TEORIA DOS NÚMEROS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

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1 TEORIA DOS NÚMEROS Número: é o resultado da comparação de uma grandeza com a unidade. Grandeza: é tudo aquilo que pode ser pesado, medido ou contado. Unidade: é uma grandeza que serve para medir outras grandezas da mesma espécie. A grandeza escolhida é arbitrária, mas é necessário que seja perfeitamente definida. Algarismos: são símbolos que representam os números. Importante: não confundir algarismo com número. (Por exemplo: 8 é um número representado pelos algarismos, e 8; já 6 é um número representado pelo único algarismo 6). CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS Número natural é um conceito primitivo, originário da necessidade dos homens contarem quantidade de coisas ou objetos. Posteriormente foi estabelecida a sucessão dos números naturais, que se constitui num conjunto infinito de números, denominado conjunto dos números naturais. IN {0,,,, 4,,...} Esse conjunto tem as seguintes características: é representado pela letra N (maiúscula) é um conjunto infinito todo número natural tem um sucessor todo número natural, exceto o zero, tem um antecessor zero é o menor dos números naturais NOTA: sucessor de um número natural é outro número natural acrescido de um () Exemplos: O sucessor de 0 é O sucessor de é etc antecessor de um número natural, exceto o zero, é outro número natural, subtraído de um () Exemplos: O antecessor de é 0 O antecessor de é etc

2 IMPORTANTE: Um número natural e seu sucessor ou o seu antecessor são chamados consecutivos Exemplos:, 8 e 9 são consecutivos e são consecutivos O algarismo zero (0) é o único número natural que não possui antecessor, isto é, não há nenhum número natural antes dele. Observações. Quando se exclui o zero do conjunto dos números naturais, obtém-se o conjunto IN * {,,,...}. Os números que usamos {0,,,, 4,, 6,, 8, 9} são chamados algarismos indoarábicos e a partir deles, podemos formar qualquer outro número. Exemplos: é um número formado pelo algarismo é um número formado pelos algarismos e 0 é um número formado pelos algarismos, 0 e etc. Lembre-se que número é uma idéia de quantidade, mas numeral é simplesmente o símbolo que representa essa idéia. Exemplo: idéia de quantidade numeral indo-arábico cinco bolas bolas OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS. ADIÇÃO: adição é a operação que determina um número natural para representar o total de objetos de duas ou mais coleções.. SUBRAÇÃO: é a operação inversa da adição. MULTIPLICAÇÃO: é uma soma de parcelas iguais. Observe: Podemos representar a mesma igualdade de uma forma diferente, assim: 4 x ou 4 que se lê, quatro vezes três igual a doze. Essa operação chama-se multiplicação e é indicada pelo sinal x ou Na multiplicação 4 x, dizemos que: 4 e são os fatores é o produto

3 4. DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação dividendo 0 4 divisor quociente resto Quando o resto da divisão for igual a zero, dizemos que a divisão é exata. dividendo divisor quociente resto Quando o resto da divisão for diferente de zero, a divisão não é exata. Algumas observações importantes: No conjunto IN não se pode dividir um número menor por um número maior. Zero dividido por qualquer número dá sempre zero. Mas, é impossível dividir qualquer número por zero, ou seja, não existe divisão por zero.. POTENCIAÇÃO: Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais: x x, que vamos indicar por, ou seja: Desta forma, temos que: Expoente Potência Base Onde: é a base (que é o fator que se repete) é o expoente (o número de vezes que repetimos a base) é a potência (que é o resultado da operação)

4 Casos particulares: NÃO ESQUEÇA VIU!!! qualquer número elevado ao expoente é igual a ele próprio. Exemplos: a) b) 0 0 qualquer número elevado a zero é igual a. Exemplos: a) 8 0 b) 0 (viu, não importa o tamanho do número) para resolver uma potência de base 0, basta repetir o número e acrescentar tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. Exemplos: a) 0 0 ( zero) b) 0 00 ( zeros) c) ( zeros) INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES Não é preciso escrever o expoente quando o número é elevado a, pois fica subentendido. Quando o expoente é, lê-se ao quadrado. Quando o expoente é, lê-se ao cubo. Quando o expoente é 4, lê-se à quarta potência. etc Assim, podemos dizer que a POTENCIAÇÃO EM IN, é definida como: a n a a a... a, n IN e n 44 4 n vezes 0 Se n 0 a ( a 0) Se n a a ( a) PROPRIEDADES m n m + n. a a a m a m n. a ( a 0 e m n) n a m m n. ( a ) a 4. n ( a b) n n a n b n a a. ( b 0) n b b n 4

5 6. RADICIAÇÃO: Consideremos o caso particular de um número natural elevado ao quadrado. Por exemplo: quanto dá o número elevado ao quadrado? 9 E se fizermos agora, a pergunta inversa: qual é o número que elevado ao quadrado dá 9? A resposta é. E sua operação é chamada de radiciação e indicada assim: índice do radical 9 raiz radicando o símbolo chama-se radical o número 9 é o radicando o número, que é o resultado da operação chama-se raiz quadrada de 9 Obs.: quando o índice do radical é, como nesse caso que examinamos, a raiz chama-se quadrada e não há a necessidade de se escrevê-la. Então podemos fazer simplesmente assim: 9 EXPRESSÕES NUMÉRICAS Numa expressão numérica com adição e subtração, o que devemos fazer primeiro? Devemos efetuar essas operações na ordem em que aparecem na expressão. Exemplos: ) ) E se a expressão tiver parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }? Em primeiro lugar, devemos resolver as operações indicadas entre parênteses, depois as operações entre colchetes e por último as operações entre chaves. Exemplos: ) + [80 (4 + )] + [80 ] + 6 ) 8 + { [4 + ( 8 + )]} 8 + { [4 + 0]} 8 + { 6} Para calcular o valor de expressões numéricas com as operações de adição, subtração e multiplicação: º ) efetuamos as multiplicações. º ) efetuamos as adições e as subtrações, na ordem em que aparecerem, da esquerda para a direita.

6 Exemplos: ) ) ) {(8 6) [ ( ) + ( )] + (6 )} {08 [ 6 + ] + 4} {08 [ + ] + 4} {08 + 4} { } 4 0 4) + { + [( ) ( )] 8 9} + { + [(48 + 6) ] } + { + [84 ] } + { + 6 } + Para calcular o valor das expressões numéricas com as quatro operações: º ) efetuamos as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem. º ) efetuamos as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem. Exemplos: ) ) ) [(6 4) + ( )] + 6 [44 + (8 + )] + 6 [ ] ) {(46 ) + [( 4) ( 4 + )] (0 0)} { + [ ( + )] } { + [ ] } { + 0 } { + 0 } { } 0 IMPORTANTE: não se esqueça da ordem de resolução numa expressão numérica º) potenciação º) multiplicação e divisão º) adição e subtração Obs.: Ao resolver uma expressão numérica, devemos eliminar parênteses, colchetes e chaves, nessa ordem. A ordem de resolução das operações deve ser, potenciação e radiciação, na ordem em que aparecerem, multiplicação e divisão, na ordem em que aparecerem e finalmente, adição e subtração, na ordem em que aparecerem. Para ficar mais fácil, começamos pelas expressões que estão dentro dos parênteses, colchetes ou chaves, a partir do mais interno, no caso de estar um dentro do outro. IMPORTANTE Veja que, em uma expressão numérica, a posição dos parênteses, colchetes e chaves alteram o resultado da expressão. 6

7 EXEMPLOS Resolva as expressões: a) ( ) (89 ) 64 8 b) ( 8 8 ) c) [ + (6 : ) ] [49 + (6 : ) ] + [ ] + [6 ] d) { + 8 [4 6 0 (9 8)]} { + 4 [4 0 ]} {9 [4 0]} {9 4} 0 e) + { [ + ( ) ] } + { [4 + (9 6) ]} + { [4 + ]} + { [4 + ]} + { 9} EXERCÍCIOS Questão 0 Calcule o valor das expressões: a) 9 + b) 8 + c) 4 + d) e) f) g) 4 h) i) j) Questão 0 Calcule o valor das expressões: a) (6 + 4) b) ( 6) + 4 c) ( + 9) 8 d) + (9 8) e) 0 ( + ) f) + (8 + ) g) (0 ) h) ( + 8) i) (0 + ) ( + 6) j) (8 ) + k) 9 + [ (6 + 4 )] l) [64 ( + 8) + ] m) + {4 + [6 (9 + )] 0} n) { + [4 (8 + 9 )] + }

8 Questão 0 Calcule o valor das expressões: a) 0 b) 0 + c) d) 0 e) f) 0 + g) h) 0 + Questão 04 Calcule o valor das expressões: a) ( + 4) (9 8) b) ( 0 + 8) ( + 4) c) + 8 ( + ) d) ( + ) e) + (8 + ) f) + [ (8 6 )] g) 0 [ (0 ) ] h) [ 40 + ( )] 0 Questão 0 Calcule o valor das expressões: a) 6 + [0 (8 + ) + ] b) [ ( + )] c) 90 [ + ( ) + ] d) 4 + [(8 0 ) + (8 6 )] e) 0 { + 8 [9 ( 4)] } f) 00 { + 8 [8 ( 6)] } g) { [( ) 6]} ( + ) Questão 06 Calcule o valor das expressões: a) 4 b) + 0 c) 6 0 d) e) + Questão 0 Calcule o valor das expressões: a) ( ) b) 0 ( + ) + c) 0 + [6 ( ) + ] d) 0 [6 4 (0 ) + e) 0 + [ ( + ) + 4 ] 4 f) 00 [ (0 ) + ] g) [ 4 + ( ) ] (9 ) h) + [( + ) 4 ] i) + { 9 + [ ( )]} 8

9 DIVISIBILIDADE EM IN Sejam a e b IN*. Dividir a por b é encontrar dois outros números naturais q e r, tais que: dividendo a b divisor Sendo a b q + r e r < b r q quociente resto NOTA: se r 0, temos. a é divisível por b;. a é múltiplo de b;. b é divisor de a a b q. Dizemos, neste caso, que: Por conseguinte, temos os múltiplos e divisores de um número natural. MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO Para obter o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicar esse número pelos elementos do conjunto dos números naturais. IN x 0 0 x x 0 x x Múltiplos de Exemplo: Obter o conjunto dos múltiplos de Indicaremos por M(), o conjunto formado por todos os números que são múltiplos de. Assim: M() {0,, 0,, 0,...} O conjunto dos múltiplos de um número natural qualquer, diferente de zero, é um conjunto infinito. IMPORTANTE (NÃO ESQUEÇA) O zero é múltiplo de qualquer número. Todo número é múltiplo de e de si mesmo. O único múltiplo de zero é o próprio zero. DIVISORES DE UM NÚMERO Quando um número é múltiplo de outro, este chama-se divisor do primeiro. Assim: 8 é múltiplo de e é divisor de 8 8 é múltiplo de e é divisor de 8 8 é múltiplo de 4 e 4 é divisor de 8 8 é múltiplo de 8 e 8 é divisor de 8 9

10 Agora, observe novamente: 8 : 8 8 :? 8 : 4 8 : 6? 8 :? 8 :? 8 : 4 8 : 8 Somente os números,, 4 e 8 dividem exatamente o número 8. Eles formam um conjunto, denominado conjunto dos divisores de 8, que indicamos por: D(8) {,, 4, 8} NÚMEROS PRIMOS E NÚMEROS COMPOSTOS Dado um número natural n, tal que n 0 e n, chamamos: i. divisores triviais de n: e n ii. divisores próprios de n: os demais divisores Exemplos:. D(4) {,,, 4, 6, 8,, 4} Divisores triviais: e 4 Divisores próprios:,, 4, 6, 8 e. D() {, } Divisores triviais: e Divisores próprios: não tem Nessas condições, quando um número possui somente os divisores triviais, como no caso do, esse número é chamado de número primo; Mas, se o número possui, pelo menos um divisor próprio, então ele será chamado de número composto. Observe que, um número primo, possui exatamente dois divisores, que são os divisores triviais. Assim, o número não é primo, pois ele só possui um divisor, e para ser primo, deve possuir divisores. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Um número é divisível:. por : quando for par;. por : quando a soma de seus algarismos formar um número divisível por ;. por 9: quando a soma de seus algarismos formar um número divisível por 9; 4. por 6: quando for divisível por e por, ao mesmo tempo;. por 4: quando os dois últimos algarismos à direita, formarem um número divisível por 4 6. por 8: quando os três últimos algarismos à direita, formarem um número divisível por 8. por : quando terminar em 0 ou ; 8. por 0: quando terminar em 0; 9. por : quando a soma dos algarismos de ordem ímpar, menos a soma dos algarismos de ordem par, for divisível por. Obs.: A expressão geral dos números pares é n (n IN) e a dos ímpares é n + (n IN) 0

11 EXEMPLOS Questão 0 Calcule o maior valor de a para que o número.0.4a seja divisível por. Um número é divisível por se terminar em 0 ou, logo para que o número.0.4a seja divisível por, é necessário que a seja 0 ou ; como queremos saber o maior valor de a, devemos tomar somente a. Questão 0 Qual o menor valor de a para que o número.4a seja divisível por 6? Um número é divisível por 6 se for divisível por e por ao mesmo tempo. Para ser divisível por, deve ser par, assim a deve ser {0,, 4, 6, 8}. Para ser divisível por, a soma de seus algarismos deve formar um número divisível por, logo a + a A soma formada deu + a, e o primeiro número depois de, divisível por é 8, logo + a 8 ou a o próximo número depois de, divisível por, é, logo + a ou a 4 o próximo número depois de, divisível por, é 4, logo + a 4 ou a o próximo número depois de, divisível por, é, logo + a ou a 0 (mas nesse caso, não nos interessa mais, pois o número 0, é formado de dois algarismos e nós queremos apenas um algarismo, que é o algarismo das unidades no número.4a Agora vamos tomar os valores que são pares e que satisfazem a condição de ser múltiplo de, ou seja apenas o 4, pois e são ímpares. Questão 0 Se o número.a.4b é divisível por 4, calcule a soma a + b. Se o número é divisível por 4, então ele será divisível por 9 e por (4 9 x ). Assim, se ele é divisível por, então ele deve terminar em 0 ou. Então temos hipóteses:.se ele terminar em 0, será.a.40 e nesse caso, a soma dos algarismos será: a a O primeiro número depois de que dá uma divisão exata por 9 é, logo a 6 O próximo é 6, logo a (não pode, pois tem algarismos e a possui somente um algarismo). Se ele terminar em, será.a.4 e nesse caso, a soma dos algarismos será: a a O primeiro número depois de 6 que dá uma divisão exata por 9 é, logo a O próximo é 6, logo a 0 (não pode, pois tem algarismos e a possui somente um algarismo) Na primeira hipótese, temos a 6 e b 0, cuja soma a + b Na segunda hipótese, temos a e b, cuja soma a + b + 6 Nos dois casos, a soma a + b 6

12 Questão 04 Considere todas as divisões de números naturais não nulos em que o divisor é 9 e o resto é igual ao triplo do quociente. Determine a soma de todos os valores possíveis para estes quocientes. A 9 R Q e R Q De acordo com os dados, temos que, os números A, Q e R devem ser naturais não nulos Para Q, temos R Para Q, temos R 6 Para Q, temos R 9 Para Q 4, temos R 4 Para Q, temos R Para Q 6, temos R 6 8 Se considerarmos Q, teremos R, o que nos leva a uma situação onde o resto fica maior do que o divisor, e como sabemos que o maior resto possível, deve ser a menos do o divisor, então, pode ser no máximo 6, assim as nossas hipóteses, são: Q {,,, 4,, 6} A soma desses possíveis quocientes será: Questão 0 Na divisão de dois números naturais não nulos, o quociente é 4 e o resto é igual ao divisor menos duas unidades. Se a diferença do dividendo e do divisor é 0, calcule o resto. A R B 4 e R B A B 0 A B 4 + R A 4B + ( B ) 4B + B A B por outro lado, temos: A B 0 (B ) B 0 B B 0 4 B 0 4B B 8 E como R B, teremos R 8 R 6

13 FATORAÇÃO Teorema fundamental da aritmética Todo número composto é igual ao produto de números primos. Dessa forma, todo número composto pode ser decomposto, ou seja, pode ser fatorado. Exemplo: Fatorar 40 PROCEDIMENTO 40 0 Escrevemos o número dado (no caso, 40) e marcamos uma barra vertical ao seu lado Dividimos o número 40 pelo menor número primo possível. Neste caso, é o. Voltamos a dividir o quociente, que é 0, pelo menor número primo possível. Aqui, novamente é o. O processo é repetido, até que o quociente seja. DETERMINAÇÃO DE TODOS OS DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL Vamos supor que se queira determinar todos os divisores do número , 4, 4, 4, 8, 6, 6,, 6,,, 4 Fatora-se o número 4; Faz-se um traço vertical à direita dos fatores da decomposição completa de 4; Escreve-se o número (que é o primeiro divisor de qualquer número natural) um pouco acima do primeiro fator primo (). Os divisores serão obtidos, a partir de, multiplicando-se cada um dos fatores primos (que estão à esquerda do traço), pelos números que vêm à direita do traço, e situados acima dele. Os divisores obtidos mais de uma vez, não serão repetidos. Logo, D(4) {,,, 4, 6, 8,, 4} Mas se, o nosso interesse, é saber quantos são os divisores de um número natural, vamos utilizar a seguinte estratégia: basta somar a cada expoente de seus fatores primos (na fatoração completa) e multiplicar os resultados encontrados. 4 6 ( + ) x ( + ) 4 x 8 Logo, o número 4, possui 8 divisores.

14 EXEMPLOS Questão 0 Quais são os divisores naturais de: a) 8 Fatoramos 8 8 4, 4, 4, 4, 8 logo, os divisores de 8, são {,, 4, 8} b) 0 Fatoramos 0 0 0, 4, 0, 0, 0 Os divisores de 0, são {,, 4,, 0, 0} c) O número é primo, logo, possui somente dois divisores, um e ele mesmo, assim D {, } Questão 0 Determine quantos divisores possui o número: a) 0. Observe que 0 0 ( ) A cada expoente de cada número primo que está na base somamos uma unidade e multiplicamos o resultado obtido, assim: ( + ) ( + ) ( + ) 8, logo, o número 0 possui 8 divisores 4

15 b) 60 Observe que ( ) ( ) A cada expoente de cada número primo que está na base somamos uma unidade e multiplicamos o resultado obtido, assim: ( + ) ( + ) ( + ), logo, o número 60 possui divisores c) 40 Observe que ( ) ( ) A cada expoente de cada número primo que está na base somamos uma unidade e multiplicamos o resultado obtido, assim: ( + ) ( + ) ( + ), logo, o número 40 possui divisores d) Observe que, nesse caso, o número já está fatorado, isto é, suas bases, são formadas de números primos, veja:,, e são números primos. Então é só tomar cada expoente de cada número primo que está na base, somamos uma unidade e multiplicamos o resultado obtido, assim: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 4 48, logo, o número possui 48 divisores e) 6 Nesse caso, é primo, mas 6, não é, assim, temos que 6 ( ) Agora é só tomar cada expoente de cada número primo que está na base, somamos uma unidade e multiplicamos o resultado obtido, assim: ( + ) ( + ) ( + ) , logo, o número 6 possui 48 divisores Questão 0 Fatore: a) b) ( ) ( ) ( )

16 Questão 04 Calcule a soma de todos os divisores de 90. Os divisores de 90 são {,,,, 6, 9, 0,, 8, 0, 4, 90} A soma será Questão 0 Calcule a soma dos divisores próprios de 08. Os divisores de 08 são {,,, 4, 6, 9,, 8,, 6, 4, 08}, sendo que os divisores próprios são: {,, 4, 6, 9,, 8,, 6, 4}, pois e 08 são os divisores triviais Assim, a soma será: Questão 06 k Calcule k, sabendo que 6 0 tem 40 divisores. Nesse caso,, e são primos, mas 6 e 0, não são, assim, temos que k k k 6 0 ( ) ( ) k k k 4 Agora é só tomar cada expoente de cada número primo que está na base, somamos uma unidade e multiplicamos o resultado obtido, assim: ( + ) ( k + + ) (4 + ) 40 8 ( k + ) 40 8 ( k + ) ( k + ) ( k + ) k + 6 k 6 k 40 MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) O mdc de dois ou mais números é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo. Para determinar o mdc, fatoramos os números e tomamos os fatores comuns com os menores expoentes. Exemplo Determinar o mdc entre 60 e e 48 4 Logo, o mdc (60, 48) 8 4 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) O mmc é o menor número divisível por dois ou mais números ao mesmo tempo. Para determinar o mmc, fatoramos os números e tomamos os fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes. Exemplo Determinar o mmc entre 60 e e Logo, o mmc (60, 48) 0 Propriedade: o produto do mdc pelo mmc de dois números é igual ao produto dos dois números. 6

17 QUESTÕES Questão 0 Calcule o mmc e o mdc de 4 e 0. 4 e 0 Logo, mmc (4, 0) 8 0 e o mdc ( 4, 0) 6 Observe que: mmc ( 4, 0) mdc (4, 0) Questão Calcule o mmc e o mdc entre A e B, sendo A a b x y t e B a b x y s. 4 6 mmc ( A, B) a b x y t s, que é o produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente; 4 mdc ( A, B) a b x y, que é o produto só dos fatores comuns e de menor expoente. Questão 0 O produto de dois números é 400 e o mdc deles é 0. Calcule o seu mmc. mmc ( a, b) mdc ( a, b).400 mmc ( a, b) mmc ( a, b) 0 mmc ( a, b) 0 Questão 04 Três fios têm comprimentos de 6m, 48m e m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que haja perda de material. O menor número total possível de pedaços é: a) b) 9 c) d) e) 0 Se queremos o menor número total de pedaços, é porque queremos o maior tamanho de cada fio, ou seja, o mdc dos três números. Assim, fatorando os números, temos: Fio A (6m): 6 Fio B (48m): 48 4 Fio C (m): mdc (6, 48, ) 4 Isto quer dizer que o maior tamanho de cada fio é de m, logo: 6 : pedaços 48 : 4 pedaços : 6 pedaços daí, temos um total de pedaços Letra D

18 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Como existem infinitos números naturais, é impossível inventar um nome especial para cada número, bem como representar cada um deles por um símbolo especial. Daí a necessidade de certas regras que permitam ler e escrever qualquer número, usando poucas palavras e poucos símbolos. O conjunto de tais regras constitui um sistema de numeração. Base do sistema de numeração: é a quantidade de algarismos que ele utiliza. Mudança de base Da base 0 para uma base qualquer: efetue sucessivas divisões do número dado e dos quocientes obtidos pela base dada, até achar um quociente menor que a base dada. Exemplos:. Escreva o número, base 0, na base. 0 0 último quociente Assim, na base será escrito como 0 ( ). Escreva o número, base 0, na base último quociente Assim, na base será escrito como 0 ( ) 8

19 De uma base qualquer para a base 0: vamos associar a cada algarismo, da direita para a esquerda, uma potência crescente a partir de zero da base dada; multiplicamos cada algarismo e somamos os produtos obtidos. Exemplos:. Escrever o número 0 ( ) na base dez ) ( ) ( ( ) ( ) 46. Escrever o número 0 (4 ) na base dez ) 4 ( 4 ) 4 ( ( 4 ) ( 4 ) 4 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Os números inteiros formam um conjunto que se indica por Z {...,,,, 0,,,,...} OPERAÇÕES EM Z. Adição e subtração. multiplicação e divisão Regra de sinais Sinais iguais (resultado positivo) Ex.: ( + ) ( + ) + 6 e ( ) ( ) + 6 Sinais opostos (resultado negativo) Ex.: ( ) ( + ) 6 e ( + ) ( ) 6. Potenciação com expoente natural Base positiva (expoente par ou ímpar) dá resultado positivo; Ex.: ( + ) + 4 e ( + ) + 8 Base negativa (expoente par) dá resultado positivo; Ex.: ( ) + 4 Obs.: cuidado, pois ( ) + 4, mas 4, pois nesse caso, somente o, é que está elevado ao quadrado, o sinal de menos não. Base negativa (expoente ímpar) dá resultado negativo. Ex.: ( ) 8 9

20 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Os números racionais formam um conjunto que se indica por: p * Q x / x, p Z e q Z q p Um número racional ( q 0), ele pode ser: q i. um número inteiro 6 9 Ex.:... 4 ii. um número decimal exato Ex.:, iii. um número decimal periódico (dízima periódica) Ex.: 0,... OPERAÇÕES EM Q (COM FRAÇÕES). Adição e subtração (com o mesmo denominador) Conserve o denominador e efetue a operação indicada no numerador Ex.: + a) + b) 4. Adição e subtração (com os denominadores diferentes) É só tirar o mmc dos denominadores; depois dividir o novo denominador, que é o mmc, por cada um dos denominadores e o resultado multiplicar pelo numerador de cada fração correspondente. Ex.: a) + tirando o mmc (,, ) encontramos 60, assim: b) , note que podemos fazer + igual a 8 8 e tirando o mmc (8,, ) encontramos 4, logo:

21 . Multiplicação e divisão Na multiplicação, devemos multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Ex.: a) 0 b) 4 (note que nesse caso, é possível simplificar antes o com o 4) 6 4 c) (vamos simplificar com ) (veja que temos e ) 4 Obs.: veja que essa fração 4 pode ser escrita como uma fração mista, assim 4 4 (o que significa que são inteiros e 4 ) e para retornar à fração, basta fazer Na divisão, devemos conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da outra Ex.: a) 4 : b) 9 : c) 9 : d) : :

22 4. Potenciação com expoente natural Basta elevar o numerador e o denominador ao expoente, seguindo a propriedade a b n a b Ex.: n n 4 9 com expoente inteiro negativo Nesse caso, devemos inverter a fração para depois elevar ao mesmo expoente com o sinal trocado, conforme a propriedade Ex.: a) 9 4 b) c) a b note que nesse caso, é o mesmo que, logo: n b a n 9 REGRAS PARA TRANSFORMAÇÃO DE DECIMAL EXATO EM FRAÇÃO Devemos colocar um traço de fração, em seguida, escrevemos no numerador, o número sem a vírgula e no denominador o número seguido de tantos zeros quantos forem as casas após a vírgula. Ex.: a), ( casa após a vírgula, colocamos zero) 0 b), ( casas após a vírgula, colocamos zeros) 00 0 c) 0, ( casas após a vírgula, colocamos zeros) d) 0, (veja que nesse caso, é possível simplificar) e) 0, , 0

23 REGRAS PARA TRANSFORMAÇÃO DE UMA DÍZIMA EM FRAÇÃO Dízima simples: uma dízima periódica simples é igual à parte inteira mais uma fração cujo numerador é o período e cujo denominador é um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período. Ex.: a) 0, b) c), 4 + (observe que o traço acima do número nas casas decimais, indica que ele é o número que repete, ou período) Dízimas compostas: uma dízima periódica composta é igual à parte inteira mais uma fração cujo numerador é formado pelo ante-período, seguido de um período, menos o ante-período e cujo denominador é formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos do ante-período. Ex.: 9 a) 0, b), CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS São todos os números decimais não exatos e não periódicos. Ex.: a),44... b) π,4... c) e,8... CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS É a união entre os racionais e os irracionais m n Expoentes fracionários: a Ex.: a) b) c) n a m

24 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Quando o denominador é irracional, é útil transformar a fração numa equivalente de denominador racional. Essa transformação denomina-se racionalização do denominador. A racionalização é obtida multiplicando-se ambos os termos da fração por uma expressão convenientemente escolhida e denominada fator racionalizante. º caso: o denominador é um radical de º grau. Multiplicaremos os dois termos da fração pelo denominador. Ex.: Racionalizar o denominador de multiplicamos o numerador e o denominador por, assim: aqui devemos simplificar o índice do radical com o expoen- te do radicando, logo: º caso: o denominador é um radical de grau qualquer. Multiplicaremos os dois termos da fração pela potência do denominador que tornar o expoente do radicando igual ao índice. Ex.: Racionalizar o denominador de multiplicamos o numerador e o denominador por, assim: º caso: denominador binômio em que um só termo, ou ambos, são radicais de º grau. Multiplicaremos os dois temos da fração pela expressão conjugada do denominador, baseando-se no princípio: o produto da soma pela diferença de dois termos é igual à diferença de seus quadrados. Ex.: Racionalizar o denominador de A expressão conjugada de é + logo + + ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) Note que ao racionalizarmos uma expressão como + essa expressão numa equivalente que nesse caso é: +, estamos transformando 4

25 TESTES Questão 0 (PUC MG) A soma dos valores absolutos do número ab é 9. Se invertermos a ordem dos algarismos (ba), o número obtido será maior que o anterior em 4 unidades. Então, é CORRETO afirmar que o número ab é: a) múltiplo de b) múltiplo de c) múltiplo de 4 d) múltiplo de e) um número primo Questão 0 (UFMG) Considere um número de dois algarismos tal que a soma desses algarismos seja. A- dicionando-se 9 ao número, obter-se-á outro formado com os mesmos algarismos dispostos em ordem inversa. O novo número é: a) menor que 49 b) maior que 0 e menor que 60 c) maior que 6 e menor que d) maior que 8 e menor que 86 e) maior que 8 Questão 0 (UNIMONTES) A soma dos algarismos das dezenas simples com o algarismo das unidades simples de um número de dois dígitos é. Subtraindo 9 unidades desse número, obteremos um segundo que se escreve usando os algarismos do primeiro, mas com ordem invertida. O primeiro e o segundo números são, respectivamente: a) 8 e 8 b) 8 e 8 c) 96 e 69 d) 69 e 96 Questão 04 (PUC MG) Os algarismos A e B formam os números AB e BA, na base 0. Se A + B, o valor de AB + BA é: a) 4 b) c) d) Questão 0 Um número de dois dígitos, é k vezes a soma dos seus dígitos. Trocando-se de posição seus dígitos, a soma dos dígitos desse novo número fica multiplicado por: a) 9 k b) 9 + k c) + k d) k

26 Questão 06 (PUC MG) O número natural A é ímpar e a soma de seus dois algarismos é. A soma dos possíveis valores de A é: a) 6 b) 0 c) 4 d) 48 e) 4 Questão 0 A soma dos algarismos de um número é 9; a diferença entre o algarismo das dezenas e o das unidades é 6; a razão entre o algarismo das dezenas e o das centenas é. Nessas condições, a soma do algarismo das centenas com o algarismo das unidades é: a) b) 6 c) 9 d) Questão 08 (UNIMONTES) O resto da divisão de (0 + 6) ( + ) + 4, por é: a) 0 b) c) d) Questão 09 (PUC MG) Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente é 6 e o resto é o maior possível. Se a soma do dividendo e do divisor é, o resto é: a) 4 b) c) 6 d) Questão 0 Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente obtido é 8 e o resto é igual ao divisor menos duas unidades. Sendo a diferença entre o dividendo e o divisor igual a 06, o divisor é um número: a) primo b) múltiplo de c) par e maior que 8 d) ímpar Questão (PUC MG) No conjunto IN, a divisão do número M por 4, apresenta como resto o triplo do quociente. A soma dos possíveis valores do quociente é: a) 8 b) 0 c) d) e) 0 6

27 Questão Considerem-se todas as divisões em que seus termos são inteiros positivos, o divisor é e o quociente é igual ao resto. O número de tais divisões é: a) 4 b) 80 c) 00 d) 0 e) 4 Questão (UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por, cujo resto é igual ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas divisões é: a) 0 b) c) d) e) Questão 4 (UNICAMP) Em uma agência bancária cinco caixas atendem os clientes em fila única. Suponha que o atendimento de cada cliente demore exatamente minutos e que o caixa atende o primeiro da fila ao mesmo tempo em que o caixa atende o segundo, o caixa atende o terceiro, e assim sucessivamente. Com base nas informações acima, responda: Quantos minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento do sexagésimo oitavo cliente e em que caixa será atendido? a) minutos; caixa b) minutos; caixa c) 9 minutos; caixa d) minutos; caixa 4 Questão (UNA) O valor do mdc do conjunto {4, 6,, 44}, é igual a: a) 4 b) 6 c) d) 8 e) Questão 6 (UFMG) Três torneiras estão com vazamento. Da primeira cai uma gota de 4 em 4 segundos, da segunda, uma de 6 em 6 segundos, e da terceira, uma de 0 em 0 segundos. Exatamente às horas, cai uma gota de cada torneira. O número de vezes que as três torneiras pingaram juntas, no intervalo de h 0s às h min 0s, é: a) 6 b) c) 8 d) 9 e) 0

28 Questão (FUVEST) No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca vezes por minuto e a segunda pisca 0 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a) b) 0 c) 0 d) e) 0 Questão 8 (UFMG) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 44 cadernos, 9 lápis e 6 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de cadernos que cada família ganhou foi: a) 6 b) 9 c) 8 d) 4 Questão 9 Dois terrenos de.600m e 6.800m são loteados em lotes iguais com a maior área possível e sem perda de terreno. O número de lotes obtidos é: a) 6 b) c) 9 d) Questão 0 Três fios têm comprimentos de 6m, 48m e m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que haja perda de material. O menor número total de pedaços é: a) b) 9 c) d) e) Questão Os restos das divisões de 4 e por x são e, respectivamente. Os restos das divisões de 6 e por y são e, respectivamente. O maior valor possível para a soma x + y é: a) 6 b) 4 c) 0 d) e) 8 8

29 Questão O produto de dois números é.00 e o mdc deles é 4. O mmc desses dois números é: a) 00 b) 00 c) 400 d) 600 e) 800 Questão Assinale a afirmativa falsa: a) a é divisor de b mdc (a, b) a b) a é múltiplo de b mmc (a, b) a c) mdc (a, b) mmc (a, b) ab d) a e b são primos e a b mdc (a, b) e) mdc (a, ) a Questão 4 Assinale a afirmativa falsa: a) todo natural é divisor de si mesmo; b) todo natural é múltiplo de si mesmo; c) é divisor de todo natural; d) todo natural é múltiplo de e) o único divisor natural de é o próprio. Questão A soma de todos os divisores do número 0 é: a) 9 b) c) 0 d) 6 e) Questão 6 a O número 6 0 a) b) c) d) 4 e) tem 48 divisores. O valor de a é: Questão k O número 6 0 a) b) c) d) 4 e) tem 40 divisores. O valor de k é: 9

30 Questão 8 (UFMG) Sabe-se que o número é primo. Seja n 6. No conjunto dos números naturais, o número de divisores de n é: a) 0 b) 6 c) 8 d) Questão 9 Seja o número.0.4a. O maior valor de a para que esse número seja divisível por 6 é: a) b) 4 c) d) 9 Questão 0 Qual o menor valor de a para que o número.4a seja divisível por 6? a) b) 4 c) 6 d) e) 9 Questão Seja o número m 488a9b, onde b é o algarismo das unidades e a, o algarismo das centenas. Sabendo-se que m é divisível por 4, então a + b é igual a: a) b) c) 9 d) 6 e) 8 Questão (UNIMONTES) Seja K { } {, 4, 6, 8,..., p,...}, p IN *. Um número x K, x, é chamado par primo, se x K e seus únicos divisores, em k, são: ele mesmo e. Com base na definição acima, escolha a alternativa que apresenta um conjunto formado só de pares primos. a) {, 6, 0, 8} b) {4, 6, 0, } c) {6,, 8, 4} d) {6, 6, 4, 6} Questão (PUC MG) O número 00 está escrito na base dois. A sua representação na base 0 é: a) b) c) d) 4 e) 0

31 Questão 4 O número 0 na base, é na base, igual ao número: a) 00 b) 00 c) 00 d) 00 Questão (UNIMONTES) O sistema de numeração mais adotado pela sociedade é o de base dez. No entanto, se a base fosse mudada para a base 6, nós contaríamos:,,, 4,, 0,,,, 4,, 0,,,, 4,, 0,... A soma do quadragésimo número, contando-se na base 6, conforme o exemplo acima, será: a) b) 4 c) 6 d) Questão 6 Converter o número FC9 na base 6 para a base 0. a) 840 b) 4096 c) 646 d) 8 e) 46 Questão (CEFET MG) Seja x (00) e y () 8. Nessas condições, o valor de (x + y) 6 é: a) C b) E c) 46 d) 9 e) Questão 8 A base do sistema de numeração em que o número é igual a 9 na base decimal é: a) divisor de 0 b) múltiplo de c) múltiplo de 4 d) menor que e) um número primo Questão 9 Se a ( ) e b ( ), então a + b, na base 0, vale: a) 9 b) c) d) e)

32 Questão 40 O número escrito na base x é igual ao número na base x +. O número na base 0, vale: a) b) c) 0 d) e) Questão 4 (FCMMG) Simplificando a expressão , a) 9 b) 0 c) 9 d) e) 9 0, , obteremos: Questão 4 (Diamantina) Se o número b é tal que a) b) c) d) b, então é CORRETO afirmar que b vale: Questão 4 (Diamantina) Sejam as dízimas periódicas a 0,... e b 0, A soma a) b) 6 c) d) 9 a b + é igual a:

33 Questão 44 A expressão a) a a 6 b) a a c) d) a a a e) a 6 a a 6 a a a a a a é igual a: Questão 4 (PUC MG) Os números naturais distintos a, b e c são tais que c a e b c. O valor da so- ma a + b + c é: a) b) c) 9 d) e) Questão 46 8 A expressão 6 é igual a: 8 a) b) c) 4 d) Questão 4 O valor de a) b) c) d) 6 6 m é: 8 Questão 48 (FGV SP / 00) Seja N o resultado da operação 4 A soma dos algarismos de N é: a) 8 b) 9 c) 0 d) e)

34 Questão 49 (UFMG) O valor de [ ( + ( 4) ] a) b) 84 0 c) 0 0 d) 0 m é igual a: Questão 0 O quociente ( ) : é igual a: a) b) c) d) Questão (UFMG), ( ) O valor de m é: 0 a) b) 6, 4 0 c) d) e) 0 4 Questão (UF Sergipe) Racionalizando-se o denominador da expressão a) b) c) + d) e) + 6 +, obtém-se: 0 4

35 Questão (UFMG) 08 + Se m 6 a) m b) m < c) m < d) m >, então pode-se afirmar que: Questão 4 (PUC MG / 00) Se m + 4 4, então m é igual a: + a) b) c) d) Questão (PUC MG / 00) O quociente do mínimo múltiplo comum pelo máximo divisor comum de m 6 e n 0 é: 0 a) b) 0 c) 60 d) 60 Questão 6 (UNIMONTES / 00) Dispondo em ordem crescente as potências 00 a) 9 00 < 00 < 600 < 4 00 b) < 4 00 < 00 < c) < 4 00 < 00 < d) 4 00 < 00 < 00 < 9 00, 600 4, 00 e 00 9, obteremos: Questão (UFMG / 00) 4 Seja m. O valor de m é: a) b) 8 c) d)

36 Questão 8 (UNIMONTES / 00) O quociente e o resto da divisão de 000 () por 0 () são: a) quociente 0 () e resto 0 b) quociente () e resto 0 c) quociente 0 () e resto () d) quociente () e resto () Questão 9 (Paes UNIMONTES / 00) Na Olimpíada de Matemática 00 do Colégio São Pedro havia a seguinte questão: Na divisão exata xyz4: xyz, os algarismos x, y e z são desconhecidos. O valor da soma x + y + z é: a) 4 b) 64 c) 8 d) 8 Questão 60 (FGV SP / 00) Simplificando a expressão 4 + +, obteremos: a) b) 49 c) 4 d) 69 Questão 6 (UNIMONTES / 004) A tábua de multiplicação abaixo está incompleta. x Os números para completá-la, na base 4, são: a) 4 6 b) c) 0 d) 0 6

37 Questão 6 (UNIMONTES / 00) Duas empresas, M e N, realizam avaliações periódicas de seus funcionários. Na empresa M, a avaliação acontece de dois em dois anos e, na empresa N, de três em três anos. Essas avaliações coincidiram em maio de 00. Quando voltarão a coincidir? a) Maio de 00 b) Maio de 009 c) Maio de 006 d) Maio de 008 Questão 6 (Paes UNIMONTES / 00) O número 4 é: a) o produto de dois números pares b) divisor de 4 c) divisível por d) primo Questão 64 (UNIMONTES / 00) a, Qual o valor de a + b, se é a fração irredutível equivalente a b,... 4 a) 9 b) 9 c) d) 4 Questão 6 (UNIMONTES / 00) O número 6 é o primeiro elemento de uma seqüência. O próximo é obtido calculando-se o quadrado do número anterior e, a seguir, somando-se seus algarismos e adicionandose à soma, isto é: Repetimos esse processo e encontramos o terceiro número da seqüência e, assim, sucessivamente. Qual o 00º elemento dessa seqüência? a) b) c) 8 d) 0 Questão 66 (UNIMONTES / 00) Suponha que da estação rodoviária de Montes Claros saia um ônibus para o bairro Santos Reis, a cada 4 minutos, e um ônibus para o bairro Independência, a cada 0 minutos. Suponha, ainda, que a primeira saída conjunta do dia ocorra às 6 horas da manhã. A que horas, depois da primeira saída conjunta, ocorrerá a próxima? a) h min b) h 0min c) 9h 0min d) 6h 0min?

38 Questão 6 (UNIMONTES / 00) O número + é: a) irracional b) natural c) inteiro não natural d) racional não inteiro Questão 68 (UFMG / 00) No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou entre 00 e.00 unidades. Se essas laranjas fossem colocadas em sacos com 0 unidades cada um, sobrariam laranjas e, se fossem colocadas em sacos com 6 unidades cada um, também sobrariam laranjas. Assim sendo, quantas laranjas sobrariam se elas fossem colocadas em sacos com u- nidades cada um? a) b) 4 c) 6 d) Questão 69 (UNIMONTES / 006) Dois cavalos de corrida completam o percurso de uma volta em 8 min e min, respectivamente. Tendo saído juntos, depois de quanto tempo voltarão a se encontrar no lugar de onde saíram? a) h 6 min b) 6h min c) h 6 min d) 6h min Questão 0 (UNIMONTES / 006) Dada a seqüência numérica , o seu 4º algarismo é o: a) 6 b) c) 8 d) 9 Questão (UNIMONTES / 006) Uma caixa de bombons custa R$ 4, 80. Se cada bombom custa R$ 0, 6, então essa caixa tem: a) 0 bombons b) 0 bombons c) bombons d) bombons Questão (Paes UNIMONTES / 006) Numa caixa cabem 9 dúzias de laranjas. Na cooperativa, o transporte é feito em carretas que levam 8 caixas por vez. Quantas laranjas são carregadas em uma carreta? a) 6 b) 6 c) 494 d) 944 8

39 Questão (UFMG / 006) Sejam N um número natural de dois algarismos não nulos e M o número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N M 4. Então, quantos são os possíveis valores de N? a) 4 b) c) 6 d) Questão 4 (UFMG / 006) 4 Considere o conjunto de números racionais M,,,. 9 Sejam x o menor elemento e y o maior elemento de M. Então, é CORRETO afirmar que: 4 a) x e y b) x e y 9 4 c) x e y d) x e y 9 Questão (PAS Lavras / 006) Considere a expressão dada por: ( O valor dessa expressão é : ) 0, 0, a) 9 b) c) d) 9 e) Questão 6 (UNIMONTES / 00) Se em uma fração o denominador for unidades maior que o numerador e se, ao subtrairmos duas unidades aos dois termos, obtivermos uma fração equivalente a, então essa fração é: a) b) 0 c) 6 d) 9

40 Questão (PUC MG / 00) Uma pessoa tem 6 moedas. Um quarto dessas moedas é de centavos, um terço é de centavos, e as restantes são de 0 centavos. Essas moedas totalizam a quantia de: a) 8, b), c), 4 d) 4, Questão 8 (PUC RJ / 00) Dados que a, 4; b 6, e a) a < b < c b) a < c < b c) c < b < a d) b < c < a e) b < a < c c, temos que: Questão 9 (Mack SP / 00) A soma de dois números inteiros positivos, a e b, é 4. Sabendo-se que o produto do mdc (a, b) pelo mmc (a, b) é 90, o valor absoluto da diferença desses números é: a) b) c) 4 d) 49 e) Questão 80 (PAS Lavras / 00) O produto a) a b) a a c) a a d) a e) a a a 6 a, no qual a > 0, pode ser simplificado como: Questão 8 Um terço do número ( ) é equivalente a: a) + b) + 9 c) d) 6 + RESPOSTAS A., 8,, 8, 9, 4,, 8,,, 4, 44, 0, 4, 6,, 9, 60, 68,,, 8 B.,, 4, 0, 6,, 0,,, 8,,, 8, 6, 6, 66, 6, 9 C., 9, 4,,,, 9, 9, 48, 49,, 6, 6, 69, 0, 4, 80 D., 0, 6, 4,, 6, 40, 4, 4, 46, 4,, 64,,, 6, E. 6,,,,, 4 40