NÚMEROS NATURAIS < > Matemática = = Editora Exato INTRODUÇÃO 4. OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

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1 NÚMEROS NATURAIS. INTRODUÇÃO Desde épocas mais antigas, a idéia de números a- companha a humanidade, e sempre o homem utilizou-se de símbolos, como marcações em paredes de cavernas, em ossos, para registrar sua idéia de quantidade. Com o tempo foram aparecendo outras maneiras de se registrar a quantidade de determinados objetos. Demorou muito para chegarmos à escrita numérica que usamos atualmente. Os povos foram substituindo as antigas marcações por símbolos e regras utilizados para representar os números. Esse ajuste de símbolos e regras é chamado de sistema de numeração. O sistema de numeração mais utilizado atualmente, é o decimal cujos símbolos são: 0,,,,4,,6,7,8 e 9.. DEFINIÇÃO O conjunto representado pela letra N, cujos números expressam o resultado de uma contagem, e chamado de con- junto dos números naturais. Representação:,...} N {,,,4,,6,7... } = {0,,,,4,,6 N * = é a representação dos números naturais exceto o zero..) : Todo número natural tem um sucessor. O sucessor de um número natural é obtido somando a esse número o número. O antecessor de um número natural é obtido subtraindo a esse número O zero (0) é o único natural que não tem antecessor. O zero é o menor número natural. Dois ou mais números naturais em seqüência são chamados números consecutivos. ) Sucessor de 4 é 4 + =. ) Antecessor de 7 é 7 = 6.. COMPARAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS Dado dois números naturais, representados pelas letras a e b usamos os seguintes símbolos para compará-los: = = < > lê-se: é igual a lê-se: é diferente de lê-se: é menor que lê-se: é maior que < 4 dois é menor que quatro. 6 > seis é maior que um. 4. OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 4.) Adição A operação de adição esta ligada a idéia de unir, a- crescentar, juntar. Nos jogos poli-esportivos anuais do Distrito Federal (DF), foram distribuídas 6 medalhas de ouro, medalhas de prata e 9 medalhas de bronze. Qual o total de medalhas distribuídas nesses jogos? Soma ou total Fechamento A soma de dois números naturais é um outro número natural. Comutativa A ordem das parcelas não altera a soma. Assim: 4+ = 9 +4 = 9 Associativa Em uma adição de três ou mais números naturais, podemos associar as parcelas, de modos diferentes, que a soma permanece a mesma. +(4+) = (+4)+ = (+)+4 = +9 = 7+ = 8+4 = Elemento neutro O zero é o elemento neutro da adição. Isto é: 0+=0 0+ = 7+0 = 7 4.) Subtração Á subtração está ligada a idéia de reduzir, tirar. Veja a situação abaixo: Os elefantes correm o perigo de ser mais uma das espécies em extinção. O responsável por isso é o grande comercio de marfim. Há dez anos, cerca de elefantes habitavam a África. Hoje existem aproximadamente Para calcular a quantidade de elefantes existentes na África, fazemos: = três é igual a três. 4 quatro é diferente de cinco. Editora Exato 4

2 Minuendo Subtraendo Diferença Matemática Numa multiplicação de um número natural por uma soma, podemos multiplicar esse número por cada uma das parcelas da soma, e somar os resultados. Veja: 4.) Multiplicação A multiplicação está ligada a idéia de adicionar parcelas iguais. Ao ir ao supermercado Pague tudo caro, dona Joana percebeu que uma bandeja de ovos era composta de fileiras. Cada fileira tinha, quantos ovos tem a bandeja? Se cada ovo custa reais, quanto dona Joana pagará pela bandeja de ovos? ª fileira ª fileira ª fileira 4ª fileira ª fileira =6 fator x fator 0 produto Como cada ovo custa R$,00 e cada bandeja contem 0 ovos, dona Joana vai pagar 0 x R$60, 00 Fechamento O produto de dois números naturais resulta em um número natural. Comutativa A ordem dos fatores não altera o produto. = 6 = 6 Associativa Numa multiplicação de três ou mais números naturais, podemos associar quaisquer dos fatores que o produto permanece o mesmo. x(x4)= x= 4 ou (x)x4= 6x4 4 Elemento neutro O elemento neutro da multiplicação é o número. = = Distributiva Considere a seguinte situação: x(4+)=x4+x x(4+)= x = e x4+x= + Essa propriedade é conhecida como distributiva da multiplicação em relação à adição. 4.4) Divisão A divisão está ligada a ação de repartir em partes i- guais. Procurando organizar seu escritório, Fernanda comprou portas CD iguais e neles colocou todos os seus 9 CD que estavam espalhados por diversos lugares. Quantos CD ela colocou em cada porta CD. dividendo 9 divisor 4 9 quociente 0 resto Em cada porta CD foram colocar 9 CDs. Observações: A divisão pode ser exata ou não exata. Divisão exata: É a divisão cujo resto é zero. dividendo divisor quociente resto Divisão não-exata: É a divisão cujo resto é maior que zero e menor que o divisor. resto Em toda divisão vale: 7 DIVIDENDO = DIVISOR X QUOCIENTE + RESTO Na divisão acima: 7 = +. 4.) Potenciação Ao efetuar um produto de fatores iguais, estamos realizando uma operação chamada de potenciação. ) = = ) Onde: é chamado de base; é chamado de expoente; é a potência. =7 = Editora Exato 4

3 Como se lê as potências a) Quando o expoente é dois, lê-se quadrado. Assim, lê-se três elevado ao quadrado; b) Quando o expoente é três, lê-se cubo. Assim, 4 lê-se quatro elevado ao cubo; c) Quando o expoente é 4,, 6, 7, 8... lê-se: quarta potência, quinta potência,... Multiplicação de potências na mesma base Numa multiplicação de potências de bases iguais, conserva-se a base e soma os expoentes. Observe: = { 44 = fatores fatores = 4444 = = = + fatores Divisão de potência de mesma base Na divisão de potências de bases iguais, conserva-se a base e subtrai os expoentes. Observe: : fatores = = = { 4 4 fatores fatores Potência de Potência Conserva-se a base e multiplica os expoentes: ( ) ( ) { { { = = = fatores fatores fatores fatores = = = 6 Toda potência de expoente é igual a base 00 = = 00 Toda potência de expoente zero é igual a 0 =, 0 0 =, 0 0 =. = 8 4.6) Radiciação A radiciação é uma operação que consiste em descobrir a base de uma potência. Considere a seguinte situação: Qual é o numero natural que elevado ao quadrado dá? Resposta: É o, pois =. 6? Qual é o número natural que elevado ao quadrado da Resposta: É o 4, pois 4 = 6. Nos exemplos acima dizemos que =, pois = =. Assim como 6 = 4, onde : indice { = raiz radicando Observação: Quando o índice for igual a, não há necessidade es- creve-lo. Assim, = pode ser escrito como =.. EXPRESSÕES NUMÉRICAS Chamamos expressões numéricas a um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações. As operações podendo ser a adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Fábio grava todos os seus trabalhos em disquetes. Ao verificar que só tinha disquetes ele comprou caixas com 0 disquetes em cada uma. Com quantos disquetes Fábio ficou? Para saber a quantidade de disquetes que Fábio ficou calculamos a seguinte expressão: + 0 = + 0 = Observe que não podemos somar +, pois estaríamos somando disquetes com caixas, devemos efetuar primeiro a multiplicação de por 0, encontrando a quantidade de disquetes das caixas e, depois, somar com a quantidade de disquetes que Fábio tinha. Para resolvermos uma expressão numérica, devemos obedecer a seqüência abaixo: ) Resolver as operações dentro dos parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { } respectivamente; ) Resolver as potenciações e radiciações na ordem em que aparecerem; ) Resolver as multiplicações e divisões na ordem em que aparecerem; 4 ) Resolver as adições e subtrações na ordem em que aparecerem. EXERCÍCIOS Determine: a) O antecessor e o sucessor de 6. b) O sucessor do sucessor de 9. c)o antecessor do antecessor de 4. d) Os números naturais entre e 0. e) Os números naturais menores ou iguais a. Quando fazemos essa conta, estamos realizando uma operação chamada radiciação. Símbolo da radiciação: - chamado radical Editora Exato 4

4 Na decisão de um campeonato de futebol, foram realizadas duas partidas. Na primeira o público pagante foi de 6.98, e o não-pagante foi de.8. Na segunda partida, o público pagante foi de 4.47, e o não-pagante foi Determine: a) O público total da primeira partida. b) O total de não-pagantes das duas partidas. c) O público total das duas partidas. Paulinho saiu de casa com notas de 0 reais, moedas de real e notas de reais. Chegando ao Shopping, ele gastou 6 reais. Com quanto Paulinho ficou? 4 O hidrômetro é um aparelho que mede o consumo de água de uma casa. Na casa de João, o consumo registrado pelo aparelho foi: Fevereiro 4 metros cúbicos; Março 9 metros cúbicos; Abriu 87 metros cúbicos. Qual o consumo de água, na casa de João, nesse trimestre? a) 940 metros cúbicos b) 90 metros cúbicos c) 960 metros cúbicos d) 970 metros cúbicos e) 980 metros cúbicos Dona Adelaide possui três filhos, de modo que o mais novo tem anos. Sabendo que cada irmão é dois anos mais velho que o anterior. Determine a soma das idades desses três irmãos? a) 9 anos b) 96 anos c) 97 anos d) 98 anos e) 99 anos 6 Na chácara de seu Luis, tem caixas de ovos de codorna. Sabendo que em cada caixa são colocados. Determine quantos seu Luis tem na chácara: a) 8 ovos b) 84 c) 8 d) 8 e) 86 7 Na floricultura de Maria das Dores, no mês de agosto, foram vendidas 9 orquídeas. Em setembro, vendeu o dobro das vendas de agosto. E em outubro, vendeu o triplo das vendas de agosto. Quantas orquídeas Maria das Dores vendeu nesse trimestre? a) 8 orquídeas b) 8 orquídeas c) 78 orquídeas d) 88 orquídeas e) 98 orquídeas 8 Na casa de Bartolomeu, há uma torneira pingando há 8 dias. Sabendo que uma torneira gotejando provoca um desperdício de aproximadamente 4 litros de água por dia. Qual foi o desperdício de água na casa de Bartolomeu? a) 774 litros b) 74 litros c) 764 litros d) 74 litros e) 794 litros 9 Em uma prova de atletismo, os atletas devem percorrer metros. Sabendo que uma volta completa na pista são 400 metros. Quantas voltas os atletas devem dar para completar a prova? a) voltas b) voltas c) voltas d) 8 voltas e) 0 voltas 0 Quantos garrafões de 4 litros serão são necessários para engarrafar 96 litros de água? a) 4 garrafões b) 9 garrafões c) 4 garrafões d) 44 garrafões e) 4 garrafões Em uma piscina estão depositados 400 litros de água. Dela foi retirado baldes com 8 litros em cada. Abriuse então uma torneira que derrama litros de água por minuto até que a piscina ficasse totalmente cheia, isto é, 000 litros. a) Antes de abrir a torneira, quantos litros faltam para que a piscina fique cheia? b) Quantos minutos a torneira deve permanecer aberta? Em uma divisão, o divisor é 8, o quociente é e o resto é. O valor do dividendo é: a) 6 b) 40 c) 99 d) 09 e) Na família de dona Rosa aconteceu uma grande coincidência. Cada um de seus dois filhos lhe deu netos; cada um de seus netos lhe deu bisnetos; e cada um de seus bisnetos lhe deu trinetos. Quantos trinetos têm dona Rosa? a) 8 b) c) 6 d) 0 e) Editora Exato 44

5 4 (UFRJ) Em uma divisão cujo divisor é 9, temos o quociente igual a. sabendo-se que o resto dessa divisão é o maior possível, podemos afirmar que o seu dividendo é igual a: a) 797 b) 407 c) 9 d) 4 e) 46 6 C Ao resolver a expressão , encontramos: a) 4 b) 4 c) 8 d) 9 e) O valor da expressão [ 7 ( 9 0 )] a) 47 b) 84 c) 94 d) 48 e) 49 é: 4 C E 6 D 7 B 8 A 9 B 0 E D C 4 E C a) e 7 b) 6 c) 4 d) 6, 7, 8 e 9 e), 4,,,, 0 a) 400 b) 870 c) 8760 a) 84 b) 88 GABARITO Editora Exato 4