CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

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1 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS INTRODUÇÃO um pouco de história Foi difícil a aceitação da idéia da existência de números negativos. Os próprios gregos, na Antiguidade, reconhecidos como grandes pensadores e responsáveis pelo desenvolvimento dado à Geometria, não conheciam o número negativo. Mas os hindus do século VII já usavam quantidades negativas. Um deles, chamado Bramagupta, estabeleceu regras de sinais para operar com números negativos, envolvendo esses números em um pequeno círculo ou usando um apóstrofo sobre eles para distingui-los dos demais. Outro notável matemático hindu, Bháskara, interpretava os números negativos como perda ou dívida. Entretanto, os hindus se recusavam a aceitar que quantidades negativas pudessem ser expressas pela idéia de número. Os árabes, divulgadores e continuadores da cultura matemática hindu, não trouxeram nenhum acréscimo a essa questão. Foi somente por volta do século XII que o italiano Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, em uma obra sobre Álgebra, interpreta a resposta negativa de um problema como número. Fibonacci afirmou: Este problema não tem solução, a menos que interpretemos a dívida como sendo um número negativo. Assim, pouco a pouco, os números negativos foram aceitos como números até que, em 1659 (século XVII), letras foram usadas pela primeira vez para representar tanto os números positivos quanto os negativos. Após muitos séculos, ter se afirmado ser impossível efetuar a subtração a b quando a fosse menor que b (a b), situações cotidianas como as que envolvem indicação de altitudes, profundidade do mar, escalas de temperatura, dívidas, resultados financeiros de uma empresa revelaram o significado de tais subtrações. Números com sinais Explorando situações-problema Imagine um comerciante que trabalha com sacos de trigo de 25 kg cada um. Antigamente, os comerciantes tinham o seguinte hábito: se algum deles vendesse, por exemplo, 20 kg de trigo, desenhava com carvão um traço na frente do número 20 para indicar que naquele saco havia 20 kg a menos que a quantidade original. Por outro lado, se ele, despejasse em outro saco os 5 kg que sobraram, desenhava o número 5 com dois traços em forma de cruz na frente, para indicar que agora havia 5 kg a mais que a quantidade original. Foram procedimentos como esses que auxiliaram os matemáticos na criação de um novo número, o número com sinal: - 20 (lemos menos vinte) expressa uma falta de 20 kg; +5 (lemos mais cinco) expressa um excesso de 5 kg. Elizabeth F. Jammal Página 1

2 Explorando situações-problema 1. Durante uma repentina onda de frio, a temperatura baixou 3 C no primeiro dia; no seguinte, mais 5 C; e no terceiro dia, outros 5 C. No quarto dia, subiu 9 C. Represente, por um número com sinal, quanto a temperatura baixou. Resolução: Vamos utilizar o sinal para indicar as temperaturas que baixaram e com o sinal + as temperaturas que subiram. 1º dia baixou 5 C dia baixou 5 C -5 3º dia baixou 5 C -5 4º dia subiu 9 C +9 Durante os 4 dias a temperatura baixou 13 C e subiu 9 C, podendo ser representado por: = -4. Como o resultado foi negativo, a temperatura baixou 4 C ou -4 C. 2. Um trem parte de uma estação com 180 passageiros. Anotamos os passageiros que sobem em cada estação com o sinal +, e os que descem com o sinal -. Quantos passageiros desembarcaram na última estação? Resolução: Passageiros que subiram = + 285; Passageiros que desceram = = + 70 Desceram na última estação 70 passageiros. Exercícios 1. Fábio tem um saldo de R$ 300,00 na conta corrente. Qual será o saldo (em números positivos ou negativos), se ele: a) retirar R$ 250,00? b) depositar R$ 200,00? c) depositar R$ 100,00 d) retirar R$ 320,00? Elizabeth F. Jammal Página 2

3 2. O gráfico mostra os lucros de uma rede de supermercados no primeiro semestre do ano passado. Você nota que, em alguns meses, ocorreram prejuízos. Podemos considerar que os prejuízos são lucros negativos. Considerando o total do semestre, a empresa teve lucro ou prejuízo? De quanto? 3. Carlos devia a três amigos as seguintes quantias: R$ 45,00, R$ 60,00 e R$ 95,00. Mas outros amigos lhe deviam R$ 25,00, R$ 50,00, R$ 18,00 e R$ 30,00. Qual era a situação financeira de Carlos? 4. Dois tonéis de vinho exibem as anotações: + 18; -41. Transferimos o excesso de vinho do primeiro para o segundo tonel. Qual é a nova anotação do segundo tonel? 5. Um submarino submergiu 12,5 m, depois 23,5 m, e pouco depois 9 m. Em seguida subiu 18 m, submergiu 6 m duas vezes, para depois submergir 3 m. Por fim, voltou à superfície. Qual foi a máxima profundidade atingida pelo submarino? Números Inteiros Os números +1, +2, +3, +4,..., +10,..., +25,..., +100,... são chamados de números inteiros positivos. Os números -1, -2, -3, -4,..., -10,..., -25,..., -100,... são chamados de números inteiros negativos. O conjunto formado pelos inteiros positivos, pelos inteiros negativos e pelo zero é chamado conjunto dos números inteiros. As diferenças a b entre dois números naturais a e b possuem significados distintos, conforme o caso: - quando a b, representa um número natural; - quando a b, representa um número negativo. Números inteiros na reta numérica (representação geométrica) A representação geométrica do conjunto dos inteiros é feita a partir da representação de N na reta numerada; basta acrescentar os pontos correspondentes aos números negativos: Elizabeth F. Jammal Página 3

4 6. Observando a reta numerada calcule: Exercícios a) a distância entre os pontos associados aos números -4 e -2; b) a distância entre os pontos associados aos números -2 e Observe a escala utilizada na figura e dê a altitude ou a profundidade de cada ponto assinalado, em relação ao nível do mar, usando um número negativo ou um número positivo. 8. Um edifício é constituído de 8 andares acima do solo, um andar térreo e três andares abaixo do solo. Os andares acima do solo são indicados com números positivos, o térreo indicado com o número zero e os andares abaixo do solo indicados com números negativos. a) Quantos andares desceu uma pessoa que se encontrava no andar +4 e foi para o andar -3? b) Uma pessoa que se encontrava no andar -3 subiu 10 andares. Em que andar ela se encontra agora? 9. Em uma reta numérica inteira, tomamos dois pontos, A e B, de abscissas 0 e 1, respectivamente, de modo que a distância entre A e B é 4 cm. Qual a distância entre os pontos de abscissa -4 e 5, respectivamente? 10. Sai do ponto de abscissa -5 e andei 8 unidades no sentido positivo e, a partir daí, andei mais 3 unidades no sentido negativo. Qual abscissa do ponto onde parei? Comparação de números inteiros Explorando situação-problema Observe a figura. No termômetro as temperaturas crescem de baixo para cima. Em outras palavras, podemos dizer: Quanto mais afastado do zero estiver representada uma temperatura positiva, mais alta ela será. Quanto mais afastado do zero estiver representada uma temperatura negativa, mais baixa ela será. Elizabeth F. Jammal Página 4

5 No conjunto dos números inteiros podemos observar que: Um número é menor que qualquer número representado à sua direita. Um número é maior que qualquer número representado à sua esquerda. Qualquer número inteiro positivo é maior que qualquer número negativo. Qualquer número inteiro negativo é menor que qualquer número positivo. Qualquer número inteiro positivo é maior que zero. Qualquer número inteiro negativo é menor que zero. Exercícios 11. Veja como foram os resultados financeiros da empresa Rio Grande AS, no primeiro semestre de Escreva o nome dos meses obedecendo a ordem decrescente de resultados financeiros. 12. Escreva: a) o antecessor de 9; d) o antecessor de +11 b) o sucessor de -20; e) o sucessor de zero; c) o antecessor de 0; f) o sucessor de Dentre os números inteiros -20, +6, -1, -7, +2, -4 e 0, quais podem der colocados no lugar de x para que se tenha: a) x > - 5 b) x 0 Representação dos números inteiros O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Z =..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Conforme você pôde observar, todo número natural é também um número inteiro; portanto. Elizabeth F. Jammal Página 5

6 SUBCONJUNTOS DE Z Conjunto dos números inteiros não nulos: Z* =...,-3, -2, -1, 1, 2, 3,... Conjunto dos números inteiros não-negativos: Z + = 0, 1, 2, 3,... Conjunto dos números inteiros não-positivos: Z - =..., -3, -2, -1, 0 Conjunto dos números inteiros positivos: Z * += 1, 2, 3,... Conjunto dos números inteiros negativo: Z* - =..., -3, -2, -1 Números opostos ou simétricos Observe a reta numérica inteira: Note que os números +2 e -2 estão associados a pontos que estão à mesma distância do zero, mas situados em lados opostos na reta. Dizemos então, que +2 e -2 são números opostos ou simétricos. Dois números inteiros são ditos opostos ou simétricos um do outro quando os pontos que os representam distam igualmente da origem. Note que números opostos apresentam soma zero; assim, o oposto de 1 é 1, e o oposto de 1 é 1, pois 1 + (-1) = (-1) + 1 = 0. No geral, dizemos que o oposto de um número a é a, e vice-versa. Particularmente o oposto de zero é o próprio zero. Módulo de um número inteiro Explorando situação-problema Qual a distância (em passos) do menino até o zero? Qual a distância (em passos) da menina até o zero? Elizabeth F. Jammal Página 6

7 Resolução: O menino está a uma distância de 3 passos do zero enquanto que a menina está a uma distância de 4 passos. Neste caso não importa o sentido em que eles caminham, o que importa é a distância percorrida. Nos dois casos, verifica-se que a distância ou afastamento de cada ponto em relação à origem é sempre um número natural. Essa distância ou afastamento denomina-se módulo do número inteiro. Assim, damos o nome de módulo, ou valor absoluto, de um número n à distância da origem ao ponto que representa o número n e indicamos por n. Assim, 5 = 5 e -2 = 2. Observe que: O módulo de um número inteiro qualquer é sempre um número natural. Os módulos de dois números inteiros opostos são sempre iguais (ex: -2 = 2 = 2). O módulo de zero é zero. No geral, dizemos: x = x se x 0 e -x = x se x 0. Exercícios 14. Nomeando os elementos, escreva o conjunto A = {x Z -6 < x < 3}. A seguir responda: a) Quantos números inteiros não negativos há nesse conjunto? b) Quantos números inteiros positivos há nesse conjunto? c) Quais elementos do conjunto Z* pertencem ao conjunto A? 15. Imagine uma reta numérica e responda: a) Quantos quilômetros há de 90 quilômetros a oeste até 50 quilômetros a leste de um ponto, em linha reta? b) Quantas graduações há de 3 graus centígrados abaixo de zero até 12 graus centígrados acima de zero? c) Quantos quilômetros há de 80 quilômetros ao norte até 30 quilômetros ao sul, em linha reta? d) Quantas graduações há de -51 C até 27 C? 16. São dados os números inteiros 13, +20, +27, -25, +51, -32 e 40. Dentre esses números, identifique os que têm módulo: a) menor que 30; b) entre 30 e 50; c) acima de Responda: qual é o oposto do módulo de -12? 18. Sabe-se que a = 3 e b = 2. Quais os valores de a e b se a distância entre os pontos que representam a e b é 1? Elizabeth F. Jammal Página 7

8 Operações em Z I. Adição Explorando situações-problema 1. Uma conta bancária especial está com saldo zero. Com quanto essa conta ficará em cada situação? a) Fazendo-se um depósito de 120 e outro de 95 reais. Isso é o mesmo que fazer um depósito de valor igual à soma dos dois: = 215 A conta ficará com 215 reais. b) Fazendo-se uma retirada de 85 e outra de 150 reais. Isso é o mesmo que fazer uma retirada de valor igual à soma das duas: = 235 A conta ficará com saldo negativo de 235 reais, ou seja, com um saldo de -235 reais. c) Fazendo-se um depósito de 120 e uma retirada de 85 reais. Como o depósito é maior que a retirada, isso é o mesmo que fazer um depósito de valor igual à diferença: = 35 A conta ficará com 35 reais. d) Fazendo-se um depósito de 120 e uma retirada de 150 reais. Como a retirada é maior que o depósito, isso é o mesmo que fazer uma retirada de valor igual à diferença: = 30 A conta ficará com saldo negativo de 30 reais, ou seja, com um saldo de -30 reais. 2. Calcular: a) (+2) + (+6) b) (-3) + (-4) Resolução: Podemos interpretar a adição como uma mudança de posição na reta dos números. Assim, ao calcular: a) (+ 2) + (+6) Situamo-nos em +2 e nos movimentamos 6 unidades para a direita: (+2) + (+6) = + 8 b) (-4) + (-3) Situamo-nos em -4 e nos movimentamos 3 unidades para a esquerda: (-4) + (-3) = -7 Elizabeth F. Jammal Página 8

9 3. Calcular (-3) + (+5) Resolução: Posição na reta dos números Situamo-nos em -3 e nos movimentamos 5 unidades para a direita: (-3) + (+5) = Calcular (+2) + (-9) Resolução: Posição na reta dos números Situamo-nos em +2 e nos movimentamos 9 unidades para a esquerda: (+2) + (-9) = -7 Analisando os exemplos acima podemos observar que: Se os dois números a serem somados forem positivos ou negativos (sinais iguais) estaremos nos movimentando na mesma direção, portanto basta adicionar os seus valores e manter seu sinal. Se os dois números a serem somados forem positivo e negativo (sinais diferentes) estaremos nos movimentando em direções opostas, portanto, subtraímos seus valores e mantemos o sinal (direção) do que tiver maior módulo. II. Subtração Explorando situações-problema 1. Henrique tinha R$ 60,00 em sua conta bancária quando emitiu um cheque no valor de R$ 90,00. Como ficará o saldo da conta de Henrique? Resolução: Retirando RS 90,00 de R$ 60,00, Henrique ficará com saldo negativo (devedor) de R$ 30,00 ou R$ 30,00. Indicamos assim: (+60) (+90) = - 30 ou, simplificando, = Calcule: a) (+2) (+7) c) (-10) (+8) b) (-5) (-6) d) (+2) (- 5) Elizabeth F. Jammal Página 9

10 Resolução: a) (+2) (+7) = (+2) + (-7) = 2 7 = -5 b) (-5) (-6) = (-5) + (+6) = = +1 c) (-10) (+8) = (-10) + (-8) = = - 18 d) (+2) (- 5) = (+2) + (+5) = = 7 Analisando os exemplos acima podemos observar que: Subtrair o número inteiro b do número inteiro a é o mesmo que adicionar a ao oposto de b. a b = a + (-b) Exercícios 19. Um caracol pretendia chegar ao topo de um muro; no entanto subia alguns centímetros e escorregava outros. a) Certa vez ele subiu 8 cm e escorregou 6 cm. Houve avanço ou retrocesso? De quanto? b) Já em outra ocasião ele subiu 9 cm, escorregou 15 cm e subiu 4 cm. Houve avanço ou retrocesso? De quanto? c) Represente, por meio da reta dos inteiros, os movimentos feitos pelo caracol no item b. 20. Represente na reta dos inteiros e calcule as seguintes operações: a) (-1) + (-5) e) (-1) - (-5) b) (-4) + (+6) f) (-4) - (+6) c) (+3) + (+7) g) (+3) - (+7) d) (+5) + (-9) h) (+5) - (-9) 21. Indique a operação e resolva: a) Lucro de 14 e prejuízo de 7. b) Prejuízo de 20 e prejuízo de 13. c) Prejuízo de 16 e lucro de 42. d) Lucro de 56 e lucro de Simplifique a escrita e determine o valor das somas seguintes: a) (-60) + (-43) + (+83) + (+3) + (43) b) (+98) + (-48) + (-90) + (-8) + (+48) c) (-1200) + (-493) + (+1305) + (+493) d) (-646) + (+ 356) + (-44) + (+690) 23. A pilha de cubos com números foi montada seguindo um padrão. Descubra o padrão e complete a pilha. Elizabeth F. Jammal Página 10

11 24. O saldo de gols é calculado pela diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos. Observe a tabela e responda: a) Qual o saldo de gols de cada time? b) Qual time ficou em primeiro lugar? Gols Gols Time marcados sofridos A B C D Com base na ilustração, elabore e resolva uma situação-problema envolvendo a idéia de adição com parcelas positivas e negativas. III. Multiplicação Explorando situações-problema 1. Se uma pessoa emite 6 cheques de R$ 133,00 para pagar uma compra, qual o valor da compra? Resolução: Cada cheque tem o valor de RS 133,00 e são 6 cheques, portanto, temos uma soma de 6 parcelas = 6 x 133 = 798. O valor da compra é de R$ 798,00 2. Se uma pessoa emite 6 cheques de R$ 133,00 para pagar uma compra, quanto será somado ao saldo de sua conta no banco? Resolução: Cada cheque acarreta uma retirada de dinheiro da conta; portanto, soma ao saldo um número negativo. Temos, então uma soma de 6 parcelas negativas: = -798 Como adicionamos 6 parcelas de (-133), indicamos: 6 x (-133) = Outro raciocínio: cada cheque acarretará um débito de RS 133,00. O débito total será de: 6 x 133 = 798. Do saldo da conta serão subtraídos R$ 798, ou o que dá no mesmo, será somado o valor de R$ 798,00. Elizabeth F. Jammal Página 11

12 3. Menos por menos dá mais Calcular: -(-7) Resolução: -(-7) pode ter essas duas interpretações: representa o oposto de -7. Então: -(-7) = +7; representa subtrair -7. Como subtrair um número dá o mesmo que somar o oposto desse número, subtrair -7 dá no mesmo que somar 7. Então: -(-7) = +7. As duas interpretações conduzem ao mesmo resultado Calcular: -3(-7) Resolução: -3(-7) pode ter essas duas interpretações: representa o produto dos números -3 e -7; representa subtrair três vezes -7. Como subtrair três parcelas de -7 dá o mesmo que somar três parcelas de 7, temos: -3 (-7) = = + 21 subtrair somar As duas interpretações devem conduzir ao mesmo resultado. Então, o produto dos números negativos -3 e -7 dá + 21 Para multiplicar números inteiros, devemos observar os seguintes casos: a. Os dois fatores são positivos. Considerando a multiplicação dos números naturais, temos: (+5). (+2) = 5. 2 = 10 b. Um fator é um número negativo e o outro é um número inteiro positivo. (+6). (-2) = 6. (-2) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -12 Consideremos, agora, a multiplicação: (-6). (+2) = - (+6). (+2) = -(6. 2) = -12 c. Os dois fatores são números inteiros negativos. (-3). (-4) = - (+3). (-4) = -[3. (-4)] = - [(-4) + (-4) + (-4)] = -[-12] = 12 Podemos concluir que: Se os dois fatores têm o mesmo sinal, o produto é um número inteiro positivo. Se os dois fatores têm sinais diferentes, o produto é um número negativo. IV. Divisão Explorando situação-problema O professor Marcelo propôs a seus alunos o seguinte exercício: Complete os. Elizabeth F. Jammal Página 12

13 a) (+18) : (+6) =, porque ( ). (+6) = +18 b) (+100) : (+5) =, porque ( ). (+25) = +100 c) (-18) : (+9) =, porque ( ). (+9) = -18 d) (-32) : (-4) =, porque (+8). ( ) = -32 Resolução: a) (+18) : (+6) = +3, porque ( +3 ). (+6) = +18 b) (-100) : (-5) = +25, porque ( -5 ). (+25) = -100 c) (-18) : (+9) = -2, porque (-2). (+9) = -18 d) (-32) : (-4) = +8, porque ( +8). ( -4) = -32 Observação: Quando dividimos dois números inteiros que têm o mesmo sinal, o quociente é um número positivo. Quando dividimos dois números inteiros que têm sinais diferentes, o quociente é um número negativo. Exercícios 26. Um comerciante comprou um aparelho de TV por R$ 350,00. Precisando de dinheiro, decidiu vendê-lo em 4 prestações de R$ 86,00. O comerciante teve lucro ou prejuízo? De quanto? 27. Quando dá a divisão a : b, quando: a) a e b são números inteiros iguais, diferentes de zero? b) a e b são números inteiros opostos? 28. Em uma mercearia, cada produto é marcado com uma letra, tendo a mesma letra os produtos com preços iguais. Os preços dos produtos são controlados da seguinte forma: no início de cada mês são estabelecidos os preços por unidade de cada produto na 1ª semana. Nas outras semanas do mês são anotadas as variações dos preços sempre em relação à semana anterior, com o sinal + se o preço aumenta, e com o sinal se diminui. Assim: a) Uma pessoa comprou na 2ª semana esta quantidade de produtos: 5a + 4b + 7x. Quanto ela gastou a mais (ou a menos) do que se tivesse feito essa mesma compra na 1ª semana? b) Dona Lúcia comprou na 3ª semana esta quantidade de produtos: 9a + 5n + 6x + t. Quanto ela gastou a mais (ou a menos) do que se tivesse feito essa mesma compra na 2ª semana? c) Se o preço de um produto marcado com a letra a foi R$ 10,00 na 1ª semana, qual foi o seu preço na 4ª semana? E na 5ª semana? 29. Calcule: Elizabeth F. Jammal Página 13

14 a) 2x 2y + 4z, para x = 2, y = -1 e z = -2 b) 2ab 3a + 2b, para a = -2 e b = Um aparelho foi programado para baixar a temperatura de certo ambiente, de forma constante, de +3 C a -12 C em 3 horas. Quantos graus desceu a temperatura por hora? 31. Determine o valor das seguintes expressões: a) (-6 8) : ( ) 3. ( ) + ( ) : ( 37-32) b) (-35 4) : ( ) [( 13. (-6) 7. (+16)] c) (-4) [ (-18) : (+6) (-8). (-2) + 3] d) (-30) : ( ) [ - (-8) 14 : (+7)] 32. Dois pastores possuem 9 pães: Marcos, 4, e Lucas, 5. Aparece um caçador esfomeado, e os três dividem igualmente entre si os 9 pães. O caçador paga sua parte dando 8 moedas para Marcos e 10 para Lucas. Um dos pastores reclama desse pagamento, achando injusta a distribuição das moedas, dizendo que deveria receber mais do que recebeu. a) Qual foi o pastor que reclamou? b) Qual seria a distribuição justa das moedas? Exercícios Complementares 1. Dados dois números inteiros m e n, sabe-se que m é negativo e que n < m. Quem é maior, n ou m? Justifique. 2. Responda se as sentenças são Verdadeiras (V) ou Falsas (F). a) O sinal do quociente de dois números inteiros é positivo se o dividendo for positivo e o divisor zero. b) O sinal do quociente de dois números inteiros é negativo se o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal. c) O quociente de dois números inteiros é sempre um número inteiro. d) O quociente de dois números inteiros é zero se o dividendo for zero e o divisor for inteiro positivo. e) O sinal do quociente de dois números inteiros é positivo se o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal. 3. Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso). a) m, n (m Z e n Z) (m + n) Z b) m, n (m Z e n Z) (m n) Z c) m, n (m Z e n Z) (m. n) Z d) m, n (m Z e n Z) (m : n) Z 4. Calcule: a) b) (-3) + 1 c) (-4) 2 (-1) + (-3 1) Elizabeth F. Jammal Página 14

15 5. Determine os elementos dos conjuntos abaixo: a) x Z x = 3 c) x Z x = 2 b) x Z x = 0 d) x Z x = Determine os elementos dos conjuntos abaixo: a) x Z x 2 e) x Z x 0 b) x Z x 0 f) x Z x 3 c) x Z x 2 g) x Z x -2 d) x Z x 0 h) x Z x 4 Bibliografia Giovanni, José Ruy; Castrucci Benedito, Giovanni Jr., José Ruy A Conquista da Matemática, 5ª série. FTD. São Paulo Giovanni, José Ruy; Parente, Eduardo Aprendendo Matemática, 6º ano. FTD. São Paulo Projeto Araribá Matemática Ensino Fundamental, 1ª edição. Moderna. São Paulo. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Machado, Antonio Matemática e Realidade, 5ª série. Atual. São Paulo Guelli, Oscar Matemática em Construção, 5ª série. Ática. São Paulo Imenes, luiz Marcio; Lellis, Marcelo Cestari Matemática Paratodos, 5ª série. Scipione. São Paulo Elizabeth F. Jammal Página 15