Matemática. História dos números e suas utilizações

Transcrição

1 Matemática História dos números e suas utilizações

2 Afinal o que é a matemática? A matemática é a ciência dos que raciocinam sobre os números e o espaço. Já nos velhos tempos em que os Homens viviam só da caça e da apanha de frutos silvestres, eles tinham de contar, para saberem os recursos que possuíam. Quando, mais tarde, se tornaram agricultores e pastores, contar, medir e calcular tornaram-se operações ainda mais importantes. Para se dedicarem às actividades de plantar e criar animais, o Homem não podia continuar a deslocar-se de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar e começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe, divisão do trabalho entre as pessoas, construção das próprias moradias, pontes, canais de irrigação, etc.

3 Afinal o que é a matemática? À medida que o comércio se foi desenvolvendo, os mercadores começaram a sentir necessidade de medir e pesar cada vez com mais cuidado as mercadorias, avaliando as despesas e lucros e contando o seu dinheiro. Para desempenharem bem todas estas actividades, o Homem inventou a aritmética, que estuda os números, e a geometria, que estuda o espaço. Também mais tarde, para auxiliar os navegadores nas suas viagens de descoberta, o Homem inventou a trigonometria, ramo da matemática que relaciona distâncias com direções.

4 Números Naturais O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para responder a problemas entretanto surgidos. Os primeiros números a serem criados foram os Números Naturais. Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, daí o seu nome. Almeida, Fernando (2007). Sistemas de Numeração Precursores do Sistema Indo-Árabe. Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. - Consultado em

5 Os números Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número. Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, estaria sempre ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante. A ideia de contagem estava relacionada com os dedos da mão. Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco. Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós numa corda, também de cinco em cinco. Cálculo, deriva do latim e quer dizer contas com pedras.

6 Numeração Egípcia Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egipto. Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egipto passaram a representar a quantidade de objectos de uma colecção através de desenhos os símbolos. Surgiu então o Sistema de Numeração Egípcio. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática.

7 Numeração Egípcia Os Egípcios da Antiguidade criaram um sistema muito interessante para escrever números, baseado em agrupamentos. No sistema de numeração egípcia os números são representados por símbolos especiais para 1, 10, 100, 1000 e de uma forma aditiva: 1 era representado por uma marca que se parecia com um bastão ; 2 era representado por duas marcas ; E assim por diante Quando chegavam a 10, eles trocavam as 10 marcas, ( ) por agrupamento., que indicava o Feito isto, continuavam até ao 19...

8 Numeração Egípcia O 20 era representado por. E até 90 representava-se assim... Para registar 100, em vez de, trocavam este agrupamento por um novo símbolo, que parecia um pedaço de corda enrolada,. Juntando vários símbolos de cem, escreviam o 200, 300,..., 900. Dez marcas de 100 eram substituídas por um novo símbolo, que era a figura da flor de lótus,. Desta forma, trocando cada dez marcas iguais por uma nova, eles escreviam todos os números de que necessitavam.

9 Numeração Egípcia Vejamos os símbolos usados pelos egípcios e o que significava cada marca: Por exemplo, para representar 332, os egípcios escreviam:, ou seja, No entanto, este sistema de numeração era muito trabalhoso, em especial para a representação de números com muitos algarismos.

10 Números Racionais A invenção destes números surgiu, por volta do ano a.c., do seguinte problema: Como marcar os limites dos terrenos de cada agricultor, nas margens do Nilo, cada vez que as águas baixavam e deixavam a descoberto as suas terras férteis? Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários. Pois, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário. Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as frações unitárias, isto é,com numerador igual a 1.

11 Números Racionais As outras frações eram expressas através de uma soma de frações de numerador 1. Os egípcios não colocavam o sinal de adição entre as frações, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados. No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita frequência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fracionários eram muito complicados. A descoberta dos números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática. Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Apenas por volta do século III a.c. começou a formar-se um sistema de numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.

12 Numeração Romana Os romanos começaram a usar as próprias letras do alfabeto para identificar quantidades. I V X L C D M O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave: I = 1 V = 5 X = 10 unidades L = 50 unidades C = 100 D = 500 M = 1000 Quando apareciam vários números iguais juntos, no máximo três, os romanos somavam os seus valores. Por exemplo: II = = 2; XX = = 20; CCC = 300.

13 Numeração Romana Se dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores. IV = 4 porque 5-1 = 4 IX = 9 porque 10 1 = 9 XC = 90 porque = 90 Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores. VI = 6 porque = 6 XXV = 25 porque = 25 XXXVI = 36 porque = 36 LX = 60 porque = 60 Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.

14 Numeração Romana O sistema de numeração dos Romanos não permite que sejam feitos cálculos, mas é muito prático para representar quantidades. Foi usado por todo o ocidente durante quase 2 mil anos e ainda hoje é utilizado em relógios, nomes de reis e papas, indicação de séculos... Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números. E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.

15 Sistema de Numeração Decimal Os hindus tinham valiosos métodos de cálculos e eram feitos por apenas nove sinais. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 E, no fim do século VI, introduziram como notação para uma posição vazia um ovo de ganso, redondo. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Al-Khawarizmi, considerado o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos, estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, surpreendeuse a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso! Mas logo compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus tinham descoberto. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro.

16 Sistema de Numeração Decimal Com a introdução do décimo sinal o zero o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo. Os símbolos ficaram conhecidos como a notação de al- Khawarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo. São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos, pelo árabe al-khawarizmi, que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecido como algarismos indo-arábicos. Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.

17 Sistema de Numeração Decimal No sistema de numeração decimal, 10 unidades de uma ordem formam uma unidade da ordem imediatamente superior. Exemplo: 10 unidades = 1 dezena 10 dezenas = 1 centena O nosso sistema de numeração é um sistema de posição, porque o valor de um algarismo depende da ordem que ocupa, ou seja, da sua posição na escrita do número. Por exemplo: unidades 20 unidades 300 unidades 2000 unidades Num número, os algarismos agrupam-se em classes. Cada classe tem três ordens: unidades, dezenas, centenas. Os números escrevem-se e lêem-se da esquerda para a direita e a leitura habitual e corrente de um número faz-se por classes. Por exemplo: lê-se: dois milhões, trezentos e quarenta e cinco milhares e cento e trinta e quatro unidades.

18 Números e mais números O conjunto dos números naturais é representado da seguinte forma: N = { 1, 2, 3, 4, 5,... } Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza. Na antiguidade a designação de número aplicava-se apenas aos inteiros maiores que um. Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais. Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais.

19 Números e mais números O conjunto dos números racionais é representado desta forma: Q = Z { números fracionários } Mas, os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtracção de 6 7, por exemplo, era impossível. A ideia do número negativo, aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas. A ideia do número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada. O conjunto dos números inteiros é representado desta forma: IN0 = {0 1, 2, 3, 4, 5,... } Surge então o conjunto dos números inteiros relativos, que tem a seguinte representação: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}