Números inteiros Z ± 7º Ano / 2013

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1 Números inteiros Z ± 7º Ano / 2013 Sobre a origem dos sinais A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes: Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço semelhante ao atual sinal de menos na frente para não se esquecer de que no saco faltavam 8 Kg de feijão. Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados semelhante ao atual sinal de mais na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial. Com essa nova notação, os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo. O conjunto Z dos Números Inteiros Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z Zahlen=número em alemão. Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Exemplos de subconjuntos do conjunto Z a Conjunto dos números inteiros excluído o número zero: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} b Conjunto dos números inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3, 4,...} c Conjunto dos números inteiros não positivos: Z - = {..., -4, -3, -2, -1, 0} Observação: Não existe padronização para estas notações. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

2 Os segmentos de reta OA OA tem uma unidade, OB OB tem 2 unidade e OC OC tem 3. Então cada elemento número do conj. Z é representado por um ponto na reta. Como vimos no conjunto dos números naturais N as letras A,B,C são imagens geométricas dos números 1,2,3. O mesmo ocorre com A,B,C, porém agora associados a 1,-2,-3. Reta Numerada Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira: Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema. Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor. Ordem e simetria no conjunto Z O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta em Z e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta em Z. a 3 é sucessor de 2 b 2 é antecessor de 3 c -5 é antecessor de -4 d -4 é sucessor de -5 e 0 é antecessor de 1 f 1 é sucessor de 0 g -1 é sucessor de -2 h -2 é antecessor de -1 Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0. a O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3. b O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5. Módulo de um número Inteiro O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor máximo entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais. Assim: x = max{-x,x} a 0 = 0 b 8 = 8

3 c -6 = 6 Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem zero na reta numérica inteira. ESTUDO DOS SINAIS MULTIPLICAÇÃO DIVISÃO * * * * : : : : OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS Z Soma adição de números inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder. ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar = +7 perder 3 + perder 4 = perder = -7 ganhar 8 + perder 5 = ganhar = +3 perder 8 + ganhar 5 = perder = -3 Atenção: O sinal + antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal - antes do número negativo nunca pode ser dispensado. a = 0 b = 9 c +5-1 = 4 EXERCÍCIOS 1-O professor de Educação Física organizou um campeonato de futebol de salão entre os alunos das 6 séries. Veja, na tabela, o total de gols que cada time marcou e sofreu nesse campeonato. Times Gols pró Gols contra Saldo de gols 6'A 10 18? 6' ? 6'C 13 17? 6'D 15 7? ME 12 12? Calcule o saldo de gols de cada time. Que equipe ficou com o maior saldo? E com o menor?

4 acalcule o saldo de gols de cada time. bque equipe ficou com o maior saldo? ce com o menor? dque equipes ficaram com saldos opostos? 2-Copie, completando: I - Na comparação de um número um número negativo com zero, o maior é II - Na comparação de um número positivo com zero, o maior é III - Na comparação de um número negativo com um positivo, o maior é IV Na comparação de dois número negativos, o maior é 3-Qual é o número maior: a+230 ou +150? b-230 ou 150 c+230 ou 150? d+230 ou -150? 4-Compare, usando os sinais > ou < a b c d Qual é o número menor: a- 246 ou - 247? b+246 ou - 247? c- 470 ou - 469? d- 470 ou +469? 6-Complete a tabela, utilizando a calculadora para conferir os cálculos: Elimine os parênteses e calcule: a b c d e Eu tinha um saldo de -R$ 520,00 no banco. Depositei R$ 810,00 e paguei com cheques as seguintes contas: Aluguel: R$ 440,00; Supermercado: R$ 180,00. Descontando os cheques, qual será o meu saldo?

5 12- Elimine os parênteses e calcule: a b c Quem fez mais pontos no jogo de dardos? Quantos? Quem fez menos pontos? Quantos? 10-Um campeonato de basquete terminou com três equipes empatadas em 1º lugar. O desempate foi feito pelo saldo de cestas pontos dos jogos entre as três, cujos resultados foram Londrina 88 X 87 Franca Mogi 96 X 92 Londrina Franca 109 X 94 Mogi 1. Qual foi a equipe campeã a que teve o maior saldo 2. Qual foi a diferença entre o saldo de Londrina e Mogi 14-Que número eu devo colocar no lugar do para que a diferença seja -3? a -5 b -3 c -2 d -0 e --3 f Indique + se o resultado for positivo e - se for negativo: Agora, elimine os parênteses e calcule: a b c d Qual é a diferença? a b c d e-2 +4 f-12-1 d-1-5 e Calcule: a b c-4-4 d e f0-7

6 g-4-5 h Complete usando =,> ou < a d o -51 B e C f Resolva: a b c d e f Elimine os parênteses: a b c d 3 1 e f g h i j