o conjunto é limitado inferiormente, e não é limitado superiormente. (3) Assuma que é uma operação sobre A. Complete a Tabela1, para que siga um caminho comutativo. 112

114 unidade6 x y z u x x y u y z z z u x y u x z Tabela 1. A operação Corpos Em álgebra abstrata, um corpo é uma estrutura algébrica. Em algumas bibliografias, no lugar da palavra corpo, usa-se a palavra campo. Definição (Corpo) Seja K um conjunto munido de duas operações chamadas de adição,, e multiplicação,. Dizemos que K é um corpo, se seus elementos satisfazem os seguintes axiomas: Axiomas da Adição (A1) x y zx y z (Associatividade) (A2) x y y x (Comutatividade) (A3) Existe 0 K tal que x0 x (Elemento neutro aditivo) (A4) Para todo xk existe x K tal que x ( x) 0 (Elemento oposto) Axiomas da Multiplicação (M1) xyzx y z (Associatividade) (M2) xy y x (Comutatividade) (M3) Existe 1 K tal que x1 x (Elemento neutro multiplicativo) (M4) Para todo x K, x 0 existe 1 x K tal que x x 1 1 (Elemento inverso) 113

115 Axioma da Adição e Multiplicação (D1) x yz xyx z (Distributividade) Subtração. A operação subtração,, é definida por : KK K xy, xy xy (6.5) Observação. A expressão x y, lê-se: a diferença entre x e y. Divisão. A operação divisão,, é definida por : KK K xy, xy x1 y (6.6) Observação. A expressão x y, lê-se: o quociente de x por y. Pelo Axioma (M4), temos que não existe quociente de x por y, quando y 0. Notação. Em todo corpo é comum usar as seguintes notações: O quociente x y também pode ser escrito como x y. A soma x x será denotada por 2 x, a soma xx x, por 3 x, e assim por diante. O produto x x será denotado por 2 x, o produto xxx, por 3 x, e assim por diante. Exemplo 6.3. O conjunto dos números racionais,, forma um corpo com as seguintes operações: : : p r p r ps rq p r p r pr,, q s q s qs q s q s qs Observação. A soma e o produto no lado direito da igualdade estão dados em. 114

116 unidade6 Proposição 6.1. (Consequências da adição) Seja K um corpo, e xyz,, K. Então, (a) xyxz y z (Cancelamento) (b) xyx y 0 (c) xy0 y x (d) x x Prova. Deixa-se para o leitor. Proposição 6.2. (Consequências da multiplicação) Seja K um corpo, e xyz,, K. Então, (a) Se x 0 e xyx z, então, y z (Cancelamento) (b) Se x 0 e xy x, então, y 1 (c) Se x 0 e xy 1, então, (d) Se 0 x, então, x 1 1 x Prova. Deixa-se para o leitor. 1 y x Proposição 6.3. Seja K um corpo, e xyz,, K. Então, (a) 0x 0 (b) Se x 0 e y 0, então, xy 0 Prova. (c) xyxy x y (d) x y x y 0x0x 00 x0 x. Assim, pelo Axioma A3, 0x 0. (a) (b) Suponha que xy 0. Agora, 1 x 1 e x 1 y y 1, assim, 1 1 x y 1. Desse x y 1 1 modo, xy 1, então, x y Logo, xy x y, de aqui, 0 1, o qual é uma contradição. 115

117 (c) xyxyxxy0y 0. Assim, pela Proposição 6.1c, x y x y Por outro lado, xy yx yx x y. (d) x y x y xy., e pela Proposição 6.1d x y x y. Definição (Corpo ordenado) Um corpo ordenado, K, é um conjunto ordenado, cujos elementos têm as seguintes propriedades: (i) yz xyx z (ii) x0 y0 xy 0 Observação. Se x 0, então, se diz que x é positivo e, se x 0, diz-se x é negativo. Exemplo 6.4. é um corpo ordenado. Verifique, usando a relação de ordem dada em Eq. (6.2). Proposição 6.4. Seja K um corpo ordenado, e xyz,, K. Então, (a) x0 x 0 (b) x0 yz xyx z (c) x0 yz xyx z (d) (e) x 2 0 x 0. Em particular, x y 0 y x Prova. De (a) até (d), deixa-se para o leitor. (e) x 0 implica 1 x 1. Pela parte (d), x Analogamente para y 0, temos, 1 x 0, e pela Definição 6.11(ii), x 1 0 x. 1 0 y. Assim, outra vez, pela Definição 6.11(ii), Pela hipótese, x y, e pela parte (b), x y x y. Comutando, o lado x y x y esquerdo, x y, associando, x y. Pela propriedade do y x x y y x x y 116

118 unidade6 elemento inverso, e pela propriedade do elemento neutro multiplicativo, y x 1 1 e como 1 0 y x y. Finalmente, y x. Definição (Valor absoluto ou Módulo) Seja K um corpo ordenado, e x K, definimos o valor absoluto de x por x x x se x 0 se x 0 Definição (Corpo ordenado completo) Um corpo ordenado completo, se satisfaz o axioma do supremo. K chama-se Exemplo 6.5. é um corpo ordenado que não é completo. Verifique! Atividade 6.2 (1) Define-se o seguinte conjunto: pt t r t : r t, onde p e q0 são polinômios com coeficientes racionais qt Prove que t com as operações usuais de adição e multiplicação formam um corpo. (2) (Desigualdade de Bernoulli) Em todo corpo ordenado K, se n e x 1, vale Prove esta desigualdade. n 1x 1 nx (3) Se n e x 1 num corpo ordenado K, prove que 117

119 n 1x 1 nx (4) Seja K um corpo ordenado, e xy, K, y 0, prove que x y x. y 1 xy x y, ou seja, 6.4. Conjunto dos Números Reais Nesta seção, estudaremos a existência do conjunto dos números reais, a imersão dos racionais nos reais, a propriedade arquimediana e a densidade dos números reais. Teorema 6.1 (Existência dos Números Reais) Existe um corpo ordenado completo,, chamado o Conjunto dos Números Reais. Observação. A construção de será feita a partir de, usando cortes de Dedekind. Prova. Apresentaremos apenas um esboço da demonstração, em oito passos. Para uma prova completa, o aluno, pode consultar RUDIN (1976). A sequência dos Passos 1 a 8 mostra que o conjunto é um corpo ordenado completo. Passo 1 Seja o conjunto cujos membros são subconjuntos de, chamados de cortes. Definição (Corte) Um corte é qualquer conjunto com as seguintes três propriedades: (i) e (ii) Se p, q e q p, então, q (iii) Se p, então, p r para algum r Notação. As letras pqr,,,..., nesta prova, sempre denotarão números racionais, e,,,... denotarão cortes. 118

120 unidade6 Observação. A Propriedade (iii) nos indica que não tem um membro maior. A Propriedade (ii) implica dois fatos que serão usados com liberdade: (a) p q p q (b) r rs s Passo 2 Definição de Ordem em. Definição Sejam,, então,, se, e somente se, é um subconjunto próprio de (6.7) Verifica-se que a relação é de ordem em, seguindo a Definição 6.2. Assim, é um conjunto ordenado. Passo 3 O conjunto ordenado satisfaz o axioma do supremo. Para demonstrar isso, considere X um subconjunto não vazio de, e assuma que é uma cota superior de X. Define-se,, (6.8) X isto é, p, se, e somente se, p para algum X (6.9) Verifica-se que e sup X. Passo 4 Definição de Adição em. Definição Sejam,. Definimos a soma de e por rs: r e s (6.10) O elemento neutro aditivo, denotado por 0, é definido por 119

121 0 r : r 0 (6.11) e é obviamente um corte. A operação de adição, dada em Eq. (6.10), satisfaz todos os axiomas da adição de um corpo. Passo 5 é um corpo ordenado (parte 1). O item (i) da Definição 6.11, em termos de cortes, seria: (6.12) Com efeito, pela Definição 6.15, implica. Sejam r e s, então, rs (Definição 6.16). Como s, então, s. Assim, rs. Logo, existem três possibilidades: ou, ou, ou. A primeira possibilidade é uma contradição, pois, pela propriedade de cancelamento em Proposição 6.1a, temos que. A segunda possibilidade é obviamente falsa, pois. Só nos resta a terceira da qual temos, pela Definição 6.15, que. Passo 6 Definição da Multiplicação em (parte 1). A multiplicação em é um pouco mais elaborada que a adição, isso se deve a fato de que o produto de racionais negativos é positivo. Comecemos, primeiro, definindo a multiplicação em, isto é, em : 0 (6.13) Definição Sejam,. Definimos o produto e por p : p rs para alguns 0 r, 0 s (6.14) O elemento neutro multiplicativo, denotado por 1, é definido por 1 q : q 1 (6.15) 120

122 unidade6 A operação de multiplicação, dada em Eq. (6.14), satisfaz todos os axiomas da multiplicação de um corpo. Além disso, o Axioma D1, também, é verificado. Passo 7 Definição da Multiplicação em (parte 2). Completaremos, agora, a definição de multiplicação para todo, estabelecendo que (6.16) e, com ajuda da definição em Eq. (6.14), temos o produto de e para os outros casos:, se 0, 0, se 0, 0 (6.17), se 0, 0 Observação. Segundo o Passo 6, temos provado que satisfaz os axiomas da multiplicação e o Axioma D1 de um corpo. Agora é bem simples prová-los para todo, ao utilizar a propriedade (d) da Proposição 6.1, isto é,, onde. Verifica-se, também, o Axioma D1 para todo. Passo 8 é um corpo ordenado (parte 2). O item (ii) da Definição 6.11, em termos de cortes, seria: (6.18) Demonstrarei que, se p 0, então, p. Com efeito, pela Eq. (6.11), p 0 implica p e p 0. Pela hipótese, temos que p e p. Assim, 2 0 p e p Por outro lado, 1, então, pela Definição 6.17, p. 2 p p p 2 Conclusão. Pelos Passos 3 e 8 e Definição 6.13, concluímos que completo. é um corpo ordenado 121

123 Teorema 6.2 ( subcorpo de ) O conjunto dos números racionais é um subcorpo do conjunto dos números reais. Prova. Para todo r, defina-se seguinte conjunto: r p : p r (6.19) Prova-se que esse conjunto é um corte (verifique!!). Logo, r. Observação. O corte em Eq. (6.19) é chamado de corte racional. Notação. Denotaremos o conjunto de todos r por r : r é um corte racional (6.20) Observação. De Eq. (6.20), temos que. A seguinte função f : r f r r (6.21) define um isomorfismo de sobre. De fato, provaremos que (a) f preserva as operações de adição, multiplicação e ordem. (b) f é bijetora. Prova de (a). (i) f rs f r f s, isto é, rs r s. Com efeito, seja p r s, então, pr s. Assim, existe um k 2t, tal que pk r s, ou p r s 2t, ou p r t s t. Sejam r r t e s s t. Assim, r r e s s e, portanto, prsr s. Inversamente, seja pr s, então, p u v, onde u r e v s. Assim, pela Eq. (6.19), u r e v s. Agora majorando, temos que 122

124 unidade6 p u v r s. Logo, pr s. (ii) f r s f r f s rs f r f s. Deixa-se para o leitor.. Deixa-se para o leitor. (iii) Prova de (b). (i) r s f r f s. Com efeito, se r s, então, r s ou s r. Como se preserva ordem, temos que f r f s ou f s f r. Assim, f r f s Pela definição da função, Eq. (6.21), f é obviamente sobrejetora.. (ii) Com isso, podemos dizer e são isomorfos e denotamos. Agora, como, temos que o conjunto dos números racionais é um subconjunto dos números reais, isto é, (6.22) E como é um corpo (Exemplo 6.3), finalizamos, dizendo que é um subcorpo de Observação. Podemos obter, também, o conjunto dos números irracionais, como sendo todos os elementos do conjunto. Notação. O conjunto de todos os números reais positivos é denotado por O conjunto de todos os números reais negativos é denotado por.. O conjunto dos números reais, sem o número zero, é denotado por. Teorema 6.3 (Propriedade Arquimediana) Se xy, e x 0, então, existe n, tal que Prova. Deixa-se para o leitor. nx y Teorema 6.4 ( é denso em ) Se xy, e x y, então, existe r, tal que xr y 123

125 Prova. Deixa-se ao leitor. Teorema 6.5 (Existência raiz n -ésima) Para todo x e para todo n existe um único y, tal que n y x Notação. Esse número y também pode ser escrito como n x, ou Prova. Deixa-se ao leitor. 1/n x. Observação. O Teorema 6.5 supera a irracionalidade de 2, apresentada no conjunto dos números racionais. De fato, seja x 2 e n 2, então, existe um único y, tal que y 2. Atividade 6.3 (1) Se A é um conjunto não vazio de números reais limitado inferiormente. Se A é o conjunto de todos os números x, onde x A. Prove que inf Asup A (2) Se xy, e n, então, 1/ n 1/ n 1/ n xy x y. (3) Seja b 1. (a) Se mn,, pq,, n 0, q 0 e r m n p q, prove que m n p b b 1/ 1/ q. r p Portanto, faz sentido definir 1/n b b. r s r s (b) Prove que b bb, se r e s são racionais. (4) Sejam xy,. Prove que se tem x y xy

126 unidade 7 Unidade VII Funções Objetivos Aplicar o conceito de função em situações reais. Calcular domínio e imagem de funções polinomiais, racionais, logarítmicas, exponenciais e trigonométricas. Esboçar o gráfico das funções polinomiais, racionais, logarítmicas, exponenciais e trigonométricas. Encontrar a inversa de uma função. 125

127

128 unidade Introdução Da Teoria de Relações, estudadas no Capítulo 3, podemos dizer, grosso modo, que uma função é uma relação entre dois conjuntos de variáveis, de tal modo que, a cada valor do primeiro conjunto, associamos exatamente um valor do segundo conjunto. Vamos compreender que existem diferentes maneiras de expressar uma função Por uma tabela Aerograma internacional. A Tabela 1 representa uma função que relaciona as variáveis: preço em R$ e produtos internacionais. Tabela 1. Aerograma internacional 1. Vigência: 09/03/2007 Produtos Internacionais Preço em R$. Aerograma Internacional 1,70 Envelope Pré-franqueado Carta Mundial 20g 2,00 Envelope Pré-franqueado Carta Mundial 50g 3,70 Envelope Pré-franqueado Carta Mundial 100g 6,70 Cupom-Resposta Internacional 5,00 Preços de Artigos. A Tabela 2 também representa uma função. Tabela 2. Preços de Artigos. Número de Artigos Custo operacional diário em R$ O Cupom Resposta Internacional adquirido no exterior, além de poder ser trocado por selos (no valor equivalente a um documento prioritário de 20g para o país escolhido), também pode ser trocado por um aerograma internacional ou um envelope pré-franqueado Carta Mundial 20g. 127

129 Por uma lei que rege a relação (Regra) Exemplo 7.1. Para obter o custo operacional diário, no item exposto anteriormente, (Tabela 2) para 0, 1, 2, 3 ou 4 unidades, multiplique o número de itens por 200 e adicione 500 ao resultado Por uma equação Para obter o custo diário, no Exemplo 7.1, teremos: y 200x 500 Note que x representa o número de artigos, e y representa o custo operacional diário. Observação. Embora uma função possa ser representada por uma equação, nem toda equação representa uma função Por um gráfico Os gráficos mostrados nas figuras 1, 2 e 3 são exemplos de funções. Figura 1. Crescimento saudável. Fonte: Reportagem Natália Cuminale. 128

130 unidade7 Figura 2. Quantidade alunos e quantidade de cursos, em cada mês, no decorrer do ano de Escola de Extensão na Unicamp. Figura 3. Evolução da anomalia da temperatura média da Terra, desde 1850, Temperatura Global Função Depois de ter dado alguns exemplos que representam funções, passaremos a formalizar esse conceito. 129

131 Definição 7.1. (Função) Sejam X e Y dois conjuntos. Definimos uma função f como a correspondência de um elemento de X, com um único elemento de Y. O conjunto X chama-se conjunto de partida de f, e Y, conjunto de chegada de f. Simbolicamente: f : X Y x y f x Observação. (a) O elemento y Y é único, ou seja, não existem dois elementos em Y para um mesmo elemento x X. Isto é, f x f x x x (7.1) (b) O conjunto de chegada Y é, também, chamado Contradomínio de f. Quando se define uma função, imediatamente aparecem três conceitos básicos: domínio, imagem e gráfico Domínio e imagem de uma função Definição 7.2. (Domínio de uma função) O domínio de uma função f, denotado por D f, é definido por D xx : yy, y f( x) (7.2) f Observação. O que significa, então, encontrar o domínio de uma função, quando se conhece a sua lei de formação? Fique atento!!! Significa que teremos que encontrar o maior conjunto, isto é, o conjunto cujos elementos são todos os possíveis valores x para os quais existe um único y em correspondência. 130

132 unidade7 Definição 7.3. (Imagem de uma função) A imagem de uma função f, denotada por Im f, é definida por Observação. (a) Em geral, Df (b) O conjunto f y Y x X y f x Im :, ( ) (7.3) X e Im f Y. Im f é denotado, também, por f f D. Exercício 7.1. Dados os conjuntos A 1, 0,1, 3 e B 1,0,1, 2,3,6,7 conjunto imagem da função f : A B, definida por f x 2x 1.. Determinar o Solução. Avaliando f em cada elemento de A, f f f f Assim, Df Figura 4. Esquema que representa a f. A e Im f 1,1, 3, 7 B, como se mostra na Figura 4. Exercício 7.2. Encontre o domínio e imagem da seguinte função: Solução. Observe que para 5 D f f x x 4. x 5 x não existe um y, tal que y f 5. Então,. Por outro lado, para qualquer x Df não há problema com y f x \ 5 Assim, Im f.. 131

133 Atividade 7.1 (1) Encontre o domínio das seguintes funções. (a) 1 y x 5 (b) y 4x 17 (c) x 9 (d) y 2 x 99 Resposta. (a) \ 5. (b). (c) 9,. (d) Gráfico de uma função Devemos ter presente que nem toda representação gráfica representa uma função!!! Para rapidamente identificarmos se um gráfico é uma função, basta imaginarmos retas verticais, paralelas ao eixo y, passando pelos elementos do domínio. Se todas as retas que imaginarmos, tocarem o gráfico, em apenas um ponto, será uma função. Isso porque, com esse recurso, identificamos que, para cada x (elemento do domínio), associa-se apenas um y (imagem de x ). Abaixo, alguns esboços de gráficos para uma reflexão sobre o conceito de função. (a) Figura 5. Esboços do gráfico de uma função. (a) x (b) g y. (b) y f x. 132

134 unidade7 Observe que, na Figura 5a, o esboço não representa o gráfico de uma função y f x, pois as retas pontilhadas cortam o esboço em mais de um ponto. Contudo, representaria o gráfico de uma função função x g y. Já, na Figura 5b, o esboço representa o gráfico de uma y f x. As retas imaginadas (pontilhadas) tocam o gráfico uma única vez. Definição 7.4. (Gráfico de uma função) Seja f : X Y uma função. O gráfico de f denota-se Observação. G f, é definido por 2 Gf ( xy, ) : y f x e x Df (7.4) (a) (b) Quais pontos devem ter prioridade? Parece ser importante identificarmos os pontos em que o gráfico intercepta os eixos. Que particularidades teriam os pontos do plano que estão sobre os eixos? Reflitam... i. Os pontos sobre o eixo das abscissas são do tipo x,0, isto é, y 0. ii. Os pontos sobre o eixo das ordenadas são do tipo 0, y, isto é, x 0. (c) (Zeros ou raízes de uma função) Todo elemento x Df chamado de zero ou raiz de f. f x é, tal que 0 Exercício 7.3. Obtenha o gráfico da seguinte função: f x 2x 1 (7.5) Solução. (i) Pontos que interceptam o eixo x. Esses pontos são obtidos da equação 2x 1 0. Assim, o único ponto de intersecção é P1 1/ 2,0. (ii) Pontos que 133

135 interceptam o eixo y. Fazendo 0 x, na função, obtemos o ponto P 2 0,1 equação dada é a de uma reta, então, dois pontos são suficientes. Veja Figura 6.. Como a Figura 6. Gráfico de y2x Operações com Funções Considerem-se duas funções: f e g, tal que Df Dg. Definição 7.5. (Soma de Funções) fg( x) f( x) gx ( ), xdf Dg (7.6) Definição 7.6. (Multiplicação de Funções) fg( x) f( x) gx ( ), xdf Dg (7.7) Definição 7.7. (Quociente de Funções) onde Df / g x Df Dg: gx ( ) 0. f( x) f / g( x), (7.8) gx ( ) 134

136 unidade Função Polinomial e Função Racional Função polinomial Definição 7.8. (Função Polinomial) Uma função polinomial de grau n, f : é definida por onde, ai, i 0,..., n e an 0, n. 2 f x a ax ax ax Casos particulares de funções polinomiais n f x a0 ax 1 ax 2 ax n, (7.9) Definição 7.9. (Função Cúbica) Uma função polinomial de grau 3 é chamada uma função cúbica, isto é, Note que o coeficiente a f x a axax ax (7.10) Exemplo 7.2. Esboce o gráfico da seguinte função cúbica: 3 2 é mostrado na Figura 7. f x x 2x x 1. O gráfico f x x 2x x 1. Figura 7. Gráfico de 3 2 Observação. Toda função cúbica tem pelo menos uma raiz e, no máximo, três raízes. 135

137 A função cúbica mais conhecida é a que passa pela origem. Veja o próximo exemplo. Exemplo 7.3. Esboce o gráfico da função cúbica: y 3 x. O gráfico é mostrado na Figura 8. Definição função quadrática, isto é, Note que o coeficiente a2 0. Figura 8. Gráfico da função cúbica. (Função Quadrática) Uma função polinomial de grau 2 é chamada 2 f x a ax ax (7.11) Observação. O gráfico de uma função quadrática é chamado de parábola. Exemplo 7.4. Esboce o gráfico da seguinte função quadrática: 2 é mostrado na Figura 9. f x x x 2. O gráfico f x x x 2. Figura 9. Gráfico da função 2 136

138 unidade7 Definição (Função Afim) Uma função polinomial de grau 1 é chamada função afim, isto é, fx a0 ax 1, (7.12) onde a1 0. Observação. (a) A constante a 1 é chamada de coeficiente angular, e a 0, de coeficiente linear. (b) O gráfico de toda função afim são retas com coeficiente angular não nulo. Exemplo 7.5. A função dada em Eq. (7.5) é uma função afim. Um caso particular de função afim é a função linear. Definição (Função Linear) Uma função afim, com o coeficiente linear nulo, é chamada de função linear, isto é, Exemplo 7.6. Esboce o gráfico da função linear: 2 Figura 10. fx ax 1 (7.13) f x x. Esse gráfico é mostrado na Figura 10. Gráfico de f x 2x. Figura 11. Gráfico de f x x. 137

139 Definição (Função Identidade) Uma função linear, com coeficiente angular igual à unidade, é chamada de função identidade, isto é, ix x (7.14) para todo x D. i Exemplo 7.7. O gráfico da função identidade, ix x, é mostrado na Figura 11. Definição (Função Constante) Seja a0 uma constante. A função constante é definida por f x a0 (7.15) para todo x D. f Exemplo 7.8. Esboce o gráfico da função constante y 3/2. Na Figura 12, mostramos seu gráfico. Definição (Função Nula) Uma função f : é chamada função nula, se para todo x D, temos f O gráfico da função nula é mostrado na Figura 13. f x 0 (7.16) Figura 12. Gráfico de y 3/2. Figura 13. Gráfico da função nula. 138

140 unidade Função racional Definição (Função Racional) Uma função é dita racional, se ela é o cociente entre duas funções polinomiais, isto é, f x p x (7.17) q x onde p x e q x são polinômios, e qx 0. Observação. O domínio da função racional f x é dado por D x : qx ( ) 0 f : ( ) 0. Exemplo 7.9. Esboce o gráfico da seguinte função racional mostramos seu gráfico. Observe que o Df e a Im f \ 1 \1 x 1 y. Na Figura 14, x 1. Figura 14. Gráfico da função x 1 y. Figura 15. Gráfico da função x 1 y x

141 7.5. Função Valor Absoluto e Função Raiz Quadrada Função valor absoluto Definição (Função Valor Absoluto ou Função Módulo) A função valor absoluto é definida por uma f :, tal que x se x 0 f x x x se x 0 (7.18) Note que D e Im f 0, f. Exemplo Esboce o gráfico da seguinte função y x1 2. O gráfico é mostrado na Figura Função raiz quadrada Definição (Função Raiz Quadrada) A função raiz quadrada, f :, é definida por para todo x 0. O gráfico dessa função é mostrado na Figura 16. f x x (7.19) Figura 16. Função raiz quadrada. 140

142 unidade Propriedades das Funções Função crescente e decrescente Definição (Função Crescente) Seja f : uma função. Então, f é crescente em I D, se f Exemplo A função f x 2x 4 x, x I, x x f x f x (7.20) é crescente. De fato, sejam x1, x2, tal que x1 x2. Então, f x 2x 42x 4 f x. Logo, f x f x Veja Figura Definição (Função Decrescente) Seja f : uma função. Então, f é decrescente em I D, se f x, x I, x x f x f x (7.21) Exemplo A função f x 1/ x é decrescente. De fato, sejam x, x \ 0 x x. Sabemos que x x 1/ x 1/ x 1 2. Logo, f x f x Veja Figura 18., tal que Figura 17. Gráfico de f x 2x 4. Figura 18. Gráfico de 1/ f x x. 141

143 Exercício 7.4. Analise o crescimento e o decrescimento da parábola y 2 x. Solução. O vértice da parábola é a origem. Assim, podemos dividir o subintervalos, isto é,,0 0, D f em dois Df. Sejam x1, x2,0, tal que x1 x2. Então, x x x 2 x 2 x 2 x 2. Assim, f x f x considere, 0, x1 x2 tal que x1 x2. Então, x a parábola é crescente para todo x 0 e decrescente para todo x 0. Atividade 7.2. Analogamente, x. Assim, f x f x. Portanto, 1 2 (1) Analise o crescimento e o decrescimento da parábola y x Função injetora, sobrejetora e bijetora Definição (Função Injetora ou Injetiva) Seja f : X Y uma função. Dizemos que f é injetora em W X, se para todo x1, x2 W, f x f x x x (7.22) Observação. A Eq. (7.22) pode interpretar-se do seguinte modo: f associa elementos distintos de W a elementos distintos de Y. Exemplo A função definida no Exercício 7.1 é injetora. Exemplo A parábola y 2 x é injetora em 0,, pois, se x, x 0,, 1 2 x x, então, x1 x2. Assim, x1 x2. Definição (Função Sobrejetora ou Sobrejetiva) Seja f : X Y uma função. Dizemos que f é sobrejetora, se Im f Y (7.23) 142

144 unidade7 Dessa definição, podemos dizer, equivalentemente, que f é sobrejetora, se Exemplo Sejam A 1,0,1, 2, 1, 2, 5 yy, xd / y f x (7.24) f B e f : A B f x x 1. definida por 2 Verifiquemos que f é sobrejetora. Com efeito, avaliemos f nos elementos x A: f f f f Na Figura 19, podemos observar cada um desses valores. Desse modo, temos que f A B. Figura 19. Relação entre elementos de A e B via f. Definição (Função Bijetora ou Bijetiva) Seja f : X Y uma função. Dizemos que f é sobrejetora, se, e somente se, f é injetora e sobrejetora. Observação. Através do gráfico da função, podemos reconhecer se f é ou não bijetora. Para isso, vamos traçar retas paralelas ao eixo x pelos pontos que pertencem ao contradomínio da função. Se cada uma dessas retas interceptar o gráfico em um único ponto, a função é bijetora. Exemplo Na Figura 20a, a função f é bijetora, pois é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Exemplo Na Figura 20b, a função não é bijetora, pois é sobrejetora, mas não é injetora, pois existem valores distintos do domínio com imagens iguais. 143

145 (a) (b) (c) Figura 20. Gráficos de funções. (a) Bijetora. (b) Não é bijetora. (c) Não é bijetora. Exemplo Na Figura 20c, a função não é bijetora, pois é injetora, mas não é sobrejetora, pois a imagem não coincide com o contradomínio Função par e ímpar Definição (Função Par) Uma função f : é par, se para todo x Df, f x f x (7.25) Exemplo A função f x x é par, pois f x x x f x. Exemplo A função f x x 1 é par, pois f x x 1 x 1 f x. Observação. O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo das ordenadas, isto é, toda reta paralela ao eixo x corta o gráfico simetricamente. Definição (Função Ímpar) Uma função f : é ímpar, se para todo x Df, f x f x (7.26) 144

146 unidade Exemplo A função f x x é ímpar, pois f x x x f x. Exemplo A função f x 2x é ímpar, pois f x 2 x 2x f x. Observação. O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem de Observação. Uma função que não se classifica em nenhum desses casos, isto é, uma função que não é par nem ímpar, é chamada função sem paridade Função composta Antes de definir a composição de duas funções, considere a Figura 21. Nela, pode-se observar que a composição de funções f g está bem definida, se Img D. f 2. Figura 21. Composição de funções. Definição (Função Composta) Sejam f : X Y e g: Z X duas funções, tais que Im g para todo Observação. D. Então, definimos a função composta h f g : Z Y como f xdh Z. ( ) hx f g x f gx (7.27) (a) A primeira igualdade na Eq. (7.27) é devido ao fato de que a composição de funções é outra função. Assim, podemos denotar f g por h. 145

147 (b) A notação f g lê-se: f composta com g. 2 Exercício 7.5. Sejam f x x 1 e gx x O valor de x pelo qual f gx g fx. Solução. (a) f g. Pela Eq. (7.27), 2 3. Determine: (a) f g, (b) g f e (c) h1 x f g x f gx ( ) f2x 3 2x x 1 (b) g f. Pela Eq. (7.27), (c) f gx g fx 2 h2 x g f x g f( x) g x1 2 x1 3 2, se, e somente se, x x , ou equivalentemente,. Assim, x 1/ x 2 2x 4x 2 3 Exercício 7.6. Sendo f x 3x 1 e f gx 6x 8. Determine Solução. f gx fgx ( ) 3gx 16x 8. Então, gx 2x 3. g x. 2 Exercício 7.7. Se f x x 5x 6 e gx x 1, resolva a equação 0 2 Solução. De f gx 0, temos x x Assim, x 2 ou x 1. 2 x x x x Função inversa f g x , ou equivalentemente, Definição (Inversa de uma Função) A inversa de uma função f : X Y, denotada por f 1 : Y X, é tal função que satisfaz 1 1 f f f f i (7.28) Note que i: X X é a função identidade. 146

148 unidade7 Exemplo A função é a inversa da função afim, 1 1 b f x x a a f x ax b, pois Por outro lado, b 1 b f f x f f x f x a x b x i x a a a a b f f x f f x f ax b ax b x i x a a Teorema 7.1 f : X Y é sobrejetora, se, e somente se, existe f 1 : Y X. Prova. A ida: Se f é sobrejetora, então, y Y,!x X então, isso define uma função g: Y, tal que y f x. Seja x g y, X, tal que g f( x) x, x X. Assim, g fx ix. Desse modo g f i. Por outro lado, se x g y, então, ( ), ou equivalentemente, y f g y i y f g y f x f gy f g y. Desse modo, f g i. Portanto, existe f g 1. A volta: (Deixa-se ao leitor). Exercício 7.8. Encontre a inversa de 2 f x x1 4. Solução. Será que f é injetora? Analisemos, primeiro, para todo x1, x2, 2 2 f x f x x 1 4 x 1 4 x 1 x 1 x x x 2 x (7.29) Assim, f não é injetora. Porém, se analisássemos para todo x, x 1, Eq. (7.29), que x1 x2 1 2, teríamos, de. Consequentemente, f é injetora. E, também, : 1, 4, f é sobrejetora. Assim, f é bijetora. Logo, existe f 1 : 4, 1,. Denotemos por g x a inversa de f x. De Eq. (7.28), temos 2 2 f g x fg x gx ( ) 1 4 x gx ( ) 1 x4 gx ( ) 1 x4 147

149 Como gx ( ) 1. Então, gx ( ) x4 1. Veja Figura 22. Figura 22. f e 1 f. Atividade 7.3 (1) Considere a mesma função do Exercício 7.8. Verifique que f é bijetora em,1 e encontre sua inversa Função Exponencial Definição (Função Exponencial) Sejam a 0 e a 1. Definimos a função exponencial de base a, como f : x f x a x (7.30) Observação. ponto 0,1. Df e Im f. Toda função exponencial, Eq. (7.30), passa pelo 148

150 unidade Propriedades da função exponencial (a) A função exponencial é bijetora. Segue imediatamente do resultado de que potências de igual base são iguais. Assim, x1 x2 f x f x a a x x E, como por definição, a função é sobrejetora. Portanto, f é bijetora. (b) A função exponencial é decrescente para 0a 1. Isto é, x x a a x1 x2 1 2 (c) A função exponencial é crescente para a 1. Isto é, x x a a x1 x2 1 2 (d) A função exponencial é ilimitada. É só olhar a Im f. Na Figura 23, mostramos a função exponencial: f x 1/2 x (decrescente), e f x 2 x (crescente). Figura 23. Função exponencial: f x 1/2 x e f x 2 x. Exercício 7.9. Construa todos os gráficos das seguintes funções exponenciais onde a A 2, 4,6,8,10. y x a, 149

151 Solução. Na Figura 24, mostramos todos esses gráficos. Observe, primeiro, que todas elas são crescentes e passam pelo ponto 0,1, além disso, cada vez que a base aumenta, a inclinação da função exponencial aumenta. Atividade 7.4 Figura 24. Gráfico da família de funções exponenciais. (1) Construa o gráfico da família de funções de exponenciais aa 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, 1/20. x y a, onde (2) O que muda no gráfico da função exponencial y 2e x em relação ao gráfico da função y e x, onde e é o número de Euler Função Logarítmica Logaritmos Definição (Logaritmo) Sejam ab, 0, b 1. Definimos o logaritmo de a em base b, denotado por log b a, ao expoente x, tal que x b a, isto é, xlog a b x a (7.31) b 150

152 unidade7 x x 1 2 Exemplo O log5 1/ 25 é 2, pois log 1/ 25 x 5 1/ Assim, x Logaritmo decimal e natural. 5. Alguns logaritmos recebem nomes especiais para determinadas bases. Se a base é 10, o logaritmo de a é dado por log10 logaritmo é chamado de logaritmo decimal. a, o qual é denotado por log a. Esse Se a base é e, o logaritmo de a é dado por log e a, o qual é denotado por ln a. Esse logaritmo é chamado de logaritmo natural Propriedades dos logaritmos (a) log b b 1 (b) logb1 0 y (c) log a ylog a (d) b log b a b a (e) log Alog Blog AB b b b b (f) log b logr a a (Mudança de base) log b r Função Logaritmo x Da Propriedade 7.6.6a, temos que a função exponencial f x a é bijetora. Assim, existe sua inversa. Essa função inversa é chamada de função logaritmo de base a. Mais x x especificamente, ya log ylog a x log y. Fazendo x y, temos a a a y log a x. Com esse resultado, podemos definir a função logaritmo. 151

153 Definição (Função Logaritmo) Seja a 0, a 1. Definimos a função logaritmo de base a, denotado por log a x, por f : x f x log a x (7.32) Observação. 1, 0. Df e Im f. Toda função logarítmica, Eq. (7.32), passa pelo ponto Propriedades da função logaritmo (a) A função logaritmo é bijetora. Segue imediatamente do resultado de que potências de igual base são iguais. Assim, x f x f x log x log x log 0 x x a 1 a 2 a 1 2 x2 E, como por definição, a função logaritmo é sobrejetora. Portanto, f é bijetora. (b) A função logaritmo é decrescente para 0a 1. Com efeito, seja y1 log a x1 e y y1 log a x. Assim, a 2 2 y2 x e a 1 x2, respectivamente. Por hipótese, 1 2 x x. y1 y2 Então, a a. Como 0a 1, temos y2 y1, ou equivalentemente, log a x log x. 2 a 1 (c) A função exponencial é crescente para a 1 (Procede-se de forma análoga como no item b). (d) A função logaritmo é ilimitada. É só olhar a Im f. Na Figura 25, mostramos as funções logarítmicas: 1/10 f x log x (crescente). f x log x(decrescente) e 152

154 unidade7 Exercício (a) Determine a inversa da seguinte função domínio da função inversa. Solução. x 2 f x. (b) Qual é o x 1 2 x 2 y y y y y1 = y 2 xlog x 12 1y 1y. x x x x (a) 2 x Agora, fazendo y x, y log2 1 x. Assim, 1 f x x log 2 1 x. (b) Para que uma função logarítmica seja bem definida, o argumento deve ser positivo, x isto é, 0 1 x. Ou que é equivalente, x 0 1 x 0 x 0 1 x 0, ou equivalentemente, 0,1 0,1. Logo, 1 0,1 D. f Figura 25. Funções logarítmicas. y log1/10 x e y log x Funções Trigonométricas As funções trigonométricas são: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante Função seno Definição (Função Seno) A função seno, f :, é definida por f x sen x (7.33) 153

155 Domínio, imagem, pontos de interseção e gráfico: D, Im 1,1 f f, x n, n. O gráfico é mostrado na Figura Função cosseno Definição (Função Cosseno) A função cosseno, f :, é definida por Domínio, imagem, pontos de interseção e gráfico: f x cos x (7.34) D, Im 1,1 f f, xn /2, n. O gráfico é mostrado na Figura 27. Figura 26. Função seno. Figura27. Função cosseno Função tangente Definição (Função Tangente) A função tangente, f :, é definida por Domínio, imagem, pontos de interseção e gráfico: f 2 n 1 D \ x x n :, 2 na Figura 28. \ :,, f x tg x (7.35) Im f, x n, n. O gráfico é mostrado 154

156 unidade Função cotangente Definição (Função Cotangente) A função cotangente, f :, é definida por Domínio, imagem, pontos de interseção e gráfico: f \ :,, D x x n n Figura 29. f x cotg x (7.36) Im f, xn /2, n. O gráfico é mostrado na Figura 28. Função tangente. Figura 29. Função cotangente Função secante Definição (Função Secante) A função secante, f :, é definida por Domínio, imagem, pontos de interseção e gráfico: f 2 n 1 D \ x x n :, 2 f x sec x (7.37) \ :,, Im, 1 1, com o eixo x. O gráfico é mostrado na Figura 30. f, não existe interseção 155

157 7.9.6 Função cossecante Definição (Função Cossecante) A função cossecante, f :, é definida por Domínio, imagem, pontos de interseção e gráfico: f \ :,, Im, 1 1, D x x n n eixo x. O gráfico é mostrado na Figura 31. f x cossec x (7.38) f, não existe interseção com o Figura 30. Função secante. Figura 31. Função cossecante Fórmulas para funções trigonométricas (a) sen xy sen x cos y sen y cos x (f) sen xsen y cos( xy) cos( x y) (b) sen xy sen x cos y sen y cos x (g) cos xcos y cos( x y) cos( x y) (c) cos xy cos x cos y sen x sen y (h) sen xcos y sen( x y) sen( x y) cos xy cos x cos y sen x sen y (i) (d) (e) sen x sen x, cos x cos x (j) cos 2x sen x cos 2x cos x 2 156

158 unidade Função periódica Definição (Função Periódica) Dizemos que uma função, f :, é periódica, se existe um 0 f tem período T. T, tal que f x T f x, para todo x Df. Nesse caso, dizemos que Exemplo Todas as funções trigonométricas são periódicas e têm período 2. Exercício Prove que Acos xbsen xccos x, (7.39) onde AB, são constantes, Solução. Sabemos que De Eq. (7.39) e Eq. (7.40), 2 2 C A B e tg B. A cos x cos x cos sen sen x. Então, Ccos x Ccos cos x Csen sen x (7.40) Acos xbsen x Ccos cos x Csen sen x (7.41) Agora, dizer que Eq. (7.39) é verdadeira é equivalente a dizer que A Ccos B Csen (7.42) De Eq. (7.42), A C cos e A B C cos sen. Logo, B Assim, tg. A B C sen. Somando membro a membro, temos 2 2 C A B. Também, de Eq. (7.42), B Ccos. A Csen 157

159 Atividade 7.5 (1) Mostre que a função, 2 y: 1 y 1. f x x/ x 1, x, é bijetora de sobre (2) Dê um exemplo de duas funções f, g de variável real e valores reais tal que f (3) Seja x g, porém f g g f. 1 x log 1 x a b a b ab.. Provar 1 (4) Construa os gráficos das seguintes funções: (a) (e) (i) y sen x 4. (b) cos y x 3. (c) 1 y tg x 2. (d) 1 y cotg x 4. y 2 x2. (f) 2 y 4cosx 2. 1 y log. (g) y log2 x. (h) y 3sen 2x x 3. (5) Expresse f como a soma de uma função par e uma função ímpar, onde f x x 2x x 5x 7 3 (6) Mostre que a função f x x é injetora. (7) A reflexão do gráfico de y f x é o gráfico de y f x esboce o gráfico de f e o gráfico de sua reflexão:. Em cada um dos itens, (a) y 3 x. (b) y 2 x. (c) y x. (d) 3 y x 4x. (e) 2 y x 2x. (f) y x x 1. (g) (h) y 3x 6 y x x. (i) x y x se x 0. 1 se x0 (8) Expresse y3sen 2x 4cos 2x na forma y Csen 2x ou 158

160 unidade7 y Ccos 2x. (9) Encontre o período das seguintes funções: (a) y 2sen 4t. (b) y2cos 6t. (c) y 3sen 6t. (d) y 3sec2t 3. (10) Se cos f x x, prove cos 1 sen f x k f x cos k x sen x k k k k. 159

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162 PARA FINAL DE CONVERSA Depois de um árduo caminhar pelo começo das longas e desafiantes estradas da Matemática, esperamos que o material tenha sido de bom proveito e lhe sirva de motivação e base para as disciplinas subsequentes de um curso de Matemática. Os Autores 161

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164 REFERÊNCIAS BARTLE, ROBERT G.; SHERBERT, DONALD. R. Introduction to Real Analysis, Third Edition, John Wiley Sons, COHEN LEON W. e EHRLICH GERTRUDE. The Structure of the REAL NUMBER SYSTEM. Van Nostrand Reinhold Company NY, CRESCIMENTO SAUDÁVEL. em: 02/10/2011. Acesso EBBINGHAUS, H.-D. et al. Numbers. Springer-Verlag, NY, ESCOLA DE EXTENSÃO. Acesso em: 02/10/2011. HIPPASUS OF METAPONTUM (ano 500 a.c). Em: Acesso em: 26/03/2011. JUSCHKEWITSCH, A. P. Geschichte der Mathematik im Mittelalter, dt. Leipzig, LIMA, E. L. Curso de Análise, Vol a edição, Projeto Euclides, IMPA, RJ, LOBEIRO, A. M. Construção dos Reais: Um Enfoque usando Cortes de Dedekind. Publicação eletrônica do KIT. Acesso em: 20/03/2011 MACHADO, J. N. Lógica? É lógico! Coleção Vivendo a Matemática, Editora Scipione, PAPYRUS RIHND, (Hrsg. A. Eisenlohr) Leipzig 1877; A.B. Chace, The Rhind Mathem. Papyrus, Oberlin I 1927, II

165 RIBEIRO P. R. Aritmética dos números reais. Um texto para licenciados e professores de matemática. Publicação eletrônica do Departamento de Matemática, UFSCar Acesso 25/03/2001. RUDIN, W. Principles of Mathematical Analysis. Third Edition. McGraw-Hill, Inc, STIFEL, M. Arithmetica integra, Nurnberg, STRUWE, W. W. Papyrus des staatl. Museums der schönen Künste in Moskau, Quellen u. Studien Al, TEMPERATURA GLOBAL. iros_estao_mais_preocupados&posic=dat_ inc. Acesso em: 02/10/2011. TROPFKE, J. Geschichte der Elementarmathematik, Bd. 1 Arithmetik und Algebra, vollst. neu bearb. von H. Gericke, K. Reich u. K.Vogel, Berlin,