Sistemas de Numeração

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1 Sistemas de Numeração Atualmente é difícil encontrar uma situação que não esteja direta ou indiretamente relacionada com números. Os números são utilizados para: contar, como, por exemplo, quantos são os dias de um ano, quantas pessoas votaram na última eleição, quantos são os veículos na cidade de São Paulo; medir, como, por exemplo, a altura de uma pessoa, a área de um terreno; codificar, como, por exemplo, o número do CEP de uma rua, o número de telefone de alguém. Hoje contamos e registramos quantidades com certa facilidade, mas isso nem sempre foi uma tarefa fácil. Nos tempos mais antigos, a humanidade utilizou-se de muitas formas para registrar quantidades. Com certeza, podemos dizer que a idéia de número acompanha a humanidade desde a antigüidade. Sistemas de numeração Demorou muito para chegarmos à escrita numérica que usamos no nosso dia-a-dia. Os povos foram substituindo as antigas formas de registro por símbolos e regras que pudessem representar os números. A esse conjunto de símbolos e regras utilizado para representar números chamamos de sistema de numeração. Várias civilizações antigas criaram diferentes sistemas de numeração. Na tabela a seguir você poderá comparar a escrita de 1 a 10, em alguns desses sistemas, com a escrita que você já conhece. 1. Sistema romano de numeração A representação de números adotados pelos romanos foi durante muitos séculos a mais praticada na Europa. Essa representação era feita através de letras do próprio alfabeto romano, como podemos observar no quadro as letras seus respectivos valores no nosso sistema de numeração. Elizabeth F. Jammal Página 1

2 No sistema de numeração romano, uma letra é escrita à direita de outra de valor igual ou maior, somam-se os seus valores; somente as letra I, X, C e M podem ser repetidas, seguidamente, até três vezes; quando uma das letras I, X ou C é escrita à esquerda de outra de maior valor, subtrai-se o seu valor,nas seguintes condições um traço sobre uma letra indica que o valor dessa letra deve ser multiplicado por 1 000, dois traços indicam que o valor deve ser multiplicado por Nos dias atuais ainda observamos a numeração romana em certas situações, como por exemplo: nome de papas e reis, séculos, capítulos de livros, mostradores de relógios, etc. 2. Sistema indo-arábico de numeração Na região ocupada hoje pelo Paquistão, onde se encontra o vale do rio Indo, vive há milhares de anos, o povo hindu. Foi esse povo que o criou o sistema de numeração que adotamos atualmente. Os árabes foram os grandes divulgadores desse sistema de numeração e é daí que vem o nome sistema indo-arábico de numeração. Apesar de esse sistema de numeração ter sido introduzido na Europa Ocidental antes de ano 1 000, foi somente a partir do século XVII que ele substituiu os sistemas já existentes. Seus símbolos são chamados algarismos, palavra de origem árabe, e sofreram várias modificações ao longo do tempo, até chegar à representação atual. Essas modificações podem ser explicadas pelo fato de que os livros eram escritos manualmente, e portanto dependiam da caligrafia de seus autores. Com a invenção da imprensa moderna na Europa, por volta de 1450, os algarismos foram finalmente padronizados. Veja as modificações que os símbolos indo-arábicos sofreram ao longo do tempo: Elizabeth F. Jammal Página 2

3 A palavra algarismo tem origem no nome do matemático árabe Mohammed ibu- Musa al-khowarizmi, que viveu entre 780 e 850 d.c. Bibliotecário na corte do califa al- Mamum, escreveu duas obras nas quais explica o sistema indiano de numeração decimal posicional e os métodos de cálculo com esse sistema. As características do sistema indo-arábico de numeração são as seguintes: a base de contagem é dez, ou seja, cada dez unidades de uma ordem forma uma unidade de ordem imediatamente superior. possui um símbolo para representar o zero; utiliza apenas dez símbolos chamados de algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9; é um sistema posicional, isto é, um mesmo algarismo representa quantidades diferentes, dependendo da posição que ele ocupa no número. Por ter a base de contagem dez, esse sistema de numeração é chamado de sistema de numeração decimal. Leitura e escrita de um número no sistema de numeração decimal Na escrita de um número, nesse sistema, os algarismos são separados em classes e cada classe é dividida em três ordens. Com isso, facilitam-se a leitura e a escrita do número. A leitura é simples: - separamos os algarismos em classes; - lemos cada classe, da esquerda para a direita, seguida do respectivo nome; - substituímos a palavra milhar por mil e eliminamos a palavra unidade. Na tabela abaixo são representadas as quatro primeiras classes e suas ordens. Exercícios 1. Responda: a) Qual o código de endereçamento postal (CEP) da casa onde você mora? Para que serve o número do CEP? b) Para que serve o número de sua casa? c) Qual sua altura? d) Qual seu peso? e) Indique quais das representações acima são: código, medida ou quantidade Elizabeth F. Jammal Página 3

4 2. Quantos símbolos são usados para escrever os números 88, 89 e 90 no sistema de numeração romano? E quantos símbolos diferentes são usados? 3. O povo da Ilha Alfabética usava um sistema de numeração decimal e posicional que seguia a correspondência dada abaixo: E A U D N O L S R M a) Escreva a representação nesse sistema dos seguintes números do nosso sistema decimal: - o maior número de quatro algarismos distintos. - o menor número de quatro algarismos distintos. b) Dê o resultado de AMOR + AMOR. 4. Vamos supor que temos um sistema de numeração na base 10, posicional, com os símbolos para indicar os algarismos conforme o quadro abaixo. Escreva nesse sistema de numeração: a) 28 b) 304 c) d) MDCCVI 5. Atividade - Utilizando palitos. Mudar a posição de apenas um dos palitos de modo que a igualdade se torne verdadeira. c1) X IX = XX (solução X + X = XX) c2) IX + II = XIII (solução XI + II = XIII) c3) VI I = VI (solução V + I = VI) c4) XII VI = XVII (solução XII + V = XVII) c5) X + X = I (solução XI X = I) c6) XIX II = XXII (solução XX + II = XXII) c7) XIV + VI = VII (solução XIV - VII = VII) c8) XXVII = XXI - VI (solução XX VII XXI = VI) 6. Reescreva o texto registrando os números com todos os seus algarismos. [...] podemos lembrar que, neste planeta de 4 bilhões e 600 milhões de anos, no qual a vida fez sua aparição há cerca de 3 bilhões e 800 milhões de anos, o Homo erectus, Elizabeth F. Jammal Página 4

5 nosso ancestral mais direto, surgiu há apenas 1 milhão e 800 mil anos [...]. Quanto a nós, Homo sapiens, nossa existência na Terra não chega a 100 mil anos [...]. As idades das rochas. Ciência Hoje na Escola, SBPC, Rio de Janeiro, v. 10, p Existe um símbolo associado à ausência de unidade. Dê o nome e represente este símbolo. 8. Escreva os números utilizando somente os algarismos. a. trinta e quatro milhões e 200 mil b. 1 bilhão e 100 milhões 9. Escreva cada número como se lê. a b c No número , determine o valor posicional de cada algarismo. 11. Decomponha de acordo com as ordens. a) 78 b) 572 c) Quantas vezes usamos o algarismo 4 quando escrevemos todos os números de 1 a 45? 13. Considerando o número 3 456, responda: a) Qual o valor posicional do algarismo 5 quando se coloca à direita do 6 o algarismo zero? b) Quantas vezes o algarismo 4 aumenta seu valor posicional se entre o 5 e o 6 for colocado um outro algarismo? c) Quantas vezes o algarismo 3 aumenta seu valor posicional se for colocado um algarismo à direita do 6 e um outro entre o 4 e o 5? 14. Foram escritos todos os números de três algarismos possíveis com os algarismos 2, 3 e 4. Colocando-os em ordem crescente, o número 342 estará situado no: a) 16º lugar c) 10º lugar b) 14º lugar d) 4º lugar 15. A quantidade de números, de 1 a 1.000, que têm algarismos iguais é: a) 18 b) 20 c) 100 d) Dado um número de dois algarismos, forma-se um novo número de três algarismos, colocando 1 à direita do número original. O novo número é: a) dez vezes o número original, mais um. b) cem vezes o número original, mais um. c) cem vezes o número original. d) o número original, mais um. Elizabeth F. Jammal Página 5

6 17. Maria terminou um trabalho e numerou todas as páginas, partindo do número 1. Para isso utilizou 270 algarismos. Quantas páginas tem esse trabalho? a) 270 c) 212 b) 99 d) O ábaco ainda hoje é usado para representar números no sistema de numeração decimal e para efetuar operações aritméticas. Veja dois tipos de ábaco: Que número está representado em cada ábaco? Bibliografia: Giovanni, José Ruy Parente, Eduardo aprendendo Matemática (5ª série) - Editora: FTD. Bianchini, Edwaldo Matemática (5ª série) Editora: Moderna. Projeto Araribá Matemática (5ª série) Editora: Moderna. Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. a Conquista da Matemática (5ª série) Editora: FTD Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo;Machado, Antonio Matemática e Realidade (5ª série) Editora: Atual Imenes, Luiz Márcio & Lellis, Marcelo Cestari Matemática Paratodos (5ª série) Editora: Scipione Elizabeth F. Jammal Página 6