UNIMINAS Só é necessário o armazenamento de: Sinal da mantissa: - (menos). Valor da mantissa: Sinal do expoente: -(na realidade, háh

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1 Representação em Ponto Flutuante Utiliza-se a representação científica normalizada: 2500 = 2,5 x ,00009 = 9,0 x Mantissa: 1 =< M < 2. Na realidade, trabalha-se na base 2: -1, x Só é necessário o armazenamento de: Sinal da mantissa: - (menos). Valor da mantissa: Sinal do expoente: -(na realidade, háh um macete...). Expoente: 101. UNIDADE I - 21 Representação em Ponto Flutuante Dados necessários para a representação: Número total de bits. Quantidade de bits para mantissa e expoente. A posição de cada elemento na representação. Um exemplo: Total de 32 bits: 23 para mantissa e 8 para expoente: UNIDADE I

2 Representação em Ponto Flutuante - Formato IEEE 754 Representação de expoente de n bits: excesso de 2 n-1-1 :: se for expoente de 8 bits: somar 127. Assim, valores reais de expoente de 127 a +128 serão mapeados em valores armazenados de 0 a 255. Representação da mantissa: Como trabalha-se na base 2, o bit à esquerda da vírgula v sempre será 1 e pode ser omitido. Ex: -0,75 10 = -0,11 2 = -1,1 2 x 2-1 : 127 e 1 UNIDADE I - 23 Representação em Ponto Flutuante Detalhes: Overflow: Não háh bits suficientes para representar a mantissa. Underflow: Não háh bits suficientes para representar a precisão, ou seja, o expoente é muito grande. Exemplo com 32 bits: Sejam 8 de expoente, 1de sinal e 23 de mantissa, base 2: UNIDADE I

3 INTERPRETAÇÃO DO FORMATO IEEE 754 PRECISÃO SIMPLES (32 BITS) S EEEEEEEE MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM O valor V representado acima em formato IEEE 754,, pode ser determinado como segue: Se E=255 e M < > 0 => V= NaN ( Not a number ) Se E=255 e M=0 e S=1 => V= -Infinito Se E=255 e M=0 e S=0 => V= +Infinito Se 0 < E < 255 => V= (-1)( S x 2 E-127 x (1,M) Se E=0 e M < > 0 => V= (-1)( S x x (0,M) Se E=0 e M=0 e S=1 => V= -0 Se E=0 e M=0 e S=0 => V= 0 UNIDADE I - 25 (normalizado) Em particular: = = = Infinito = -Infinito (não normalizado) INTERPRETAÇÃO DO FORMATO IEEE 754 PRECISÃO SIMPLES (32 BITS) = NaN = NaN = +1 x 2 ( ) 127) x 1,0 = = +1 x 2 ( ) 127) x 1,101 = = +1 x 2 ( ) 127) x 1,101 = = +1 x 2 (1-127) 127) x 1,0 = = +1 x x 0,1 = = +1 x x = (menor valor positivo) UNIDADE I

4 INTERPRETAÇÃO DO FORMATO IEEE 754 PRECISÃO SIMPLES (32 BITS) FAIXA DE REPRESENTAÇÃO UNIDADE I - 27 Aritmética tica em Ponto Flutuante - Adição e Subtração Algoritmo Verifica-se se uma das mantissas a operar é zero, caso afirmativo: se for uma soma e uma das parcelas for zero, o resultado é igualà outra parcela. Se for a uma subtração e o subtraendo for zero, o resultado é igual ao minuendo. Se for uma subtração e o minuendo for zero, o resultado é igual ao subtraendo, com o sinal invertido. Se não houver zeros reduzir ao mesmo expoente (o maior). somar/subtrair as mantissas. Normalizar o resultado. UNIDADE I

5 Aritmética tica em Ponto Flutuante - Adição e Subtração Algoritmo - Resumindo (M 1 x b e1 ) + (M 2 x b e2 ) = (M 1 x b e1 ) + (M 3 x b e1 ) = (M 1 + M 3 ) x b e1 Exemplo (Ajuste do menor expoente para o maior) (0,101 x ,111 x 2 4 ) 2 =? 0,101 x 2 3 = 0,010 x 2 4 (perda = 0,001 x 2 3 ). Logo: (0,010 x ,111 x 2 4 ) 2 = (0, ,111) 2 x 2 4 = 1,001 x 2 4 = 0,100 x 2 5 (perda = 0,010 x 2 3 ) Exemplo (Ajuste do maior expoente para o menor) (0,101 x ,111 x 2 4 ) 2 =? 0,111 x 2 4 = 1,110 x 2 3. Logo: (0,101 x ,110 x 2 3 ) 2 = (0, ,110) 2 x 2 3 = 10,011 x 2 3 = 0,100 x 2 5 (perda = 0,011 x 2 3 ) UNIDADE I - 29 Aritmética tica em Ponto Flutuante - Multiplicação Algoritmo Verifica-se se uma das mantissas a operar é zero, caso afirmativo o resultado zero. Se não houver zeros: somar os expoentes. multiplicar as mantissas. normalizar o resultado. Algoritmo - Resumindo (M 1 x b e1 ) x (M 2 x b e2 ) = (M 1 x M 2 ) x b e1+e2 Exemplo (0,110 x 2 5 ) 2 x (0,100 x 2 4 ) 2 = (0,110 x 0,100) x Expoente = = 5 Mantissa = 0,110 x 0,100 = 0,011 (0,110 x 0,100) x = 0,011 x 2 9 UNIDADE I

6 Aritmética tica em Ponto Flutuante - Divisão Algoritmo Verifica-se se uma das mantissas a operar é zero, caso afirmativo: se o divisor é zero, é impossível e dád erro por divisão de zero. se o dividendo é zero, o resultado é igual a zero. se não houver zeros: subtrair os expoentes. dividir as mantissas. Normalizar o resultado. Algoritmo - Resumindo (M 1 x b e1 ) / (M 2 x b e2 ) = (M 1 / M 2 ) x b e1 UNIDADE I - 31 e1-e2 e2 Aritmética tica em Ponto Flutuante - Divisão Exemplo (0,110 x 2 5 ) 2 / (0,100 x 2 4 ) 2 = (0,110 / 0,100) x Expoente = 5-4 = 1 Mantissa = 0,110 / 0,100 = 1,10 (0,110 / 0,100) x = 1,10 x 2 1 UNIDADE I

7 UNIDADE I - 33 EXEMPLO DE CONVERSÃO - IEEE 754 Representar -12, em precisão simples formato IEEE 754 Passo 1: Converter para base = -1100,101 2 Passo 2: Normalizar ,101 2 = -1, x 2 3 Passo 3: Preencher os campos do formato IEEE 754: Sinal negativo: bit de sinal = 1 Expoente em Excesso de 127: Expoente = = = Sinal Expoente em Excesso de 127 UNIDADE I - 34 Mantissa 7

8 Tipos de Dados da Linguagens Java Tipo Tamanho (em bits) Faixa byte a 127 char 16 0 a short a int a long a float 32 ±1.4 x a ± 3.4 x 10 double 64 ±4.9 x a ±1.8 x 10 UNIDADE I